Factoring
1
Factoring using special products
2
Factoring trinomials by trial-and-error
3
Factoring by grouping
4
Factoring by completing the square
Summary of Special Products
1
(
x
+
y
)(
x
−
y
) =
x
2
−
y
2
2(
x
±
y
)
2
=
x
2
±
2
xy
+
y
2
3
(
x
+
a
)(
x
+
b
) =
x
2
+ (
a
+
b
)
x
+
ab
4(
ax
+
b
)(
cx
+
d
) =
acx
2
+ (
ad
+
bc
)
x
+
bd
5(
x
±
y
)
3
=
x
3
±
3
x
2
y
+ 3
xy
2
±
y
3
6
(
x
±
y
)(
x
2
∓
xy
+
y
2
) =
x
3
±
y
3
Exercises on Factoring:
1
16
x
2
−
9
y
2
2
a
2
b
3
c
4
−
a
3
b
4
c
5
+ 2
a
2
b
4
c
4
3
x
2
(
x
2
−
1)
−
9(
x
2
−
1)
4
1 + 8
x
9
5
8
x
2
−
14
x
−
15
6
x
4
+ 64
Rational Expressions
At the end of this lecture, a student must be able to:
Rational Expressions
Definition
A
rational expression
is a quotient of two polynomials.
A rational expression is
well-defined
if its denominator is
not equal to zero.
Example:
9
x
2
z
3
x
2
+
y
;
x
2
+
y
6
= 0
11
a
2
c
+
b
2
5 +
c
;
c
6
=
−
5
Rational Expressions
Definition
A
rational expression
is a quotient of two polynomials.
A rational expression is
well-defined
if its denominator is
not equal to zero.
Example:
9
x
2
z
3
x
2
+
y
;
x
2
+
y
6
= 0
11
a
2
c
+
b
2
5 +
c
;
c
6
=
−
5
Simplifiying Rational Expressions
Lowest Terms
A rational expression is in
lowest terms
if the numerator
and denominator have no common factor other than 1
and -1.
How to reduce a rational expression to lowest terms:
Factor both numerator and denominator.
Cancel the common factors.
Simplifiying Rational Expressions
Lowest Terms
A rational expression is in
lowest terms
if the numerator
and denominator have no common factor other than 1
and -1.
How to reduce a rational expression to lowest terms:
Factor both numerator and denominator.
Cancel the common factors.
Examples:
16
x
3
y
8
24
x
7
y
5
=
16
24
·
x
3
x
7
·
y
8
y
5
=
2
y
3
3
x
4
(
x
2
−
16)(
x
2
−
4
x
+ 16)
x
3
+ 64
=
(
x
−
4)(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
=
x
−
4
Examples:
16
x
3
y
8
24
x
7
y
5
=
16
24
·
x
3
x
7
·
y
8
y
5
=
2
y
3
3
x
4
(
x
2
−
16)(
x
2
−
4
x
+ 16)
x
3
+ 64
=
(
x
−
4)(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
=
x
−
4
Examples:
16
x
3
y
8
24
x
7
y
5
=
16
24
·
x
3
x
7
·
y
8
y
5
=
2
y
3
3
x
4
(
x
2
−
16)(
x
2
−
4
x
+ 16)
x
3
+ 64
=
(
x
−
4)(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
=
x
−
4
Examples:
16
x
3
y
8
24
x
7
y
5
=
16
24
·
x
3
x
7
·
y
8
y
5
=
2
y
3
3
x
4
(
x
2
−
16)(
x
2
−
4
x
+ 16)
x
3
+ 64
=
(
x
−
4)(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
=
x
−
4
Examples:
16
x
3
y
8
24
x
7
y
5
=
16
24
·
x
3
x
7
·
y
8
y
5
=
2
y
3
3
x
4
(
x
2
−
16)
(
x
2
−
4
x
+ 16)
x
3
+ 64
=
(
x
−
4)(
x
+ 4)
(
x
2
−
4
x
+ 16)
(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
=
x
−
4
Examples:
16
x
3
y
8
24
x
7
y
5
=
16
24
·
x
3
x
7
·
y
8
y
5
=
2
y
3
3
x
4
(
x
2
−
16)(
x
2
−
4
x
+ 16)
x
3
+ 64
=
(
x
−
4)(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
=
x
−
4
Examples:
16
x
3
y
8
24
x
7
y
5
=
16
24
·
x
3
x
7
·
y
8
y
5
=
2
y
3
3
x
4
(
x
2
−
16)(
x
2
−
4
x
+ 16)
x
3
+ 64
=
(
x
−
4)
(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
=
x
−
4
Examples:
16
x
3
y
8
24
x
7
y
5
=
16
24
·
x
3
x
7
·
y
8
y
5
=
2
y
3
3
x
4
(
x
2
−
16)(
x
2
−
4
x
+ 16)
x
3
+ 64
=
(
x
−
4)(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
(
x
+ 4)(
x
2
−
4
x
+ 16)
=
x
−
4
Multiplication of Rational Expressions
Recall:
a
b
·
c
d
=
ac
bd
;
b, d
6
= 0
Example:
7
x
4
5
y
4
·
15
y
2
28
x
3
=
7
·
15
5
·
28
·
x
4
x
3
·
y
2
y
4
=
(7)(5)(3)
(5)(7)(4)
·
x
·
1
y
2
=
3
x
4
y
2
Multiplication of Rational Expressions
Recall:
a
b
·
c
d
=
ac
bd
;
b, d
6
= 0
Example:
7
x
4
5
y
4
·
15
y
2
28
x
3
=
7
·
15
5
·
28
·
x
4
x
3
·
y
2
y
4
=
(7)(5)(3)
(5)(7)(4)
·
x
·
1
y
2
=
3
x
4
y
2
Multiplication of Rational Expressions
Recall:
a
b
·
c
d
=
ac
bd
;
b, d
6
= 0
Example:
7
x
4
5
y
4
·
15
y
2
28
x
3
=
7
·
15
5
·
28
·
x
4
x
3
·
y
2
y
4
=
(7)(5)(3)
(5)(7)(4)
·
x
·
1
y
2
=
3
x
4
y
2
Multiplication of Rational Expressions
Recall:
a
b
·
c
d
=
ac
bd
;
b, d
6
= 0
Example:
7
x
4
5
y
4
·
15
y
2
28
x
3
=
7
·
15
5
·
28
·
x
4
x
3
·
y
2
y
4
=
(7)(5)(3)
(5)(7)(4)
·
x
·
1
y
2
=
3
x
4
y
2
Multiplication of Rational Expressions
Recall:
a
b
·
c
d
=
ac
bd
;
b, d
6
= 0
Example:
7
x
4
5
y
4
·
15
y
2
28
x
3
=
7
·
15
5
·
28
·
x
4
x
3
·
y
2
y
4
=
(7)(5)(3)
(5)(7)(4)
·
x
·
1
y
2
=
3
x
4
y
2
Example:
x
2
−
x
−
12
2
x
2
−
10
x
+ 8
·
5
x
−
5
x
2
−
9
=
(
x
−
4)(
x
+ 3)
2(
x
−
1)(
x
−
4)
·
5(
x
−
1)
(
x
−
3)(
x
+ 3)
=
5
2(
x
−
3)
Example:
x
2
−
x
−
12
2
x
2
−
10
x
+ 8
·
5
x
−
5
x
2
−
9
=
(
x
−
4)(
x
+ 3)
2(
x
−
1)(
x
−
4)
·
5(
x
−
1)
(
x
−
3)(
x
+ 3)
=
5
2(
x
−
3)
Example:
x
2
−
x
−
12
2
x
2
−
10
x
+ 8
·
5
x
−
5
x
2
−
9
=
(
x
−
4)(
x
+ 3)
2(
x
−
1)(
x
−
4)
·
5(
x
−
1)
(
x
−
3)(
x
+ 3)
=
5
2(
x
−
3)
Example:
x
2
−
x
−
12
2
x
2
−
10
x
+ 8
·
5
x
−
5
x
2
−
9
=
(
x
−
4)(
x
+ 3)
2(
x
−
1)(
x
−
4)
·
5(
x
−
1)
(
x
−
3)(
x
+ 3)
=
5
2(
x
−
3)
Example:
x
2
−
x
−
12
2
x
2
−
10
x
+ 8
·
5
x
−
5
x
2
−
9
=
(
x
−
4)(
x
+ 3)
2(
x
−
1)(
x
−
4)
·
5(
x
−
1)
(
x
−
3)(
x
+ 3)
=
5
2(
x
−
3)
Example:
x
2
−
x
−
12
2
x
2
−
10
x
+ 8
·
5
x
−
5
x
2
−
9
=
(
x
−
4)(
x
+ 3)
2
(
x
−
1)(
x
−
4)
·
5
(
x
−
1)
(
x
−
3)
(
x
+ 3)
=
5
2(
x
−
3)
Example:
x
2
−
x
−
12
2
x
2
−
10
x
+ 8
·
5
x
−
5
x
2
−
9
=
(
x
−
4)(
x
+ 3)
2(
x
−
1)(
x
−
4)
·
5(
x
−
1)
(
x
−
3)(
x
+ 3)
=
5
2(
x
−
3)
Division of Rational Expressions
Recall:
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
;
b, c, d
6
= 0
Example:
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
÷
9
−
x
2
x
2
−
4
=
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
·
x
2
−
4
9
−
x
2
=
(
x
−
3)(
x
−
4)
x
−
2
·
(
x
−
2)(
x
+ 2)
(3
−
x
)(3 +
x
)
=
−
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(
x
+ 3)
Division of Rational Expressions
Recall:
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
;
b, c, d
6
= 0
Example:
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
÷
9
−
x
2
x
2
−
4
=
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
·
x
2
−
4
9
−
x
2
=
(
x
−
3)(
x
−
4)
x
−
2
·
(
x
−
2)(
x
+ 2)
(3
−
x
)(3 +
x
)
=
−
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(
x
+ 3)
Division of Rational Expressions
Recall:
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
;
b, c, d
6
= 0
Example:
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
÷
9
−
x
2
x
2
−
4
=
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
·
x
2
−
4
9
−
x
2
=
(
x
−
3)(
x
−
4)
x
−
2
·
(
x
−
2)(
x
+ 2)
(3
−
x
)(3 +
x
)
=
−
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(
x
+ 3)
Division of Rational Expressions
Recall:
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
;
b, c, d
6
= 0
Example:
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
÷
9
−
x
2
x
2
−
4
=
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
·
x
2
−
4
9
−
x
2
=
(
x
−
3)(
x
−
4)
x
−
2
·
(
x
−
2)(
x
+ 2)
(3
−
x
)(3 +
x
)
=
−
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(
x
+ 3)
Division of Rational Expressions
Recall:
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
;
b, c, d
6
= 0
Example:
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
÷
9
−
x
2
x
2
−
4
=
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
·
x
2
−
4
9
−
x
2
=
(
x
−
3)(
x
−
4)
x
−
2
·
(
x
−
2)(
x
+ 2)
(3
−
x
)(3 +
x
)
=
−
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(
x
+ 3)
Division of Rational Expressions
Recall:
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
;
b, c, d
6
= 0
Example:
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
÷
9
−
x
2
x
2
−
4
=
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
·
x
2
−
4
9
−
x
2
=
(
x
−
3)(
x
−
4)
x
−
2
·
(
x
−
2)(
x
+ 2)
(3
−
x
)(3 +
x
)
=
−
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(
x
+ 3)
Division of Rational Expressions
Recall:
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
;
b, c, d
6
= 0
Example:
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
÷
9
−
x
2
x
2
−
4
=
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
·
x
2
−
4
9
−
x
2
=
(
x
−
3)
(
x
−
4)
x
−
2
·
(
x
−
2)
(
x
+ 2)
(3
−
x
)
(3 +
x
)
=
−
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(
x
+ 3)
Division of Rational Expressions
Recall:
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
;
b, c, d
6
= 0
Example:
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
÷
9
−
x
2
x
2
−
4
=
x
2
−
7
x
+ 12
x
−
2
·
x
2
−
4
9
−
x
2
=
(
x
−
3)(
x
−
4)
x
−
2
·
(
x
−
2)(
x
+ 2)
(3
−
x
)(3 +
x
)
=
−
(
x
−
4)(
x
+ 2)
(
x
+ 3)
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3
(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3
(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)
(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)
(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Example:
24
m
3
+ 3
m
2
−
2
m
−
8
÷
4
m
3
+ 4
m
2
+
m
2
m
2
+ 5
m
+ 2
·
12
m
2
−
6
m
+ 3
m
3
−
4
m
2
=
3(8
m
3
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
m
(4
m
2
+ 4
m
+ 1)
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)
·
3(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
2
(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
÷
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
=
3(2
m
+ 1)(4
m
2
−
2
m
+ 1)
(
m
−
4)(
m
+ 2)
·
m
(2
m
+ 1)(
m
+ 2)(
m
−
4)
3(2
m
+ 1)
2
(4
m
2
−
2
m
+ 1)
=
m
Least Common Denominator
Definition
The
least common denominator (LCD)
of two or more
rational expressions is the polynomial of smallest degree
that has each of the given denominators as a factor.
Examples:
1
3
x
−
8
4
x
2
and
2
x
+ 1
x
3
:
LCD
= 4
x
3
2
x
−
2
x
2
−
1
and
x
+ 2
(
x
−
1)
2
:
LCD
= (
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Least Common Denominator
Definition
The
least common denominator (LCD)
of two or more
rational expressions is the polynomial of smallest degree
that has each of the given denominators as a factor.
Examples:
1
3
x
−
8
4
x
2
and
2
x
+ 1
x
3
:
LCD
= 4
x
3
2
x
−
2
x
2
−
1
and
x
+ 2
(
x
−
1)
2
:
LCD
= (
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Least Common Denominator
Definition
The
least common denominator (LCD)
of two or more
rational expressions is the polynomial of smallest degree
that has each of the given denominators as a factor.
Examples:
1
3
x
−
8
4
x
2
and
2
x
+ 1
x
3
:
LCD
= 4
x
3
2
x
−
2
x
2
−
1
and
x
+ 2
(
x
−
1)
2
:
LCD
= (
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Least Common Denominator
Definition
The
least common denominator (LCD)
of two or more
rational expressions is the polynomial of smallest degree
that has each of the given denominators as a factor.
Examples:
1
3
x
−
8
4
x
2
and
2
x
+ 1
x
3
:
LCD
= 4
x
3
2
x
−
2
x
2
−
1
and
x
+ 2
(
x
−
1)
2
:
LCD
= (
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Least Common Denominator
Definition
The
least common denominator (LCD)
of two or more
rational expressions is the polynomial of smallest degree
that has each of the given denominators as a factor.
Examples:
1
3
x
−
8
4
x
2
and
2
x
+ 1
x
3
:
LCD
= 4
x
3
2
x
−
2
x
2
−
1
and
x
+ 2
(
x
−
1)
2
:
LCD
= (
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Addition/Subtraction of Rational Expressions
Recall:
Using the LCD,
a
b
+
c
d
=
a
·
LCD
b
+
c
·
LCD
d
LCD
;
b, d
6
= 0
Example 1:
3
x
−
8
4
x
2
+
2
x
+ 1
x
3
=
(3
x
2
−
8
x
) + (8
x
+ 4)
4
x
3
=
3
x
2
+ 4
4
x
3
Addition/Subtraction of Rational Expressions
Recall:
Using the LCD,
a
b
+
c
d
=
a
·
LCD
b
+
c
·
LCD
d
LCD
;
b, d
6
= 0
Example 1:
3
x
−
8
4
x
2
+
2
x
+ 1
x
3
=
(3
x
2
−
8
x
) + (8
x
+ 4)
4
x
3
=
3
x
2
+ 4
4
x
3
Addition/Subtraction of Rational Expressions
Recall:
Using the LCD,
a
b
+
c
d
=
a
·
LCD
b
+
c
·
LCD
d
LCD
;
b, d
6
= 0
Example 1:
3
x
−
8
4
x
2
+
2
x
+ 1
x
3
=
(3
x
2
−
8
x
)
+ (8
x
+ 4)
4
x
3
=
3
x
2
+ 4
4
x
3
Addition/Subtraction of Rational Expressions
Recall:
Using the LCD,
a
b
+
c
d
=
a
·
LCD
b
+
c
·
LCD
d
LCD
;
b, d
6
= 0
Example 1:
3
x
−
8
4
x
2
+
2
x
+ 1
x
3
=
(3
x
2
−
8
x
) +
(8
x
+ 4)
4
x
3
=
3
x
2
+ 4
4
x
3
Addition/Subtraction of Rational Expressions
Recall:
Using the LCD,
a
b
+
c
d
=
a
·
LCD
b
+
c
·
LCD
d
LCD
;
b, d
6
= 0
Example 1:
3
x
−
8
4
x
2
+
2
x
+ 1
x
3
=
(3
x
2
−
8
x
) + (8
x
+ 4)
4
x
3
=
3
x
2
+ 4
4
x
3
Addition/Subtraction of Rational Expressions
Recall:
Using the LCD,
a
b
+
c
d
=
a
·
LCD
b
+
c
·
LCD
d
LCD
;
b, d
6
= 0
Example 1:
3
x
−
8
4
x
2
+
2
x
+ 1
x
3
=
(3
x
2
−
8
x
) + (8
x
+ 4)
4
x
3
=
3
x
2
+ 4
4
x
3
Addition/Subtraction of Rational Expressions
Recall:
Using the LCD,
a
b
+
c
d
=
a
·
LCD
b
+
c
·
LCD
d
LCD
;
b, d
6
= 0
Example 1:
3
x
−
8
4
x
2
+
2
x
+ 1
x
3
=
(3
x
2
−
8
x
) + (8
x
+ 4)
4
x
3
=
3
x
2
+ 4
4
x
3
Example 2:
x
−
2
x
2
−
1
−
x
+ 2
(
x
−
1)
2
=
[(
x
−
1)(
x
−
2)]
−
[(
x
+ 1)(
x
+ 2)]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
[
x
2
−
3
x
+ 2]
−
[
x
2
+ 3
x
+ 2]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
−
6
x
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Example 2:
x
−
2
x
2
−
1
−
x
+ 2
(
x
−
1)
2
=
[(
x
−
1)(
x
−
2)]
−
[(
x
+ 1)(
x
+ 2)]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
[
x
2
−
3
x
+ 2]
−
[
x
2
+ 3
x
+ 2]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
−
6
x
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Example 2:
x
−
2
x
2
−
1
−
x
+ 2
(
x
−
1)
2
=
[(
x
−
1)(
x
−
2)]
−
[(
x
+ 1)(
x
+ 2)]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
[
x
2
−
3
x
+ 2]
−
[
x
2
+ 3
x
+ 2]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
−
6
x
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Example 2:
x
−
2
x
2
−
1
−
x
+ 2
(
x
−
1)
2
=
[(
x
−
1)(
x
−
2)]
−
[(
x
+ 1)(
x
+ 2)]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
[
x
2
−
3
x
+ 2]
−
[
x
2
+ 3
x
+ 2]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
−
6
x
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Example 2:
x
−
2
x
2
−
1
−
x
+ 2
(
x
−
1)
2
=
[(
x
−
1)(
x
−
2)]
−
[(
x
+ 1)(
x
+ 2)]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
[
x
2
−
3
x
+ 2]
−
[
x
2
+ 3
x
+ 2]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
−
6
x
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Example 2:
x
−
2
x
2
−
1
−
x
+ 2
(
x
−
1)
2
=
[(
x
−
1)(
x
−
2)]
−
[(
x
+ 1)(
x
+ 2)]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
[
x
2
−
3
x
+ 2]
−
[
x
2
+ 3
x
+ 2]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
−
6
x
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Example 2:
x
−
2
x
2
−
1
−
x
+ 2
(
x
−
1)
2
=
[(
x
−
1)(
x
−
2)]
−
[(
x
+ 1)(
x
+ 2)]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
[
x
2
−
3
x
+ 2]
−
[
x
2
+ 3
x
+ 2]
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
=
−
6
x
(
x
−
1)
2
(
x
+ 1)
Example 3:
m
−
2
s
m
2
−
5
ms
+ 6
s
2
+
m
+ 2
s
m
2
−
3
ms
+ 2
s
2
−
m
−
4
s
m
2
−
4
ms
+ 3
s
2
=
m
−
2
s
(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
+
m
+ 2
s
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)
−
m
−
4
s
(
m
−
3
s
)(
m
−
s
)
=
(
m
−
2
s
)(
m
−
s
) + (
m
+ 2
s
)(
m
−
3
s
)
−
(
m
−
4
s
)(
m
−
2
s
)
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
=
(
m
2
−
3
ms
+ 2
s
2
)
+ (
m
2
−
ms
−
6
s
2
)
−
(
m
2
−
6
ms
+ 8
s
2
)
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
=
m
2
+ 2
ms
−
12
s
2
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
Example 3:
m
−
2
s
m
2
−
5
ms
+ 6
s
2
+
m
+ 2
s
m
2
−
3
ms
+ 2
s
2
−
m
−
4
s
m
2
−
4
ms
+ 3
s
2
=
m
−
2
s
(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
+
m
+ 2
s
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)
−
m
−
4
s
(
m
−
3
s
)(
m
−
s
)
=
(
m
−
2
s
)(
m
−
s
) + (
m
+ 2
s
)(
m
−
3
s
)
−
(
m
−
4
s
)(
m
−
2
s
)
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
=
(
m
2
−
3
ms
+ 2
s
2
)
+ (
m
2
−
ms
−
6
s
2
)
−
(
m
2
−
6
ms
+ 8
s
2
)
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
=
m
2
+ 2
ms
−
12
s
2
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
Example 3:
m
−
2
s
m
2
−
5
ms
+ 6
s
2
+
m
+ 2
s
m
2
−
3
ms
+ 2
s
2
−
m
−
4
s
m
2
−
4
ms
+ 3
s
2
=
m
−
2
s
(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
+
m
+ 2
s
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)
−
m
−
4
s
(
m
−
3
s
)(
m
−
s
)
=
(
m
−
2
s
)(
m
−
s
) + (
m
+ 2
s
)(
m
−
3
s
)
−
(
m
−
4
s
)(
m
−
2
s
)
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
=
(
m
2
−
3
ms
+ 2
s
2
)
+ (
m
2
−
ms
−
6
s
2
)
−
(
m
2
−
6
ms
+ 8
s
2
)
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
=
m
2
+ 2
ms
−
12
s
2
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
Example 3:
m
−
2
s
m
2
−
5
ms
+ 6
s
2
+
m
+ 2
s
m
2
−
3
ms
+ 2
s
2
−
m
−
4
s
m
2
−
4
ms
+ 3
s
2
=
m
−
2
s
(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
+
m
+ 2
s
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)
−
m
−
4
s
(
m
−
3
s
)(
m
−
s
)
=
(
m
−
2
s
)(
m
−
s
) + (
m
+ 2
s
)(
m
−
3
s
)
−
(
m
−
4
s
)(
m
−
2
s
)
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
=
(
m
2
−
3
ms
+ 2
s
2
)
+ (
m
2
−
ms
−
6
s
2
)
−
(
m
2
−
6
ms
+ 8
s
2
)
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
=
m
2
+ 2
ms
−
12
s
2
(
m
−
s
)(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
Example 3:
m
−
2
s
m
2
−
5
ms
+ 6
s
2
+
m
+ 2
s
m
2
−
3
ms
+ 2
s
2
−
m
−
4
s
m
2
−
4
ms
+ 3
s
2
=
m
−
2
s
(
m
−
2
s
)(
m
−
3
s
)
+
m
+ 2
s
(
m
−
<