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On the ellipticity of nonlinear equations for a certain class of isotropic material and compressible

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Academic year: 2020

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http://www.ijias.issr-journals.org/

Corresponding Author: Edouard Diouf 327

Sur l'ellipticité des équations non linéaires pour une certaine classe de matériau

isotrope et compressible

[ On the ellipticity of nonlinear equations for a certain class of isotropic material and

compressible ]

Edouard Diouf

Laboratoire de Mathématiques et Applications, Université Assane Seck de Ziguinchor, Sénégal

Copyright © 2015 ISSR Journals. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

A

BSTRACT

: Problems related to the elasticity, studied based on the models represented by the elliptic equations are

characterized by their invariable in time. For an isotropic compressible medium, the loss of ellipticity criterion depends on the determinant of the Hessian matrix of the energy potential and therefore invariant tensor Cauchy Green. Necessary and sufficient conditions on the ellipticity or Legendre -Hadamard condition are given from two energy functions of polynomial type from the isotropic compressible case.

K

EYWORDS

: nonlinear equation, compressibility, ellipticity, Legendre-Hadamard condition.

R

ÉSUMÉ

: Les problèmes liés à l’élasticité, étudiés sur la base des modèles représentés par les équations de type elliptique, se

caractérisent par leur invariabilité dans le temps. Pour un milieu isotrope et compressible, le critère de perte d’ellipticité dépend du déterminant de la matrice hessienne du potentiel d’énergie et donc des invariants du tenseur de Cauchy Green. Des conditions nécessaires et suffisantes sur l’ellipticité ou condition de Legendre-Hadamard sont données à partir de deux fonctions d’énergie de type polynomial dans le cas isotrope et compressible.

M

OTS

-C

LEFS

: équations non linéaires, compressibilité, matrice hessienne, invariants, ellipticité.

1

I

NTRODUCTION

Le développement de la théorie des solutions des systèmes mécaniques non linéaires a été l’une des grandes avancées dans l’étude des équations elliptiques, paraboliques et hyperboliques, pendant ces dernières années. En mécanique des fluides et des solides, une attention particulière a été portée sur l’ellipticité des équations issues de l’étude des systèmes matériels compressibles ou incompressibles [1].

En élastostatique, par exemple, Knowles et Sternberg [2] ont montré que la perte d’ellipticité dans les systèmes non linéaires est due aux grandes déformations locales, alors qu’en acoustique, cette perte est liée à la non-singularité du tenseur acoustique.

(2)

ISSN : 2028-9324 Vol. 13 No. 2, Oct. 2015 328 D’autres auteurs [4] ont quant à eux, montré l’influence de la non linéarité et de la compressibilité des matériaux homogènes isotropes sur le champ de déplacement élastostatique et donc sur l’ellipticité. A cet égard, ils ont établi que la réponse du matériau, en présence de grandes déformations, se trouve dans les paramètres du potentiel d’énergie comme celui par exemple de Blakz-Ko.

Pour ce qui est du critère de la perte d’ellipticité, donné aussi par l’analyse de Rice [5,6], il est basé sur la discontinuité du champ gradient des vitesses vérifiant les conditions de compatibilité cinématique et une condition d’équilibre.

L’étude de l’ellipticité, relativement à un milieu isotrope, peut se faire selon deux types de matériaux à savoir l’incompressibilité et la compressibilité [1]. Il est établi qu’avec le modèle Neo-Hookean, l’ellipticité est conservée avec l’ensemble des déformations, alors que pour le modèle isotrope compressible de type Blatk-Ko, il y a perte d’ellipticité avec des grandes déformations [7].

Dans ce papier, après une formulation cinématique, nous nous intéressons à l’ellipticité de deux types de matériau. Nous étudions d’une part la perte (ou non) d’ellipticité d’un système matériel relativement à un modèle de type polynomial (exemple du modèle proposé par Diouf et Zidi) et d’autre part du modèle de Blatz-Ko.

2

A

PPROCHE CINÉMATIQUE

Considérons une déformation associant à une position de la configuration de référence le point de configuration déformée, de référence .

Pour un système matériel, une description équivalente de cette déformation consiste à considérer le champ de déplacement défini par

Si représente un vecteur pris autour de le champ de déplacement le transporte en un vecteur

C’est ainsi que :

avec : l’application linéaire tangente.

Le tenseur gradient de la transformation défini à partir de cette application et du tenseur identité est tel que .

Il s’en suit le tenseur de déformation gauche de Cauchy-Green . Les trois premiers invariants élémentaires sont ainsi définis :

est l’adjoint de ,

les étant les valeurs propres de . Considérons une fonction d’énergie :

deux fois continument différentiable. Une condition nécessaire et suffisante pour que satisfasse les conditions d’ellipticité (ou de Legendre-Hadamard) est donnée par [8] :

(2.1)

pour tout vecteur

(a

)

R

0

x

=

(a

)

R

u

x

=

(

a

)

=

a

+

u

(

a

).

d

a

=

a

'

-

a

a

,

u

d

x

=

x

'

-

x

=

d

a

+

u

(

a

')

-

u

(

a

).

d

x

-

d

a

=

u

(

a

')

-

u

(

a

)

=

H

(

a

)

d

a

+

o

( )

d

a

2

,

H

(

a

)

=

(

H

ij

(

a

)

)

= ¶u

(

i

(

a

) /

¶a

j

)

i

,

j

=

1, 2, 3

F

F

(

a

)

=

I

d

+

H

(

a

)

B

=

FF

T

I

1

=

tr

(

B

)

=

l

12

+

l

22

+

l

32

,

I

2

=

tr

(

B

*

)

=

l

12

l

2 2

+

l

22

l

3

2

+

l

32

l

1

2

,

B

*

=

det(

B

)

B

-1

I

3

=

det(

B

)

=

l

12

l

2 2

l

3 2

,

B

l

i

F

W

(

F

)

=

g

(

l

1

(

F

),

l

2

(

F

),

l

3

(

F

)

)

W

(

F

)

2

W

(

F

)

¶F

ik

¶F

jl

a

i

a

j

b

k

b

l i,j,k,l=1

3

å

³

0,

(3)

ISSN : 2028-9324 Vol. 13 No. 2, Oct. 2015 329 Si de plus la fonction est symétrique, alors les conditions nécessaires et suffisantes pour que soit convexe sont données par:

(2.2.a)

et la matrice est définie positive.

(2.2.b)

pour tout avec

La preuve de ces résultats montre que la condition d’ellipticité est équivalente [8] à (2.2.a).

Pour un système matériel élastique, compressible et non linéaire, les équations d’équilibres sont données par :

sur (2.3)

avec .

Le système (2.3) est un problème elliptique. Il admet une solution si et seulement si

(2.4)

Les représentent les composantes d’un vecteur unitaire .

Dans la configuration déformée, les équations d’équilibre sont données par [9]:

sur (2.5)

avec

L’ellipticité (ou la perte d’ellipticité) sera déterminée par la recherche des zéros du polynôme caractéristique de .

3

M

ODÈLE DE

D

IOUF

-Z

IDI

Le modèle proposé par Diouf-Zidi [10] est une forme à plusieurs paramètres qui aboutit à une formulation unifiée de diverses représentations :

(3.1)

Admettons le théorème de Rosakis [11,12] qui montre que : ,

g

W

(

F

)

M

e

e

i

Î -

{

1,1

}

,

g

i

=

¶g

l

i

,  

g

ij

=

2

g

l

i

l

j

.

C

ijkl

=

(

I

d

+ Ñu

)

u

k,ij

=

0

R

0

C

ijkl

=

C

ijkl

(

I

d

+ Ñu

)

=

C

ijkl

(

F

)

=

2

W

(

F

)

¶F

ij

¶F

kl

u

det(

C

ijkl

(

F

)

n

j

n

l

)

¹

0.

n

j

,

n

l

n

L

ijkl

u

k,lj

=

0

R

L

ijkl

=

C

ijkl

(

I

d

+ Ñu

).

L

ijkl

W

=

m

2

(

I

1

-

3

)

+

a

1

(

I

2

-

3

)

+

a

2

I

3 1/p

-

1

(

)

p

+

(

2

-

p

)

(

I

3

-

1

)

é

ëê

ù

ûú

+

a

3

2

-

p

1

+

p

log

( )

I

3

é

ë

ê

ù

û

ú

.

(4)

ISSN : 2028-9324 Vol. 13 No. 2, Oct. 2015 330 avec

(3.2)

où sont des vecteurs choisis tels que soient strictement positifs.

Les expressions données en (3.2) permettent de réécrire la fonction d’énergie (3.1) sous la forme :

(3.3)

Posons les composantes de la matrice hessienne de avec la condition constants.

Les composantes non nulles de sont :

Ainsi nous avons :

(3.4) avec

Ainsi, pour le modèle décrit en (3.1) et relativement à un milieu isotrope et compressible, l’ellipticité (globale) des équations (2.3) dépend fortement de et donc de

Dans les conditions où est un paramètre strictement positif, la recherche analytique des zéros de l’équation est moins évidente.

Par ailleurs, il est possible de considérer l’ellipticité en posant dans (3.4) avec la condition

I

1

=

b

12

+

b

22

+

a

12

+

a

22

+

a

32

,

I

2

=

b

12

a

23

+

a

32

(

)

+

b

22

a

33

+

a

12

(

)

+

b

32

a

13

+

a

22

(

)

,

I

3

=

(

b

1

b

2

a

3

)

2

,

b

=

(

b

1

,

b

2

)

a

=

(

a

1

,

a

2

,

a

3

)

b

1

b

2

a

3

W

(

b

,

a

)

=

m

2

b

12

+

b

22

+

a

12

+

a

22

+

a

32

-

3

(

)

+

a

1

b

12

a

23

+

a

32

(

)

+

b

22

a

33

+

a

12

(

)

+

b

32

a

13

+

a

22

(

)

-

3

(

)

+a

2

b

1

b

2

a

3

(

)

2/p

-

1

(

)

p

+

(

2

-

p

)

(

(

b

1

b

2

a

3

)

2

-

1

)

é

ë

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

+a

3

2

-

p

2 1

(

+

p

)

log

(

b

1

b

2

a

3

)

é

ë

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ù

û

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

H

ij

=

2

W

a

i

a

j

H

W

W

(

b

,

a

)

b

1

b

2

H

W

H

11

=

m

1

+

a

1

b

22

(

)

,

H

22

=

m

1

+

a

1

b

1 2

(

)

,

H

33

=

m

a

2

p

b

1

2

b

2 2

pI

3

+

2(1

-

p

)

b

1 2

b

2 2

a

3 2

(

)

I

3

1 p

-

1

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷ +

2

p

-

1

p

b

1

2

b

2 2

a

3 2

I

3 1 p

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

I

3

1

p-2

I

3 1 p

-

1

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷

p-2

+

m

1

+

a

3

p

-

2

p

+

1

(

)

a

3 2

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

+

m

a

1

b

1

2

+

b

22

(

)

-

m

a

2

p

-

2

p

b

1

2

b

22

.

det

(

H

W

)

=

m

3

1

+

a

1

b

12

(

)

1

+

a

1

b

22

(

)

H

3

,

H

3

=

H

33

/

m

.

H

3

,

I

3

.

p

det

(

H

W

)

=

0

(5)

ISSN : 2028-9324 Vol. 13 No. 2, Oct. 2015 331 Cela garantit l’existence du vecteur avec les conditions Cependant, comme le paramètre est lié au matériau, cela réduit le nombre de système matériel globalement elliptique sur

Par un passage à l’incompressible :

I

3

®

1,

nous aurons :

H

3

=

1

+

a

1

b

12

+

b

22

(

)

-

a

2

b

12

b

22

p-

2

p

+

a

3

p

-

2

(

p

+

1)

a

32

,

ce qui peut donner comme zéro de :

a

32

=

p

-

2

p+

1

a

3

-

1

-

a

1

b

12

+

b

22

(

)

+

a

2

b

12

b

2 2

p

-

2

p

é

ë

ê

ù

û

ú

.

D’autre part, le modèle (3.1) peut être considéré comme une généralisation [10] du modèle d’Ogden et

d’Hadamard .

Lorsque nous avons

Et pour

Dans ces deux cas limites, il est possible de montrer que admet au moins une solution. Ainsi, avec les formes de l’existence des vecteurs et est prouvée avec les conditions ainsi que la régularité des coefficients de .

Dans le cas où

W

=

W

(

I

1

(

C

),

I

3

(

C

)),

et

F

=

l

i i

å

(

e

i

Ä

e

j

),

i

=

1, 2, 3,

les

e

iformant une base orthogonale dans

R

3 et

l

ipositif, Walton et Wilbert [13] montrent qu’il y a ellipticité si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

W

1

0,

W

1

+

W

3

0,

W

1

+

W

3

+

2 (

l

1

-

l

22

/

l

1

)

2

W

11

+

2(

l

1

-

l

22

/

l

1

)

W

13

l

1

+

W

33

l

12

é

ë

ù

û ³

0,

(3.5)

avec

W

ij

=

2

W

¶I

i

¶I

j

.

En posant

a

1

=

0

dans le modèle décrit en (3.1) et compte tenu que

m

0

, il apparaît que la première inégalité de (3.5) est vérifiée, et que la seconde s’écrit :

1

+

a

2

(2

-

p

)

+

(

I

31/p

-

1

)

p-1

I

3

1

p-1

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

+

a

3

2

-

p

(

p

+

1)

I

3

³

0.

(3.6)

La dernière inégalité de (3.5) devient :

b

b

1

,

b

2

0.

a

1

R

0

.

det

(

H

W

)

=

0

p

=

1

(

)

p

=

2

(

)

p

=

1,

H

3

=

1

+

2

a

2

b

12

b

22

+

a

1

(

b

12

+

b

22

)

-

a

3

2

a

32

,

p

=

2,

H

3

=

1

+

a

2

b

12

+

b

22

+

b

1 2

b

22

2

æ

è

ç

ö

ø

÷

.

det

(

H

W

)

=

0

H

3

b

a

b

1

b

2

a

3

0

(6)

ISSN : 2028-9324 Vol. 13 No. 2, Oct. 2015 332

1

+

a

2

(2

-

p

)

+

I

3 1/p

-

1

(

)

p-1

I

3 1

p-1

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

+

a

3

2

-

p

(

p

+

1)

I

3

+

2

l

12

a

2

1

p

-

1

æ

è

ç

ö

ø

÷

I

3

1/p

-

1

(

)

I

3

1

p-2

+

p

-

1

p

I

3

2 1

p-1 æ è ç ö ø ÷

é

ë

ê

ê

ù

û

ú

ú

I

3

1/p

-

1

(

)

p-2

-

2

l

12

a

3

2

-

p

(

p

+

1)

I

3 2

³

0.

(3.7)

Cette inégalité peut encore s’écrire sous la forme :

1

+

W

3

(

I

3

)

+

2

l

1

2

d

W

3

(

I

3

)

dI

3

³

0

.

Il faut alors remarquer que l’ellipticité dépend fortement du paramètre

p

et du troisième invariant

I

3

.

Dans les cas limites de la généralisation du modèle (3.1), le critère d’ellipticité établi en (3.6) et (3.7) donne respectivement pour les modèles d’Ogden et D’Hadamard:

p

=

1 :

2 1

(

+

2

a

2

)

I

3

+

a

3

³

0,

2 1

(

+

2

a

2

)

I

32

+

a

3

I

3

-

2

l

1 2

a

3

³

0,

ì

í

ï

î

ï

p

=

2 :

(

1

+

a

2

)

I

3

-

a

2

³

0,

1

+

a

2

(

)

I

33/2

-

a

2

I

3

-

l

1

2

a

2

³

0.

ì

í

ï

î

ï

4

M

ODÈLE DE

B

LATZ

-K

O

La densité d’énergie de type Blatz-Ko [14] est donnée par :

(4.1)

En portant les équations (3.2) dans (4.1), nous obtenons :

(4.2)

En posant la matrice hessienne de la fonction (4.2), nous obtenons du fait de la symétrie, les composantes non nulles de

H

:

W

=

m

2

f I

1

-

1

-1

n

+

1

-

2

n

n

I

3

-n

1-2n

é

ë

ê

ù

û

ú+

m

2

(

1

-

f

)

I

2

I

3

-

1

-1

n

+

1

-

2

n

n

I

3

n

1-2n

é

ë

ê

ù

û

ú

.

W

(

b

,

a

)

=

m

2

f

b

1 2

+

b

2 2

+

a

1 2

+

a

2 2

+

a

3 2

-

1

-

1

n

+

1

-

2

n

n

(

b

1

b

2

a

3

)

-2n

1-2n

é

ë

ê

ù

û

ú

+

m

2

(

1

-

f

)

a

22

+

a

32

b

2 2

a

3 2

+

a

12

+

a

32

b

1 2

a

3 2

+

1

a

3 2

-

1

-1

n

+

1

-

2

n

n

(

b

1

b

2

a

3

)

2n

1-2n

é

ë

ê

ù

û

ú

.

(7)

ISSN : 2028-9324 Vol. 13 No. 2, Oct. 2015 333

En posant nous avons

Ce qui montre que pour le modèle (4.1), relativement à un milieu isotrope et compressible, les équations (2.3) sont globalement elliptiques sur lorsque

Supposons et posons où les composantes non nulles de

h

(symétrique) sont :

En considérant le cas limite où et nous avons :

Ainsi, nous avons une perte d’ellipticité pour le modèle de Blatz-Ko décrit en (4.1) si et seulement si c’est à dire : les vecteurs sont tels que :

Le résultat est le même pour le cas et Prenons le cas où Nous avons :

Il en découle que l’ellipticité dans ce cas, dépend des invariants

H

11

=

f

+

1

-

f

b

12

a

32

,

H

13

=

-

2 1

(

-

f

)

a

1

b

12

a

33

,

H

22

=

f

+

1

-

f

b

2

2

a

3 2

,

H

23

=

-

2 1

(

-

f

)

a

2

b

22

a

33

,

H

33

=

f

1

+

b

12

b

22

1

-

2

n

(

b

1

b

2

a

3

)

2(n -1)/(1-2n)

é

ë

ê

ù

û

ú+

1

-

f

(

)

3

a

2 2

b

2 2

a

3 4

+

3

a

1 2

b

1 2

a

3 4

+

3

a

3 4

+

4

n

-

1

1

-

2

n

b

1

2

b

22

b

1

b

2

a

3

(

)

2(3n -1)/(1-2n)

é

ë

ê

ù

û

ú

.

f

=

1,

det(

H

W

)

=

m

3

1

+

b

1

2

b

22

1

-

2

n

(

b

1

b

2

a

3

)

2(n-1)/(1-2n)

é

ë

ê

ù

û

ú

,

R

0

f

=

1.

f

Î

[

0,1

[

,

H

W

=

m

(

1

-

f

)

h

,

h

11

=

H

11

1

-

f

,

h

13

=

-

2

a

1

b

12

a

33

,

h

22

=

H

22

1

-

f

,

h

23

=

-

2

a

2

b

22

a

33

,

h

33

=

H

33

1

-

f

.

f

=

0

n

=

1 / 4,

det(

h

)

=

3

b

1 2

b

2 2

-

a

1 2

b

2 2

-

a

2 2

b

1 2

b

14

b

24

a

38

.

det(

h

)

=

0,

b

,

a

a

12

3

b

1

2

+

a

22

3

b

2

2

=

1.

f

=

0

n

¹

1 / 4.

f

Î

]

0,1

[

.

det(

h

)

=

H

11

H

22

H

33

1

-

f

(

)

3

-4

a

2 2

H

11

1

-

f

(

)

b

24

a

36

-4

a

1

2

H

22

1

-

f

(

)

b

14

a

34

.

(8)

ISSN : 2028-9324 Vol. 13 No. 2, Oct. 2015 334

5

C

ONCLUSION

Dans l’étude des deux modèles décrits au paragraphe 3 et 4, nous notons que la perte (ou non) d’ellipticité dépend fortement du troisième invariant

I

3(modèle 3.1) et des

I

i

,

i

=

1, 2, 3

(modèle 4.1). Nous pouvons alors affirmer la corrélation entre la compressibilité et l’ellipticité pour les modèles de matériaux isotropes compressibles. Avec Rosakis, nous avons aussi un lien entre l’ellipticité, la variation du volume local et les vecteurs

a

et

b

. La recherche de l’existence de ces vecteurs repose sur la minimisation d’une fonctionnelle suffisamment régulière et reliée au déterminant de la matrice hessienne du potentiel d’énergie. Cependant certaines précautions sont nécessaires pour s’assurer de prédire l’ensemble des directions des vecteurs

a

et

I

i

,

i

=

1, 2, 3

et donc l’ensemble des orientations possibles qui dépendent du modèle de comportement choisi. A un degré non moins négligeable, l’étude sur l’ellipticité dépend aussi des paramètres liés au matériau. Cela se confirme et devient évidente lorsque

I

3

®

1,

par passage à l’incompressible.

R

EFERENCES

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References

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