Lineer Cebir - Ankara Üniversitesi Ders Notları (FULL)

ANKARA ÜNIVERSITESI FEN FAKÜLTESİ YAYINLARI

No : 140

Matris Metodlar

ı

ve Lineer

Dönü

ş

ümler

Doç. Dr. Cevat KART

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi

öğretim Üyesi

ANKARA ÜNIVERSITESI FEN FAKÜLTESI YAYINLARI

No : 140

Matris Metodlar

ı

ve Lineer

Dönü

ş

ümler

Doç. Dr. Cevat KART

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi

ÖNSÖZ

Kazanılan tecrübelerin ışığında £u kitap bir çok amaca yönelik olarak hazırlanmıştır. Bunlardan birincisi, gerek matematik ve gerekse fizikte öğrencinin her an kullanmak durumunda olduğu bir çok konu ve kavramı bir arada vermektir İkincisi, öğrencinin çoğunlukla zor anladığı ancak diğer yönüyle de çok iyi bilmesi gereken kavramları, soyut durumdan çıkararak somut hale getirmektir. Dahası öğrencinin sadece öğrenmesi değil, özümsemesi ve daha ileri aşamalarında onları araç gibi kullanabilmesi amaçlanmıştır. Özetle amaç, işlenen bütün konu ve kavramları, gereken yer ve zamanda "keser" gibi kullana-bilmeyi sağlamaktır.

Kitabın birinci bölümünde "Fonksiyonlar", ikinci bölümünde "Ska-ler ve Vektör Değerli Fonksiyonlar", üçüncü bölümünde "Topolojik Kavramlar", dördüncü bölümünde "Lineer Uzaylar", beşinci bölümün-de "Matrisler ve Lineer Denklem Sistemleri" ve nihayet altıncı bölü-münde "Lineer Dönüşümler" konuları işlenmiştir. Bütün bu konular, bir akış içersinde örnekler, uygulamalar ve alıştırmalarla sanırım zevkli hale getirilmiştir. Ayrıca kitabın sonuna konan "Kaynaklar" listesi yanında temel tanım ve kavramların hemen bulunması bakımından "Dizin" kısmı ile kullanılan gösterimleri belirten "Simgeler" kısmı eklenmiştir.

Uzun zamandanberi verdiğim ve uygulamaya yönelik olan bu dersin, gerek matematik ve gerekse fizik öğrencilerine yararlı olacağı kanısındayım.

Bu kitabın daktilo edilmesinde yardımcı olan doktora öğ rencilerim-den Aydın Tiryaki ve Haydar Akça ile bu kitabın Üniversite yayınları arasında basılmasını sağlayan Fen Fakültesi Dekanliğına ve iyi bir baskıyı temin eden Üniversite Basımevi elemanlarma teşekkürü bir borç bilirim.

WNDEK

İ

LER

BÖLÜM 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. FONKSİYONLAR Sayfa Giriş Monoton Fonksiyonlar Ters Fonksiyonlar

Parçalı Sürekli Fonksiyonlar

Mutlak Değer Fonksiyonu ve Eşitsizlikler

Kapalı Fonksiyonlar 13

4 5 7 9

BÖLÜM 2. SKALER VE VEKTÖR DEĞERLI FONKSIYON- LAR

2.1. Giriş 21

2.2. Vektör Değerli Fonksiyon1arda Limit, Tiirev

ve Integrasyon 26

2.3. Bazı Temel Özelikler 29

2 4 Kinematik Yorum 31

2.5. Parametrik ve Parametrik Olmayan Göste-

rimler 34

2.6. Doğrultu Türevi ve Gradient 40 2.7. Bir Vektör Alanının Divergensi 53 2.8. Bir Vektör Alanının Rotasyonu 59 BÖLÜM 3. TOPOLOJİK KAVRAMLAR

3.1. Tanım ve Açıklamalar 65

3.2. Dizilerin Topolojik Incelenmesi 68

3.3. Cauchy Dizisi 70

3.4. .Tamlık 71

3.5. Bir Cümlenin. En küçük Üst Sınırı ve En bü-

Sayfa 3.6. Cümlenin Maksimum ve Minimumu 73 3.7. Limit Superior ve LiMit Inferior 73

BÖLÜM 4. LİNEER UZAYLAR

4.1. Metrik ya da Uzaklık Fonksiyonu 77 4.2. Cümleler Arasındaki Uzaklık, Çaplar 80

4.3. Açık Küreler 82

4.4. Lineer Uzaylar 85

4.5. Norm Fonksiyonu 91

4.6. İç Çarpımlar ve Ortogonallik 96

BÖLÜM 5. MATRİSLER VE LİNEER DENKLEM SISTEM- LERI

5.1. G;r'ş 120

5.2. Matris Gösterimi 122

5.3. Matrisler Üzerinde Aritmetik İşlemler 131

5.4. Transpozisyon 147

5.5. Bölmeli Matrislerle İşlemler 154

5.6. Iz ve Determinant 161

5.7. Satırca Eşdeğerlik ve Lineer Sistemler 175 5.8. Elemanter Satır işlemleri yardımiyle Ters

Matrislerin Bulunması, 184

5.9. AX =K Sistemlerinin Çözümlerinin Yapısı 192 5.10. Lineer Bağımsızlık, Baz ve Boyut 198

5.11. Eşdeğerlik 216

5.12. Bir Matrisin Normu, Genelleştirilmiş Ters

Matris, Türev ve Integrasyon 224

BÖLÜM 6. LİNEER DÖNÜŞÜMLER

6.1. Dönüşümler 234

6.2. Lineer Dönüşümler 235

6.3. Bir Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görün

Sayfa

6.4. Aykırı ve Aykırı olmayan Dönüşümler 246 6.5. Lineer Dönüşümler Üzerinde işlemler 254 6 6 Lineer Dönüşümlerin Matris Gösterimi 264

6.7. Diferensiyel Operatörler 275

6.8. Lineer Fonksiyoneller 290

6.9. Bir Lineer Dönüşümün Transpozesi ve

Ad-jointi 302

KAYNAKLAR 313

DİZİN 314

1.

Bölüm

FONKS

İ

YONIAR

1.1. GIRIŞ

A ve B keyfi iki cümle olsun. A nın bir elemanını B nin sadece bir elemamna karşılık getiren bir bağmtı ya da dönüşüme bir fonksiyon denir. Genel olarak A dan B içine bir f fonksiyonu

f

f: A —> B ya da A -› B

şeklinde gösterilir. Böyle bir dönüşümde Df = A ile gösterilen A cümle-sine f in tanı_{m bölgesi (domain), B cümlesine de}ğer cümlesi (co-domain) denir. Rf ile gösterilen ve A nin elemanlarının görüntülerinden oluşan cümleye de f in görüntü cümlesi (range) denir ve

;f (x): x e A }

ile gösterilir. Genel olarak görüntü cümlesi, değer cümlesinin bir alt cümlesidir. xe.A ve f (x) e B olmak üzere bir fonksiyon çoğunlukla

x f (x)

şeklinde gösterilir. AXB, A ve B nin kartezyen çarpımı olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu için daima fcAXB dır.

f ile f (x) arasmda bir ayrıcahk olduğuna ve buradan f bir fonksiyonu f (x) ise kurala göre özel bir x sayısı için f (x) sayısını ayırdettiğine ilgi çekilmelidir. f fonksiyonu, (x, f (x) ) sıralı ikililerin cümlesidir. Unutul-mamalıdır ki matematikte her yapı (fonksiyon, cisim, grup, halka, lineer uzay, Banach uzayı, v.b.) kendine özgü şartları sağlaması gereken bir cümledir. Bu bakımdan cümle kavramına çok iyi sahip olmak gerekir. Tanım cümlesinde her gerçel sayı için görüntü cümlesinde bir gerçel sayı ayırdeden fonksiyonlar gerçel değerli fonksiyonlar adım alır. Başka bir anlatım ile bir fonksiyonun görüntü cümlesi gerçel sayılardan oluşuyorsa fonksiyona gerçel değerli fonksiyon ya da kısaca gerçel fonksiyon denir. Benzer olarak, fonksiyonun görüntü cümlesi karmaşık

sayılardan oluşuyorsa fonksiyona karmaşık değerli fonksiyon ya da kısaca karmaşık fonksiyon denir.

A nın farklı elemanına farklı görüntü karşılık getiren bir f: fonksiyonuna bire-bir (one to one =injective) fonksiyon denir. Yani bire-bir fonksiyonda a a'ise f (a) f (a) ya ,da f (a) =f (a') ise a=a'dür. Eğer f in görüntü cümlesi B ye eşit ise ya da B nin her bEB eleman, herhangi bir aeA nın bir görüntüsü ise f fonksiyonuna üzerine (onto = sıırjective) bir fonksiyondur denir. Bu durumda Rf = B dır. A dan A üzerine köşegen AA= (a ,a) : a EA} cAXA ya da xcA olmak üzere x --> x fonksiyonuna özdeşlik fonksiyonu denir. Burada (a,b) sıralı çift anlamındadır. Gör'ülıtü cümlesi sadece bir elemandan oluşan bir fonksiyona sabit fonksiyon denir. Böyle bir fonksiyonda her aeA için f (a)=b o, bo c B ve Rf = {b 0 } dır.

Düzlemde her nokta cümlesi bir fonksiyonun grafiği değildir. Nok-ta cümlesinin bir fonksiyonun grafiği olması için gerek ve yeter şart, her dik doğrunun nokta cümlesini en fazla bir noktada kesmesidir. Eğer x =a doğrusu, cümleyi kesmezse f (a) tanımlı değildir. x =a doğ -rusu cümleyi (a,b) noktasında keserse f (a)=1) dır. x =a doğrusu, nok-ta cümlesini birden fazla noknok-tada kestiğinde f (a) yine talaımh değildir. Bu yüzden x2 + y2 = 1 birim çemberi bir fonksiyonun, grafiği değildir. Bu bir bağmtıdır ve { (x,y): x 2 -4- y2 = 1} noktalarının cümlesidir. Her fonksiyon bir bağıntıdır ancak tersi doğru değildir. Bir fonksiyonun grafiğinin biçimi, fonksiyonun özelliklerini yansıttığından bir fonksiyon ile onun grafiği arasında ayının yapmıyoruz.

Bir fonksiyonun bire bir, üzerine, özdeşlik fonksiyonu olup olmadığı da pratik olarak yatay doğrularla ayırdedilebilir. Her yatay doğru, bire bir fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada, üzerine bir fonkş i-yonun grafiğini en az bir noktada, özdeşlik fonksiyonunun grafiğini

bir noktada keser. Özdeşlik fonksiyonu hem bire bir hem de üzerine bir fonksiyondur. Ancak her bire bir ve üzerine bir fonksiyon, özdeşlik fonksiyonu değildir. Örneğin y =f (x) = 2x+1 hem bire bir hem üze-rinedir, ancak özdeşlik fonksiyonu değildir. Hem bire bir hem de üzerine olan bir fonksiyona bire bir ve üzerine (one to one and onto = bijective)

fonksiyonu adı verilir. Bir fonksiyonun bize bir ve üzerine olması seçilen arahğa göre değişebilir. Aralık ile ilgili söz etmişken belirtelim ki bir fonksiyonun tek ya da çift olma durumu da orijine göre simetrik bir arahkta söz konusudur. Hatta f ve g gibi iki fonksiyondan f+g, f—g, f.g ve f /g şeklinde elde edilen yeni fonksiyon biçimleri, f ve g nin tanım

bölgeleri ile ilişkilidir. Gerçekten f-j-g, f-g ve f.g nin tanım bölgesi, f ve g nin tanım bölgelerinin kesişimidir. f /g nin tanım bölgesi de, g (x) =o denklemini sağlayan noktalar dışında f ve g nin ortak tanım böl-gesidir. Böylece verilen herhangi iki fonksiyondan, eğer onların ortak tanım bölgesi yoksa onlardan diyelim f.g gibi yeni bir fonksiyon elde edilemez. Öte yandan f ve g den elde edilen ve f ve g nin bileşimi denen fog fonksiyonu, f ve g nin adi çarpımı olan f.g den farklıdır. Gerçekten g tanım bölgesi D g ve görüntü cömlesi R g olan bir fonksiyon ve h da tanım bölgesi Dh ve görüntü cümlesi Rh olan bir fonksiyon olsun. g ile h nin bileşimi, f (x) = g (h (x) ) ile tanımlanan ve Df tanım bölgesi, h (x) ED g olacak şekilde Dh daki x değerleri cümlesidir. Bu fonksiyon, g ile h in adi çarpımıııdan farklı olduğu için goh ile gösterilir. goh ın

tanım bölgesi, h ın tanım bölgesinin bir alt cümlesidir ve goh ın görüntü cümlesi, g nın görüntü cümlesinin bir alt cümlesidir. goh ın tanımlı ol-ması için h ın görüntü cümlesinin tümü ya da bir kısmı g nin tanım bölgesinde kapsanması gerekir.

Birden fazla değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanabilir. Sİ, Seve T cümleleri verilsin. S 1xS2 çarpım cümlesinin her bir elemanma T nin bir tek elemanı karşılık gelirse bu fonksiyon S 1 x S2 nin T içine bir dönüşümü olan iki değişkenli bir fonksiyondur.

ALIŞTIRMALAR

L Aşağıdaki fonksiyonların grafiğinden hareketle bire bir, üze-rine ve özdeşlik fonksiyonu olup olmadıklarını belirtiniz

(a) (b) x->x 3 -x, (c) x->x2, (d) x->x

2. A cümlesi A= [ - 1,1] şeklinde bir kapalı aralık olarak verili-yor. A dan A ya bir fonksiyon sırasiyle

(a) f (x) =-- Sin x (b) g (x) = Sin x (e) h (x) = Sin 7Z X

ile tanımlanıyor. Bu fonksiyonlarm bire bir, üzerine v.b. olup olmadı k-larını belirtiniz.

2x-1 3. y = f (x) =

larında hangi türdendir. A = [-3,2], B =4-7, ], C = [-8,2) olmak üzere f: A-*B ve f: A--)-C ile tanımlanan fonksiyonların hangi türden ol-dııklarını açıklayınız.

4. Aşağıda verilen f ve g fonksiyonlarından yeni f+g, f-g, f.g, —f ve —

f fonksiyonlarını elde ediniz ve tanım bölgelerini belirtiniz: a) f(x) V;c, g(x) == -\/1-x

b) f (x) = _{g (x) = x±1}

5. g (x) = 1-x, h (x) -=- x fonksiyonları veriliyor. Bu fonk- siyonlardan f1 = goh ve f2 = hog şeklinde yeni bileşik fonksiyonlar bu-lunuz ve tanım bölgelerini belirtiniz.

1.2. MONOTON FONKSİYONLAR Bir y = f (x) fonksiyonu:

1) x 1 < x2 olduğ_{unda f (x 1 ) < f (x2)} 2) x t < x2 olduğunda f (x i ) > f (x 2 ) 3) x 1 < x2 olduğunda f (xl) > f (x2)

oluyorsa (kuvvetle) artan, oluyorsa (kuvvetle) azalan, oluyorsa artmayan,

4) x 1 < x2 olduğunda f (x 1 ) < f (x2) oluyorsa azalmayan, fonksiyon adını alır . Ayrıca bir f fonksiyonuna;

(i) ya artan ya da azalan (ikisi birden değil) ise kuvvetle monoton fonksiyon,

(ii) ya artmayan ya da azalmayan ise monoton fonksiyon,

(ili) fonksiyonun tanımlı olduğu her sonlu aralık, sonlu sayıda aralıklara bölündüğünde bu aralıkların her birinde fonksiyon monoton ise fonksiyona parçalı monoton fonksiyon denir.

f (x) = x2 fonksiyonu, x<0 için azalan x>0 için artan olduğundan böyle bir fonksiyondur.

f(x) = sinx de parçalı monoton fonksiyondur.

f(x) = x 3 kuvvetle artan, f (x) = x 2 fonksiyonu, örneğin [ -3, O] aralığmda kuvvetle azalan,

x<

0 f (x) 2-2x, xj0 fonksiyonu artmayan, O, x<0 f (x)

fonksiyonu azalmayan fonksiyondur.

1.3. TERS FONKSİYONLAR

TEOREM 1.3.1 (Ters fonksiyon teoremi). f fonksiyonu, [a,b ] kapalı aralığında tanımh ve sürekli kuvvetle monoton (artan yada azalan) bir fonksiyon olsun. cz = f (a),

=

f (b) diyelim Bu durumda (1) g (f) ) = x, f (g (y) ) = y olacak şekilde [oc,f3 ] kapalı aralığında tammlı ve f in ters fonksiyonu denen kuvvetle monoton bir g fonksiyonu vardır.

(2) f--1 = g ile gösterilen bu ters fonksiyon süreklidir.

Y

Bu teorem, bir fonksiyonun tersinin keza bir fonksiyon olduğuna karar vermede bir yöntem verir. R2 düzleminde herhangi bir cümle bir bağıntıdır ve bir fonksiyon, bir bağıntının özel bir durumudur. Bu yüzden bir fonksiyonun tersinin keza bir fonksiyon olması gerekmez.

Gerçekten x2-y2 = 1 bağıntısının ters bağıntısı, y2-x2 =1 bağıııtı -sının çözüm cümlesidir. Ne orijinal ne de ters bağıntı bir fonksiyon değildir. y =x2 ile tanımlanan bağın.tı bir fonksiyon olduğu halde bunun x = y2 ters bağıntısı bir fonksiyon değildir. y (x-1) 3 bağıntısı bir

siyon olmak zorundadır. Örneğin, y = f (x)

11- x2 1 < x < oo, x

fonksiyondur ve bunun ters bağıntısı olan y =l+xl / 3 de bir fonksiyon-dur. Keza y2 =x 3 ile tanımlanan bağıntı bir fonksiyon olmadığı halde bunun ters bağıntısı olan y =x 2 / 3 bağıntısı bir fonksiyondur. Genel olarak, y = f (x) denkleminin geometrik yeri olan bir f fonksiyonu, onun tersi olarak x = g (y) ile verilen geometrik yere sahiptir. Bir fonksiyonun tersi, çeşitli fonksiyonlardan oluşabilen bir bağıntıdır. Bu fonksiyonlara ters bağıntının dalları denir. Örneğin y = x2-2x+2 fonksiyonunun tersi,

y 1 — x-1 g i (x), 1 x <

y = 1 + -V x-1 g2(x), 1< x <

şeklinde iki daldan oluşmaktadır.

Bir fonksiyonun türevinden hareketle tersinin bir fonksiyon olup olmadığına karar verilebilir. Gerçekten f den bulunan f'niceliği f in

tanım bölgesinde daima pozitif ya da daima negatif ise f in tersi bir fonk-

1-X2

fonksiyonunun y' = r(x)

(11-x2)2 türevi, 1 < x < öp için negatif

olduğundan fonksiyon azalandır. Dolayısiyle f in f-1 ile gösterilen bir ters fonksiyonu vardır. f (1) = i ve (x) = 0 olduğundan bu ters fonksiyonun tanım bölgesi Dg = (0, ve görüntü cümlosi Rg = (1, 00)

dur. f sürekli ve azalan olduğundan g = U° de sürekli ve azalandır.

g ters fonksiyonunun denklemi x Y denkleminin geometrik

1 -H y2

yerinin bir parçasıdır. x cinsinden y çözülür ve uygun dal seçilirse g için

y = g (x) = f-1(x) —1+ V1-4x2

2x ,

O<X< 121

elde edilir

Şimdi bu açıklamalara başka bir yönden yaklaşalım: Yukarda açı k-landığı üzere bir f fonksiyonunun f-1 bağıntısmın genel olarak bir fonksi-yon olmadığını belirtmiştik. Bununla beraber f: A-->B hem bire bir hem de üzerine bir fonksiyon ise U° de B den A üzerine bir fonksiyondur. O halde y = f (x) hem bire bir hem de üzerine ise x = g (y) = f -1 (y) fonksiyonun varlığı ve tekliği garantilidir. Daha önce

R

den

R

ye f (x) = ex ile tanımlanan fonksiyonun bire bir olduğunu görmüştük.

Bu fonksiyonun ters fonksiyonu, ancak aynı fonksiyon f: R

-÷ (0, oo)

şeklinde tammlamrsa vardır, çünkü bu defa hem bire bir hem de üzerine olur. Bu yüzden x = f-1 (y) = g (y) = lny ya da alışılan değişkenlerle y=lnx ters fonksiyonu, (0, co) dan _] üzerine tanındı, sürekli ve artan bir fonksiyondur.

1.4. PARÇALI SÜREKLİ FONKSİYONLAR

TANIM 1.4.1. (Açık aralıkta parçalı süreklilik). Bir ,f (x) fonksiyonuna aşağıdaki şartların sağlanması halinde a<x<b açık aralığı üzerinde parçalı süreklidir denir:

(1) f (x) fonksiyonu, sonlu sayıda x i , x ii noktaları ayrı tutul- mak üzere a<x<b aralığınııı her noktasında süreklidir.

(2) Bu süreksizlik noktalarında f (x) in sırasiyle j = 1,2,..., için limx ,,,i+f (x) ve (x) ile gösterilen sağ ve sol limitleri vardır. (Sürekli bir fonksiyonun parçah sürekli olduğunu anımsayahm.)

TANIM 1.4.2. (Kapalı aralıkta parçalı süreklilik). Bir f (x) fonk-siyonuna aşağıdaki şartların sağlanması halinde a<x<b kapalı aralığı üzerinde parçalı süreklidir denir:

(1) f (x) fonksiyonu a<x<b açık aralığı üzerinde parçalı sürekli-dir,

(2) f (x) fonksiyonun x =a noktasında (x) sağ limiti vardır.

(3) f (x) fonksiyonun x =b noktasında lim,_>b-f (x) sol limiti vardır.

TANIM 1.4.3. Bir aralıkta her x için f (x) < A

ise yukardan sı

-nınrlı

ve her x için f (x) > B ise f (x)

aşağıdan s

ı

n

ı

rl

ı

dır. Keza her x için B<f (x) < A ya da M, I A I ve I B I sayılarının maksimumu olmak üzere I ( f (x) I < M ise f (x) e

sınırlı

fonksiyon

denir.

TANIM 1.4.4. Bir f (x) fonksiyonuna, [a,b üzerinde hem kendisi hem de f' türevi parçalı sürekli ise [ a,b ] üzerinde

parçal

ı

düzgün

(piecewise smooth =piecewise continuous derivative) dür denir. Başka bir anlatımla f ve f'türevi, Df üzerinde sürekli ise f ye ei

ıncı

sını

ftandır

denir. Genel olarak f fonksiyonunun kendisi ve k yıncı basamağa kadar türevleri D f üzerinde sürekli ise f ye ek

yı

ncı

stn

ı

ftandı

r

denir.

(a) f (x) =

x2+ 1, x

> o

[

1

x < O

ALIŞTIRMALAR

1. Aşağıdaki fonksiyonlarm belirtilen aralıklar üzerinde parçalı

sürekli olup olmadıklarını inceleyiniz.

x Sin x , x > 1 0 , 0<x<1 (b) f (x) =- [ -2,5 ] ex _{-1 <x<0} x3 x < - 1

2. Aşağıdaki fonksiyonlarm [ - 1,5 ] üzerinde parçalı sürekli olup olmadıklarını inceleyiniz.

X 2 , X > 2 (a) f (x) 4 , O < x < 2 x < O 1 ( x-2 )2 , x > 2 (b) f (x) = 5x2-1 , x < 2 (e) f (x) = 1 (d) f (x) = 1 (x-I-2)2

3.x -> [x ] en büyük tamsayı fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Parçalı

sürekli olup olmadığını inceleyiniz ve x -› 3 için limitini bulunuz.

0, x irrasyonel

4. f (x) =

1, x rasyonel

fonksiyonunun herhangi bir [ a,b ] aralığında parçalı sürekli olup ol-madığını inceleyiniz.

0, x irrasyonel 0, x rasyonel

5. f (x) g (x) =

1, x rasyonel 1, x irrasyonel

fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlarm toplamı hakkında ne söylene-bilir ?

6. Bir açık arahğm her noktasında sürekli ancak bu arahk üzerinde sınırlı olmayan bir fonksiyon örneği veriniz.

7. f:

.9?

-> 7t ve g: R

-* R

fonksiyonları

. 1

f (x) = x sin 1 x # 0 g (x) = sm — x # 0

x ' , x

0 , x = O 0 , x =-- O

şeklinde tanımlanıyor. Bu fonksiyonların x =0 noktasında süreklilik durumlarını inceleyiniz.

x2sin 1 , x 0 8. f (x) =

0 , x O

şeklinde tanımlanan fonksiyonun x =0 için türevini bulunuz. Herhangi bir fonksiyonun x =x0 için türevini bulmak, her zaman türevini ahp x yerine xo koymakla aynı anlama gelir mi? Açıklaymız.

1.5. MUTLAK DEĞER FONKSIYONU ve EŞİTSİZLİKLER x -> I x I fonksiyonunun tanım bölgesi, bütün gerçel sayılar cüm-lesidir. Bu fonksiyon her x sayısına negatif olmayan ,\/ x 2 sayısını karşılık getirir. Buna göre x -± lx I fonksiyonu

x,x>0

ile tammlıdır.

Bu fonksiyon her pozitif gerçel sayıyı, kendisi üzerine dönüştürür ve her negatif sayıyı da onun negatifi üzerine dönüştürür ki o da pozitif sayıdır. x lx I fonksiyonu, x sayısının orijinden uzaklığmı göster-diğinden Ix I < a gösterimi - a < x < a anlamındadır. Benzer şekilde

I a-b .de a ve b noktaları arasındaki uzaklıktır. İki sayıdan birinin bir diğerine yakın olması, onların farkı_nın mutlak değerinin küçük olması anlamındadır. Daima IxI>0 dır ve ancak x= 0 ise Ixl =O dır. Bir bakıma bu fonksiyon, pozitif ya da negatif akımı, pozitif akıma çeviren bir elektrik akımına benzer.

x ---> lx I

=

N

/ x2 =

Mutlak değer gösteriminin matematikte son derece yararları var-dır ve mutlak değer fonksiyonu aşağıdaki önemli özeliklere sahiptir:

(i) l a > 0 dır ve ancak a= 0 ise I al =O dır. I abi = 1 al I bi yada a i .a2 ...a n i =I a i j I a2 j... ı a n I dır.

I a =

I b I d ır.

(iv) I a+b I < 'al+ Ibl (üçgen eşitsizliği) Daha çok sayıda terim için de bu eşitsizlik geçerlidir, yani

( a l + a2 + _{a n I < I a l I T I}

a2 1

an}

dır.

(v) a-b I>> I la I— IbI I, !a-b-c > la I — ib I —

tel

dır.

(vi) la-e I< ta-b lb-c dır.

Mutlak değer fonksiyonu eşitsizliklerle yakından ilgilidir. Bir matematiksel ifadenin bir diğerinden daha büyük ya da daha küçük olmasına eşitsizlik denir. a < b ve e > 0 ise ac < be ve e < 0 ise ac be dır. Cebirsel denklemlerde olduğu gibi matematikte genel türden iki eşitsizlik vardır. Şartlı denkleme karşılık şartlı eşitsizlik ve özdeşliğe karşılık mutlak eşitsizlik.

TANIM 1.5.1. Bir eşitsizlik, kapsadığı değişkenterin bütün olurlu değerleri için doğru ise, mutlak eşitsizlik adını alır.

Örneğin, a2 + b2 + 1 > 0 eşitsizliği bir mutlak eşitsizliktir, keza — 4 < 3 eşitsizliği bu türdendir.

TANIM 1.5.2. Bir eşitsizlik, kapsadığı değişkenlerin bütün olurlu değerleri için doğru değilse ya da bazı değerleri için doğru ise, şartlı,

eşitsizlik adını alır.

Örneğin, 2 x — 4 > 0 bir şartlı eşitsizliktir, çünkü x in sadece 2 den büyük değerleri için doğrudur. Keza sin 0 < 0 eşitsizliği, üçüncü ve dördüncü bölgede bulunan 0 nın değerleri için doğrudur.

a b

ALIŞTIRMALAR

1. Aşağıdaki denklemleri çözünüz? (a) [ x-7 1 = 3

(b) I 2x-6 1 = I 4-5x

2. Aşağıdaki eşitsizlikleri sağlayan x değerler cümlesini bulunuz? (a) I 3x-4 1 < 7 r2x-5 1 (b) < 3 x-6 (c) 3-2x j < j x-I-4 (d) I x (x+1) I < 1 x+41

3. Aşağıdaki özeliklerin her birinin varlığını gösteriniz (a) 1 a+b l< I a 1 + 1 b

(b) 1 a-b 1 < la I + 1 b I (c) la-bi> 1 !al— 1bl 1 (d) I a-c 1 < 1 a-b I + I b-c 1

4. Herhangi bir a e

I?

için — la I < a < IaI olduğunu ispat ediniz?

5. a < x < b ve a < y < b ise i y—x I < b-a olduğunu gösteri- riniz ?

6. a < x < b eşitsizliğini, mutlak değer işareti kullanarak yeni-den yazınız?

7. (a) x sayısı [-4,4 ] aralığına kısıtlandığında x 3-2 ifadesinin mutlak değerce alabileceği bir üst sınırı saptaymız?

(b) [-3,2 ] aralığında her x için Ix3-2x2 +3x-4 1 <M

olacak şekilde pozitif bir M sayısı bulunuz? 8.. (a) x, [-4,4 ] arahğma lusıtlandığında

x2+2

x+3 ifadesinin en büyük olurlu değeri için bir sayı belirtiniz?

(b) x in (1,4) aralığma kısıtlanması halinde

< M olacak biçimde bir M sayısı bulunuz ?

9. (a) a,b,c ve d pozitif sayılar olmak üzere a > b, d > c ise a _> b

c — d olduğunu gösteriniz ?

(b) (a) dan yararlanarak, x in , aralığına kısıtlanması

halinde

x+2 i< m x-2

olacak şekilde bir M sayısı bulunuz ?

10. n tane pozitif sayının çarpımı 1 ise, toplamının en az n olduğunu gösteriniz.

11. Ahştırma 10 dan yararlanarak,

x2+2 x2

(a)

,N/ x2+1 > 2 (b) 1+x4 < 2 , (c)log ina+logal0 > 2,a>1 eşitsizliklerinin herbirinin doğruluğunu gösteriniz ?

12. Aşağıdaki eşitsizlikleri geçerli kılan x değerler cümlesini bulunuz. (a) < 4 ve x-1 x 3 -2 < 7 (b) (c) x-2 3-x < 3 ve < 5 x+1 x2 3 < 2 ve (x-1) (x+4) < 0 13. a ncosn b nsinn 0 ifadesini,

(a) C ncos (n 0 — O n) (b) C nsin (n 0 O n)

şeklinde yazınız ? x+2

ex ex

(a) < 2 5 , (b) < 104, (e)

x4 lnx < 104

x2 14. (a) 3 sin 0 + 4 cos 0 G 5

(b) 6 cos 0 — 8 sin 0 < 10

mutlak eşitsizliklerinin doğruluklarmı gösteriniz?

15. (a) n > 3 için İyn > n-1-1 N/n+1 eşitsizliğinin geçerli olduğunu gösteriniz ?

(b) (a) dan yararlanarak

1, N/2, 3 N/3, 4

VL1 . 5

n s arlannın en büyüğünü bulunuz ?

ex _xN-

16. N > a tam sayısı için

Xoc NN ot eşitsizliğinin var- lıgını gösteriniz?

17. Ahştırma 16 dan yararlanarak, aşağıdaki eşitsizliklerin her birinin x in hangi x > x o değeri için geçerli olduklarını gösteriniz ?

1.6. KAPALI FONKSİYONLAR

Genel olarak F (x,y) = 0 şeklindeki bir denklem x ve y arasında bir bağıntı gösterir. Bu denklemi sağlayan bir sayı çifti, düzlemde bir noktaya karşılık gelir. Böyle bir denklemi sağlayan noktaların tümü, denklemin geometrik yeri adını alır. Bir çok denklem görünüşte çok basit olsa bile bir geometrik yere sahip değildir. Örneğin x2+ 2y2 + 9 =O denklemi geometrik yere sahip değildir, çünkü pozitif değerlerin toplamı hiç bir zaman sıfır olamaz. Aynı şekilde (x-1) 2 + (y+2)2 = 0 denklemi sadece x =1 ve y = -2 için sağlandığmdan bu denklemin geometrik yeri sadece bir noktadır. sinx secy = 0 denklemi de ilginç geometrik yere sahiptir.

1

sinx

I

< 1 ve

I

secy

I

> 1 olduğundan denklem sadece sinx =1 ve secy = -1 ya da sinx = -1 ve secy =1 oldu ğu zaman sağlanır. O halde geometrik yer

± 2 m 7Z, n ± 2 n ıc) ve (

32 ± 2 m 2n7c₁₁1,m,n ayrık (izole = isolated) noktalardan oluşur.

Bu örneklerden çıkan sonuç şudur: F (x,y) = 0 denklemini sağ -layan bir y =f (x) fonksiyonu yoktur. O halde böyle bir denklem veril-

diğinde ilk önemli problem, denklemi sağalayan bir y =f (x) fonksiyonu-nun varlığı problemidir. İkinci önemli problem de, denklemi sağlayan bir y =f (x) fonksiyonu varsa, denklemi y ye göre çözmeden ki her za-man çözmek olanağı yoktur hangi şartlar altında y =f (x) fonksiyonunun sürekli ve türevlenebilir olduğudur.

F (x,y) = 0 denklemi çok karışık bir geometrik yere sahip olabilir. Böyle bir denklemi sağlayan bir y =f (x) fonksiyonunun varlığı, geo-metrik yerin ya da eğrinin yerel durumu (local behavior) ile yani eğri üzerinde özel herhangi bir noktanm komşuluğunda geometrik yerin du-rumu ile ilgilidir. Yerel (local) terimi matematikte teknik bir terimdir ve eğri üzerinde dikkate alman herhangi bir noktanın komşuluğunun sadece yeteri kadar küçük alınması gerektiğini değil aynı zamanda seçilen komşuluğun yeteri kadar büyük olması halinde de yerel teriminin anlamını yitireceğini ofade eder. Öte yandan birbirine ne kadar yakın olması önemli olmamakla beraber farklı nokta seçilmesi halinde de yerel durum bozulur ve artık başka bir nokta için yerel durum söz konusudur.

Önemli kapah fonksiyon teoremlerini kurmadan önce bazı gerçekleri anımsamada yarar vardır:

(i) Bir sürekli fonksiyon herhangi iki değer arasındaki bütün ara değerleri almak zorundadır. Bu özelik Weierstrass ara değer teoremi olarak bilinir

(ii) Çok kere kullanılan ancak bir teorem olarak ifade edilmiyen ikinci bir gerçek vardır ve sürekli bir fonksiyonun yerel durumu ile ilgilidir. Kısaca bir fonksiyon herhangi bir değer için pozitif ise, bu değer komşuluğunda bütün noktalar için pozitif olmak zorundadır. Kuşkusuz bölge çok küçük olabilir, ancak böyle bir bölge vardır. Aşağıdaki teorem çok değişkenli fonksiyonlar için bu sonuca genel bir durum getiriyor.

TEOREM 1.6.1. f (x 1 , x2,..., x n) fonksiyonunun bir (x io, x20,..., x n0) noktasında sürekli ve f (xıo, x20,..., x no) > 0 olduğunu varsayalım Bu durumda

Ixi— x io I < h, 1x2—x20 < I xii—x no I < h

komşuluğunda bütün (x 1 , x2 ,..., x n) noktaları _{için f (x 1 , x2,..., x n)} pozitif olacak şekilde, pozitif bir h sayısı vardır.

Şimdi ilk kapalı fonksiyon teoremini verelim.

TEOREM 1.6.2. F, Fx ve Fy fonksiyonlarının (xo , yo) komşuluğ un-da sürekli ve

F (xo, yo) = 0, Fy(xo, yo) 0 olduklarını varsayalım. Bu du- rumda

(a) ix–x o I < h komşuluğunda her x için F (x,y) = 0 denklemini sağlayan

iy-y.

j

<

k komşuluğunda bir tek y olacak şekilde (xo, yo) komşuluğunda bir

Ş

ekil

1. 6.1

R: lx-xo I < h, fy-yo I < k

dikdörtgenini belirleyen pozitif h ve k sayıları vardır. Yani y, x in bir fonksiyonudur ve y =f (x) yazılabilir. f in tanım cümlesi jx-xo I < h komşuluğunu ve görüntü cümlesi de I y-y o < k komşuluğunu kapsar.

(b) f fonksiyonu ve bunun f' türevi lx-x o < h komşuluğunda süreklidir. Ayrıca lx-xo I < h için

Fx [x,f (x) ]

dy x

Fy [x ,f (x) ] O ve dx ( ) — _{Fy [X,f (X)}

_I

dır.

UYARILAR:

Bu teoıemin. bir geometrik yorumu şekilde görülüyor. Teorem, f türevlenebilir olmak üzere F (x,y) = 0 denkleminin bir parçası olan y =f (x) yayının içersinde bulunduğ_{u bir I x-xo < h,}

_{jy-yo < k}

Ş

ekil: I. 6. 2

dikdörtgeninin varlığını ifade ediyor. Kuşkusuz x=x, doğrusu, tüm geometrik yeri çeşitli noktalarda kesebilir.

Teorem tamamen yereldir, yani f in genişletilebileceği tanım bölgesinin ne kadar geniş olacağı belirtilmiyor. Bununla beraber (x o, yo) komşuluğunda dikdörtgen ne kadar küçük seçilirse seçilsin sonuç geçerli kalır.

;(iii) Bu teorem tamamen salt bir varlık teoremidir, ve bu teorem bizlere f fonksiyonunu bulmada bir yöntem veremez.

(iv) Değişkenlerin değiştirilmesi halinde sonuç geçerlidir. Eğer Fx(xo, yo) 0 ise bu durumda kapalı fonksiyon teorenıi, x in x =g (y) şeklinde yazılmasını sağlar. Keza Fx (xo, yo) 0 ve Fy (xo, yo) 0 ise hem y =f (x) hem de x =g (y) yazmak imkanı vardır. Her iki koşul sağlanmıyorsa bu durumda (x o, yo) in komşuluğunda ne y, x in ne de x, y nin bir fonksiyonudur.

ÖRNEK 1.

F (x,y) = y 3 + 3x2y-x3 + 2x+3y =O denkleminin tüm geometrik yerinin her x için tanımlı bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.

Her x için Fy = 3y2+ 3x2 +3 > 0 olduğundan F (x,y), her y için y ye göre artandır. O halde her x için F (x,f (x) ) = 0 olacak şekilde

bir tek y =y (x) vardır. Teoremin şartları sağlandığmdan f fonksiyonu her x için tammlı, sürekli ve türevlenebilir.

ÖRNEK 2.

F (x,y) = x2 -y2 +4x+2y+3 =0 fonksiyonuna Teorem 1.6.2 yi uygulayınız.

Fx = 2x+4, Fy =-2y+2 olduğuna göre y /1 (Fy-t0) olmak üzere geometrik yer üzerinde herhangi bir noktada y, x in bir fonksiyonudur. Keza x-t-2 olmak üzere x, y nin bir fonksiyonudur. Bununla beraber verilen denklem (y+x+1) (y-x-3) = 0 şeklinde yazılabilmesi nede-niyle geometrik yer üzerinde (-2,1) noktasında Fx = Fy = 0 dır ve bu durumda teorem geçerli değildir.

dy Fx x+2

dx Fy 1-y

türevi (-2,1) noktasında belirsizdir. y+x+1=0 ve y-x-3 =O sis-teminin ortak çözümü olan (-2,1) noktası, geometrik yerin iki katlı

(double) bir noktasıdır. Teorem 1.6.2 çok sayıda değişken için de geçer-lidir,

TEOREM 1.6.2.T (xi , x2,... xn,

y), Fy ve her i=1,2,..., n için Fxi

fonksiyonlarını_{n (x i °, x20,..., x n°, yo) kom}şuluğunda sürekli olduklarını

varsayalım. Ayrıca

F (xı°, xn°, Yo) = 0, FY(xı°, x°n, Yo) 7L 0 olsun.

Bu durumda aşağıdaki şartlar sağlanacak şekilde h ve k sayılan vardır:

(a) lxi- xı.0 1 < h, i=1,2,..., n, komşuluğunda her (x i , x2,..., xn) için F (x i , x2 ,..., xn, y) = 0 denklemini sağlayan

[y

-

y. I <

k komş

ulu-ğunda bir tek y vardır.

(b) f, f (x i , x2 ,..., xn) = y ile tanımlanırsa bu takdirde n için bütün birinci basamaktan fxitürevleri xı°1 < h komşuluğunda süreklidir ve ayrıca Fy [xı_{, x2,..., xn, f (xi , x2,..., xn)]} O, fxi= Fy x2 ,..., xn , f x2 ,..., x n ] dır. Fxı [xl,x2,•••, xn, f xn)

ÖRNEK

3.

Her x,y için f in x-2

1

< h ve ;y-1-1 < h içinde tanımh, sürekli ve türevlenebilir olması halinde

F (x,y,z) = 3x2-1- 2y2+ z2+ 2xy 2yz 2xz-9 =O

denkleminin geometrik yerinin bir parçasının z =f (x,y) yüzeyi üzerinde jx-2 < h, y+1

I

< h, lz+1 ; < h kutusu içersinde bulunabileceği sonucunu çıkarabilir miyiz ? z yi x ve y cinsinden çözünüz ve irdele-leyiniz.

x0 =2, yo = —1, z o = —1 dır. Teorem 1.6.2'de (x i , x2 , y) yerine (x,y,z) gelmiş oluyor.

-= 2z+2x-H2y, Fz (2,-1,-1) = 0 olduğuna göre (2,-1,-1) noktası -sının komşuluğunda z, x ve y cinsinden yazılamaz. Gerçekten denklem-den z çözüliirse z = — (x+y) ± v 9-2x2—y2 elde edilir. Her iki fonksi-yonun tanım bölgesi 0 < 2x2 + y2 G 9 elips bölgesidir ve (2, —1)

noktası bu bölgenin sınırı üzerindedir. Böylece şartları sağlayan kutu yoktur. Uzay analitik geometrideki bilgilerimizden (2, —1, —1) noktasında F (x,y,z) = 0 yüzeyine teğet düzlem, z eksenine paraleldir. •

Bu arada önemli bazı gerçekleri de kısaca belirtelim:

(i) F (u,v) ve G (u,v) bir bölgede türevlenebilir ise F ve G nin u ve v ye göre jakobiyen determinantı ya da kısaca Jakobiyeni

a (F,G) a (u,v) aF aF au

av

aG aG au av F„ F,

ile tanımlı ikinci basamaktan fonksiyonel determinantlar. Üçüncü ve daha yukarı basamaktan determinantlar benzer şekilde tammlamr. Aşağıdaki özeliklerde tüm fonksiyonların sürekli türevlenebilir olduk-larını kabul edelim.

(ii) F (u,v,x,y,z) = 0, G (u,v,x,y,z) = 0 denklemlerinin (örne ğin) u ve v ye göre çözülebilmeleri için gerek ve yeter şart, bir bölgede

a

(F,G)

a (u,v)

m denklem için geçerlidir. m < ıı.

bağlı:umm olması için gerek ve yeter koşul,

a (x Y) n

ın özdeş olarak

sıfır olmasıdır. Benzer sonuç n değişkenli n fonksiyon için geçerlidir. (iv) u =f (x,y) ve v =g (x,y) ise u ile v arasında (1) (u,v) =O şeklinde

a (u,v)

(iii) x =I (u,v), y =T (u,v) ve u =f (r,$), v -=g (r,$) ise a (x,y) a (x,y) a (u,v)

8 (r,$) a (u,v) • 8 (r,$)

dır. Bu jakobiyenler için zincir kuralı örneğidir.

Aynı şekilde

x = (I) (u,v,w), y =T (u,v,w) ve u =f (r,$), v =g (r,$), w =h (r,$) ise (x,y) a (x,y) _{a (u,v)} a (x,y) _{a (v,w)} a (x,y) a (r,$) a (u,v) • a (r,$) a (v,w) • a (r,$) a (w,u) • a (w,u)

a (r,$) ve

x = (u,v,w), y =T (u,v,w), z =z (u,v,w) ve u =f (r,s,t), v =g (r,s,t), w =h (r,s,t) ise

(x,y,z) 8 (x,y,z) a (u,v,w) a (r,s,t) a (u,v,w) • a (r,s,t) dır.

ALIŞTIRMALAR

1. Yukardaki (iv) özeliğinin varlığını gösteriniz.

2. x+y

l—xy ve v arctanx arctany ise

a

(u,v)

(x,y) Yi bulunuz.

(b) u ile v arasında bir fonksiyonel bağıntı var midir? Varsa bu bağıntıyı bulunuz.

3. (a) x =f (u,v), y =g (u,v) ve u = 1 (r,$), v (r,$) ise

a

(x,y) a (x,y) 8 (u,v) a (r,$) a (u,v) • a (r,$) olduğunu gösteriniz.

(x,y)

(b)

a

(u,v) / 0 olmak üzere gösteriniz.

=

1 olduğunu

(u,v)

a (x,y)

4. F (xy,z-2x) =-0 bağıntısı x az az –y ax ay

hangi şartlar altında sağlar? Bu şartları bulunuz.

2.

Bölüm

SKALER VE VEKTÖR DE

Ğ

ERLI FONKSIYONLU

2.1. GİRİŞ

u (t) ve v (t) gerçel t değişkeninin gerçel değerli fonksiyonları olmak üzere z (t) =u (t) + iv (t) şeklinde olan fonksiyonlar karmaşık değerli fonksiyonlardır. Eğer u (t) ve v (t) fonksiyonları t =to noktasında sürekli ise z (t) fonksiyonu da t =t o noktasında süreklidir. Aynı şekilde

u (t) ve v (t) fonksiyonları t =to da türevlenebilir ise z (t) fonksiyonu da t =t o da türevlenebilirdir. z (t) nin türevi bilindiği üzere

Z (t) = ü (t) ± iv (t) (2.1.1)

şeklindedir. Ayrıca z (t) nin mutlak değeri (modül)

z (t) I = [u (.02+ v (t)211/2 (2.1.2)

ile tanımlıdır.

Bilindiği üzere her karmaşık fonksiyon, bir analitik fonksiyon değildir. u (x,y) ve v (x,y) gerçel fonksiyonlar olmak üzere

w =--- f (z) = u (x,y) + iv (x,y) (2.1.3) fonksiyonunu gözönüne alalım. Bir D bölgesinin her z noktasında f'(z) türevi var ise, f (z) fonksiyonuna D bölgesinde analitik'tir denir ve bu durumda f (z),

D

bölgesinde analitik fonksiyon olarak adlandırıhr. f'(z) türevinin bütün noktalarında var olduğu bir Iz—z o I < 8 komşuluğu var ise bu durumda f (z) fonksiyonuna bir z,, noktasında analitik'tir

denir. Buradan (2.1.3) ün bir D bölgesinde analitik olması için gerek şart, u ve v nin

au

av

au

_{_}

av

ax

ay '

ay

ax

(2.1.4)

Cauchy-Riemann denklemlerini sağlamasıdır. Eğer (2.1.4) deki parçal türevler D de sürekli ise bu durumda Cauchy-Riemann denklem-

leri, f (z) nin D de analitik olması için yeter şartlardır. u (x,y) ve v (x,y) fonksiyonları çoğunlukla eşlenik .fonksiyonlar olarak adlandırıhr. Bun-lardan biri belli olunca, u+iv =f (z) analitik olacak şekilde diğeri bulunabilir. Belirtelim ki f (z) bir D bölgesinde analitik ise onun bütün türevleri D de vardır ve süreklidir. Bu gerçel değişkenli fonksiyonlar için gerekli olarak geçerli olmayan ancak karmaşık değişkenli fonksiyon.. lar için geçerli olan ilginç bir özeliktir.

Gerçel değerli ya da karmaşık değerli fonksiyonlar gerçel t değiş -keninin skaler fonksiyonları (sayı değerli fonksiyonlar) adını alır. Bu türden fonksiyonlarm görüntü cümlesi, tanım bölgesinde her nokta için sayılardan oluşur. Görüntü cümlesi vektörlerden oluşan fonksiyon-lara vektör değerli fonksiyonlar ya da kısaca vektör fonksiyonları denir.

Örneğin bir vektör fonksiyonunun tanım bölgesi a < t < b aralık"ı

ise, iki boyutlu uzayda bir t —> v (t) vektör değerli fonksiyonu, e l ve e 2 koordinat birim vektörleri olmak üzere

✓ (t) ---- f (t) eı+ g (t) e 2 (2.1.5)

şeklinde gösterilebilir. Burada f ve g fonksiyonları, [a,b] aralığında tammlı olmak üzere skaler fonksiyonlardır. Daha fazla boyutlu uzaylarda bu tanım benzer şekilde genişletilebilir. (2.1.5) fonksiyonu IR den

IR2

ye bir değişkenli bir fonksiyondur.

Tanım bölgesi IR 2de ve görüntü cümlesi de 1R 2de bulunan vek-törlerden oluşan bir vektör fonksiyonu

✓ (x,y) f (x,y) eı+ g (x,y) e 2 (2.1.6)

gösterimine sahiptir. Eğer görüntü cümlesi üç boyutlu uzayda vektör-lerden oluşuyorsa bu vektör fonksiyonu

u (x,y) = f (x,y) eı+ g (x,y) h (x,y) e 3 (2.1.7)

şeklindedir. Aynı şekilde

uı(x,y,z) = f (x,y,z) eı+g (x,y,z) e 2 (2.1.8)

v

e

u2 (x,y,z) = f (x,y,z) eı+ g (x,y,z) e2-4- h (x,y,z) e 3 (2.1.9)

fonksiyonları sırasiyle uı: R 3 --> R2 ve u2 : R 3 -* R 3 şeklinde üç değş

i-kenli vektör fonksiyonlarıdır. Keza (2.1.6) ve (2.1.7) iki değişkenli

vek-tör fonksiyonlandır.

Her vektörün, koordinat birim vektörleri (baz vektörleri) cinsinden bir tek şekilde yazılabileceği açıktır. Buna, vektörün bitim noktasına

karşılık gelen yer vektörü dendiğini biliyoruz. Örneğin, üç boyutlu uzayda hernagi bir P noktasının yer vektörü

P = OP = v = x le i + x2e2 + x3e 3 (2.1.10) şeklindedir. (xı, x2 , x3 ) sıralı üçlüsü (O, e 1 , e 2 , e 3) koordinat sisteminde P nin koordinatlarıdır.

Iki kil' ve Cf"). gibi yönlü doğru parçaları aynı büyüklük ve aynı doğrultu ve yöne sahip iseler bunlar eşdeğerdir (ya da dar anlamda

-->

eşittir) denir ve bu AB CD şeklinde gösterilir. Bir v vektörü, verilen bir büyüklük ve bir doğrultuya sahip bütün yönlü doğru parçalarının bir kolleksiyonudur. Koolleksiyonda bir özel yönlü doğru parçasına, v vektörünün bir örneği ya da ve modeli denir. Örneğin aynı büyüklük ve ayni yön ve doğrultuya sahip şekil (2.1.1) deki vektörler, aynı bir

Şekil 2.1.1

vektörün beş örneğidir. Ayni vektörün herhangi iki örnek yönlü doğru parçaları eşdeğer olduğundan, bir vektörü tanımlamada kullanılan kolleksiyona bir denklik sınıfı denir. Buradan bir vektör, yönlü doğru parçalarının denklik smıfıdır. Bi denklik sınıfı yansıma, simetri ve geçiş -me özeliklerini sağlar. Sıfır vektörü, sıfır uzunluğuna sahip yönlü doğru parçalarının sınıfıdır ve sıfır vektörü her vektöre ortogonaldır.

P ve Q iki farklı nokta olsun. Bir X noktasının P ve Q den geçen doğru üzerinde bulunması için P, Q ve X noktalarının yer vektörlerinin

X =- oc P + (3 Q , 2 + = 1 (2.1.11)

bağıntısını sağlayacak şekilde 2 ve (3 sayıları var olmalıdır. Bu durumda X noktası, PQ yönlü doğru parçasını (3 /2 oranında böler. Gerçekten

<

ki-o

Ş

ekil 2. I. 2

X, P ve Q den geçen doğru üzerinde ise PX ile gösterilen vektör,

PQ

ile gösterilen vektörün bir skaler katı olması gerekir. Buradan

PX =- R PQ X — P = (Q—P) X = P -I- (3 (Q—P) X = (1—(3) P + Q

X = a P + Q, _{a = 1—}

_R

elde edilir. O halde P ve Q den geçen doğru üzerinde bulunan her X noktası, t bir parametre olmak üzere

X = P-I-t (Q—P) (2.1.12)

şeklinde bir yer vektörüne sahiptir. Tersine olarak, her t için X vektörü, doğru üzerinde bir noktanın yer vektörüdür ve t nin farklı değerlerine farklı noktalar karşılık gelir. (2.1.12) bağıntısma bir dağ runun paramet-rik gösterimi denir. Bu bağmtı, a2+ b2 + c2# 0 olmak üzere P, Q ve X in koordinatları cinsinden, örneğin üç boyutlu uzayda

x = a H- at, y = R -I- bt, z = y -I- et (2.1.13) şeklinde parametrik olarak yazılabilir. a 2 + b2+ c2 0 olması, a,b, c nın hepsinin sıfır olmaması anlamındadır. Eğer a =b =c =0 olursa her üç nokta çakışır ki bir tek doğru artık söz konusu değildir.

x=f (t), y =g (t), a < t < b (2.1.14) parametrik denklemleri IR 2 uzayında bir eğri gösterir. Benzer olarak,

,denklemleri

R3

de bir uzay eğrisi gösterir. Bu eğriler keza vektör fonksiyonları ile gösterilebilir. (2.1.14) ve (2.1.15) de parametrik denk-lemleri ile verilen eğriler sırasiyle

f1 (t) = f (t) e l + g (t) e 2 (2.1.16)

ve

f2(t) f (t) e l + g (t) e 2 + h (t) e 3 (2.1.17) vektör fonksiyonlarına eşdeğerdirler. Çünkü (2.1.16) ve (2.1.17) de baş -langıcı orijinde bulunan yönlü doğru parçasının bitim noktası sırasiyle fi ve f2 yi gösterir. Böylece çizilen eğriler, (2.1.14) ya da (2.1.15) ile aynı -dır. Aynı şekilde

x -=f (s,t), y =g (s,t), z -=h (s,t) , (2.1.18) parametrik denklemleri üç boyutlu uzayda bir yüzey gösterir. Buradan

v (s,t) = f (s,t) e i + g (s,t) e 2 ÷ h (s,t) e 3 (2.1.19) vektör değerli fonksiyonu aynı yüzeyi karakterize eder.

(2.1.14), (2.1.15) ve (2.1.18) denklemleri sırasiyle (2.1.16), (2.1.17) ve (2.1.19) un bıleşenleri ya da koordinat fonksiyonları adını alır.

a ve lı keyfi vektörler olmak üzere

f (t) -= at + b, — cc, < t < GC (2.1.20)

şeklinde bir vektör fonksiyonunun bileşenlerini bulmak için öncelikle a b vektörlerini koordinat birim vektörleri cinsinden yazmak gerekir, yani a = (a l , a2) ve b = (b i , b2) ise

f (t) = t (a i e i + a2e2) (b ie i + b2e2) = (a it + b i ) eı+ (alt b2) e2

olur. Buradan f (t) nin bile şenleri

x (t) = aıt b by (t) = a 2t

şeklindedir. Gözüldüğü üzere (2.1.20) denklemi bir doğru gösterir. Ger-çekten f (t) = t (a+b) + (1—t) b şeklinde yazılabilir. Bu denklem, f (t) yer vektörlü bütün noktaların, (a+b) ve b yer vektörlü noktalardan geçen do'ğru üzerinde bulunduğunu gösterir.

f (t) (tost) e l + (sint) e2, 0 -G t <_ 2 77 (2.1.21)

vektör fonksiyonunun bileşenleri

x (t) = cost, y (t) = sint

şeklindedir, ve bu fonksiyon ile gösterilen noktalar cümlesi birim çem-berdir.

Bir t-4f (t) vektör fonksiyonu, r (t) ve 0 (t) sırasiyle f (t) nin mutlak değeri ve kutupsal açısı olmak üzere keza

t-->r (t), t-*0 (t)

şeklinde yazılabilir. Örneğin f (t) =- (cost) e i + (sint) e 2 vektör değerli fonksiyonu için kısaca

r (t) =- 1, O (t) = t formülleri elde edilir

Vektör fonksiyonlarının en önemli özeliği yapı bakımından geo-metriktir ve herhangi bir koordinat sisteminden bağımsızdırlaı. Bu yüz den daha çok herhangi bir koordinat sistemi seçmeksizin vektör fonk-siyonları üzerinde duracağız.

2.2. VEKTÖR DEĞERLI FONKSİYONLARDA LIMIT, TÜREV VE İNTEGRASYON

t --> f (t) = x (t) e l + y (t) e 2 + z (t) e 3 (2.2.1) vektör değerli fonksiyonu, bileşenleri ya da koordinat fonksiyonları x (t), y (t) ve z (t) olan üç skaler fonksiyona eşdeğerdir. Bu yüzden Diferensiyel ve İntegral hesabın bir çok kavramları vektör fonksiyon-larına aynen uygulanabilir ve vektör değerli fonksiyonu koordinat birim vektörleri cinsinden yazılmış ise e l , e2 ve e 3 vektörleri sabitler olarak incelenmek üzere tabii biçimde hareket edilir. Ancak (2.2.1) vektör fonksiyonu, koordinat birim vektörleri belirtilmeksizin

t -> f (t) = (x (t), y (t), z (t) ) şeklinde de yazılabilir.

Rm(m boyutlu Öklid uzayı. Ilerde üzerinde durulacak) in bir alt cümlesini, 1?"(n boyutlu Öklid uzayı) içine dönüştüren bir f dönüşümü

verildiğirıi varsayalım

x=(x 1 ,..., xm), f in tanım bölgesinde ise bunun f altında görüntüsünü y ile gösteriyoruz, yani Uc Rtn, f: U -* Rn y = f (x) dır. Buradan

yi = fi(x) = n

y = f (x) = (fj (x), f2 (x),..., fn(x) ) şeklinde yazılabilir.

Her bir fi koordinat fonksiyonu x e göre sürekli ise, f ye x e göre

süreklidir denir. Ayrıca

Of( 8 f1 bfn ₁ ,

(2.2.2)

ax,

ax,

bx j

ile tanımlanan vektör, parçal türevler vektörüdür.

t bir gerçel değişken ve her bir xi(t) gerçel değerli olmak üzere n boyutlu x (t) = (x j (t),..., x n (t) ) vektörü verildiğinde, herbir x i(t), t =t 0 da sürekli ise x (t) vektörü t =t 0 da süreklidir. Ayrıca herbir xi(t) türevlenebilir ise x (t) ye türevlenebilir denir. Bu durumda

dx

(t)

= dt

=

( (t) ,..., i n(t) ) (2.2.3) ile tanımlanan vektör de türev vektörü'dür ve ardışık türevler de

x (t),

x(3 ) (t), ..., x(k)

(t) ile tammlamr. Nokta ile türev gösterimi, New- ton'a aittir. Belli bir t için x (t) türevi bir vektördür. y've dy türev-

dx leri de sırasiyle Lagrange ve Leibnitz'e ait gösterimlerdir.

Bu kitapta konuların gelişimi içersinde daha çok Rn+1 in bir alt cümlesini Rn içine dönüştüren bir f fonksiyonu gözönüne alınacaktır. t gerçel ve x= (x j ,...,x n) olmak üzere Rıl-Fı_{de bir nokta (t,x) ile} gösteri-lirse bunun görüntüsünü

Y = = f (t,x) = (fı(t,x),...,fn(t,x ) ) ile göstereceğiz.

özel olarak x =x (t) = (x i (t),..., x n(t) ) ise bu durumda y = y(t) f (t,x) gerçel t değişkenine bağlı Rn nın bir elemanıdır.

y (t) nin her bileşeni sınırlı ise, kendisi de sılıtr/ıdır. Keza bir vektör fonksiyonu için

limty taf (t,x)

limitinin varlığı ve tekliği, herbir fi(t,x) in t-->t 0 için limitinin varlığı ve tekniği anlamındadır.

f (t,x (t) ) fonksiyonu diyelim t l < t < t2 aralığında sürekli ise integrali, integrasyon kuralları geçerli olmak üzere

ftı_{t2 f (t,x (t) ) dt = ( ftit 2f}ı(t,x (t) ) dt,..., ftıt2fn(t,x (t) ) dt) (2.2.4) ile tammlamr.

x = x2) E R2 olmak üzere R3 den R2 ye y = f (t,x) = (txı, x2 , 3t2xı + x2)

ile tanımlanan bir f dönüşümünde

yı =- fı(t,x) = txıx2 , y2 = f2(t,x) = 3t2X1-1— x2

ffir. xı(t) = t ve x 2(t) = cost ise x (t) = (t, tost) ve y (t) = f (t,x (t) ) (t 2 cost, 3t 3 tost) dır. Ayrıca Y (t) = f(t,x (t) ) = (2t tost-t2sint, 9t 2-sint) ve f 7c/ 2 ,2T2 37:4 J y (t) dt = (-4 -2 , 1 ) o dır.

xı(t) = t ve x 2(t) = t+i sint alınırsa x (t) = (t,t i sint) ve y (t) = f (t,x (t) ) = [ t 3 + it2sint, (3t 3 + t) + i shit],

y (t) = f (t,x (t) ) = [3t2+ i (2t sint t2cost), (9t 2 + 1) -+ icost dır.

Kuşkusuz vektör fanksiyonlarının türev ve integrali yine bir vek- tördür. Bir vektör değerli fonksiyonun çok katlı ve eğrisel integralleri kolaylıkla taıumlanabilir. Gerçekten tanım bölgesi F olan bir u: R2

R3

vektör fonksiyonunun iki katlı integrali

f fFu (x,y) dA = ( f fFf (x,y) dA, f fFg (x,y) dA, f fFh (x,y) dA) (2.2.5) ile tanımhdır. Benzer olarak v: R 3 -> R 3 şeklinde bir

v (x,y,z) = (f (x,y,z), g (x,y,z), h (x,y,z) )

vektör fonksiyonunun üç katlı integrali, tanım bölgesi D olmak üzere f f fpv (x,y,z) dV ( f f fpf (x,y,z) dV, ff fpg (x,y,z) dV, f f fplı (x,y,z) dV) (2.2.6) şeklindedir. Keza

C: r (t) = x (t) e l + y (t) e2+ z (t) e 3, a < t < b eğrisi boyunca

w (x,y,z) = P (x,y,z) el+ Q (x,y,z) eı+ R (x,Y,$) e3 vektör fonksiyonunun eğrisel integrali de

=

w

(t). r (t) dt

= f

{P [x(t),y(t),z(t)]*(t)+Q [ x(t),y(t),z(t)hr(t)+ R [ x (t), y (t),(t) l z (t) } dt (2.2.7) ile tammlıdır. Görüldüğü üzere çok katlı integral bir vektör olduğu halde eğrisel integral bir skalerdir. Kuşkusuz bu tanımların daha fazla boyutlu uzaylarda vektör fonksiyonlarına genişletilebileceği açıktır.

2.3. BAZI TEMEL ÖZELİKLER

(i) Bir vektör fonksiyonu ile bir skaler fonksiyonun çarpımının türevi

d a (t)

dt t dt

f (t)

d

d a (t)

f (t) -F- a (t) df (t) ya da (af)=c;f+ dır.

(ii) f (t) = 0 ise her t için f (t) = sabit vektör'dür.

(iii) İki vektör fonksiyonunun iç çarpımı (skaler çarpımı ya da nokta çarpım) ve vektörel çarpımlannm parçal türevleri, bir değişkenli vektör fonksiyonlarındaki gibidir. Örneğin u (x,y,z) ve v (x,y,z) türevle-nebilir vektör fonksiyonları ise parçal türevler

av au av au

(u v) = u. . v (uxv) =ux xv

ax ax ax ax ax

şeklindedir. y ve z göre parçal türevler için benzer formüller geçerlidir. (iv) Uzuı:duğun limiti, limitin uzunluğudur. Eğer lim f (t)

t->to = a ise

lim If(t))1=la idır. t.to

Daha önce görüldüğü üzere bir vektör fonksiyonunun bileşenleri, se-çilen koordinat birim vektörlerine bağlı idi. Ancak sıııırhlık,

limit, türev, inteğral bu seçime bağlı değildir. Koordinat birim vektör-lerini ya da koordinat fonksiyonlarını kapsamayan ancak öncekilere eşdeğer olarak kavramlarm yeni tanımlar! verilebir:

(v) Bir t -± f (t) vektör değerli fonksiyonunun bir aralıkta sınırlı olması ancak ve ancak t -›- If (t) I skaler fonksiyonunun sınırlı olması halinde olanaklıdır.

(vi) t, noktası komşuluğunda tanımh f (t) fonksiyonu için ancak ve ancak

lim If (t) — f (t o) I = O t-›to

geçerli ise t, noktasında süreklidir.

(vii) f (t), t o komşuluğunda tanımlı olsun. Bu durumda ancak ve ancak lim If (t) — a = O t,to ise lim f (t) = a t-,to dır.

(viü) f (t), t o komşuluğunda tanımlı olsun. Bu durumda ancak ve ancak

lim

-h

f (t o+ — f (to) } h-*o ise r(to) = a dır.

(ix) Eğer f (t), aGt Gb için sürekli ve sinirli ise fabf (t) dt = F (b) — F (a)

geçerlidir. Tek taraflı türevler ve limitler, sonsuzda limitler benzer şekilde tanımlanır.

UYARMALAR

Yukarda sözü edilen "Özelik", "Özellik" sözcükleri ile "ancak ve ancak" deyimiui açıklığa kavuşturm ada yarar vardır:

(a) Özelik (property) genel, özellik (peculiarity =feature) özelclir. Her özelik bir özelliktir, ancak her özellik bir özelik değildir.

(b) "ancak ve ancak" (if and only if =is equivalent to) bir eşdeğerlik ifadesidir. Böyle bir ifade de çift gerektirme (biconditional vardır. Bazan da eş anlamlı olarak "gerek ve yeter koşul" yerine kullanılır.

2.4. KİNEMATİK YORUM f (t) = x (t) e i + y (t)e 2

şeklinde bir vektör fonksiyonu x =x (t), y =y (t) parametrik denklemler çiftine eşdeğer olduğunu biliyoruz. Böylece düzlemsel

C: x=x (t), y =y (t)

eğrisi üzerinde hareket eden bir parçacığın (partikül*) hız vektörü (velocity vector)

df

v (t) = dt = f (t) = x (t)e l -1-iy (t) e 2

dır. Hiz (speed) ise, hız vektörünün mutlak değeridir. ivme vektörü de hız vektörünün türevidir; yani

a (t) = v (t) = f(t)

dır. Aynı şekilde uzayda bir eğrisel hareket t f (t) = x (t) e l + y (t) e 2 + z (t) e 3 vektör fonksiyonu ile tanımladı".

Bilindiği üzere ivme, hareket durumunda bulunan bir şeyin küçük bir zaman içinde hızında oluşan artırımın bu zamana oranıdır. Matema-tik diliyle ivme, hız vektörünün zamana göre türevidir. Kinematik ise, cisimlerin hareketlerini yörünge, hız ve ivme gibi konular bakımı n-dan inceleyen mekanik koludur. Herhangi bir türevlenebilen fonksiyon, ya bir eğri (geometrik görüntü) ya da bir hareket (kinematik görüntü) tanımladığı düşünülebilir. Keza türev de ya teğetin eğimi ya da ani hız olarak dikkate alınabilir. Bu iki kavram birbirini tamamlar.

Yürüyen bir noktanın çizdiği yol yörünge adını alır. Hız vektörü daima yörüngeye teğettir. Buna göre vektör değerli fonksiyonlarm

A(4.,-2)

Ş

ekil: 2. 4.1

kinematik yorumu verilebilir. Gerçekten bir t -* f (t) vektör değerli fonksiyonunun, düzlemde ya da uzayda bir noktanın (f (t) yer vektörlü nokta) hareketini tanırrıladığını düşünebiliriz. Örneğin, a ve b sabit vektörler olmak üzere

f (t) = ta+b, - co < t < co

fonksiyonu, bir doğru boyunca bir noktanın hareketini tanımlar. t =O da hareketli nokta yer vektörü b olan P noktasındadır. t =1 zamanında hareketli nokta yer vektörü a+b olan Q noktasmdadır. Daha genel

--->

olarak hareketli nokta, herhangi bir t zamanında PQ doğru par- t

çasını — oranında böler. Aynı şekilde 1-t

f (t) = (cost) e l + (sint) e 2 , 0 < t < 2 iz

fonksiyonu, t =O da (1,0) noktasından harekete başlayan bir noktanın birim çember üzerinde hareketini tanımlar. Bir vektör, başlangıç ve bitim noktası bir yana uzayda herhangi bir yere yerleştirilebilir. Bir v vektör fonksiyonunun tanım bölgesinde herbir P noktası için tepesi P de olmak üzere V (P) nin örnek (temsilci) yönlü doğru parçalarını kurabiliriz. Örneğin düzlemde (2,3) noktasına p = OP = 2e 1 -1- 3e 2

şeklinde bir yer vektörü karşılık geldiğini biliyoruz. Bu p vektörüne eşit, ancak orijinden geçmeyen sayısız vektör söz konusudur, ancak düzlemde herhangi bir başlangıç noktası almak suretiyle p vektörüne

eş:'t bir temsilcinin başlangıç noktası diyelim (4,-2) olşun. Bu noktadan geçen ve p vektörüne eşit olan vektör bir tanedir. Yani A (4,-2) olduğuna göre B bitim noktası da B (x B, yB) olsun. XB-XA = 2, YB- YA 3 olaca

ğına göre XB -= 2 XA = 2+ 4 =6, YB =3 I- YA =-3-2 =1 o lur. O halde p vektörüne eşit, A (4,-2) noktasından geçen AB yönlü doğru parçasının bitim noktasının koordinatları B (6,1) dır. Düzlemde (ya da uzayda) herhangi bir nokta başlangıç noktası olarak seçilebileceği için herhangi bir yer vektörünün çok sayıda temsilcisi bulunabilir. Buna göre D tanım bölgesi bir düzlemsel bölge ve V (P) nin görüntü cümlesi de düzlemde bir vektörler kolleksiyonu ise şekil 2.4.2 de olduğu gibi bir grafik gösterimi yenilebilir. Şekildeki vektörler bir vektör alanı

oluştururlar. Daha açık bir deyimle, vektör alanı vektör fonksiyonu

ile eş anlamlıdır. Benzer olarak düzlemde ya da uzayda bir bölgenin herbir noktasına bir skaler ayırdeden adi ya da sayı değerli fonksiyona bir skaler alan ya da skaler fonksiyon denir. Örneğin uzayda bir R böl-gesinin herbir (x,y,z) noktasına bir 25 (x,y,z) skalerini karşılık getiren QS fonksiyonu bir skaler nokta fonksiyonudur ve s25 skaler alanı R de ta-mmlidır denir. Dünyanın yüzeyi üzerinde ya da içinde belli bir zamanda herhangi bir noktadaki sıcaklık bir skaler alan tanımlar. Öte yandan her skaler fonksiyon diyelim

(x,y,z) = 3x 3y-5z 2 + 2

bir skaler alan tanımlar. Bir skaler alan zamandan bağımsız ise kararlı skaler alan (steady-state scalar field =stationary) adını alır. Aynı şekilde vektör fonksiyonları da bir çok uygulamalarda karşımıza çıkarlar. Hareketli bir akışkan içinde belli bir zamanda herhangi bir (x,y,z)

noktasmdaki hız vektörü, bir vektör alanı tanımlar. Keza atmosferde rüzgarın hızı ve uzayda bir nesne üzerine yerçekiminin vektörel kuvveti diğer vektör fonksiyonu örnekleridir. Aynı şekilde zamandan bağımsız bir vektör alanı da kararlı vektör alanı adım alır.

2.5. PAAMETRIK VE PARAMETRİK OLMAYAN GÖSTE-RİMLER

Bir x y =f (t) skaler fonksiyonunun grafiği, fonksiyon hakkında tüm bilgiyi kapsar. Grafik bilindikten sonra fosksiyon yeniden kurula-bilir. Ancak t --> f (t) şeklinde bir vektör değerli fonksiyon ile parametrik olarak gösterilen noktalar cümlesi, fonksiyon hakkında bilginin tümünü değil, bir kısmını kapsar. İki farklı vektör değerli fonksiyon, aynı nokta cümlesini gösterebilir, keza bir nokta aynı yörüngeyi farkli şekillerde tanımlayabilir. Örneğin

t — ta,

<

t <

1

t -> t 3a, O

< t < 1

vektör değerli fonksiyonları, O noktasını yer vektörü a olan noktaya birleştiren bir doğru parçasını tanımlar. Her iki fonksiyon 0 dan a ya bir noktanın hareketini tanımlar, ancak harek etler farklıdır.

t (cost) e l + (sint) 02, O < t < 2 TC t -> (cos2t) e i + (sin2t) 02, O < t < 2 7C

fonksiyonlarının her ikisi, (1,0) noktasından başlayıp aynı noktada.' iten birim çember üzerindeki bir noktanın hareketini tanımlar. Her iki durumda nokta, pozitif yönde hareket eder. Ancak çember birincisinde bir kez, ikincisinde iki kez tamamlanır.

t -> (cost) e l- (sint) e 2 , 0 < t < 2 ıs

fonksiyonu da birim çember üzerinde bir noktanın hareketini tanımlar ancak bu durumda hareket negatif yöndedir. Parametrik olmayan bir gösterimden daima bir parametrik gösterime geçilebilir. Örneğin para-metrik olmayan x-->y = fö (x) skaler fonksiyonundan

x (t) = t, y (t) = Z (t) ya da

t a te l + fö (t)e 2

şeklinde bir parametrik gösterime geçilebilir. Özellikle x (t) = t alın- ması gerekmediğinden bu geçiş çok sayıda yapılabilir Buradan para- metrik olmayan bir gösterim, daima bir parametrik gösterim olarak in-

celenebilir demektir. Başka bir deyimle bir skaler fonksiyon bir vektör fonksiyonu olarak ele alınabilir. Örneğin, x2+

y2 = 1

birim çemberi

x =cost, y =sint

şeklinde bir parametrik gösterim kabul eder. Ancak bilindiği üzere tüm çemberin, koordinat sistemi nasıl seçilirse seçilsin

bir

parametrik olmayan gösterimi yoktur. (r, 0) kutupsal koordinatlarda

r = g (0)

şeklinde parametrik olmayan gösterim, 0 = t, r=g (t)

şeklinde bir parametrik gösterim kabul eder.

Öte yandan bir parametrik gösterimden bazan parametrik olmayan bir gösterime geçilebilir. Örneğin a ve b belli vektörler ve a^0 olmak

üzere parametrik olarak verilen t --> ta b

doğrusu için, vektör fonksiyonunun bileşenleri arasından t nin yok-edilmesi ile

a2 a ib2- a 2b 1

y — x _al

a l parametrik

parametrik olmayan gösterimi elde edilir. Doğru x y şeklinde bir skaler fonksiyonun grafiği olarak ortaya çıkar. a2 = 0 ise doğru y =b 2 parametrik olmayan gösterimini kabul eder. a l = 0 ise doğrunun denk-lemi x =b i dır. x =b i doğrusu x---ıy şeklinde bir skaler fonksiyon değildir, ancak bu doğru y-->x =g (y) =b 1 şeklinde bir sabit fonksiyonun grafiği olarak düşünülebilir. Parametrik bir gösterimden parametrik olmayan bir gösterime geçiş genellikle zordur ve bu yüzden geçiş için "hazan" sözcüğü kullanılmıştır. Ayrıca geçiş mümkün olsa bile elde edilen para-metrik olmayan gösterimi incelemek daha bir zorluk gösterebilir. Örneğin, bir doğru üzerinde kaymaksızm hareket eden a yarıçaplı bir çember üzerindeki belli bir noktanın yörüngesi olan sikloit'in para-metrik denklemi

x =a (t-sint) , y =a (1-cost)

= a. arccos (1- —1 y-) -asin arccos (1- y))

a. arccos (1- 1 y) - ,\/ 2 ay-y2 , a < y _<"_ 2 a

şeklinde inceleme yönünden de oldukça karışık gösterimi elde edilir. Parametrik olmayan bir gösterimden parametrik bir gösterime geçişte yerine göre büyük yararlar olduğu gibi, parametrik bir gösterimden parametrik olmayan bir gösterime geçmede de parametrik olarak verilen nokta cümlesini tanımada yarar vardır.

ÖRNEKLER

1. a ve b düzlemde belli vektörler olmak üzere f (t) = cost) a + (sint) b

vektör değerli fonksiyonu ile parametrik olarak gösterilen nokta cüm-lesini bulunuz.

a ve b belli vektörleri a =a l e i ± a 2e2 , b =b i e i ± b 2e2 şeklinde olsun. Buradan

f (t) = (a i cost b i sint) e l + (a2cost b isint) e2 vektör fonksiyonundan bileşenler

x (t) = a i cost b i sint , y (t) = a 2cost bisint (A) şeklindedir.

Şimdi a i b2-a2b i = 0 ve a i b2-a2b i 0 şeklinde iki farklı durumu gözönüne almalıyız. İlk durum için a i = a2 = b i = b2 = 0 olabilir. Bu, her t niçin f (t) = 0 olan ve ilginç olmayan bir durumdur ve cümle bir noktadır. Aksi halde (A) da ilk denklemi b 2, ikinciyi b i ile çarpıp çıkarı r-sak ya da ilk denklemi a 2 , ikinciyi a i ile çarpıp çıkarırsak

b2x (t) - b ly (t) = 0 ya da a 2x (t) - ağ (t) = 0

elde ederiz. a ib 2- a2b i = 0 olduğundan her iki denklem ayni şey de-mektir ve (x (t), y (t) noktası a2x-a ly =O doğrusu üzerinde bulunur. Bu zaman fonksiyon, parametrik olarak bu doğrunun bir parçasını gösterir, çünkü her t için sint ve cost, -1 ile +1 arasında kahr. İkinci durumda a ib2-a 2b i 0 olduğuna göre (A) denklemleri sint ve cost için

b2x

(t) - b iy (t)

, sint -a2x

(t) + a l y (t)

a 142- a2b ı a i b2- a2b 1

şeklinde çözümlenebilir. x (t) ve y (t) için

(a 22 +b22) x (t) 2-2 (aıa2 +13 1132) x (t) y (t) (a 1 2 1-b i2) y(t) 2 =-(a 1l32-a2b 1) 2 ikinci derece denklemine varılır. Bu denklem ikinci dereceden cebirsel bir eğridir. Ax2 + 2 Bxy+Cy2 + -I-F =O şeklinde olan bu denk-lem için AC-B 2 cliskriminantı

AC-B2 = (a 12+ b 1 2) (a 22+ b22) - (a i a2 + b 1 b 2)2

= a2b 1) 2 > 0

olduğundan, vektör fonksiyonu ile parametrik olarak gösterilen nokta cümlesi bir elipstir.

2. a > 0 ve b > 0 herhangi sayılar olmak üzere

a (1-t2)

f (t) = e l +

11-t2

2

bt

1

fi-t2

e2,

< t <

cc

fonksiyonu ile hangi nokta eümlesi parametrik olarak gösteriliyor? f fonksiyonunun bileşenleri

2 2t

x (t) = a. 1—t ( ) — b.

l+t2 , 11-t2

olduğuna göre, t parametresinin yokedilmesi ile

x (t) 2

_{Y (t) 2}

(a) 2 (b)2

denklemine varılır ki bu bir elips denklemidir.

t = tan z 21 (yani sö= 2 arctant) şeklinde yeni bir paramet- resi ile elipsin daha kullanışlı bir parametrik gösterimi verilebilir. Bu durumda t, - oo ve oo arasındaki bütün değerleri alırken parametresi de - TC ve .7r arasındaki bütün değerleri alır. Böylece

x (t) == a cos

,

y (t) = b sin QS , -n < <

ı

r

şeklinde elipsin bir parametrik gösterimi daha elde edilir. Elips üzerinde x=-a apsisli nokta, 25 parametresinin herhangi bir değeri için gösteril-mediğine ilgi çekilmelidir.

ALIŞTIRMALAR

1. (2,-1,4) ve (3,2,6) noktalarından geçen doğrunun parametrik gösterimini bulunuz ?

2. x =1+ 2t, y =-4 + 6t, z =2 + 4t denklemleri ile verilen doğru, Alıştırma 1 deki doğru ile çakışır mı?

3. Bir nokta, y = .\/ x 2 + 1 eğrisi üzerinde t = zamanında (0,1) noktasından sağa doğru harekete başlıyor. Noktamn orijinden uzak-lığının t ile orantılı olduğunu varsayalım. Verilen hareketi tanımlayan vektör değerli fonksiyonu bulunuz ?

4. Kesim (2.3) de (i) ve (ii) özeliklerini ispatlayınız ?

5. f (t) = (a (t) + t) (te l— a (t) e 2) ve a (0) = 1, a (0) = — 2 ise f (0) türevini bulunuz ?

6. u (x,y) = (x 2 + 2xy) e i + (1+x2— y2) e2 + (x3— xy2) e 3 ise

au

a2u

-

ax

VC

ax

ay

türevlerini bulunuz?

7. u = (excosy) e l + (eYsinz) e 2 + (ezsinx) e 3ve

v = (cosz) e i + (e2xsiny) e2 + e ze 3 _{vektör fonksiyonlar}ı verili yor.

(a) (u.v) türevini bulunuz. P, (1" 4

az O .7t ) noktasında bu ve aY

av

vektörlerinin dik olup olmadıklarını belirtiniz? ax

(b) ay (uxv) vektörel çarpımın türevini bulunuz ? 8. u (x,y) = (x-2y) e i + (x—y) e2 + (x+2y) e 3 ,

v (x,y) _{(2x—y) ei+ (x+y) e 2 + (x+3y) e 3} a

vektör fonksiyonları veriliyor. u. v ) 0 olacak şekilde

( ax ay

9. Aşağıdaki integralleri bulunuz? 27c

(a) (t 3a+sint. b) dt, a ve b belli vektörler o

(b) t ( t 2 + 1 e l + (cost 2) e2 ) dt o

10. (a) f'(t) = t 1 /3e 1—t2e, ve f (o) = 2e 1 + ey olacak şekilde bir f (t) vektör değerli fonksiyon bulunuz?

(b) f" (t) (cost) e l + e2 ve f (0) = 3e 1—e2 , f'(0) = e 1— e2 olacak şekilde bir f (t) vektör değerli fonksiyon bulunuz?

11. Kesim (2.3) de (iv) özeliğinin varlığını gösteriniz? 12. f=a e l + pe2 olsun.

(a) f < M ise Ioc < M ve 43 < M olduğunu gösteriniz? (b) la I < M ve

ip <

M ise If I < M N/2 olduğun u gösteriniz?

f (t) dt < f(t) dt, rı< r2, olduğunu gösteriniz?

r

14. a <t Gb için f =aeı+ pe2 ve If (t) I < M olduğunu varsa-yalım. Bu durumda

fc,bf (t) dt < (b-a) M N/ 2 olduğunu gösteriniz?

15. f (t) ve f' (t) fonksiyonlarının 0 < t < 1 için sürekli olduklarını varsayahm. Ayrıca her t için I f' (t) I > 0 olsun.

Bu durumda f (0) =- (1) olma olasılığı var mıdır?

16. Kesim (2.3) de (v), (vi), (vii), ve (viii) özeliklerinin varlığını gösteriniz?

17. f(t o) = a ve g'(t o) = b ise (f+g)'(t o) = a+b olduğunu göste-riniz ?

18. Aşağıda vektör değerli fonksiyonlarla verilen yörüngeleri ve bu yörüngelerin belirtilen kısımlarını ayırdediniz?

(a) t —> (t 2— ) e i + (t 4— ) e2, — o0 < t < Go (b) t -* lnet e i + hit e2 , 1 < t < oo (e) t —> 1—t2e1 + 1+t2e2 , — 1 < t < 1 13.