BEBERAPA SOAL ANALISIS REAL DAN PEMECAHANNYA BEBERAPA SOAL ANALISIS REAL DAN PEMECAHANNYA 1.
1. Sequence (xSequence (xnn) is defined b !"e f#$$#%in& f#'u$s f#' !"e n!" !e'. *'i!e !"e fi's! fi+e) is defined b !"e f#$$#%in& f#'u$s f#' !"e n!" !e'. *'i!e !"e fi's! fi+e !e's in ec" cse,
!e's in ec" cse, . . x xnn
==
11++
((−−
11))nn b. b. n n x x n n n n )) 1 1 ((−−
==
c. c.))
1
1
((
1
1
+ + = = n n n n X X nn d. d.-1
1
-- ++ = =n
n
x
x
nn Ans%e' Ans%e' . . x xnn=
=
(( //--//--//...)...) b. b. ...)...) 0 0 1 1 1 1 2 2 1 1 -1 1 1 1 ((−
−
−
−
−
−
=
=
n n x x c. c. ...)...) 2/ 2/ 1 1 -/ -/ 1 1 1-1 1 3 3 1 1 -1 1=
=
n n x x d. d. ...)...) -4 -4 1 1 15 15 1 1 11 11 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1=
=
n n x x -.-. 6"e fi's! fe% !e's #f sequence (x6"e fi's! fe% !e's #f sequence (xnn) 'e &i+en be$#%. Assu) 'e &i+en be$#%. Assuin& !"! !"e in& !"! !"e n!u'$ 7!ee'nn!u'$ 7!ee'n indic!ed b !"ese !e's 7e'sis!s &i+e f#'u$ f#' !"e n!" !e' x
indic!ed b !"ese !e's 7e'sis!s &i+e f#'u$ f#' !"e n!" !e' xn.n. . . 00 44 88 1 111 . ... b. b. ...... 0 0 2 2 2 2 - -1 1 c. c. ...... 13 13 1 1 5 5 1 1 1 1 -1 1
−
−
−
−
d d.. 11 88 1 133 . ... Ans%e' Ans%e' . . xxnn 9 -n:2 9 -n:2 b. b. -)) 1 1 ((n
n
x
x
n n n n−−
==
c. c. 1 1++
==
n n n n x xnn d. d. x xnn==
nn- -2.2. Lis! !"e fi's! !e's #f !"e f#$$#%in& induc!i+e$ defined sequences.Lis! !"e fi's! !e's #f !"e f#$$#%in& induc!i+e$ defined sequences. . . xx11 9 1 9 1 xxn:1n:192x92xnn:1:1 b. b. 11 9 - 9 - n:1n:199 )) -(( -1 1 n n n n y y y y
++
c. c. ;;119 19 1 ;;-- 9 - 9 -)) (( )) (( 1 1 1 1 -n n n n n n n n n n z z z z z z z z z z−−
++
==
++ ++ ++ d. d. ss11 9 2s 9 2s-- 9 0 9 0 ssn:-n:- 9 s 9 snn : s : sn:1n:1 Ans%e' Ans%e' .. 11 1 122 // 1 1-1-1 b. b. -- )) 2 2 -2 2 (( -1 1 -2 2 -2 2+
+
1
1
c. 1 - 2 0 d. 2 0 5 12 . <#' n b
∈
R
n 7'#+e !"! $i=
/ n b Ans%e' / $i
=
n b '!in / $i / / / / / / / / / / / /=
<
−
≥
∀
∋
∃
>
∀
<
=
<
−
=
<
−
⇒
−
>
≥
−
>
>
<
=
=
=
<
=
<
⇒
>
≥
>
<
−
>
⇒
<
−
<
−
>
⇒
<
>
≥
<
<
−
⇒
≥
∀
∋
∃
>
∀
n b lain kata dengan n b maka N n N diperoleh jadi n b jadi n b n b n b b n maka N n b N pilih b kasus n b jelas b kasus n b jadi n b n b n b b n maka N n b N pilih b kasus b n n b b n b b n n b b n b n b N n n b adb n b N n N ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε0. =se !"e defini!i#n #f !"e $ii! #f sequence !# es! b$is" !"e f#$$#%in& $ii!s.
. ) / 1 1 $i( -
=
+
n b. ) -1 -$i(=
+
n-c. -2 ) 0 -1 2 $i(
=
+
+
n n d. -1 ) 2 -1 $i(-=
+
−
n n Ans%e' .( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
/ 1 1 $i ) ( 1 1 / 1 1 / 1 1 1 1 / / 1 1 / 1 1 $i , / 1 1 $i-=
+
∈
+
≥
∋
∈
∃
>
∀
<
+
≤
−
+
≥
−
∋
∈
>
=
+
⇒
≥
∋
∈
∃
>
∀
+
=
+
n terbukti jadi L V n berlaku K n N K jadi K n berlaku maka K n sehingga N K pilih sebarang ambil n K n N K berarti n bukti n ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε b.( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
/ 1 -$i -1 -/ -1 -1 -1 -1 -/ -1 -/ 1 -$i , / 1 -$i = + < − + ≥ ∋ ∈ ∃ > ∀ < < + = + − = + − − = − + ≥ > ∋ ∈ > < − + ⇒ ≥ ∋ ∈ ∃ > ∀ + = + n n terbukti jadi n n berlaku K n N K jadi n n n n n n n n berlaku maka K n sehingga K N K pilih sebarang ambil n n K n N K berarti n n bukti n n ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε c.2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
-2 0 -1 2 $i -2 0 -1 2 / 12 12 1/ 12 0 -12 0 -10 2 1 2 -2 0 -1 2 12 / -2 0 -1 2 / 0 -1 2 $i , -2 0 -1 2 $i=
+
+
<
−
+
+
≥
∋
∈
∃
>
∀
<
<
<
+
=
+
−
=
+
−
−
+
=
−
+
+
≥
>
∋
∈
>
<
−
+
+
⇒
≥
∋
∈
∃
>
∀
+
+
=
+
+
n n terbukti jadi n n berlaku K n N K jadi K n n n n n n n n berlaku maka K n sehingga K N K pilih sebarang ambil n n K n N K berarti n n bukti n n ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε d.( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
-1 2 -1 $i -1 2 -1 / 0 0 0 2 -0 2 -2 -1 -1 2 -1 0 / -1 2 -1 / 0 -1 2 $i , -1 2 -1 $i -= + − < − + − ≥ ∋ ∈ ∃ > ∀ < < < = + − = + − − − = − + − ≥ > ∋ ∈ > < − + − ⇒ ≥ ∋ ∈ ∃ > ∀ + + = + − n n terbukti jadi n n berlaku K n N K jadi K n n n n n n n n berlaku maka K n sehingga K N K pilih sebarang ambil n n K n N K berarti n n bukti n n ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 3. S"#% !"! . ) / 4 1 $i(=
+
n
( )
( )
-) -$i( / 1 -) $i( ) -$i( 1 $i . -$i / . -1 . -/ ) -1 -$i( ) -$i( -) -$i( -) -$i( = = = = = + = = ∈ ∀ ≠ + = = = + = + = + = + n jadi z x z x n n Jadi z dan x maka N n z n z x misal n n n n n adt bukti n n n n n n n n n n n b. ) -1 -$i(=
+
n n c. ) / 1 $i(=
+
n n d. ) / 1 1 $i( -=
+
−
n n n Ans%e' .( )
( )
/ ) 4 1 $i( / 1 / ) $i( ) 4 1 $i( 1 $i . / $i / . 4 1 . 1 / ) 4 1 $i( / ) 4 1 $i( = + = = = = + = = ∈ ∀ ≠ + = = = + = + n jadi z x z x n Jadi z dan x maka N n z n z n x misal n adt bukti n n n n n n n n n n b.( )
( )
/ ) 1 $i( / 1 / ) $i( ) 1 $i( 1 $i . / $i / . 1 1 . 1 / ) 1 1 1 $i( ) 1 $i( / ) 1 $i( / ) 1 $i( = + = = = = + = = ∈ ∀ ≠ + = = = + = + = + = + n n jadi z x z x n n Jadi z dan x maka N n z n z n x misal n n n n n n adt bukti n n n n n n n n n n n c.0
d.
( )
( )
/ ) 1 . ) 1 ( $i( / 1 / ) $i( ) 1 . ) 1 ( $i( 1 $i / $i / 1 1 1 / ) 1 1 1 $i( ) 1 . ) 1 ( $i( / ) 1 . ) 1 ( $i( / ) 1 . ) 1 ( $i( -= + − = = = = + − = = ∈ ∀ ≠ + = − = = + − = + − = + − = + − n n jadi z x z x n n Jadi z dan x maka N n z n z n x misal n n n n n n adt bukti n n n n n n n n n n n n n n n n n n4. P'#+e !"! $i xn9/ if #n$ if $i n
x
9/.&i+e n ex7$e !# s"#% !"! !"e c#n+e'&ence #f n
x
need n#! i7$ !"e c#n+e'&ence #f xn Ans%e'
( )
( )
/ $i / / / / $i / / $i / / / / / $i=
<
−
<
∋
=
<
−
⇒
<
−
≥
∋
∈
∃
>
=
⇐
=
<
−
⇒
≥
∋
∀
∈
∃
>
∀
<
−
=
<
≥
∋
∈
∃
>
∀
=
⇒
n n n n n n n n n n n n n n n n x jadi x x x x maka x x berlaku N n bila sehingga N n sebarang ambil x im l adt x dipunyai x jadi x N n N N jadi x x x berlaku K n N K berarti x im l adt x dipunyai bukti ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε >di !e'bu?!i C#n!#" 1 $i ) 1 $i( $i $i ) 1 ( ) ( ke konvergen yaitu it mempunyai karena konvergen x jelas x it mempunyai tidak karena divergen x Jelas x n n n n n n−
=
−
=
5. S"#% !"! if xn
≥
/ f#' $$ n∈
N nd $i xn9/ !"en $i xn 9/Ans%e' terbukti x N n apabila x N n jadi x x x N n apabila x N n pilih sebarang ambil x dan N n x dipunyai n n n n n n n n $i / / / / $i / -> < − ∋ ∈ ∃ > ∀ < ⇒ < ⇒ < ⇒ > < − ∋ ∈ = ∈ ∀ ≥ ε ε ε ε ε ε
![] - 1 1). 1. 1, 1, 3](https://thumb-us.123doks.com/thumbv2/123dok_us/11477907.6192232/cover.webp)
