การแปลงทางเรขาคณิต

(1)

1 รายวิชา คณิตศาสตร รายวิชา คณิตศาสตร ( (ค 22101) ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 22 ใบความรูที่ ใบความรูที่ 11 หนวยการเรียนรูที่ หนวยการเรียนรูที่ 44 การแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต

การเลื่อนขนาน

การเลื่อนขนานบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุดทุกจุดไปบนระนาบตามแนว เสนตรงในทิศทางเดียวกันและเปนระยะทางที่เทากันตามที่กําหนด ตัวอยาง กําหนดให ∆ ABC เปนรูปตนแบบ เมื่อเลื่อนขนาน ∆ ABC ไปในทิศทางและระยะทาง ตามที่กําหนดดังรูป แลว∆A′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน จากรูป จะเห็นวา มีการเลื่อนจุด A ไปที่จุด A′ เลื่อนจุด B ไปที่จุด B′ และ เลื่อนจุด C ไปที่ จุด C′ ในทิศทางเดียวกันและเปนระยะเทากัน จะไดวา A ′′A , B′B′ และ C′C′ ขนานกันและ ยาวเทากัน ถา P เปนจุดใด ๆ บน ∆ ABC แลวจะมี P′ บน ∆ A′B′C′ เปนจุดที่สมนัยกันกับจุด P และ P ′P จะขนานและยาวเทากันกับความยาวของ A ′A , B ′B และ C ′C ดวย ในการบอกทิศทางและระยทางของการเลื่อนขนาน จะไดเวกเตอร เปนตัวกําหนด จากตัวอยางขางตนอาจใชเวกเตอร MN เพื่อบอกทิศทางและระยะทางของการเลื่อนขนานดังรูป เวกเตอร MN อาจเขียนแทนดวย MN ซึ่ง จะมีทิศทางจากจุดเริ่มตน M ไปยังจุดสิ้นสุด N และมีขนาดเทากับความยาวของ จากตัวอยางการเลื่อนขนานขางตนจะไดวา B′ L C′ P′ B C A P B′ A′ C′ P′ B C A P M N

(2)

2 1. A ′′A , B′B′ , C′C′ และP′P′ จะขนานกันกับ MN MN 2. A ′A = B ′B = C ′C = P ′P จะขนานกันกับ MN การกําหนดเวกเตอรของการเลื่อนขนานอาจใหจุดเริ่มตนอยูบนรูปตนแบบหรืออยูนอกรูปตนแบบก็ได ในการเลื่อนขนาน เมื่อกําหนดเวกเตอรของการเลื่อนขนานรูปตนแบบมาให เราตองวิเคราะห วาจะตองเลื่อนรูปตนแบบไปในทิศทางใด และเปนระยะเทาไร ถาเวกเตอรของการเลื่อนขนานที่กําหนดใหขนานกับแกน X หรือแกน Y การเลื่อนขนานรูป ตนแบบก็จะกระทําไดงาย แตถาเวกเตอรที่กําหนดใหนั้นไมขนานกับแกน X และแกน Y แลว เราอาจ ใชวิธีดังตัวอยางตอไปนี้เพื่อชวยในการหาภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ตัวอยาง ใหนักเรียนพิจารณาการเลื่อนขนานจุด P ดวย MN ตอไปนี้ -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 P X Y N M • 2 4 6

(3)

3 วิธีที่ 1 เลื่อนจุด P ไปทางขวาตามแนวแกน X 4 หนวยและเลื่อนขึ้นไปตามแนวแกน Y 3 หนวย จะไดตําแหนงของจุด P′ ดังรูป -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 P X N M 2 4 6 4 3 P′ 4 3

(4)

4 รายวิชา คณิตศาสตร รายวิชา คณิตศาสตร ( (ค 22101) ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 22 แบบฝกพัฒนาการเรียนรูที่ แบบฝกพัฒนาการเรียนรูที่ 11 หนวยการเรียนรูที่ หนวยการเรียนรูที่ 44 การแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต

การเลื่อนขนาน

กําหนด ∆ DEF จงเขียนภาพที่ไดจากการเลื่อนขนาน ∆ DEF ดวย MN รูปแบบการประเมิน ดี พอใช ควรปรับปรุง ประเมินตนเอง ประเมินผลจากครู ประเมินผลจากผูปกครอง ชื่อ...ชั้น...เลขที่... 2 4 6 0 -2 -4 -6 2 4 ₆ Y X M N D E F

(5)

5 รายวิชา คณิตศาสตร รายวิชา คณิตศาสตร ( (ค 22101) ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 22 แบบทดสอบกอนเรียนแบบทดสอบกอนเรียน- -หลังเรียนที่ หลังเรียนที่ 11 หนวยการเรียนรูที่ หนวยการเรียนรูที่ 44 การแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต

การเลื่อนขนาน

1. จงหาพิกัดของจุด (3,-1) ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเดียวกับการสงจุด B (-2,6) ไปยังจุด (6,2) ก. (11,-5) ข. (13-4) ค. (5,-5) ง. (0,-11) 2. จงหาพิกัดของจุด A (4,-2) ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเดียวกันการสงจุด B (-1,5) ไปยังจุด B′ (5,1) ก. (0,-8) ข. (2,-2) ค. (10,-6) ง. (8,4) 3. ขอใดจัดเปนการเลื่อนขนาน ก. เข็มนาฬิกาที่กําลังเดิน ข. เงาของตนไมในลําธาร ค. รถไฟที่แลนตรงไป ง. ชิงชาสวรรค 4. เลื่อนจุด (5,7) ไปทางซาย 6 หนวย จะเปนจุดใด ก. (5,13) ข. (11,7) ค. (-1,7) ง. (-5,1) 5. เลื่อนจุด (-8,3) ไปทางซาย 4 หนวย จะเปนจุดใด ก. (-8,7) ข. (-4,3) ค. (-12,3) ง. (-8,-1) ชื่อ...ชั้น...เลขที่...

(6)

การสะทอน

การสะทอนบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีเสนตรง  ที่ตรึงเสนหนึ่งเปนเสนสะทอน แตละจุด P บนระนาบจะมีจุด P′ เปนภาพที่ไดจากการสะทอนจุด P โดยที่ 1. ถาจุด P ไมอยูบนเสนตรง  แลวเสนตรง  จะแบงครึ่งและตั้งฉากกับ P ′P 2. ถาจุด P อยูบนเสนตรง  แลวจุด P และจุด P′เปนจุดเดียวกัน ตัวอยางการสะทอนที่มีเสนตรง  เปนเสนสะทอน รูปเรขาคณิตที่สามารถหารอยพับและพับรูปทั้งสองขางของรอยพับใหทับกันสนิทไดเรียกวา รูปสมมาตรบนเสน และเรียกรอยพับนั้นวา แกนสมมาตร รูปสมมาตรบนเสนแตละรูปอาจมีจํานวน แกนสมมาตรไมเทากัน เชน ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเปนรูปสมมาตรบนเสนที่มีแกนสมมาตร 4 เสนไดแก AC , BD , EF และ PQ รูปสมมาตรบนเสนเปนรูปที่เกิดจากการสะทอน โดยมีแกนสมมาตรเปนเสนสะทอน A B C B′ A′ C′  A B D _C F E P Q

(7)

7 ในกรณีที่กําหนดเสนสะทอนเปนเสนตรงที่ไมใชแกน X หรือแกน Y อาจหาพิกันของจุดที่เปน ภาพที่ไดจากการสะทอนจุดที่กําหนดใหโดยพิจารณาดังนี้ ถาเสนสะทอนไมขนานกับแกน X และไมขนานกับแกน Y แตเปนเสนในแนวทแยง ให ลากเสนตรงผานจุดที่กําหนดใหและตั้งฉากกับเสนสะทอน ภาพของจุดที่กําหนดใหจะอยูบนเสนตั้งฉาก ที่สรางขึ้น และอยูหางจากเสนสะทอนเปนระยะเทากันกับที่จุดที่กําหนดใหอยูหางจากเสนสะทอน เมื่อ ไดภาพของจุดนั้นแลวจึงหาพิกัด ตัวอยาง กําหนดจุด P( -3,3), Q(4,0) และ R (-3,-4) มีเสนตรง  ผานจุด (-4, -2) และ (1,3) ดังรูป จากรูปหาพิกัดของจุด P′,Q′และ R′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการสะทอนจุด P, Q และ R ตามลําดับดังนี้ Y X 0 -2 -4 R 2 4  -2 -4 -6 2 4 6 • (-3, -4) • • • • Q (4, 0) (1, 3) P (-3, -3) (-4, -2)

(8)

8 1) ลากเสนตรง m1 ผานจุด P และใหตั้งฉากกับเสนสะทอน  2) หาจุด P′ บนเสนตรง m1 ที่ทําใหจุด P และจุด P′ อยูหางจากเสนตรง  เทากัน 3) จากรูป จะไดพิกัดของจุดP′ เปน (1,-1) 4) ในทํานองเดียวกัน เมื่อลากเสนตรง m2 ผานจุด Q และใหตั้งฉากกับเสนสะทอน แลว หาจุด Q′ จะไดพิกัดของจุด Q′ เปน (-2,6) 5) ในทํานองเดียวกันเมื่อลากเสนตรง m3 ผานจุด R และใหตั้งฉากกับเสนสะทอน แลวหา จุด R′ จะไดพิกัดของจุด R′ เปน (-6, -1) X 0 -2 -4 R 2 4 -2 -4 -6 4 6 • (-3, -4) • (4, 0) Q P (-3, -3) Y (-2, 6) (-6, -1) R P′ (1, -1) Q′

(9)

การสะทอน

ใหนักเรียนพิจารณาวาขอใดเปนรูปสะทอน และขอใดเปนรูปการเลื่อนขนาน 1. ……….. 2. ………. 3. ……….

(10)

10 4. ……….. รูปแบบการประเมิน ดี พอใช ควรปรับปรุง ประเมินตนเอง ประเมินผลจากครู ประเมินผลจากผูปกครอง ชื่อ...ชั้น...เลขที่...

(11)

11 Q P X Y Z รายวิชา คณิตศาสตร รายวิชา คณิตศาสตร ( (ค 22101) ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 22 แบบทดสอบกอนเรียนแบบทดสอบกอนเรียน- -หลังเรียนที่ หลังเรียนที่ 22 หนวยการเรียนรูที่ หนวยการเรียนรูที่ 44 การแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต

การสะทอน

ใหนักเรียนทําเครื่องหมายกากบาท (X) ลงหนาขอที่เปนคําตอบถูก 1. ขอใดจัดเปนการสะทอน ก. เงาของตนไมในลําธาร ข. เข็มนาฬิกาที่กําลังเดิน ค. ชิงชาสวรรค ง. รถไฟที่แลนตรงไป 2. ถารูปตนแบบคือ แลวภาพของ A′ ที่เกิดจากการสะทอนโดยมีแกน X เปนเสนสะทอน คือขอใด ก. ข. ค. ง. 3. กําหนด AB โดยมีแกน X เปนเสนสะทอน จุด A มีพิกัดเปน (-3,4) และจุด B มีพิกัดเปน (4,-2) จงหาพิกัดของจุด A′และ B′ ก. A′(-3,-4), B′(4,2) ข. A′(-3,4), B′(-4,2) ค. A′(3,4), B′(-4,-2) ง. A′(3,-4), B′(-4,2) 4 .ถารูปหนึ่งเกิดจากการแปลงอีกรูปหนึ่ง โดยที่จุด P แปลงไปเปนจุด Y จุด Q แปลงไปเปนจุด X และจุด R แปลงไปเปนจุด Z ดังรูป

(12)

12 R ก. การเลื่อนขนาน ข. การหมุน ค. การสะทอน ง. การสะทอนและการหมุน 5. ขอใดคือจุด S ′ และ T ′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการสะทอน ST โดยมี L เปนเสนสะทอน ก. S ′(0,1),T ′(-4,2) ข. S ′(2,3),T ′(6,2) ค. S ′(1,2),T ′(5,1) ง. S ′(0,2),T ′(-4,1) ชื่อ...ชั้น...เลขที่... -2 -4 Y 0 2 4 2 4 -2 X L S T 0 X 2 4 -2 T Y -2 2 4 -4 S L

(13)

การหมุน

การหมุนบนระนาบเปนการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O ที่ตรึงจุดหนึ่งเปนจุดหมุนแตละจุด P บน ระนาบ มีจุด P′ เปนภาพที่ไดจากการหมุนจุด P รอบจุด O ตามทิศทางที่กําหนดดวยมุมที่มีขนาด k โดยที่ 1) ถาจุด P ไมใชจุด O แลว OP=OP′ และขนานของ POˆP′ เทากับ k 2) ถาจุด P เปนจุดเดียวกันกับ O แลว P เปนจุดหมุน ตัวอยาง จุดหมุน O อยูบนรูปตนแบบ 1) ตัวอยางที่ 1 ถา ∆ A′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน ∆ ABC ที่กําหนดให รอบจุดกําเนิด O ตาม เข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา จงหา 1) พิกัดของจุด A′,B′ และ C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุนจุด A,B และ C ตามลําดับ 2) ∆ A′B′C′ ซึ่งเปนภาพที่ไดจากการหมุน ∆ ABC

(14)

14 แนวคิด จากโจทยกําหนดให O เปนจุดหมุน และหมุน ∆ ABC ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา เราสามารถหาจุด A′,B′ และ C′ ไดโดยการลากเสนตรงผานจุดยอดมุมของ ∆ ABC กับ จุดหมุนO เพื่อใหเกิดมุมตรงซึ่งมีขนาด 180 องศา เมื่อลาก AO,BO และ CO แลวใหหาจุด A′,B′ และ C′ ซึ่งแตละจุดจะอยูหางจากจุด O เปนระยะที่เทากันกับระยะที่จุด A,B และ C อยาหางจากจุด O ตามลําดับ จากแนวคิด ทําไดดังนี้ 1. หาพิกัดของจุด A′,B′ และ C′ ดังนี้ - ลาก AO,BO และ CO - ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OA เขียนสวนโคงตัด OA ที่จุดA′ จะได A′(9,-5) - ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OB เขียนสวนโคงตัด OAที่จุดB′ จะได B′(4,-5) - ใช O เปนจุดศูนยกลางรัศมี OC เขียนสวนโคงตัดOCที่จุดC′ จะได C′(4,-1) นั่นคือ A′,B′ และ C′ มีพิกัดเปน (9,-5), (4,-5) และ (4,-1) ตามลําดับ 2. ลาก A′B′, B′C′ และ C ′′A จะได ∆ A′B′C′ เปนภาพที่ไดจากการหมุน ∆ ABC รอบจุด กําเนิด O ตามเข็มนาฬิกาดวยมุมขนาด 180 องศา

(15)

(16)

การหมุน

: P′Q′R′S′ เปนภาพที่ไดจาการหมุน PQRS ทวนเข็มนาฬิกาดวยมุมที่มีขนาด 90 องศา พิกัดของจุด P′= (...) พิกัดของจุด Q′ = (...) พิกัดของจุด R′ = (...) พิกัดของจุด S ′ = (...) รูปแบบการประเมิน ดี พอใช ควรปรับปรุง ประเมินตนเอง ประเมินผลจากครู ประเมินผลจากผูปกครอง ชื่อ...ชั้น...เลขที่...

(17)

17 รายวิชา คณิตศาสตร รายวิชา คณิตศาสตร ( (ค 22101) ค 22101) ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ ระดับชั้น มัธยมศึกษาปที่ 22 แบบทดสอบกอนเรียนแบบทดสอบกอนเรียน- -หลังเรียนที่ หลังเรียนที่ 33 หนวยการเรียนรูที่ หนวยการเรียนรูที่ 44 การแปลงทางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิต

การหมุน

1. ขอใดคือภาพที่เกิดจากการหมุน รอบ จากรูปที่กําหนดให 90° ทวนเข็มนาฬิกา ก. ข. ค. ง. 2. รูปสามเหลี่ยม ABC จุด A มีพิกัดเปน (3,0) จุด B มีพิกัดเปน (5,1) และจุด C มีพิกัดเปน (2,3) จงหาพิกัดของจุด C บนภาพจากการหมุนรูปสามเหลี่ยม ABC โดยหมุนรอบจุดกําเนิดดวยมุม 180° ก. (2,3) ข. (2,-3) ค. (-2,3) ง. (-2,-3) 3. รูปสามเหลี่ยม DEF จุด D มีพิกัดเปน (3,0) จุด E มีพิกัดเปน (5,1) และ จุด F มีพิกัดเปน (2,3) จงหาพิกัดของจุด E บนภาพจากการหมุนรูปสามเหลี่ยม DEF โดยหมุนรอบจุดกําเนิดดวย 180° ก. (5,-1)) ข. (-5,-1) ค. (5,1) ง. (-5,1)

(18)

18 4. ขอใดเปนการหมุน ∆ ABC โดยการหมุนเข็มนาฬิกา และมีจุด P เปนจุดหมุน เปนมุม 90 องศา ก. ข. ค. ง. 5. ขอใดจัดเปนการหมุน ก. เงาของตนไมในลําธาร ข. เข็มนาฬิกาที่กําลังเดิน ค. ชิงชาสวรรค ง. รถไฟที่แลนตรงไป ชื่อ...ชั้น...เลขที่...