Low complexity decoding of cyclic codes.

1351547

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P.O. Box 1346

L o w C o m p l e x i t y D e c o d i n g o f

C y c l i c C o d e s

by

H ai Pang HO

A T

h e s i s

S

u b m i t t e d

T

o

T

h e

U

n i v e r s i t y

O

f

S

u r r e y

I

n

P

a r t i a l

F

u l f i l m e n t

T

o

T

h e

R

e q u i r e m e n t s

F

o r

T

h e

D

e g r e e

O

f

D

o c t o r

O

f

P

h i l o s o p h y

Centre for Communication Systems Research

University of Surrey

United Kingdom

September 1998

T h i s t h e s i s p r e s e n t s t h r e e n o v e l l o w c o m p l e x i t y d e c o d i n g a l g o r i t h m s f o r C y c l i c c o d e s . T h e s e a l g o r i t h m s a r e t h e E x t e n d e d K a s a m i A l g o r i t h m ( E K A ) , P e r m u t a t i o n E r r o r T r a p p i n g ( P E T ) a n d t h e M o d i f i e d D o r s c h A l g o r i t h m ( M D A ) . T h e E x t e n d e d K a s a m i A l g o r i t h m i s a n o v e l d e c o d i n g a l g o r i t h m c o m b i n i n g t h e E r r o r T r a p p i n g A l g o r i t h m w i t h c o v e r p o l y n o m i a l t e c h n i q u e s . W i t h a r e v i s e d s e a r c h i n g m e t h o d t o l o c a t e t h e b e s t c o m b i n a t i o n o f c o v e r p o s i t i o n s , t h e E x t e n d e d K a s a m i A l g o r i t h m c a n a c h i e v e b o u n d e d d i s t a n c e p e r f o r m a n c e w i t h c o m p l e x i t y m a n y t i m e s l o w e r t h a n o t h e r e f f i c i e n t d e ­ c o d i n g a l g o r i t h m s . I n c o m p a r i s o n w i t h t h e M i n i m u m W e i g h t D e c o d i n g ( M W D ) A l g o r i t h m o n ( 3 1 , 1 6 ) B C H c o d e s , t h e c o m p l e x i t y o f E K A i s o n l y 5 % o f M W D a t 0 d B

j f .

jff.

To m y parents

t t

5

11

XLUIL

F i r s t a n d f o r e m o s t , I a m i n d e b t e d t o m y p a r e n t s a n d e v e r y m e m b e r o f m y f a m i l y f o r t h e i r s u p p o r t , l o v e a n d u n d e r s t a n d i n g d u r i n g t h i s p e r i o d o f m y r e s e a r c h . A s p e c i a l m e n t i o n m u s t g o t o m y b r o t h e r K i m K o o n H o w h o h a s h e l p e d m e s e t t l e m o s t o f m y p e r s o n a l i s s u e s w h i c h a r o s e b a c k h o m e w h i l e I w a s a w a y . S e c o n d l y m y d e e p e s t a p p r e c i a t i o n a n d g r a t i t u d e g o t o m y s u p e r v i s o r , D r P e t e r S w e e n e y f o r h i s i n v a l u a b l e g u i d a n c e , s u p p o r t a n d c o r r e c t i o n o f m y w r i t i n g t h r o u g h o u t t h e r e s e a r c h . I a l s o g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e t h e c o m m i t t e e o f V i c e - C h a n c e l l o r s a n d P r i n c i p a l s ( C V C P ) , U . K . f o r t h e O v e r s e a s R e s e a r c h S t u d e n t ( O R S ) a w a r d a n d P r o f e s s o r B . G . E v a n s f o r t h e C e n t r e f o r C o m m u n i c a t i o n a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h ( C S E R ) s t u d e n t s h i p t h a t h a v e s u p ­ p o r t e d p a r t o f t h i s r e s e a r c h w o r k . L a s t b u t n o t l e a s t , s p e c i a l t h a n k s g o t o a l l m y c o l l e a g u e s a t U n i v e r s i t y o f S u r r e y , e s p e c i a l l y D r S t e v e W e s e m e y e r a n d D r K j e t i l F a g e r v i k f o r t h e i r s u g g e s t i o n s , c r i t i c i s m s a n d i n s i g h t f u l d i s c u s s i o n s .

C o n t e n t s

1 Introduction

1

T i t l e ...

i

v

2 Galois Fields and Cyclic Codes

15

G F (pm)

3 Efficient decoding algorithms for Block codes

37

3 .1 I n t r o d u c t i o n ... 3 7 3 . 2 D e c o d i n g r u l e s ... 3 8 3 . 3 H a r d d e c i s i o n d e c o d i n g s t r a t e g i e s ... 4 0 3 . 3 . 1 A l g e b r a i c D e c o d i n g A l g o r i t h m s ... 4 1 3 . 3 . 2 E r r o r T r a p p i n g A p p r o a c h ... 4 8 3 . 4 S o f t d e c i s i o n s t r a t e g i e s ... 5 0 3 . 4 . 1 F o r n e y ’s G M D A l g o r i t h m ... 5 1 3 . 4 . 2 C h a s e ’s A l g o r i t h m ... 5 1 3 . 4 . 3 E x h a u s t i v e S e a r c h ... 5 2

3 . 5 C o n c l u s i o n ... 5 4

4 Extended ICasami Algorithm

56

4 . 1 P r e l i m i n a r i e s ... 5 6 4 . 2 I C a s a m i A l g o r i t h m ... 5 6 4 . 2 . 1 P r o c e d u r e o f t h e I C a s a m i A l g o r i t h m ... 5 8 4 . 3 T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n K a s a m i A l g o r i t h m a n d E K A ... 5 8 4 . 4 T h e c o n s t r a i n t s o f t h e E K A A l g o r i t h m s ... 5 9 4 . 5 T h e c o m p a r i s o n o f M W D a n d E K A ... 6 0 4 . 6 T h e d i f f e r e n c e b e t w e e n M W D a n d E I C A ... 6 1 4 . 7 L o c a t i o n o f c o v e r p o s i t i o n s ... 6 2 4 . 8 T h e l o c a t i o n o f t h e b e s t c o v e r p o s i t i o n s ... 6 6 4 . 9 R e s u l t s ... 7 1 4 . 9 . 1 P e r f o r m a n c e a s p e c t ... 7 1 4 . 9 . 2 C o m p l e x i t y c o m p a r i s o n ... 7 3 4 . 1 0 C o n c l u s i o n ... 7 8

5 Permutation Error Trapping

86

5 . 1 P r o l o g u e ... 8 6 5 . 2 P e r m u t a t i o n E r r o r T r a p p i n g ... 8 7 5 . 2 . 1 S q u a r i n g p r o p e r t y ... 8 8 5 . 2 . 2 T h e p r o c e d u r e o f P E T ... 8 9 5 . 3 C o m p l e x i t y A n a l y s i s ... 9 0 5 . 4 T h e p e r f o r m a n c e a n d c o m p l e x i t y c o m p a r i s o n ... 9 0

3 .4 .4

Trellis D ec o d in g A lg o r i t h m s ...

53

vii

6

Soft decision decoding for Reed Solomon codes

101

7

Conclusion

121

Appendices

123

A Information Theory

124

B

E x t e n d e d G a lo is F ie ld

128

C . l J o u r n a l ... 1 3 0 C . 2 C o n f e r e n c e ... 1 3 0

C L is t o f P u b lic a tio n s

130

1 .1 T h e D i g i t a l C o m m u n i c a t i o n M o d e l ... 4 1 . 2 M o d e l o f B i n a r y S y m m e t r i c C h a n n e l ... 6 1 . 3 B i n a r y i n p u t 8 a r y o u t p u t D i s c r e t e M e m o r y l e s s c h a n n e l p r o d u c e d b y e i g h t -l e v e -l q u a n t i z e r o n a G a u s s i a n c h a n n e -l ... 7 1 . 4 T h e C o d i n g F a m i l y ... 8 1 . 5 T h e L a y o u t o f t h e T h e s i s ... 1 3 2 . 1 T h e F o r w a r d E r r o r C o r r e c t i o n C o d e s ... 2 6 2 . 2 C o n c a t e n a t e d c o d e u s i n g a C o n v o l u t i o n a l c o d e a n d a n R S c o d e ... 2 7 2 . 3 E n c o d i n g o f B l o c k c o d e b y C o n v o l u t i o n a l o p e r a t i o n ... 3 2 2 . 4 G e n e r a l S h i f t E n c o d e r f o r C y c l i c c o d e s ... 3 3 3 . 1 E f f i c i e n t a l g o r i t h m s ... 4 1 3 . 2 L i n e a r F e e d b a c k S h i f t R e g i s t e r ... 4 5 3 . 3 T r e l l i s s t r u c t u r e o f ( 7 , 4 ) H a m m i n g c o d e u s i n g C o n v o l u t i o n a l e n c o d i n g . . . 5 4 3 . 4 T r e l l i s s t r u c t u r e o f ( 7 , 4 ) H a m m i n g c o d e u s i n g G e n e r a l i z e d A r r a y C o d e s t e c h n i q u e ... 5 4 4 . 1 T h e S i z e o f S y n d r o m e W i n d o w r e q u i r e d f o r E K A A l g o r i t h m ... 6 0 4 . 2 T h e W o r s t C a s e C o n d i t i o n f o r M i n i m u m W e i g h t D e c o d i n g A l g o r i t h m . . . 6 1

4 . 3 T h e C o v e r a g e o f S y n d r o m e in E x t e n d e d K a s a m i A l g o r i t h m ... 6 2 4 . 4 C l a s s i f i c a t i o n o f E r r o r P a t t e r n ... 6 3 4 . 5 M i n i m u m D i s p l a c e m e n t o f 6 ... 6 4 4 . 6 M i n i m u m D i s p l a c e m e n t o f 5 ... 6 5 4 . 7 M i n i m u m D i s p l a c e m e n t o f 4 ... 6 6 4 . 8 ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e C o v e r P o s i t i o n s t u d y ... 6 7 4 . 9 ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e w i t h c o v e r p o s i t i o n s 5 a n d 6 ... 6 9 4 . 1 0 ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e w i t h c o v e r p o s i t i o n s 4 a n d 7 ... 7 0 4 . 1 1 ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e w i t h c o v e r p o s i t i o n s 3 a n d 7 ... 7 1 4 . 1 2 ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e C o m p l e x i t y C o m p a r i s o n f o r v a r i o u s C o m b i n a t i o n s o f C o v e r P o s i t i o n s ... 7 2 4 . 1 3 ( 3 1 , 1 6 ) B C H c o d e C o v e r P o s i t i o n S t u d y ... 7 3 4 . 1 4 ( 3 1 , 1 6 ) B C H c o d e C o m p l e x i t y C o m p a r i s o n f o r v a r i o u s C o m b i n a t i o n s o f C o v e r P o s i t i o n s ... 7 4 4 . 1 5 P e r f o r m a n c e o f ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e i n B i t E r r o r R a t e ... 7 5 4 . 1 6 P e r f o r m a n c e o f ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e i n B l o c k E r r o r R a t e ... 7 6 4 . 1 7 P e r f o r m a n c e o f ( 3 1 , 1 6 ) B C H c o d e in B i t E r r o r R a t e ... 7 7 4 . 1 8 P e r f o r m a n c e o f ( 3 1 , 1 6 ) B C H c o d e i n B l o c k E r r o r R a t e ... 7 8 4 . 1 9 C o m p u t a t i o n t i m e C o m p a r i s o n o f ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e , M W D v s E K A . . . 7 9 4 . 2 0 C o m p u t a t i o n t i m e C o m p a r i s o n o f ( 1 5 , 5 ) B C H c o d e , M W D v s E K A . . . . 8 0 4 . 2 1 C o m p u t a t i o n t i m e C o m p a r i s o n o f ( 3 1 , 1 6 ) B C H c o d e , M W D v s E K A . . . . 8 1 4 . 2 2 C o m p l e x i t y o f ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e c o m p a r i n g 4 d i f f e r e n t a l g o r i t h m s . . . . 8 2 4 . 2 3 C o m p l e x i t y o n ( 2 3 , 1 2 ) G o l a y c o d e in t e r m o f r a t io ... 8 3 4 . 2 4 C o m p l e x i t y o f ( 3 1 , 1 6 ) B C H c o d e c o m p a r i n g 4 d i f f e r e n t a l g o r i t h m s ... 8 4

xi

5 . 1 ( 1 5 , 9 ) R S c o d e s , P e r m u t a t i o n I n t e r l e a v e ... 8 8 5 . 2 P e r f o r m a n c e o f ( 1 5 , 9 ) R S c o d e i n B l o c k E r r o r R a t e ... 9 2 5 . 3 P e r f o r m a n c e o f ( 1 5 , 9 ) R S c o d e i n B i t E r r o r R a t e ... 9 3 5 . 4 C o m p l e x i t y C o m p a r i s o n o f ( 1 5 , 9 ) R S c o d e ... 9 4 5 . 5 P e r f o r m a n c e o f ( 7 , 3 ) R S c o d e i n B l o c k E r r o r R a t e ... 9 5 5 . 6 P e r f o r m a n c e o f ( 7 , 3 ) R S c o d e i n B i t E r r o r R a t e ... 9 6 5 . 7 C o m p l e x i t y C o m p a r i s o n o f ( 7 , 3 ) R S c o d e ... 9 7 5 . 8 P e r f o r m a n c e o f ( 1 5 , 7 ) R S c o d e i n B l o c k E r r o r R a t e ... 9 8 5 . 9 P e r f o r m a n c e o f ( 1 5 , 7 ) R S c o d e i n B i t E r r o r R a t e ... 9 9 5 . 1 0 C o m p l e x i t y C o m p a r i s o n o f ( 1 5 , 7 ) R S c o d e ...1 0 0 6 .1 P e r f o r m a n c e o f ( 3 1 , 1 6 ) B C H c o d e i n B l o c k E r r o r R a t e u s i n g D i f f e r e n t N u m b e r o f E r r o r p a t t e r n ...I l l 6 . 2 P e r f o r m a n c e o f ( 3 1 , 1 6 ) B C H c o d e i n B i t E r r o r R a t e u s i n g D i f f e r e n t N u m b e r o f E r r o r p a t t e r n ...1 1 2 6 . 3 P e r f o r m a n c e o f ( 7 , 3 ) R S i n B i t E r r o r R a t e u s i n g D o r s c h A l g o r i t h m ... 1 1 3 6 . 4 P e r f o r m a n c e o f ( 7 , 3 ) R S c o d e i n B l o c k E r r o r R a t e u s i n g D o r s c h A l g o r i t h m 1 1 4 6 . 5 P e r f o r m a n c e o f ( 1 5 , 1 1 ) R S c o d e i n B i t E r r o r R a t e u s i n g D o r s c h A l g o r i t h m . 1 1 5 6 . 6 P e r f o r m a n c e o f ( 1 5 , 7 ) R S c o d e i n B i t E r r o r R a t e u s i n g D o r s c h A l g o r i t h m . 1 1 6 6 . 7 P e r f o r m a n c e o f ( 7 , 3 ) R S i n B E R u s i n g d i f f e r e n t S o r t i n g c r i t e r i a ... 1 1 8 6 . 8 P e r f o r m a n c e o f ( 1 5 , 1 1 ) R S i n B E R u s i n g d i f f e r e n t S o r t i n g c r i t e r i a ...1 1 9 6 . 9 P e r f o r m a n c e o f ( 1 5 , 7 ) R S i n B E R u s i n g d i f f e r e n t S o r t i n g c r i t e r i a ...1 2 0

L i s t o f T a b l e s

G F (

G F ( 4 )

G F ( 4 )

G F (

G F (

x iii

A b b r e v i a t i o n

c

dfree

dmin

e

E ( x )

i(x )

k

G

ff(n)

G F (q

)

q

n

p b

P

b

Q

r

n

7

Z =

-t

x i

w ( )

a

G F(q)

C hapter 1

I n t r o d u c t i o n

1.1 Prologue

Cost reduction

Noise suppression

Safety assurance

Quality demand

Future development

1.2: Error Control Coding

P a g e 3

1.2 E rr o r C ontrol Coding

1.2.1 Information Theory

1.2.2 Digital Communication System

A s i m p l e d i g i t a l c o m m u n i c a t i o n s y s t e m c a n b e m o d e l l e d a s a b l o c k d i a g r a m a s s h o w n in F i g u r e 1 .1 . T h e r e a r e a l t o g e t h e r t h r e e t y p e s o f c o d i n g s c h e m e s t h a t c a n b e a p p l i e d t o a d i g i t a l s i g n a l p r i o r t o m o d u l a t i o n b e f o r e t r a n s m i t t i n g . E a c h o f t h e s e c o d i n g s c h e m e s s e r v e s a d i f f e r e n t p u r p o s e .

Chapter 1. Introduction

F i g u r e 1 .1 : T h e D i g i t a l C o m m u n i c a t i o n M o d e l

Source coding

Encryption

Channel coding

1.2: Error Control Coding

P a g e 5

Discrete channel

( a ) .

Discrete Memoryless Channel (DMC)

w h e r e

Xi

yj

Binary Symmetric Channei(BSC)

T h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y

p

( c ) .

Additive White Gaussian Noise Channel (AWGN)

a 2.

P (y - y j x = x j = P {y j\x i)

(

1

.

1

)

- p

(

1

.

2

)

Chapter 1. Introduction

0

1

0

1

1-P

y,

x 2,

( d ) .

Soft decision channel

Q

M

( e ) .

Fading Multipath Channel

e-(y-Xi)2/2a

2

_(1.4)

1.2: Error Control Coding

P a g e 7

8

Chapter 1. Introduction

F i g u r e 1 .4 : T h e C o d i n g F a m i l y t h e d e c o d i n g a l g o r i t h m . H a r d d e c i s i o n d e c o d i n g t e c h n i q u e s c a n b e e s s e n t i a l l y a l g e b r a i c e q u a t i o n - s o l v i n g a l g o r i t h m s . T h e s o f t d e c i s i o n d e c o d i n g t e c h n i q u e s r e s e m b l e s i g n a l c o r ­ r e l a t i o n o r m a t c h e d - f i l t e r i n g o p e r a t i o n s a n d a r e s u b s t a n t i a l l y m o r e c o m p l e x i n b l o c k c o d e s . A f t e r d e c o d i n g , t h e d e c o d e d m e s s a g e i s d e c r y p t e d a n d r e c o v e r e d b y t h e s o u r c e d e c o d e r . T h e s a m e m o d e l c a n b e u s e d t o d e s c r i b e a n i n f o r m a t i o n s t o r a g e s y s t e m i f t h e s t o r a g e m e d i u m i s r e g a r d e d a s a c h a n n e l ; a t y p i c a l e x a m p l e i s a m a g n e t i c - t a p e u n i t i n c l u d i n g w r i t i n g a n d r e a d i n g h e a d s .

1.2.3 TTOypes of error control codes

I n g e n e r a l , e r r o r c o n t r o l t e c h n i q u e s c a n b e c l a s s i f i e d i n t o f o u r m a i n c l a s s e s a s s h o w n i n F i g u r e 1 . 4 . T h e s e a r e F o r w a r d E r r o r C o r r e c t i o n ( F E C ) , A u t o m a t i c R e p e a t r e Q u e s t ( A R Q ) , H y b r i d F E C / A R Q a n d E r r o r C o n c e a l m e n t . D i f f e r e n t c o d i n g t e c h n i q u e s a r e s u i t ­ a b l e f o r d i f f e r e n t p u r p o s e s a n d r e q u i r e m e n t s .

T h e m a i n a d v a n t a g e o f

forward error correcting

1.2: Error Control Coding

P a g e 9

F E C c a n b e f u r t h e r d i v i d e d i n t o t w o d i s t i n c t c l a s s e s , n a m e l y b l o c k c o d e s a n d c o n v o l u t i o n a l c o d e s , d i s t i n g u i s h e d r e s p e c t i v e l y b y t h e a b s e n c e o r p r e s e n c e o f m e m o r y o f t h e p r e v i o u s m e s s a g e i n t h e e n c o d e r . T h i s t h e s i s i s c o n c e r n e d o n l y w i t h c y c l i c b l o c k c o d e s . T h i s a r e a i s f u r t h e r e l a b o r a t e d i n C h a p t e r 2 .

Automatic Repeat reQuest

Hybrid FEC/ARQ

Error Concealment

Chapter 1. Introduction

1.2.4 Terminology

Bit error rate probability (BER)

Pb

P b

Pb

Pb

fj#

Eb

E s

1

—

-T x

n

0

n

0 n

K

J

E s

Coding Gain

j f ,

jf-

1.3: Original Achievements and Contributions

Page 11

[R(dmin

[R df

10

logio

[Kdmin]

(1*8)

[R df

dmin

d free

1.3 O riginal Achievements and C ontributions

T h e i n i t i a l o b j e c t i v e f o r t h i s r e s e a r c h w a s t o f i n d a g e n e r a l i z e d a n d e f f i c i e n t s o f t - d e c i s i o n a l g e b r a i c d e c o d i n g a l g o r i t h m f o r R e e d S o l o m o n c o d e s . H o w e v e r , u p o n r e a l i s i n g t h e r e w a s n o r e l a t i o n s h i p b e t w e e n c h a n n e l i n f o r m a t i o n a n d t h e a l g e b r a i c c o d e s t i n c t u r e , i t w a s d e c i d e d t o v e n t u r e i n t o o t h e r p o s s i b i l i t i e s . T h i s h a s r e s u l t e d i n w o r k o f v a r i o u s e m p h a s i s , a n d i s s u m m a r i s e d a s f o l l o w s : • A n e w a l g o r i t h m n a m e d E x t e n d e d K a s a m i A l g o r i t h m ( E K A ) i s d e r i v e d . I t h a s a l s o b e e n p r o v e n t h a t u s i n g c o v e r p o l y n o m i a l t e c h n i q u e s [ 4 ] i s b e t t e r t h a n t h e M i n i m u m

Chapter 1. Introduction

T a b l e 1 .2 : A s y m p t o t i c C o d i n g G a i n s C o d e

ffnin

01*

dfree

Z)

1.4: Overview of the thesis

Page 13

F i g u r e 1 .5 : T h e L a y o u t o f t h e T h e s i s

n e a r m a x i m u m l i k e l i h o o d p e r f o r m a n c e .

1.4 Overview of the thesis

T h e l a y o u t o f t h e t h e s i s i s s h o w n i n F i g u r e 1 .5 . T h e w h o l e t h e s i s i s s u b d i v i d e d i n t o s e v e n c h a p t e r s . T h e f i r s t t h r e e c h a p t e r s p r o v i d e t h e l i n k u p a n d t h e o v e r a l l v i e w o f t h e e r r o r c o n t r o l t e c h n i q u e s w h i l e t h e f o l l o w i n g t h r e e c h a p t e r s d e s c r i b e t h r e e n o v e l a l g o r i t h m s r e s p e c t i v e l y . T h e l a s t c h a p t e r c o n c l u d e s t h e t h e s i s .

Chapter

2

Cyclic Codes

Chapter 3 Efficient Algorithms

Chapter 4 Extended Kasami Algorithm

Chapter 5 Permutation Error Happing

Chapter 6 Modified Dorsch Algorithm

Chapter 7 Conclusion

1.5 Sum m ary

C hapter 2

G a l o i s F i e l d s a n d C y c l i c C o d e s

2.1 P relude

15