A Study of Second-Order Supersonic Flow

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(1)

S E C O N D - O R D E R S U P E R S O N I C F L O W

T h e s i s by M i l t o n D. V a n D y k e

In P a r t i a l F u l f i l l m e n t o f t h e R e q u i r e m e n t s F o r the D e g r e e o f

D o c t o r o f P h i l o s o p h y

C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y P a s a d e n a , C a l i f o r n i a

(2)

T h e w r i t e r is i n d e b t e d to Dr. P. A. L a g e r s t r o m f o r h i s c o n t i n u a l a d v i c e d u r i n g t h e c o u r s e o f t h i s study, in p a r t i c u l a r f o r h i s i n s i s t e n c e t h a t the n a t u r e o f the m e t h o d be w e l l u n d e r s t o o d . He is a l s o g r a t e f u l to Dr. C. D. De P r i m a f o r a n u m b e r o f f r u i t f u l d i s c u s s i o n s . S e v e r a l m e m - be r s o f the G A L C I T s t a f f r e n d e r e d f u r t h e r a s s i s t a n c e , in p a r t i c u l a r Drs . H. J. S t e w a r t a n d F r a n k E. M a r b l e .

The w r i t e r is g r a t e f u l f o r the c o o p e r a t i o n o f the A e r o d y n a m i c s D e p a r t m e n t o f the D o u g l a s A i r c r a f t Company, S a n t a M o n i c a , a n d Dr. H. W. L i e p m a n n , w h o k i n d l y m a d e a v a i l a b l e in a d v a n c e o f p u b l i c a t i o n the c h a r a c t e r i s t i c s s o l u t i o n s w h i c h a f f o r d a c h e c k on the m e t h o d f o r b o d i e s of r e v o l u t i o n .

(3)

A n a t t e m p t is m a d e to d e v e l o p a s e c o n d a p p r o x i m a t i o n to t h e s o l u t i o n o f p r o b l e m s o f s u p e r s o n i c f l o w w h i c h can be s o l v e d by e x i s t i n g f i r s t - o r d e r t h e o r y . T h e m e t h o d o f a t t a c k a d o p t e d is a n i t e r a t i o n p r o c e d u r e u s i n g the l i n e a r ­ i z e d s o l u t i o n as t h e f i r s t step.

S e v e r a l s i m p l e p r o b l e m s are s t u d i e d f i r s t in o r d e r to u n d e r s t a n d the l i m i t a t i o n s o f the m e t h o d . T h e s e s u g g e s t

c e r t a i n c o n j e c t u r e s r e g a r d i n g c o n v e r g e n c e . A s e c o n d - o r d e r s o l u t i o n is f o u n d f o r the cone w h i c h r e p r e s e n t s a c o n s i d e r ­ a b l e i m p r o v e m e n t o v e r the l i n e a r i z e d r e s u l t .

F o r p l a n e a n d a x i a l l y - s y m m e t r i c f l o w s it is d i s c o v e r e d t h a t a p a r t i c u l a r i n t e g r a l o f t h e i t e r a t i o n e q u a t i o n can be w r i t t e n d o w n at o n c e in t e r m s o f the f i r s t - o r d e r s o l u ­ t i on. T h i s r e d u c e s the s e c o n d - o r d e r p r o b l e m to t h e f o r m o f t h e f i r s t - o r d e r p r o b l e m , so t h a t it is e f f e c t i v e l y

s o l v e d . C o m p a r i s o n w i t h s o l u t i o n s by t h e m e t h o d o f c h a r a c ­ t e r i s t i c s i n d i c a t e s t h a t t h e m e t h o d is u s e f u l f o r b o d i e s o f r e v o l u t i o n w h i c h h a v e c o n t i n u o u s s lope.

F o r f u l l t h r e e - d i m e n s i o n a l flow, o n l y a p a r t i a l p a r t i c ­ u l a r i n t e g r a l h a s b e e n f o und. As a n e x a m p l e o f a m o r e

(4)

I n t r o d u c t i o n ... 1

I. T h e I t e r a t i o n P r o c e d u r e ... 2

1 . B a s i c A s s u m p t i o n s ... 2

2. T h e E x a c t P e r t u r b a t i o n E q u a t i o n ... 4

3. S o l u t i o n by I t e r a t i o n ... 5

4. T h e S e c o n d - O r d e r I t e r a t i o n E q u a t i o n ... 7

5. I t e r a t i o n E q u a t i o n in O t h e r C o o r d i n a t e s ... 9

6. A l t e r n a t e S o l u t i o n by P o w e r E x p a n s i o n ... 11

7. B o u n d a r y C o n d i t i o n s ... 12

8. D e t e r m i n a t i o n o f P r e s s u r e ... 15

II. S o m e S i m p l e S o l u t i o n s ... 20

9. F l o w P a s t a S l i g h t l y C u r v e d W a l l ... 20

10. T h e R o l e o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s ... 23

11. F l o w P a s t a C o r n e r a n d a P a r a b o l i c B e n d . . . . 26

12. C o n v e r g e n c e f o r P l a n e F l o w ... 30

13. F l o w P a s t a Cone ... 34

14. S e r i e s f o r S u r f a c e P r e s s u r e C o e f f i c i e n t . . . . 41

15. T h e S h o c k W a v e A n g l e ... 46

III. G e n e r a l S o l u t i o n s f o r P l a n e a n d A x i a l l y - S y m m e t r i c F l o w ... 49

16. T h e R o l e o f a P a r t i c u l a r S o l u t i o n ... 49

1 7 . T h e G e n e r a l S o l u t i o n f o r P l a n e F l o w ... 50

18. T h e P a r t i c u l a r S o l u t i o n f o r A x i a l l y -S y m m e t r i c F l o w . . . 52

19. M e t h o d o f S o l u t i o n f o r A n a l y t i c B o d i e s . . . . 56

20. U s e o f the S l e n d e r - B o d y A p p r o x i m a t i o n ... 59

21. S e r i e s E x p a n s i o n ... 62

22. M e t h o d o f S o l u t i o n f o r N o n - A n a l y t i c B o d i e s . . 63 23. S o l u t i o n B e h i n d D i s c o n t i n u i t y in S l o p e or H i g h e r D e r i v a t i v e . . . . 68

24. C o m p a r i s o n w i t h N u m e r i c a l S o l u t i o n s ... 71

IV. T h r e e - D i m e n s i o n a l P r o b l e m s ... 76

25. A P a r t i a l P a r t i c u l a r S o l u t i o n ... 76

(5)

29. P o s s i b l e T r e a t m e n t o f W i n g s ... 86

V. C o n c l u d i n g R e m a r k s ... 91

30. F u t u r e I n v e s t i g a t i o n ... 91

31. H i g h e r A p p r o x i m a t i o n s ... 91

32. A p p l i c a t i o n to S u b s o n i c F l o w ... 92

(6)

Pa g e Li n e C o r r e c t i o n

18 — — A d d n u m b e r s to l e g e n d : 1

2

3 —

4

29 E q . (2.17) R e p l a c e

35 E q . (2.22) R e p l a c e

55 8 R e p l a c e

55 12, 1 3 R e p l a c e

71 1 0 - 1 6 R e p l a c e t h i s p a r a g r a p h by: " B e h i n d a d i s c o n t i n u i t y i n c u r v a t u r e o r any h i g h e r d e r i v a t i v e , h o w e v e r , it c a n be s h o w n t h a t t h e s o l u t i o n g i v e s the c o r r e c t t w o - d i m e n s i o n a l beh a v i o r . " 71 21 R e p l a c e "a d e r i v a t i v e of any o r d e r "

b y " s l o p e . "

72 8 * D e l e t e s e n t e n c e b e g i n n i n g " E v i d e n t l y . " 76 5 * - 4 * R e p l a c e "fo r the la s t .. i n v o l v e N , " b y "for the t e r m s i n t h e f i r s t line,

a n d w i t h N = 0 , " 80 B o t h t a b l e s A d d a b o v e e a c h t a b l e ;

83 Eq. (4.17) R e p l a c e

8 9 — — R e p l a c e "Eq. 4 . 2 5 a " b y "Eq. 4 . 2 5 b "

(7)

T r e a t m e n t of B o d i e s of R e v o l u t i o n w i t h C o r n e r s

A s d i s c u s s e d in s e c t i o n 23, t h e m e t h o d as it s t a n d s f a i l s b e h i n d a d i s c o n t i n u i t y in s l o p e . H o w e v e r , t h i s d e f e c t c a n b e r e a d i l y c o r r e c t e d . T h e p r o p e r p r o c e d u r e w o u l d be to d e t e r m i n e t h e s o l u t i o n f o r t h e c a s e w h e n t h e c o r n e r h a s b e e n

s l i g h t l y r o u n d e d , and t h e n p a s s t o t h e l i m i t of a s h a r p c o r n e r . It c a n b e s h o w n th a t t h i s is c o m p l e t e l y e q u i v a l e n t to t h e f o l l o w i n g s i m p l e r p r o c e d u r e .

T h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n g i v e n b y E q . (3.15) is d i s c o n ­ t i n u o u s a c r o s s t h e M a c h w a v e f r o m t h e c o r n e r , since Φ x a n d Φ r are d i s c o n t i n u o u s . T h e c o m p l e t e p o t e n t i a l m u s t be c o n t i n u o u s , so t h a t t h e c o r r e c t i o n p o t e n t i a l X m u s t i n c l u d e a n a d d i t i o n a l t e r m w h i c h c a n c e l s the jump in ψ . S u c h a t e r m is g i v e n b y the s o l u t i o n d i s c u s s e d in s e c t i o n 23, w i t h k = ½ :

T h e c o n s t a n t C is to be c h o s e n so as to c a n c e l the d i s ­ c o n t i n u i t y . U s i n g the a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n of the h y p e r g e o - m e t r i c f u n c t i o n , t h i s p o t e n t i a l and its d e r i v a t i v e s c a n be

(8)

f i r s t a n d s e c o n d k i n d s . T h e o r i g i n of c o o r d i n a t e s is l o c a t e d w i t h r e s p e c t t o the c o r n e r as s h o w n in F i g . 3.7.

(9)

I n t r o d u c t i o n

As t h e l i n e a r i z e d t h e o r y o f s u p e r s o n i c f l o w a p p r o a c h e s f u l l d e v e l o p m e n t , t h e q u e s t i o n a r i s e s as to w h e t h e r m o r e e x a c t a p p r o x i m a t i o n s are p r a c t i c a l . I f v i s c o u s e f f e c t s a r e l a r g e , r e f i n e m e n t o f the p e r f e c t f l u i d s o l u t i o n is u s e l e s s . O t h e r w i s e , h o w e v e r , h i g h e r a p p r o x i m a t i o n s are k n o w n to y i e l d a c l o s e r a p p r o a c h to r e a l i t y . In i n t e r m e d i - a t e cases, a n i m p r o v e d s o l u t i o n is d e s i r a b l e in o r d e r to a s s e s s the r e l a t i v e e f f e c t s o f v i s c o s i t y a n d n o n - l i n e a r i t y .

T h e p r o t o t y p e o f a h i g h e r - o r d e r s o l u t i o n f o r s u p e r ­ s o n i c f l o w is B u s e m a n n ' s s e r i e s f o r the s u r f a c e p r e s s u r e in p l a n e f l ow. T h i s s i m p l e r e s u l t is o f c o n s i d e r a b l e v a l u e i n a n a l y z i n g s u p e r s o n i c a i r f o i l s e c t i o n s . T w o t e r m s o f the s e r i e s p r o v e s u f f i c i e n t f o r a l m o s t all r e q u i r e m e n t s ; the e x t e n s i o n to t h i r d a n d f o u r t h o r d e r is c h i e f l y o f a c a d e m i c i n t e r e s t .

(10)

I. T h e I t e r a t i o n P r o c e d u r e

1 . B a s i c A s s u m p t i o n s

T h e p r o b l e m to be c o n s i d e r e d is t h a t o f s t e a d y t h r e e - d i m e n s i o n a l s u p e r s o n i c f l o w p a s t o n e o r m o r e s l e n d e r bod i e s . As i n d i c a t e d in Fig. 1.1, t h e b o d i e s a r e a s s u m e d e i t h e r to be p o i n t e d o r to e x t e n d u p s t r e a m i n d e f i n i t e l y as c y l i n d e r s p a r a l l e l to the f r e e - s t r e a m d i r e c t i o n . W i n d a x e s a r e i n t r o

-Fig. 1.1. T h e P r o b l e m

duced, so t h a t f a r u p s t r e a m the f l o w is u n i f o r m a n d p a r a l l e l to t h e x - a x i s , w i t h v e l o c i t y U a n d M a c h n u m b e r M. F o r c o n v e n i e n c e , the o r i g i n is c h o s e n so t h a t v a r i a t i o n s in b o d y s h a p e o c c u r o n l y in the r i g h t h a l f p l a n e .

T h e b o d i e s a r e s l e n d e r , w h i c h m e a n s t h a t at a n y p o i n t the c o m p o n e n t o f U n o r m a l to the s u r f a c e is s m a l l c o m p a r e d w i t h U i t s e l f . T h e s y m b o l ϵ. w i l l be u s e d t h r o u g h o u t

(11)

b o d y w i l l be w r i t t e n as ϵ t i m e s a f u n c t i o n o f o r d e r u n i t y . U s e d in t h i s way , ϵ s e r v e s to d i s t i n g u i s h t e r m s o f v a r i o u s o r d e r s o f m a g n i t u d e .

It w i l l be a s s u m e d t h a t the f u l l l i n e a r i z e d s o l u t i o n to the p r o b l e m is a v a i l a b l e . T h e n the a i m o f t h i s i n v e s t i g a ­ t i o n is to p r o v i d e a s e c o n d a p p r o x i m a t i o n to t h e e x a c t n o n ­ l i n e a r s o l u t i o n . T h e l i n e a r i z e d s o l u t i o n is d e f i n e d as the r e s u l t o b t a i n e d b y k e e p i n g o n l y l i n e a r p e r t u r b a t i o n q u a n t i ­ ti e s i n t h e e q u a t i o n o f m o t i o n . S i m i l a r l y , the s e c o n d - o r d e r s o l u t i o n is the r e s u l t o f r e t a i n i n g s q u a r e s a n d p r o d u c t s of p e r t u r b a t i o n q u a n t i t i e s . In a d d i t i o n , h o w e v e r , c e r t a i n of the t r i p l e p r o d u c t s a r e in som e c a s e s f o u n d to be as i m p o r ­ t a n t as o n e o r m o r e d o u b l e p r o d u c t s , a n d are t h e r e f o r e al s o r e t a i n e d . It m a y be e m p h a s i z e d t h a t the s e c o n d - o r d e r s o l u ­ t i o n w i l l n o t g e n e r a l l y c o n s i s t s i m p l y o f t e r m s o f o r d e r ϵ a n d ϵ 2 a l t h o u g h t h i s is t h e c a s e f o r p l a n e f l ow. F o r e x a m p l e , the s e c o n d - o r d e r s o l u t i o n f o r f l o w p a s t a b o d y o f r e v o l u t i o n c o n t a i n s t e r m s as h i g h as ϵ 4 .

(12)

If a v e l o c i t y p o t e n t i a l Ω ex i s t s , the e q u a t i o n o f m o t i o n i n c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s is (Ref. 1 , eq. 39)

(1.1)

T h e l o c a l s p e e d o f s o u n d C is r e l a t e d to c . , its v a l u e in t h e u n i f o r m str e a m , by

(1.2)

A p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l Φ is n o w i n t r o d u c e d in the u s u a l w a y . F o r c o n v e n i e n c e , h o w e v e r , Φ is n o r m a l i z e d t h r o u g h d i v i s i o n by t h e f r e e - s t r e a m v e l o c i t y U. H e n c e the p e r t u r b a t i o n v e l o c i t y is the g r a d i e n t o f Φ m u l t i p l i e d b y U. T h e n

(1.3)

M u l t i p l y i n g t h e e q u a t i o n o f m o t i o n b y a n d i n t r o d u c i n g t h e p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l g i v e s , a f t e r so m e m a n i p u l a t i o n

(13)

w h e r e . T h i s is t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l e q u i v a l e n t o f e q u a t i o n (168) o f R e f . 1 . H e n c e f o r t h the n o t a t i o n

w i l l be u s e d .

3. S o l u t i o n b y I t e r a t i o n

T h e p e r t u r b a t i o n e q u a t i o n (1.4) is c o m p l e t e l y e q u i v a l e n t to the o r i g i n a l p o t e n t i a l e q u a t i o n (1.1). S i m p l i f y i n g

a s s u m p t i o n s m u s t t h e r e f o r e be i n t r o d u c e d in o r d e r to s o l v e it. If it is a s s u m e d t h a t s q u a r e s a n d p r o d u c t s o f the d e r i v ­ a t i v e s o f Ф c a n be n e g l e c t e d , the r i g h t - h a n d sid e o f

(1 .4) d i s a p p e a r s , l e a v i n g the w a v e e q u a t i o n

(1.5)

w h i c h is t h e b a s i s o f t h e l i n e a r i z e d t h e o r y . T h e l i n e a r i z e d s o l u t i o n w i l l h e n c e f o r t h be d e s i g n a t e d b y Φ(1) (and later, f o r c o n v e n i e n c e , b y Ф ).

M o r e e x a c t s o l u t i o n o f (1 .4) b y m e a n s o f i t e r a t i o n w a s f i r s t s u g g e s t e d by P r a n d t l (Ref. 2). T h e m e t h o d h a s b e e n

(14)

a r y c o n d i t i o n s , is t a k e n as the f i r s t a p p r o x i m a t i o n . This s o l u t i o n is t h e n s u b s t i t u t e d int o t h e r i g h t - h a n d si d e o f

(1.4), w h i c h b e c o m e s

(1.6)

w h e r e F is a k n o w n f u n c t i o n o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . T h i s is a g a i n a l i n e a r e q u a t i o n , the n o n - h o m o g e n e o u s w a v e e q u a t i o n . A s o l u t i o n Φ ( 2 ) , s u b j e c t to p r o p e r b o u n d a r y

c o n d i t i o n s , c a n be s o u g h t by s t a n d a r d m e t h o d s . The p r o c e d u r e c a n be r e p e a t e d by s u b s t i t u t i n g Φ(2) i n t o t h e r i g h t - h a n d s i d e a n d s o l v i n g a g a i n . C o n t i n u i n g t h i s p r o c e s s y i e l d s a s e q u e n c e o f s o l u t i o n s Φ ( n ) w h i c h u n d e r p r o p e r c o n d i t i o n s p r e s u m a b l y c o n v e r g e s to the e x a c t s o l u t i o n .

T h i s p r o c e d u r e b e a r s a s u p e r f i c i a l r e s e m b l a n c e to the P i c a r d p r o c e s s f o r h y p e r b o l i c e q u a t i o n s in t w o i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s (Ref. 6, v o l . II, p . 317) w i t h , h o w e v e r , a n e s s e n ­ t i a l d i f f e r e n c e . In the P i c a r d p r o c e s s , the c h a r a c t e r i s t i c l i n e s o f the d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a r e k n o w n at the o utset, s i n c e F d o e s n o t d e p e n d u p o n the h i g h e s t - o r d e r d e r i v a t i v e s . Here, o n the o t h e r hand, the c h a r a c t e r i s t i c s u r f a c e s (the M a c h c o n e s i n p h y s i c a l t e r m s ) a r e i n i t i a l l y u n k n o w n . B e c a u s e

(15)

s h o u l d be r e v i s e d at e a c h s t e p o f the i t e r a t i o n . E a c h st e p b u t t h e f i r s t w o u l d t h e n i n v o l v e e q u a t i o n s w i t h n o n - c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s . T h e s u b s o n i c c o u n t e r p a r t o f s u c h a p r o c e d u r e is k n o w n to c o n v e r g e u n d e r r e a s o n a b l e c o n d i t i o n s (Ref. 6, v o l. II, pp. 2 8 8 - 8 9 ) .

H o w e v e r , the p r o c e d u r e o u t l i n e d p r e v i o u s l y m a k e s no

p r o v i s i o n f o r s u c h r e v i s i o n . At e a c h s t a g e o f the i t e r a t i o n , the e q u a t i o n (1.6) h a s t h e o r i g i n a l c h a r a c t e r i s t i c s o f the u n d i s t u r b e d f l ow. As a r e s u l t , t h e e q u a t i o n h a s c o n s t a n t

c o e f f i c i e n t s , w h i c h g r e a t l y f a c i l i t a t e s s o l u t i o n . F o r t u n a t e l y , it w i l l b e f o u n d t h a t the p r o c e d u r e n e v e r t h e l e s s c o n v e r g e s

u n d e r c o n d i t i o n s o f c o n t i n u i t y w h i c h a r e s a t i s f i e d in m o s t c a s e s o f p r a c t i c a l i m p o r t a n c e .

4 . T h e S e c o n d - O r d e r I t e r a t i o n E q u a t i o n

H e n c e f o r t h , o n l y t h e f i r s t two s t e p s o f the i t e r a t i o n p r o c e s s w i l l be c o n s i d e r e d in d e t a i l . It is t h e n c o n v e n i e n t to r e g a r d the s e c o n d a p p r o x i m a t i o n as c o n s i s t i n g o f the

f i r s t a p p r o x i m a t i o n p l u s a s m a l l e r a d d i t i o n a l t e rm. H e n c e w e w r i t e

w h e r e (1.7)

(16)

(1.8)

S i n c e Φ s a t i s f i e s e q u a t i o n (1.5), the t e r m i n t h e r i g h t - h a n d s i d e o f (1.8) c a n be r e p l a c e d b y a n d the e q u a t i o n f o r φ b e c o m e s

(1.9)

(17)

(1.10)

H e r e the t r i p l e p r o d u c t s w h i c h m a y be i m p o r t a n t a r e g r o u p e d in the s e c o n d line.

The a d i a b a t i c e x p o n e n t γ w i l l be f o u n d to a p p e a r a l w a y s in the f o r m (γ + 1) and, i n fact, in the for m

It is t h e r e f o r e c o n v e n i e n t to i n t r o d u c e a s i n g l e s y m b o l for thi s c o m b i n a t i o n :

(1.11)

w h i c h w i l l be u s e d h e n c e f o r t h in p l a c e o f γ . M a k i n g this s u b s t i t u t i o n , the i t e r a t i o n e q u a t i o n b e c o m e s f i n a l l y

(1.12)

5. I t e r a t i o n E q u a t i o n in O t h e r C o o r d i n a t e s

In c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s e q u a t i o n (1.12) b e c o m e s

(18)

t r i p l e p r o d u c t s w h i c h w i l l be f o u n d to be n e g l i g i b l e .

F o r c o n i c a l f l o w s it is c o n v e n i e n t to i n t r o d u c e n o n - o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e s (x, t , θ) w h e r e

(1.14)

If the b o d y i t s e l f is c o n i c a l , t h e p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l is r e d u c e d to a f u n c t i o n o f two v a r i a b l e s (Ref. 8) by i n t r o d u c ­ i n g the c o n i c a l p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l

(1.15)

w i t h c o r r e s p o n d i n g d e f i n i t i o n s f o r a n d . The d e r i v a t i v e s a r e g i v e n by

(1.16)

(19)

1 . 1 7)

H e r e the g r o u p i n g o f t e r m s c o r r e s p o n d s to t h a t in (1.13).

6. A l t e r n a t e S o l u t i o n by P o w e r E x p a n s i o n

A n o t h e r m e t h o d o f s o l v i n g e q u a t i o n (1.4) b y s u c c e s s i v e a p p r o x i m a t i o n s is to a s s u m e t h a t the e x a c t s o l u t i o n can be e x p a n d e d in p o w e r s o f so m e s m a l l p a r a m e t e r λ . H e r e λ is r e l a t e d to the s l e n d e r n e s s p a r a m e t e r ϵ , b u t m a y be t a k e n e q u a l to it o n l y f o r p l a n e flow. (This ca s e is d i s ­ c u s s e d in Ref . 9, p . 158, a n d is t h e p r o c e d u r e a c t u a l l y f o l l o w e d in R e f s . 3, 4, 5a, a n d 5b.) T h u s the p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l is w r i t t e n as

(20)

i d e n t i c a l w i t h (1.5), so t h a t the two m e t h o d s a r e e q u i v a l e n t in t h e f i r s t a p p r o x i m a t i o n . H o w e v e r , the s e c o n d e q u a t i o n is n o t i d e n t i c a l w i t h (1.12), s i n c e no t r i p l e p r o d u c t s a p p e a r in the r i g h t - h a n d side. As m e n t i o n e d before, the t r i p l e

p r o d u c t s w i l l in s o m e c a ses be f o u n d to y i e l d t e r m s o f the s a m e m a g n i t u d e as t h o s e d u e to t h e d o u b l e p r o d u c t s , a n d

t h e r e f o r e i n c r e a s e the a c c u r a c y o f the s e c o n d a p p r o x i m a t i o n . C o n s e q u e n t l y , a l t h o u g h b o t h m e t h o d s m a y c o n v e r g e u n d e r p r o p e r c o n d i t i o n s , the i t e r a t i o n p r o c e d u r e g i v e s as good, a n d in s o m e c a s e s a b e t t e r , s e c o n d a p p r o x i m a t i o n .

7. B o u n d a r y C o n d i t i o n s

P h y s i c a l c o n s i d e r a t i o n s i n d i c a t e t h a t the flow s h o u l d s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

1. T h e r e s u l t a n t v e l o c i t y is e v e r y w h e r e t a n g e n t to the s u r f a c e o f the body.

2. A l l p e r t u r b a t i o n s v a n i s h i d e n t i c a l l y e v e r y w h e r e u p s t r e a m o f the p l a n e x = 0.

The t h e o r y o f h y p e r b o l i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s hows t h a t t h e s e c o n d i t i o n s are ju s t s u f f i c i e n t to d e t e r m i n e the s o l u t i o n . F o r s u p e r s o n i c flow, the e x a c t e q u a t i o n (1.4) a n d the v a r i o u s w a v e e q u a t i o n s b y w h i c h is a p p r o x i m a t e d

(1.5 a n d 1.6) a r e o f h y p e r b o l i c type, w i t h t h e s t r e a m w i s e c o o r d i n a t e x a s s u m i n g the r o l e o f a t i m e - l i k e v a r i a b l e

(21)

c o r r e s p o n d m a t h e m a t i c a l l y to the ca s e o f m i x e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s (Ref. 6, v o l . II, p . 1 7 2 ) . The r e q u i r e m e n t o f t a n g e n t f l o w i m p o s e s one c o n d i t i o n a l o n g t i m e - l i k e s u r f a c e s

(the s u r f a c e s o f the b o d i e s ) . The v a n i s h i n g o f p e r t u r b a ­ t i o n s u p s t r e a m i m p o s e s two m o r e c o n d i t i o n s a l o n g a s p a c e ­ lik e s u r f a c e -- t h a t Φ a n d Φ x v a n i s h o n the p l a n e x = 0. T h e s e t h r e e c o n d i t i o n s -- two p r e s c r i b e d o n a s p a c e ­ l i k e s u r f a c e a n d o n e o n a t i m e - l i k e s u r f a c e — l e a d to a d e t e r m i n a t e s o l u t i o n f o r a s e c o n d - o r d e r h y p e r b o l i c e q u a t i o n

(see Ref . 7, p . 85).

T h e t a n g e n c y c o n d i t i o n m a y be w r i t t e n

w h e r e Φ c is the c r o s s - w i n d c o m p o n e n t o f the n o r m a l v e l o c ­ i t y at the s u r f a c e o f t h e body, g i v e n in v e c t o r n o t a t i o n by

. Φ n i f Φ n is the n o r m a l d e r i v a t i v e o f Ф . In p l a n e f l o w Φ c = Φ y a n d i n a x i a l l y - s y m m e t r i c f l o w

Φ c = Φ r .

A t t h e n t h s t e p o f the i t e r a t i o n , t h i s c o n d i t i o n b e c o m e s

(22)

c o n d i t i o n s are

(1.18a) (1.18b)

N o t e t h a t the f i r s t o f t h e s e c a n n o t be u s e d to e l i m i n a t e

Φ c f r o m the second, s i n c e it m a y h o l d o n l y to f i r s t order, n o t to s e c o n d o r d e r .

A p l a n a r s y s t e m is d e f i n e d to be a s y s t e m f o r w h i c h the f i r s t - o r d e r t a n g e n c y c o n d i t i o n c a n be a p p l i e d at a p l a n e p a r a l l e l to the f r e e s tream, r a t h e r t h a n o n the s u r f a c e o f the b o d y (Ref. 10, p . 52). T h i n f l a t w i n g s are p l a n a r s y s ­ tems, w h i l e s l e n d e r p o i n t e d b o d i e s o f r e v o l u t i o n a r e not. F o r p l a n a r s y s t e m s , the s e c o n d - o r d e r t a n g e n c y c o n d i t i o n can a l s o be s a t i s f i e d a t the p l a n e , p r o v i d e d t h a t the v a l u e o f

Φ c is c a l c u l a t e d at t h e s u r f a c e o f t h e b o d y ( Ф x m a y be c a l c u l a t e d a t e i t h e r p l a c e ) . T h a t is, f o r p l a n a r s y s t e m s the t a n g e n c y c o n d i t i o n s are

(1.19a) (1.19b)

C o r r e s p o n d i n g r e s u l t s h o l d f o r q u a s i - c y l i n d r i c a l b odies,

(23)

t h a t the t a n g e n c y c o n d i t i o n s c a n be s a t i s f i e d o n a c i r c u l a r c y l i n d e r p a r a l l e l to the f r e e str e a m .

T h e r e m a i n i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s are

T h e s e c o n d i t i o n s a r e s a t i s f i e d b y the f i r s t - o r d e r s o l u t i o n a l o n e , a n d m u s t t h e r e f o r e be s a t i s f i e d a l s o by the a d d i t i o n ­ al s e c o n d - o r d e r p o t e n t i a l a l o n e . T h u s

(1.20a) (1.20b)

It s h o u l d be u n d e r s t o o d t h a t the b o u n d a r y c o n d i t i o n s (1.18) or (1.19) a n d (1.20) n e e d be s a t i s f i e d o n l y to the o r d e r o f t e r m s w h i c h a r e b e i n g r e t a i n e d i n a n y g i v e n a p p r o x i m a t i o n . In p r a c t i c e , h o w e v e r , e q u a t i o n (1.20) w i l l u s u a l l y be s a t i s ­ f i e d e x a c t l y i n e a c h s t e p o f the i t e r a t i o n .

8. D e t e r m i n a t i o n o f P r e s s u r e

W h e n the p o t e n t i a l f i e l d is k n o w n , a n d h e n c e the v e l o c ­ i t y q at e v e r y p oint, t h e p r e s s u r e c o e f f i c i e n t c a n be c a l c u l a t e d f r o m t h e B e r n o u l l i e q u a t i o n

(24)

the s e c o n d a p p r o x i m a t i o n , s i n c e c h a n g e s i n e n t r o p y w i l l be f o u n d to i n t r o d u c e o n l y t e r m s o f o r d e r s n e g l e c t e d t h e r e i n .

It is the p r a c t i c e in l i n e a r i z e d t h e o r y to l i n e a r i z e als o the p r e s s u r e e q u a t i o n f o r t h e sa k e o f c o n s i s t e n c y . If

(u , v, w ) a r e the p e r t u r b a t i o n v e l o c i t y c o m p o n e n t s in a n y o r t h o g o n a l c o o r d i n a t e sy s t e m , u b e i n g d i r e c t e d a l o n g the s t r e a m w i s e x - a x i s , t h e n

S u b s t i t u t i n g i n t o (1.21) a n d e x p a n d i n g i n a s c e n d i n g p o w e r s o f the p e r t u r b a t i o n v e l o c i t i e s g i v e s

(1.22)

In l i n e a r i z e d t h e o r y o n l y the f i r s t t e r m is o r d i n a r i l y r e ­ t a i n e d . Th i s is s a t i s f a c t o r y f o r p l a n e f l o w o r f l o w p a s t p l a n a r s y s t e m s , s i n c e the c o n t r i b u t i o n o f the r e m a i n i n g t e r m s is t r u l y o f h i g h e r o r d e r . In fact, f o r p l a n e f l o w

p a s t a s i n g l e b o d y it h a p p e n s t h a t the n e x t t w o t e r m s c a n c e l . H o w e v e r , f o r s l e n d e r b o d i e s s u c h as a cone, o r d e r s o f m a g n i ­ tud e a r e n o t so c l e a r l y d i s t i n g u i s h e d . B u s e m a n n s u g g e s t s

(25)

thi s v i e w is s u p p o r t e d b y L i g h t h i l l (Ref. 11). B u t for the sak e o f c o n s i s t e n c y it m i g h t s e e m l o g i c a l to r e t a i n the t h i r d term, w h i c h a l s o i n v o l v e s s q u a r e s o f p e r t u r b a t i o n q u a n t i t i e s . H a v i n g g o n e t h i s far, it m a y be s i m p l e r to u s e the e x a c t r e l a t i o n (1.21).

E a c h o f t h e s e f o u r p o s s i b i l i t i e s is s h o w n in Fig. 1.2 in c o m p a r i s o n w i t h the e x a c t s o l u t i o n (Ref. 12) f o r f l o w p a s t a co n e o f f i v e d e g r e e s e m i - v e r t e x a n g l e . T h e s e r i e s

(1.22) is s e e n to a l t e r n a t e i n thi s case. It c o n v e r g e s so slowly, h o w e v e r , t h a t l i n e a r i z i n g the p r e s s u r e r e l a t i o n ( c urve 1) i n t r o d u c e s m u c h g r e a t e r e r r o r s t h a n l i n e a r i z i n g o n l y the e q u a t i o n o f m o t i o n ( curve 4). E v e n i f one o r b o t h o f the q u a d r a t i c t e r m s a r e r e t a i n e d ( c u r v e 2 or 3) the s e r i e s c o n t r i b u t e s d i s c r e p a n c i e s n e a r l y as g r e a t as t h o s e due

d i r e c t l y to n o n - l i n e a r i t y .

T h e p o i n t o f v i e w to be a d o p t e d h e r e is t h a t c a l c u l a t i n g t h e v e l o c i t i e s a n d c a l c u l a t i n g t h e p r e s s u r e a r e two e s s e n ­ t i a l l y d i s t i n c t o p e r a t i o n s . E a c h s h o u l d be d o n e as a c c u r a t e ­ l y as p r a c t i c a b l e . L i n e a r i z a t i o n m a y be n e c e s s a r y in o r d e r to s o l v e f o r t h e v e l o c i t i e s , b u t the p r e s s u r e r e l a t i o n n e e d n o t t h e n be l i n e a r i z e d s i m p l y f o r t h e s a k e o f c o n s i s t e n c y . F o r it m a y h a p p e n t h a t t h e e r r o r s t h u s i n t r o d u c e d are g r e a t e r t h a n t h o s e w h i c h r e s u l t f r o m t h e o r i g i n a l l i n e a r i z a t i o n .

(26)

F i g . 1 . 2 . C o m p a r i s o n o f F i r s t - o r d e r

S o l u t i o n s f o r 5 ° C o n e U s i n g

(27)

s e c o n d a p p r o x i m a t i o n t h a t it is u s u a l l y s i m p l e r to u s e the e x a c t p r e s s u r e r e l a t i o n .

F o r s o m e p u r p o s e s , h o w e v e r , it is d e s i r a b l e to h a v e a s i m p l e e x p r e s s i o n f o r the p r e s s u r e w h i c h d o e s n o t i n v o l v e

- p o w e r s . A r r a n g i n g the t e r m s o f e q u a t i o n (1.22) in d e s c e n d i n g o r d e r o f m a g n i t u d e g i v e s

(1.23)

(28)

II. S o m e S i m p l e S o l u t i o n s

I n t h i s c h a p t e r s e v e r a l s i m p l e s o l u t i o n s o f the s e c o n d - o r d e r i t e r a t i o n e q u a t i o n w i l l be i n v e s t i g a t e d in d e t a i l .

T h i s w i l l p e r m i t the n a t u r e o f the i t e r a t i o n p r o c e s s to be a n a l y z e d , p a r t i c u l a r l y w i t h r e g a r d to its c o n v e r g e n c e .

9. F l o w P a s t a S l i g h t l y C u r v e d W a l l

C o n s i d e r f l o w p a s t a p l a n e w a l l w h i c h at some p o i n t b e g i n s to d e v i a t e s l i g h t l y f r o m a p l a n e (Fig. 2 . 1 ) . The w a l l c a n be r e p r e s e n t e d by

(2.1)

w h e r e ϵ is a p a r a m e t e r s m a l l c o m p a r e d w i t h u n i t y , a n d g ( x ) is a f u n c t i o n o f o r d e r u n i t y w h i c h v a n i s h e s f o r

Fig. 2 . 1 . F l o w P a s t a C u r v e d W a l l

(29)

T h i s is a p l a n a r sys t e m , so t h a t a c c o r d i n g to S e c t i o n 7 b o t h the f i r s t - a n d s e c o n d - o r d e r t a n g e n c y c o n d i t i o n s m a y be s a t i s f i e d at t h e p l a n e y = 0. T h e f i r s t - o r d e r p r o b l e m is t h e n g i v e n b y (1.5), (1.19a), a n d (1.20a):

(2.2)

The s o l u t i o n is

(2.3)

The i t e r a t i o n e q u a t i o n (1.12) f o r the a d d i t i o n a l s e c o n d - o r d e r p o t e n t i a l r e d u c e s to

(2.4a)

The v a l u e o f Φc = Φy o n the s u r f a c e o f the w a l l is

(30)

(2.4b)

B y m e a n s o f the i m p u l s e m e t h o d (Ref. 6, vol. II, p . 164) it c a n be s h o w n t h a t the s o l u t i o n o f the p r o b l e m

(2.5)

is g i v e n by

(2.6)

U s i n g t h i s r e s u l t , a n d i n t e g r a t i n g by p a r t s , u s i n g the fact t h a t g(x) v a n i s h e s i d e n t i c a l l y f o r x ≤ 0, the s o l u t i o n o f e q u a t i o n s (2.4) is f o u n d to be

(2.7)

A d d i n g Φ f r o m (2.3) g i v e s t h e c o m p l e t e s e c o n d - o r d e r p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l

(31)

O n the s u r f a c e o f t h e w a l l the s t r e a m w i s e v e l o c i t y p e r t u r b a t i o n is

T h e p r e s s u r e c o e f f i c i e n t at the w a l l c a n n o w be c a l c u l a t e d f r o m (1.23) w h i c h , u p o n r e p l a c i n g N b y its v a l u e f r o m

(1.11), g i v e s

(2.9)

T h i s is the w e l l - k n o w n r e s u l t o f B u s e m a n n (Ref. 13). To s e c o n d order, the s u r f a c e p r e s s u r e c o e f f i c i e n t d e p e n d s o n l y u p o n the l o c a l slope.

10. T h e R o l e o f t h e C h a r a c t e r i s t i c s

In S e c t i o n 3 it w a s p o i n t e d o u t t h a t b e c a u s e o f the u n d e r l y i n g s i g n i f i c a n c e o f the c h a r a c t e r i s t i c s u r f a c e s for s o l u t i o n s o f h y p e r b o l i c e q u a t i o n s , it m i g h t be e x p e c t e d tha t the c h a r a c t e r i s t i c s w o u l d h a v e to be r e v i s e d s u c c e s s i v e l y at e a c h s t a g e o f t h e i t e r a t i o n . H o w e v e r , a n i t e r a t i o n p r o ­ ces s w a s c h o s e n w h i c h p e r m i t s no s u c h r e v i s i o n . It is t h e r e ­ f o r e p e r t i n e n t to i n q u i r e in th i s s i m p l e s o l u t i o n w h a t rol e h a s b e e n p l a y e d b y the o r i g i n a l a n d the r e v i s e d c h a r a c t e r i s ­ t i c s .

(32)

(2.10)

T h e s e a r e the d o w n s t r e a m M a c h l i n e s o f the u n d i s t u r b e d flow, a n d a r e a l s o c h a r a c t e r i s t i c s o f e q u a t i o n (1.5) in the m a t h e ­ m a t i c a l s e n s e (Ref. 6, vol. II, c h ap. 5; Ref . 7, chap. II).

It c a n r e a d i l y be s h o w n t h a t i f the f i r s t - o r d e r s t r e a m - w i s e p e r t u r b a t i o n v e l o c i t y a t a n y p o i n t i n a f l o w is u ( 1 ) , t h e n t h e r e v i s e d l o c a l v a l u e s o f M a c h n u m b e r a n d β are g i v e n by

(2.11)

U s i n g t h i s r e s u l t t o g e t h e r w i t h the f i r s t - o r d e r s o l u t i o n (2.3), the r e v i s e d d o w n s t r e a m M a c h l i n e s are f o u n d to hav e the s l o p e

(2.12)

(33)

P h y s i c a l l y , the c h a r a c t e r i s t i c s a r e l i n e s a l o n g w h i c h d i s c o n t i n u i t i e s i n v e l o c i t y d e r i v a t i v e s are p r o p a g a t e d , and this d e f i n i t i o n is c o m p l e t e l y e q u i v a l e n t to the m a t h e m a t i c a l one (Ref. 6, vol. II, p . 2 9 7 ) . T h e r e f o r e in the s e c o n d -

o r d e r s o l u t i o n d e r i v e d a b o v e , d i s c o n t i n u i t i e s in a c c e l e r a t i o n m u s t o c c u r a l o n g the o r i g i n a l c h a r a c t e r i s t i c s .

S u p p o s e , h o w e v e r , t h a t no s u c h d i s c o n t i n u i t i e s o ccur. F o r f l o w p a s t a s i n g l e b o d y t h e d o w n s t r e a m c h a r a c t e r i s t i c s are a l s o l i n e s a l o n g w h i c h t h e v e l o c i t y is c o n s t a n t , p r o v i d ­ ed t h a t s h o c k w a v e s do n o t a p p e a r . S e t t i n g

it is s e e n t h a t the v e l o c i t y is c o n s t a n t if

F o r the s e c o n d a p p r o x i m a t i o n (2.8) the v e l o c i t y is c o n s t a n t a l o n g l i n e s o f s l o p e

(34)

in t h e n e x t s e c t i o n .

T h e c o n n e c t i o n b e t w e e n the o r i g i n a l a n d r e v i s e d c h a r a c ­ t e r i s t i c s c a n be i n t e r p r e t e d p h y s i c a l l y . T h e r i g h t - h a n d s i d e o f the i t e r a t i o n e q u a t i o n (2.4a) m a y be r e g a r d e d as due to s u p e r s o n i c s o u r c e s d i s t r i b u t e d t h r o u g h o u t the f l o w field. T h e i n f l u e n c e o f t h i s s o u r c e d i s t r i b u t i o n s p r e a d s d o w n s t r e a m a l o n g b o t h f a m i l i e s o f o r i g i n a l c h a r a c t e r i s t i c s . The r e s u l t ­ i n g v e l o c i t y c h a n g e s a r e jus t s u c h t h a t the s e c o n d - o r d e r v e l o c i t i e s b e c o m e c o n s t a n t a l o n g the r e v i s e d r a t h e r t h a n the o r i g i n a l c h a r a c t e r i s t i c s .

F i n a l l y , it is i n t e r e s t i n g to n o t e t h a t the s e c o n d - o r d e r p o t e n t i a l is c o n s t a n t o n l i n e s w h i c h b i s e c t the o r i g i n ­ al a n d r e v i s e d c h a r a c t e r i s t i c s . F o r s e t t i n g

Φ(2)

is f o u n d to be c o n s t a n t a l o n g l i n e s o f s l ope

(2.13)

11. F l o w P a s t a C o r n e r a n d a P a r a b o l i c B e n d

(35)

D e n o t i n g the t a n g e n t o f the d e f l e c t i o n a n g l e by ϵ , p o s i t i v e f o r c o m p r e s s i o n (Fig. 2.2), t h e f u n c t i o n g ( x )

Fig. 2 .2. F l o w P a s t a C o r n e r

a p p e a r i n g i n (2.1) is

(2.14)

F r o m (2.8) the s e c o n d - o r d e r p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l is f o u n d to be

(2.15)

to t h e r i g h t o f the l i n e x = y, a n d zero to the l e ft. C o n s e q u e n t l y i n e i t h e r c o m p r e s s i o n (ϵ > 0 ) o r e x p a n s i o n

(36)

t e d b y a n a l y t i c a l l y c o n t i n u i n g the p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l u p s t r e a m u n t i l it c a n be j o i n e d c o n t i n u o u s l y to the f r e e - s t r e a m p o t e n t i a l . (This is p e r m i s s i b l e s i n c e the l i n e o f d i s c o n t i n u i t y is n o t a c t u a l l y a c h a r a c t e r i s t i c . ) F r o m the r e s u l t o f e q u a t i o n (2.13) t h e j u n c t u r e is s e e n to o c c u r a l o n g the l i n e f r o m the c o r n e r w h i c h b i s e c t s t h e u p s t r e a m

Fig. 2.3 . M a c h L i n e s B e f o r e a n d A f t e r A d j u s t m e n t o f P o t e n t i a l D i s c o n t i n u i t y

a n d d o w n s t r e a m M a c h d i r e c t i o n s , as i n d i c a t e d i n Fig. 2.3. T h e a d j u s t e d d i s c o n t i n u i t y c o r r e s p o n d s to a s h o c k w a v e , for it is k n o w n t h a t a n o b l i q u e s h o c k b i s e c t s the M a c h d i r e c ­ t i o n s to f i r s t o r d e r (Ref. 7, p . 3 5 4). In t h e cas e o f e x p a n s i o n , thi s t y p e o f c o r r e c t i o n c a n n o t be j u s t i f i e d , s i n c e it w o u l d i n v o l v e c o n t i n u a t i o n o f the f r e e - s t r e a m p o ­ t e n t i a l a c r o s s a t r u e c h a r a c t e r i s t i c . I n s t e a d , a P r a n d t l - M e y e r f a n m u s t be i n s e r t e d .

(37)

c o r r e c t l y e v e r y w h e r e o n the s u r f a c e o f the w a l l .

It is e n l i g h t e n i n g to o b s e r v e t h a t the a l t e r n a t i v e m e t h o d o f i t e r a t i o n , i n w h i c h the c h a r a c t e r i s t i c s a r e s u c ­

c e s s i v e l y r e v i s e d , f a i l s to c o n v e r g e in the sa m e re g i o n .

Fig. 2.4. S e c o n d - O r d e r F l o w P a s t a C o r n e r U s i n g R e v i s e d C h a r a c t e r i s t i c s

T h e p o t e n t i a l is d o u b l y v a l u e d o v e r a f a n - s h a p e d r e g i o n in the ca s e o f c o m p r e s s i o n , a n d is l e f t u n d e f i n e d o v e r a s i m i l a r r e g i o n i n the case o f e x p a n s i o n (Fig. 2 . 4 ) . The s a m e a r t i ­ f i c i a l c o r r e c t i o n s a r e n e c e s s a r y to c o m p l e t e the s o l u t i o n .

C o n s i d e r n e x t f l o w p a s t a p a r a b o l i c b e n d w h i c h is r e p r e ­ s e n t e d by

(2.16)

F r o m (2.8) the s e c o n d - o r d e r p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l is f o u n d to be

(2.17)

(38)

x = y, w h i c h i n t h i s c a s e h a p p e n s to be a l s o a r e v i s e d c h a r a c t e r i s t i c . H o w e v e r , a n e w c o m p l i c a t i o n a r i s e s . It is

Fig. 2.5. F i r s t - a n d S e c o n d - O r d e r F l o w P a s t a P a r a b o l i c B e n d

w e l l k n o w n t h a t in the e x a c t s o l u t i o n f o r the c o m p r e s s i v e case, the c h a r a c t e r i s t i c s f o r m a n e n v e l o p e , as s h o w n i n Fig. 2.5. I n s i d e the c u s p t h e p o t e n t i a l is t r i p l e - v a l u e d (Ref. 7, p . 1 1 1 ), so t h a t a s h o c k w a v e m u s t be i n s e r t e d . T h i s e n v e l o p e m u s t a l s o a r i s e i n the s e c o n d a p p r o x i m a t i o n , s i nce the c h a r a c t e r i s t i c s a r e no l o n g e r p a r a l l e l . H o w e v e r , the s e c o n d - o r d e r p o t e n t i a l g i v e n b y (2.17) is s i n g l e - v a l u e d , so t h a t it c a n n o t p r e d i c t the f o r m a t i o n o f a n e n v e l o p e . A g a i n the i t e r a t i o n p r o c e s s f a i l s in a p a r t o f t h e f l o w f ield.

It c a n be s e e n t h a t the a l t e r n a t i v e i t e r a t i o n p r o c e s s , u s i n g r e v i s e d c h a r a c t e r i s t i c s , w i l l p r o d u c e a n e n v e l o p e .

12. C o n v e r g e n c e f o r P l a n e F l o w

(39)

con-v e r g e n c e h a con-v e n o t b e e n o b t a i n e d , e con-v e n i n the cas e o f p l a n e f l ow. H o w e v e r , the a b o v e e x a m p l e s s u g g e s t c e r t a i n c o n j e c ­ t u r e s r e g a r d i n g c o n v e r g e n c e . T h e s e w i l l be stated, a n d so m e a r g u m e n t s f o r t h e i r p l a u s i b i l i t y a d v a n c e d .

F o r f l o w p a s t a s l i g h t l y c u r v e d p l a n e w a l l r e p r e s e n t e d by y = ϵ g (x ) the s o l u t i o n o b t a i n e d b y i t e r a t i o n u s i n g the r e v i s e d c h a r a c t e r i s t i c s is c o n j e c t u r e d to c o n v e r g e in a n y b o u n d e d r e g i o n a d j a c e n t to the w a l l p r o v i d e d that

(a) ϵ is s u f f i c i e n t l y s m a l l

(b) g(x) is c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e .

If g(x) h a s o n l y a p i e c e w i s e c o n t i n u o u s d e r i v a t i v e , the c o n v e r g e n c e h o l d s e x c e p t p o s s i b l y in f a n - s h a p e d r e g i o n s s p r i n g i n g f r o m e a c h cor n e r , w h i c h lie n e a r the o r i g i n a l M a c h lin e a n d s u b t e n d a n a n g l e o f o r d e r ϵ .

F o r the i t e r a t i o n p r o c e s s a c t u a l l y a d o p t e d , i n w h i c h the c h a r a c t e r i s t i c s are n o t r e v i s e d , the f i r s t n s t e p s a r e c o n j e c t u r e d to f o r m p a r t o f a c o n v e r g e n t p r o c e s s p r o ­ v i d e d t h a t

(a) ϵ is s u f f i c i e n t l y s m a l l

( b ' ) g(x) h a s c o n t i n u o u s d e r i v a t i v e s u p to (n-1 )st o r d e r if the p o t e n t i a l is r e q u i r e d ; n t h o r d e r i f the v e l o c i t i e s a r e r e q u i r e d .

I f ( b ') is s a t i s f i e d o n l y p i e c e w i s e , the r e s u l t h o l d s e x c e p t p o s s i b l y in f a n - s h a p e d r e g i o n s s p r i n g i n g f r o m e a c h c o r n e r .

(40)

s h o w t h a t c o n d i t i o n (b) is n e c e s s a r y .

I f t h e s u f f i c i e n c y o f t h e s e two c o n d i t i o n s is a s s u m e d , t h e i r c o n n e c t i o n w i t h c o n d i t i o n ( b ' ) in the s e c o n d case can be i l l u s t r a t e d b y a n a l o g y w i t h a m a t h e m a t i c a l m o d e l * w h i c h r e t a i n s t h e e s s e n t i a l d i f f e r e n c e b e t w e e n the two i t e r a t i o n p r o c e s s e s — n a m e l y , t h a t t h e c o r r e c t c h a r a c t e r i s t i c s are n o t u s e d in the m e t h o d a c t u a l l y a d o p t e d . C o n s i d e r the f i rst- o r d e r p r o b l e m g i v e n b y (2.2):

w h e r e w e h a v e t a k e n β = 1 f o r c o n v e n i e n c e . The s o l u t i o n (2.3) w a s

N o w s u p p o s e w e a t t e m p t to s o l v e t h i s p r o b l e m u s i n g c h a r a c ­ t e r i s t i c s w h i c h d i f f e r f r o m t h e t r u e c h a r a c t e r i s t i c s b y 0 (ϵ ) . T h u s w e c o n s i d e r t h e e q u i v a l e n t p r o b l e m

(2.18)

*

(41)

a n d s o l v e b y i t e r a t i o n . In the f i r s t a p p r o x i m a t i o n the r i g h t - h a n d s i d e can be n e g l e c t e d , so t h a t

w h i c h h a s the s o l u t i o n , s u b j e c t to t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s

S u b s t i t u t i n g t h i s in t o t h e r i g h t - h a n d si d e o f (2.18) g i v e s the i t e r a t i o n e q u a t i o n f o r the s e c o n d a p p r o x i m a t i o n :

U s i n g the r e s u l t o f e q u a t i o n s (2.5) a n d (2.6), the s o l u t i o n s u b j e c t to t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s is f o u n d to be

(42)

C o n s i d e r f l o w p a s t a s l e n d e r con e o f s e m i - v e r t e x a n g l e t a n -1 ϵ (Fig. 2.6). The f l o w is c o n i c a l a n d a x i a l l y s y m m e t

-Fig. 2.6. F l o w P a s t a Cone

ric, so t h a t the i t e r a t i o n e q u a t i o n is g i v e n b y (1.17) w i t h θ - d e r i v a t i v e s o m i t t e d . C o n i c a l p o t e n t i a l s w i l l be u s e d e x c l u s i v e l y , so t h a t for e a s e o f n o t a t i o n the b a r s c a n be o m i t t e d , w i t h the u n d e r s t a n d i n g t h a t v e l o c i t y c o m p o n e n t s m u s t be c a l c u l a t e d f r o m (1.16). I n c l u d i n g the b o u n d a r y

c o n d i t i o n s (1.18a) a n d (1.19a), the f i r s t - o r d e r p r o b l e m is

(2.19)

T h e e q u a t i o n c a n be i m m e d i a t e l y i n t e g r a t e d to g i v e the w e l l - k n o w n r e s u l t

(2.20)

(43)

M a c h con e ( 0 ≤ t ≤ 1 ). T h e t a n g e n c y c o n d i t i o n h a s b e e n s a t i s f i e d o n l y to the d e g r e e o f a p p r o x i m a t i o n i n d i c a t e d in

(2.20). A t t h e M a c h co n e ( t = 1 ) the v e l o c i t y p e r t u r b a ­ t i o n s v a n i s h , so t h a t no s h o c k w a v e d e f l e c t i o n is p r e d i c t e d

(Ref. 7, p . 4 0 3 ) .

S u b s t i t u t i n g t h i s f i r s t a p p r o x i m a t i o n into the i t e r a t i o n e q u a t i o n (1.17) g i v e s

(2.21a)

a n d f r o m (1.18b) a n d (1.19b) the c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s are

(2.21b)

N o w (2.21a) is a l i n e a r f i r s t - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r φ t , a n d c a n be s o l v e d u s i n g the i n t e g r a t i n g f a c t o r

. The v a r i o u s i n t e g r a l s e n c o u n t e r e d c a n i n v a r i a b l y be t r e a t e d b y i n t e g r a t i n g by p a r t s one o r m o r e t i m e s . I n t e ­ g r a t i n g a g a i n g i v e s

(2.22)

(44)

s t r e a m flow. T h e n the c o m p l e t e c o n i c a l s e c o n d - o r d e r p e r ­ t u r b a t i o n p o t e n t i a l is

(2.23)

a n d f r o m (1.16) the s t r e a m w i s e a n d r a d i a l v e l o c i t y p e r t u r ­ b a t i o n s a r e

(2.24)

The c o n s t a n t C m u s t be a d j u s t e d so as to s a t i s f y the t a n g e n c y c o n d i t i o n . In a c t u a l c o m p u t a t i o n it is e a s i e r to a d j u s t C n u m e r i c a l l y in e x a c t l y t h i s f a s h i o n , r a t h e r t h a n to c a l c u l a t e it f r o m the c u m b e r s o m e e x p r e s s i o n w h i c h c o u l d be w r i t t e n d o w n . T h e p r e s s u r e c o e f f i c i e n t at a n y p o i n t can t h e n be c a l c u l a t e d f r o m (1.21).

(45)

the cone ( t = β ϵ ). A c t u a l l y it a l s o c o n t r i b u t e s a s e c o n d term, w h i c h h a s b e e n n e g l e c t e d s i n c e it is at m o s t o f o r d e r ϵ 6 sech-1β ϵ . It c a n a l s o be v e r i f i e d t h a t the o t h e r t r i p l e p r o d u c t s , w h o s e f o r m is i n d i c a t e d i n the l a s t two l i n e s o f

(1.17), a r e in f a c t n e g l i g i b l e , s i n c e t h e y c o n t r i b u t e at m o s t t e r m s o f o r d e r ϵ6(sech-1βϵ)2. C o n s i d e r a t i o n o f a f u r t h e r i t e r a t i o n i n d i c a t e s t h a t a t h i r d a p p r o x i m a t i o n w o u l d a d d t e r m s no g r e a t e r t h a n ε6(sech-1βϵ)3, w h i c h is g r e a t e r t h a n the t e r m s jus t n e g l e c t e d .

The s e c o n d - o r d e r r e s u l t f o r s u r f a c e p r e s s u r e c o e f f i ­ c i e n t is c o m p a r e d i n Fig. 2 . 7 w i t h the e x a c t s o l u t i o n (Ref. 12) f o r c o n e s o f five, ten, a n d f i f t e e n d e g r e e s e m i - v e r t e x a n g l e s . The u s u a l f i r s t - o r d e r r e s u l t s b a s e d u p o n one a n d t w o t e r m s o f the s e r i e s f o r the p r e s s u r e c o e f f i c i e n t (1.23) a r e a l s o s h o w n f o r c o m p a r i s o n . T h e s e c o n d - o r d e r s o l u t i o n is s e e n to p r o v i d e a m u c h b e t t e r a p p r o x i m a t i o n o v e r a u s e f u l r a n g e o f M a c h n u m b e r . It is c l e a r l y n o t s u i t a b l e f o r v e r y h i g h M a c h n u m b e r s , f o r the t e r m s in (2.22) b e c o m e m e a n i n g l e s s w h e n the M a c h a n g l e is s m a l l e r t h a n the con e a n g l e .

(46)

com-F i g . 2 . 7 . C o m p a r i s o n o f V a r i o u s A p p r o x i m a t i o n s f o r P r e s s u r e o n a

(47)

F i g . 2 . 7 . C o n t i n u e d .

(48)

F i g . 2 . 7 . C o n c l u d e d .

(49)

p l e t e l y s u b s o n i c b e h i n d the s h o c k w a v e u n t i l M = 1.1230, a n d b e c o m e s c o m p l e t e l y s u p e r s o n i c at M = 1 . 2 1 8 7 . W i t h i n t h i s r a n g e , t h e v a r i o u s d e t e r m i n a t i o n s o f s u r f a c e p r e s s u r e c o e f f i c i e n t a r e as follows:

M a c h N u m b e r 1 . 1 3 8 2 1 . 1 9 1 6 1 . 2 1 8 6

E x a c t V a l u e .35834 .31302 .29996

S e c o n d - O r d e r R e s u l t .3 4 2 1 6 .31350 . 3 0289

1 s t - O r d e r , 1 T e r m o f (1.23) .37615 .35093 .34058 1 s t - O r d e r , 2 T e r m s o f (1.23) .30435 .27914 .26879

14. S e r i e s f o r S u r f a c e P r e s s u r e C o e f f i c i e n t

F o r som e p u r p o s e s it m a y be d e s i r a b l e to d e v e l o p a

s e r i e s e x p a n s i o n f o r the p r e s s u r e c o e f f i c i e n t at t h e s u r f a c e o f the cone. T h i s c a n be a c h i e v e d by e x p a n d i n g in p o w e r s o f t a n d log 2/t f o r s m a l l t , u s i n g the

e x p a n s i o n

(2.25)

F r o m the t a n g e n c y c o n d i t i o n (2.21b) t h e c o n s t a n t C c a n be s h o w n to be

(2.26)

(50)

(2.27)

T h e n f r o m (1.23) the s u r f a c e p r e s s u r e c o e f f i c i e n t is, if N is r e p l a c e d b y its v a l u e f r o m (1.11)

(2.28)

T h i s r e s u l t w a s o b t a i n e d by B r o d e r i c k (Ref. 14) u s i n g a m e t h o d w h i c h w i l l be d i s c u s s e d in S e c t i o n 21.

T h i s s e r i e s is c o m p a r e d w i t h the p r e v i o u s f o r m o f the s e c o n d - o r d e r s o l u t i o n in Fig. 2.8. F o r the fi v e d e g r e e cone, the s e r i e s a g r e e s w i t h the e x a c t s o l u t i o n o v e r a c o n s i d e r ­ a b l y w i d e r r a n g e o f M a c h n u m b e r t h a n d o e s the o r i g i n a l form, but t h i s m u s t be c o n s i d e r e d a c c i d e n t a l . F o r the l a r g e r

cones, t h e e x p a n s i o n in s e r i e s is s e e n to h a v e r e d u c e d the a c c u r a c y , so t h a t f o r t h e f i f t e e n d e g r e e cone it r e p r e s e n t s no i m p r o v e m e n t o v e r the f i r s t - o r d e r s o l u t i o n . The r e a s o n m u s t be t h a t t h e i t e r a t i o n p r o c e s s i t s e l f c o n v e r g e s m o r e

(51)
(52)

F i g . 2 . 8 . C o n t i n u e d .

(53)

F i g . 2 . 8 . C o n c l u d e d

(54)

15. T h e S h o c k W a v e A n g l e

T h e s o l u t i o n f o r p l a n e f l o w p a s t a c o r n e r ( S e c t i o n 11) s u g g e s t s th a t t h e s e c o n d - o r d e r s o l u t i o n f o r the con e m a y f a i l to c o n v e r g e n e a r the M a c h cone. If, h o w e v e r , it do e s c o n v e r g e t here, t h e f i r s t - o r d e r s h o c k w a v e p o s i t i o n a n d c o n s e q u e n t l y the e n t r o p y c h a n g e c a n be c a l c u l a t e d f r o m the f a c t t h a t to f i r s t o r d e r a n o b l i q u e s h o c k b i s e c t s the M a c h d i r e c t i o n s . It w a s n o t e d in S e c t i o n 13 t h a t f i r s t - o r d e r t h e o r y is i n c a p a b l e o f p r e d i c t i n g a n y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e s h o c k p o s i t i o n a n d the M a c h cone.

A s s u m e p r o v i s i o n a l l y t h a t t h e s o l u t i o n d o e s c o n v e r g e at t h e M a c h cone, w h i l e i n d i c a t i n g by (?) the p o s s i b i l i t y t h a t it d o e s not. F r o m (2.24) the v e l o c i t y p e r t u r b a t i o n s j u s t b e h i n d the M a c h con e are

(2.29)

so t h a t the p e r t u r b a t i o n is n o r m a l to the M a c h cone. F r o m (2.11) the c o t a n g e n t o f the r e v i s e d M a c h a n g l e j u s t b e h i n d t h e cone is f o u n d to be

(2.30)

(55)

M a c h l i n e s j u s t b e h i n d the M a c h con e h a v e the s l ope

(2.31)

T h e r e f o r e the s l o p e o f the s h o c k w a v e d i f f e r s f r o m t h a t o f t h e o r i g i n a l M a c h c o n e by

(2.32a)

T h i s p r o b l e m h a s b e e n t r e a t e d r i g o r o u s l y in a n i n g e n ­ i o u s m a n n e r by L i g h t h i l l (Ref. 15) a n d a l s o b y B r o d e r i c k

(Ref. 16), w h o f i n d t h a t a c t u a l l y

(2.32b)

w h i c h is 1½ t i m e s the r e s u l t o f (2.32a). T h e d i s c r e p a n c y m e a n s t h a t the s e c o n d - o r d e r s o l u t i o n d o e s n o t c o n v e r g e n e a r t h e M a c h cone. T h e q u e s t i o n o f c o n v e r g e n c e f o r b o d i e s o f r e v o l u t i o n in g e n e r a l w i l l be c o n s i d e r e d f u r t h e r i n S e c t i o n 23.

It s e e m s r e m a r k a b l e t h a t t h e s o l u t i o n d e v e l o p e d a b ove is i n e r r o r o n l y to the e x t e n t o f a c o n s t a n t f a c t o r . The

p o s s i b i l i t y t h a t t h i s is t r u e m o r e g e n e r a l l y w i l l be c o n s i d ­ e r e d in S e c t i o n 28.

(56)
(57)

III. G e n e r a l S o l u t i o n s f o r P l a n e a n d A x i a l l y - S y m m e t r i c F l o w

16. T h e R o l e o f a P a r t i c u l a r S o l u t i o n

In the p r e c e d i n g c h a p t e r s e v e r a l s i m p l e s o l u t i o n s o f the s e c o n d - o r d e r i t e r a t i o n e q u a t i o n w e r e f o u n d by d i r e c t m e t h o d s . It w i l l n o w be s h o w n t h a t f o r p l a n e a n d a x i a l l y -

s y m m e t r i c f l o w s a p a r t i c u l a r s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n can be w r i t t e n d o w n at o n c e in t e r m s o f t h e f i r s t - o r d e r s o l u t i o n . T h i s e s s e n t i a l l y s o l v e s the p r o b l e m , b e c a u s e the c o m p l e t e s o l u t i o n c o n s i s t s o f a p a r t i c u l a r i n t e g r a l p l u s a s o l u t i o n o f t h e h o m o g e n e o u s e q u a t i o n , a n d the l a t t e r c a n be o b t a i n e d by e x i s t i n g m e t h o d s . T h a t is,

(3.1)

w h e r e

Ψ = a n y p a r t i c u l a r s o l u t i o n o f the n o n - h o m o g e n e o u s i t e r a t i o n e q u a t i o n

χ a c o r r e c t i o n p o t e n t i a l w h i c h is a s o l u t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g h o m o ­ g e n e o u s e q u a t i o n □ Ф = o a n d w h i c h s e r v e s to s a t i s f y the b o u n d ­ a r y c o n d i t i o n s .

a n d the p r o b l e m f o r χ is i d e n t i c a l w i t h the u s u a l f i r s t - o r d e r p r o b l e m , w h o s e s o l u t i o n is a s s u m e d to be a v a i l a b l e .

(58)

h a n d l e d b y e x i s t i n g t h e o r y . F o r l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a ­ t i o n s it is a l w a y s p o s s i b l e in p r i n c i p l e to t r a n s f e r n o n ­ h o m o g e n e i t i e s in thi s w a y f r o m the e q u a t i o n to the b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d v i c e - v e r s a , b y a d d i n g a s u i t a b l e f u n c t i o n to the d e p e n d e n t v a r i a b l e (see R e f . 6, vol. I, p . 2 3 6).

S i n c e t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n ψ w i l l be f o u n d in t e r m s o f the f i r s t - o r d e r s o l u t i o n , it w i l l v a n i s h u p s t r e a m o f t h e p l a n e x = 0. T h e n the c o r r e c t i o n p o t e n t i a l

m u s t a l s o v a n i s h there, so th a t

(3.2)

T h e t a n g e n c y c o n d i t i o n f o r χ is g i v e n by (1.18b):

(3.3)

or, in the ca s e o f p l a n a r s y s t e m s , f r o m (1.19b):

(3.4)

17. T h e G e n e r a l S o l u t i o n f o r P l a n e F l o w

F o r p l a n e flow, the f i r s t - o r d e r s o l u t i o n is

(59)

w h e r e H a n d K a r e f u n c t i o n s c h o s e n so as to s a t i s f y the b o u n d a r y c o n d i t i o n s . In the i t e r a t i o n e q u a t i o n , a l l t r i p l e p r o d u c t s c a n be n e g l e c t e d , a n d (1.12) b e c o m e s

(3.6a)

It c a n r e a d i l y be v e r i f i e d t h a t a p a r t i c u l a r s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n is g i v e n b y

(3.7a)

To t h i s m u s t be a d d e d a s o l u t i o n χ o f the h o m o g e n e o u s e q u a t i o n , w h i c h is g i v e n b y

(3.8)

w h e r e h a n d k a r e f u n c t i o n s d e t e r m i n e d b y the s e c o n d - o r d e r b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 3 .2) a n d (3 . 3 ) o r (3.4).

F o r f l o w p a s t a s i n g l e b o u n d a r y (such as o n e s u r f a c e o f a n a i r f o i l ) t h e f i r s t - o r d e r p o t e n t i a l ( 3 .5) c o n t a i n s o n l y o n e o r the o t h e r o f t h e f u n c t i o n s H a n d K . In this

ca s e , so t h a t the i t e r a t i o n e q u a t i o n

r e d u c e s to

(3.6b)

(60)

(3.7b)

a n d the c o r r e c t i o n p o t e n t i a l (3.8) c o n t a i n s o n l y h or o n l y k , a c c o r d i n g as (3.5) c o n t a i n s o n l y H o r K .

F o r e x a m p l e , f o r the f l o w p a s t a s l i g h t l y c u r v e d w a l l w h i c h w a s t r e a t e d in S e c t i o n 9, e q u a t i o n s (3.6b) a n d (3.7b) g i v e the a d d i t i o n a l s e c o n d - o r d e r p o t e n t i a l as

I m p o s i n g the t a n g e n c y c o n d i t i o n (3.4)

so t h a t

a n d

w h i c h is the same as t h e p r e v i o u s r e s u l t (2.7).

18. T h e P a r t i c u l a r S o l u t i o n f o r A x i a l l y - S y m m e t r i c F l o w

(61)

c o n s t a n t r a d i u s α f o r x ≤ 0 (Fig. 3 . 1 ) . W i t h s u i t a b l e m o d i f i c a t i o n , the s u b s e q u e n t d e v e l o p m e n t c a n be a p p l i e d to

Fig. 3 .1. F l o w P a s t B o d i e s o f R e v o l u t i o n

o t h e r shapes, s u c h as a n n u l a r b o d i e s . The m e r i d i a n curve c a n be r e p r e s e n t e d i n the f i r s t c a s e by

(3.9a)

a n d in the s e c o n d by

(3.9b)

H e r e ϵ is a g a i n a p a r a m e t e r s m a l l c o m p a r e d w i t h unity, a n d p (x ) is a f u n c t i o n v a n i s h i n g at x = 0 a n d p o s s e s s ­ i n g s u c h c o n d i t i o n s o f c o n t i n u i t y as m a y be f o u n d n e c e s s a r y to i n s u r e c o n v e r g e n c e o f the i t e r a t i o n p r o c e s s .

T h e f i r s t - o r d e r p r o b l e m is

(3.10)

(62)

(3.11)

T h e s e c o n d f o r m is u s e f u l f o r c a r r y i n g o u t d i f f e r e n t i a t i o n , a f t e r w h i c h t h e f i r s t f o r m can be r e s t o r e d . The d e r i v a t i v e s w h i c h w i l l be r e q u i r e d are

(3.12)

W i t h c o o r d i n a t e s as s h o w n in Fig. 3.1, the l o w e r l i m i t o f i n t e g r a t i o n c is zero f o r t h e p o i n t e d b o d y a n d - β α f o r t h e s e m i - i n f i n i t e b o d y . F(x) m a y be r e g a r d e d as the s t r e n g t h o f a s u p e r s o n i c l i n e s o u r c e a l o n g the x - a x i s . F is d e t e r m i n e d by the t a n g e n c y c o n d i t i o n , w h i c h g i v e s a n i n t e g r a l e q u a t i o n o f V o l t e r r a typ e f o r F ':

(3.13)

F r o m (1.13) t h e i t e r a t i o n e q u a t i o n is f o u n d to be

(3.14)

(63)

di-c a t e d i n the las t l i n e a r e n e g l i g i b l e .

It w i l l n o w be s h o w n tha t a p a r t i c u l a r s o l u t i o n o f th i s e q u a t i o n is g i v e n b y

(3.15)

T h e f i r s t g r o u p o f t e r m s c o n t r i b u t e s the f i r s t l i n e in (3.14) as c a n be v e r i f i e d by d i r e c t s u b s t i t u t i o n . The l a s t t e r m in (3.15) a c c o u n t s f o r t h e t e r m Φ rrΦ2r as follows:

w h ere r e p e a t e d u s e is m a d e o f the f a c t t h a t Φ s a t i s f i e s ( 3 .10). T h e l a s t g r o u p o f t e r m s c o n s i s t s o f t r i p l e p r o d u c t s i n v o l v i n g x - d e r i v a t i v e s , w h i c h h a v e a l r e a d y b e e n n e g l e c t e d in (3.14), so t h a t the r e s u l t is p r o v e d .

T h e c o r r e c t i o n p o t e n t i a l χ is a s o l u t i o n o f (3.10) a n d c a n be w r i t t e n as

(3.16)

Figure

Fig. 1.1.
Fig. 1.1. p.10
Fig. 2.1.
Fig. 2.1. p.28
Fig. 2 .2.
Fig. 2 .2. p.35
Fig. 2.3.
Fig. 2.3. p.36
Fig. 2.4.
Fig. 2.4. p.37
Fig. 2.5.
Fig. 2.5. p.38
Fig. 2.6.
Fig. 2.6. p.42
Fig. 3 .1.
Fig. 3 .1. p.61
Fig. 3 .2.
Fig. 3 .2. p.68
Fig. 3 .3.
Fig. 3 .3. p.71
Fig. 3 .4.
Fig. 3 .4. p.72
Fig. 3 .5 .
Fig. 3 .5 . p.73
Fig. 3.6.
Fig. 3.6. p.74
Fig. 3 .7.
Fig. 3 .7. p.77
Fig. 3.8 shows
Fig. 3.8 shows p.80
Fig. 3.9 shows
Fig. 3.9 shows p.82
Fig. 4.1.
Fig. 4.1. p.87
Fig. 4.2. Normal Force Slope for Cone. (a) 5° Semi-vertex Angle
Fig. 4.2. Normal Force Slope for Cone. (a) 5° Semi-vertex Angle p.94
Fig. 4.3 shows a comparison of this modified result with
Fig. 4.3 shows a comparison of this modified result with p.96
Fig. 4 .3.
Fig. 4 .3. p.97

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