STUDY OF SOLUTIONS PROPERTIES OF RECONSTRUCTION VEHICLES PROBLEMS BY THE OPTIMIZATION METHOD LAGRANGE

(1)

УДК 519.6

А

.

А

.

БОСОВ

(

ДИИТ

),

Б

.

П

.

ПИХ

(

Львовская

ж

.

д

.)

ИССЛЕДОВАНИЕ

СВОЙСТВ

РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ

РЕКОНСТРУКЦИИ

ТРАНСПОРТНЫХ

СРЕДСТВ

МЕТОДОМ

ОПТИМИЗАЦИИ

ЛАГРАНЖА

Задачі реконструкції транспортних засобів сформульовані як задачі векторної оптимізації. Запропонова-на методика побудови трьох розв’язків задач на умовний екстремум з використанням технолого-экономічної карти. Розв’язок, отриманий за допомогою функції Лагранжа, є випуклою комбінацією для то-чок точного розв’язку.

Задачи реконструкции транспортных средств сформулированы как задачи векторной оптимизации. Предложена методика построения трех решений задач на условный экстремум с использованием технолого-экономической карты. Решение, полученное с помощью функции Лагранжа, является выпуклой комбинаци-ей для точек точного решения.

The tasks of reconstruction of vehicles are formulated as the problems of vector optimization. The authors have proposed a method of constructing the three solution of conventional extremum tasks with the use of technological & economic card. The solution, obtained with the use of Lagrange function, is a prominent combination for the points of precise solution.

В данной работе рассматривается задача векторнойоптимизации

( )

min

z

⎛ γ ⎞ → ⎜_{−τ γ} ⎟

⎝ ⎠ (1)

приусловии, что

γ∈Γ. (2)

Винженернойинтерпретации γ – перечень работ (мероприятий) по реконструкции пути и подвижного состава железнодорожного на -правления, по которому желаем ускорить дос -тавку грузов и пассажиров. Данному перечню работ γ соответствуют затраты средств z

( )

γ исокращение временидоставки τ γ

( )

. Относи -тельно множества Г предполагаем, что оно дис -кретно и конечно. С математической точки зре -ния γ− селектормногозначногоотображения

( )

Γ ω :Ω → Α,

гдеа – множествомероприятий, которыемогут быть использованы, например, при реконст -рукции пути; Ω – перечень элементов ω, изкоторыхсостоитпуть.

Решениемзадачивекторной оптимизации (1)– (2) являетсямножество Γ ⊆ Γ_* , элементыкоторо -го образуют наборы γ_* между собой несравни -мые.

Не ограничивая общности рассмотрения, считаем, что γ*∈Γ* пронумерованы так, что

имеетместо

( ) ( )

11

γ γ

, 1, ,

γ γ

i i

z z

i n

+

⎡ < ⎤

= ⎢_τ _{< τ} ⎥

⎣ ⎦ (3)

где n – числовариантов γ_* вмножестве Γ_*. Если исходное множество Г содержит не -значительное количество вариантов γ, то по -строение множества Γ_* можно выполнять не -посредственнымперебором, используяправило отбора (критерий) (3).

Однако прирешении реальныхзадач поре -конструкции транспортных средств примене -ние непосредственного перебора является не -эффективнымсточкизрениязатратвременина получениерешенияисходнойзадачи (1)–(2).

Поэтому с задачей (1)–(2) связываютзадачу наусловныйэкстремум

( )

γ min

z → (4)

приусловии, что

( )

*

τ γ ≥ τ , γ∈Γ, (5)

решение которой определяют по методу Ла -гранжа, сводя задачу (4)–(5) к задаче миними -зациифункцииЛагранжа [1]

( ) ( )

γ,µ γ µτ γ

( )

, γ ,

L =z − ∈Γ

где µ – неопределенный множитель Лагранжа, такой, что µ 0.≥

Обозначимчерез γ

( )

µ решениезадачи

( )

γ,µ min, γ .

(2)

Неопределенный множитель Лагранжа тради -ционноопределяетсяизнеравенства τ γ⎡_⎣

( )

µ ⎤ ≥_⎦ τ_*. Мыжепоступиминаче. Сформируеммножество

( )

{

}

*

γ Γ

µ :µ 0,L γ µ ,µ minL γ,µ .

∈

⎡ ⎤

Γ = γ ≥ _⎣ _⎦= ₍₆₎

Теорема. Множество Γ_* _{является} _{выпуклой}

комбинациеймножества Γ_*.

Утверждение этой теоремы необходимо по -ниматьвтомсмысле, чтоеслиэлементамиз Γ_*

и Γ_* поставить в соответствие точки на плос -кости( ,z τ), то точки, соответствующиемноже -ству Γ_*_,_{образуют} _{выпуклую} _{комбинацию} _то

-чек ( ,z τ), соответствующих γ ∈Γ_* _*.

Доказательство теоремы будем проводить в предположении, что

( )

0,

z γ ≥ τ

( )

γ ≥0 при γ ∈Γ. (7)

Если это условие не выполняется, то введя разности

( )

min

( )

;

z z

γ∈Γ

γ − γ

( )

γ Γ τ γ minτ γ ,

∈ −

приходим к соотношениям (7) для данных разностей.

Наплоскости с координатами L и µ функ -ция Лагранжа при γ ∈Γ как функция µ пред -ставляет собой прямую, причем этих прямых конечноеколичествовсилуконечностимноже -ства Г. Если в функцию Лагранжа вместо γ

поставить γ µ

( )

, тополучимкусочно-линейную кривую, которая является огибающей снизу указанныхпрямых.

Пусть µ₁< µ <…< µ₂ _m представляют собой точки излома огибающей, тогда γ

( )

µ ,₁

( )

2 , ,

( )

m

γ µ … γ µ представляют содержание

множества Γ_*, апарыточек

( )

γ µ ;

i i

z _{= ⎣}z⎡ ⎤_⎦ (8)

( )

τ_i =τ γ⎡_⎣ µ_i ⎤_⎦, i=1,m

будут отображением множества Γ_* _на _плос

-костьфункционалов ( ,z τ).

Возьмем какие-либо три точки ( ,z_i τ_i),

1 1

(z_i₊ ,τ_i₊ ), (z_i₊₂,τ_i₊₂), тогда из свойства оги -бающейимеем:

1 1 1 1;

i i i i i i

z − µ τ =₊ z₊ − µ τ₊ ₊

1 2 1 2 2 2.

i i i i i i

z₊ − µ τ =₊ ₊ z₊ − µ τ₊ ₊

Откудавсилутого, что µ < µ_i₊₁ _i₊₂ получаем

1 2 1 1 2 1

,

i i i i

z₊ z z₊ z₊

+ + +

− −

<

τ −τ τ − τ

чтоэквивалентнонеравенству

(

)

2

1 1

2

,

i i

i i i i

i i

z z

z₊ + ₊ z

+

−

< τ − τ + τ − τ

котороеозначает, чтоломаная, проходящаяче -резточки (8), являетсявыпуклой.

Рассмотрим µ∈ µ µ

(

_i, _i₊₁

)

. Откудаполучаем

1 1

i i i i

z − µτ <z₊ − µτ₊

или

(

i+1 i

)

zi+1 zi.

µ τ − τ < − (9)

Если µ = µ_i₊₁, то неравенство (9) переходит вравенство

(

)

1 1 1 ,

i+ i+ i zi+ zi

µ τ − τ = −

чтоследуетизсвойстваогибающей.

Пусть ε >0 таково, что µ < µ − ε₁ ₂ , тогда изнеравенства (9) получаем

(

i+1 i

)

0, −ε τ − τ <

что имеет место, если τ_i₊₁> τ_i, но тогда из (9) следует z_i₊₁>z_i. Такимобразом, точкиизпосле -довательности (8) удовлетворяютсоотношению

1

, 1, ,

i i

z z

i m

+ + <

⎛ ⎞

= ⎜_{τ < τ} ⎟

⎝ ⎠

а в силу критерия (3) они образуют несравни -мыеварианты, чтоидоказываеттеорему.

Доказанная теорема может быть обобщена для случая, когда множество Г является конти -нуумом. Чтобы не загромождать исследования, будем рассматривать случай, когда Г является отрезком действительной оси Γ =

{

x a x b: ≤ ≤

}

, а z x

( )

и τ

( )

x определеныинепрерывнывместе сосвоимипервымипроизводнымипохпри x∈Γ.

Задачавекторнойоптимизацииимеетвид

( )

min

z x x

⎡ ⎤

→ ⎢_−τ ⎥

⎣ ⎦

приусловии x∈Γ.

(3)

ФункцияЛагранжапринимаетвид

( ) ( )

,

( )

, L xµ =z x − µτ x

минимумкоторойдостигаетсяпри x x= µ ∈Γ

( )

. Существование x

( )

µ следует из теоремы Вей -ерштрасса [1].

Из необходимого условия минимума L x

( )

,µ

следует

( ) 0.

x x

dz d

dx dx = µ

τ

⎛ _{− µ} ⎞ ₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Откуда, если

( ) 0 x x d dx _{= µ}

τ

≠ ,

получаем

( ) . x x dz

dx _{= µ} = µ

И так как 0,µ ≥ то кривая z z= τ

( )

или впараметрическойформе

( )

*

,

, 0 z z x

P

x ⎧ = ⎡ µ ⎤

⎪ ⎣ ⎦

= ⎨

⎡ ⎤

τ = τ µ µ ≥

⎪ _⎣ _⎦

⎩

является возрастающей и выпуклой кривой. Еслипостроитькривую

( )

{

}

* , : * , * , * * ,

P = z τ z z x= τ = τ x x ∈Γ

тоимеем P_*⊆P_*_,_что_и_{является}_{вариантом} _до -казанной теоремыв континуальном случае. Не останавливаясь на случае, когда z и τ полуне -прерывные снизу функции, перейдем к рас -смотрению ситуации, когда они являются функциямимножества.

Определенности ради будем рассматривать пространствосмерой

( ) ( )

, , ,

< Ω A Ω λ ⋅ >

где A

( )

Ω – алгебра, элементы которой явля -ются подмножествами множества Ω. На эле -ментах из A

( )

Ω определена и конечна мера

( )

.

λ ⋅ Относительно меры λ ⋅

( )

предполагаем, что она однородна и аддитивна. Относительно

z и τ предполагаем, чтоониопределеныико -нечны на элементах из A

( )

Ω , причем удовле -творяютусловиям:

1. τ ∅ = ∅ =

( ) ( )

z 0; 2. ∀ ∈E A

( )

Ω ,

имеем z E

( )

>0; τ

( )

E >0 если E≠ ∅.

Задачу векторной оптимизации формально можнозаписатьввиде

( )

min

z E E

⎛ ⎞

→

⎜ ⎟

⎜_−τ ⎟

⎝ ⎠ (10)

приусловии E∈A

( )

Ω .

Пусть ω∈E и B_n, n=1,2,… последова -тельность множеств из A

( )

Ω , которая имеет своим пределом одноточечное множество { }.ω

Считаем, что существуют внутренние произ -водныеот z E

( )

и τ

( )

E ω вточкенапоследо -вательности { }B_n . [2]

С задачей (10) связываем задачу на услов -ныйэкстремум

( )

min

z E → (11)

приусловии

( )

E *, E

( )

.

τ ≥ τ ∈A Ω

ВводимфункциюЛагранжа

(

,

) ( )

( )

, 0.

L E µ =z E − µτ E µ ≥

Пусть E_*

( )

µ такоеподмножествомножества

Ω из A

( )

Ω , при котором функция Лагранжа принимает минимальное значение, а набор

( )

{

*

}

ε_*= E µ µ ≥: 0 – множество решений зада -чи (11) приразличных τ_* или 0.µ ≥

Если ε_{* –}решение задачи векторной опти -мизации, то в данных обозначениях рассмот -реннаятеоремапринимаетвид ε_*⊆ε_*.

Чтокасаетсяотображениймножеств ε_*и ε_*

на плоскость функционалов ( , ),z τ то отображе -ние множества ε_* является выпуклой комбина -циейдляточекотображениямножества ε_*.

Доказательство этих фактов выполним для случая, когдамножество Ω являетсяконечным дискретным, а A

( )

Ω всевозможные подмноже -ствамножества Ω.

Если E_*

( )

µ при фиксированном µ достав -ляет минимум функции Лагранжа L E

(

,µ

)

,то имеетместо

(

,

)

*

( )

, 0.

L E µ −L E⎡_⎣ µ µ ≥⎤_⎦

ВыбираямножествоЕввиде

(4)

где ∆ – операция симметрической разности двухмножеств, получаем

( )

* n, * , 0

DL L E≡ ⎡_⎣ µ ∆B µ −⎤_⎦ L E⎡_⎣ µ µ ≥⎤_⎦ ,

аизменениемерыбудет

( )

* n * n .

Dλ ≡ λ⎡_⎣E µ ∆B _⎦⎤− λ_⎣⎡E µ = −λ⎤_⎦ B

Отношение полученных разностей удовле -творяетнеравенству

0.

n

B DL

Dλ ≤

Устремляя n→ ∞, получаем

{ } { } { } { }

0.

n n

B B

dL dz d

d _{→ ω} d d _{→ ω}

τ

⎛ ⎞

=_⎜ − µ _⎟ ≤

λ ⎝ λ λ⎠ (12)

Относительновыборамеры λ ⋅

( )

предполага -ем, что она однородная и аддитивная функция множества. Чтобывоспользоватьсянеравенством (12), намеру λ ⋅

( )

накладываемусловие:

1. ЕслиЕсодержитизолированныеточкиω′, то

( )

_L

( )

, E

E E H

′ ω ∈

′

λ = λ +

∑

ω

где λ_L

( )

E ЛебеговамерамножестваЕ. 2. H

( )

ω = ∀ω ∈′ 1, ′ E.

При этих предположениях неравенство (12) принимаетвид

( )

* \ { } *

z E⎡_⎣ µ ω −⎤_⎦ z E⎡_⎣ µ −⎤_⎦

( )

{

⎡E* \ { }⎤ ⎡E* ⎤

}

0.

−µ τ_⎣ µ ω − τ_⎦ _⎣ µ _⎦ ≥ (13)

Далее считаем, что функции множества

( )

z E и τ

( )

E имеютвид

( )

{ } ,

{ } . E

E

z E z

E

ω∈

⎧ = ω

⎪ ⎨

τ = τ ω

⎪ ⎩

∑

(14)

При таком представлении неравенство (13) будетследующим:

{ }

( )

{ }

0,

z

− ω + µτ ω ≥

чтос необходимостьюпозволяетсформировать множество

( )

{

}

*( ) : { } { } 0 ,

E µ = ω∈Ω z ω − µτ ω ≤ (15) тогда

( )

* * * 0,

L E⎡_⎣ µ =⎤_⎦ z E⎡_⎣ µ − µτ⎤_⎦ ⎡_⎣E µ ≤⎤_⎦

атаккак

(

,

)

*

( )

, ,

L E µ ≥L E⎡_⎣ µ µ⎤_⎦

тонаплоскостискоординатами

(

L,µ

)

ломаная

( )

* * ,

L z E= ⎡_⎣ µ − µτ⎤_⎦ ⎡_⎣E µ µ⎤_⎦

являетсяогибающейснизупрямых

( )

,

( )

.

L z E= − µτ E E∈A Ω

Заметим, чтовсилудискретностииконечно -стимножества

Ω

следуетконечностьидискрет -ность A

( )

Ω и, если пронумеровать элементы из

( )

Ω ,

A тополучаемпоследовательностьпар

( )

,

, 1, ,

i i

z z E

E i n

⎧ = ⎪ ⎨

τ = τ = ⎪⎩

где n – числоэлементовмножества A

( )

Ω . Данное замечание сводится к рассматривае -мому случаю, для которого доказывалась теоре -ма. Болеетого, представление (14) необязательно придоказательствеотношенияε_*⊆ε_*.

Представление (14) позволяет конструктив -но строить множество E_*

( )

µ и использовать его, еслиимеетместо

( )

{ } ; E

z E z

ω∈

≤

∑

ω (16)

( )

{ } . E

E

ω∈

τ ≥

∑

τ ω (17)

Неравенство (16) имеет место, когда неко -торые элементы из Е имеют общие операции в соответствии с технолого-экономической кар -той (ТЭК) реконструкции того или иного объ -екта (перегона, станцииит. д.) [3]

Что касается неравенства (17), то с ним впервые встретились при выполнении тяговых расчетов [4]. Действительно, если ω₁ и ω₂ – дваэлементанаперегоне, которые подвергают -сяреконструкции, товыполнивреконструкцию элемента ω₁, получим время движения поезда

1,

t которое меньше чем t₀ – время движения поезда до реконструкции и сокращение време -нидвижениябудет τ = −₁ t₀ t₁.

Аналогично получаем и для элемента ω₂:

2 t0 t2.

τ = −

(5)

В общем случае имеет место τ ≥ τ + τ₁₂ ₁ ₂. Равенстводостигается в том случае, когда рас -стояниемежду элементамибольшерасстояния, накоторомреализуетсяпереходпоездасодной скоростидвижениянадругую.

В математической литературе [5] функции типа z E

( )

известны как полуаддитивные функциимножества. Чтобыразличатьситуации (16) и (17) предлагается функции типа z E

( )

называть полуаддитивными сверху, а функции типа τ

( )

E – полуаддитивнымиснизу.

Взяввкачестве

( )

{ } ; E

z E z

ω∈

=

∑

ω

( )

{ } E E

ω∈

τ =

∑

τ ω

ирешивзадачу

( )

min

z E E

⎡ ⎤

→ ⎢_−τ ⎥

⎣ ⎦

(18)

при E∈A

( )

Ω , получаем решение, котороега -рантирует, чтозатратыбудутнеболее, а время сокращения хода поезда не менее, чем для ва -риантоврешениязадачи (18).

Если z E

( )

– аддитивнаяфункция, нотакая,

чтовыполняетсянеравенство

( ) ( )

, z E ≤z E

∀ ∈E A

( )

Ω ,

торассмотрениезадачи

( )

min

z E E

⎡ ⎤

→ ⎢_−τ ⎥

⎣ ⎦ (19)

при условии∀ ∈E A

( )

Ω , позволяет построить решение, дающее оценку затратснизу. Тем са -мым задачи (18) и (19) приводят к оценке ре -шения исходной задачи (10) снизу и сверху по затратам средств с гарантированной оценкой снизупосокращениювремениходапоезда.

В общем случае построение аддитивных

функций множества z E

( )

и z E

( )

выходит за

рамкиданной работы. Ограничимся ситуацией, когда для реконструкции объекта, состоящего из элементов ω ∈Ω_i , необходимо выполнение работы A_j∈ −A перечень работ при заданной организации и технологии реконструкции. Пусть c_j – затраты средств при выполнении

работы A j_j, =1, .N Работа A_j может понадо -биться нескольким элементам из ,Ω что будем отражать ввиде матрицы Т, элементы которой представляютсобой

1, если работа необходима для ,

0, в противном случае.

j i

ij

А

T _{= ⎨}⎧⎪ ω

⎪⎩

Точная формула для вычисления z E

( )

бу -детследующей:

( )

1

,

i

N

j ij

j E

z E c T

= ω ∈

⎛ ⎞

= σ⎜_⎜ ⎟_⎟

⎝ ⎠

∑

где

( )

1, 0;

0, 0. x x

x > ⎧ σ _{= ⎨}

≤ ⎩

Положив

(

)

1

{ }_i N _{j ij}, j

z c T

=

ω =

∑

(20)

получим

( )

(

{ } .

)

i

i E

z E z

ω ∈

≤

∑

ω

Для получения аддитивной оценки снизу принимаем

(

)

1 1

{ } ,

i

N N

j

i ij j ij

j ij j

c

z T c T

T

= =

ω ∈Ω

ω =

∑

=

∑

(21)

чтоприводиткнеравенству

( )

({ })

,

i

i E

z

z E

ω ∈

ω

≤

∑

а равенство достигается только тогда, когда множество Е содержит все элементы, для ре -конструкции которых и только их необходим переченьработ A ⊆A, адля ω ∈Ω_i \Eработы изперечнянеиспользуются.

Рассмотрим числовойпример, исходнаяин -формациякоторогоданавтабл. 1, представляет собой ТЭК для объекта, состоящего из семи элементов ω_i,i=1,7. Реконструкция этого объекта предусматривает выполнение два -дцатиработA_j, j=1,20. Строчка c_j – втабл. 1 рассчитанапоформуле

7

1

, j j

ij i

c c

T

=

∑

(6)

(7)

Возьмем множество Е, состоящее из элемен -тов E= ω ω ω{ ,₁ ₅, ₇}, ивычислимточноезначение затратнареконструкциюэтихэлементов.

( )

0,5 1,2 1,6 1,3 2,1 5,4 5,5 2,2

z E = + + + + + + + +

1,7 1,5 1,7 3, 2 2,7 3,1 3,5 0,7 37,9

+ + + + + + + + = .

Оценкаэтихзатратснизусоставит

( ) ( )

1

( ) ( )

5 7

z E =z ω +z ω +z ω =

4,7931 8,8831 9,1314 22,8076

= + + = .

Оценка z E

( )

сверхубудетравна

( )

1

( ) ( )

5 7

z E =z ω +z ω +z ω =

14,1 20,5 20,0 54,6.

= + + =

Дляданногомножествасреднеезначение

( ) ( )

38,7038, 2

z E +z E =

что достаточно близко к точному значению

( )

37,9.

z E = Погрешностьсоставляет 2,1 ‰.

Выполним решение задачи векторной оп -тимизации, когда в качестве затратпринима -ется их оценка снизу, т. е. рассматривается задача

( )

min,

z x x

⎡ ⎤

→ ⎢_−τ ⎥

⎣ ⎦ (22)

где

( )

;

i

i E

z E z

ω ∈

=

∑

ω

( )

.

i

i E E

ω ∈

τ =

∑

τ ω

Всоответствии сформулой (15) формируем множества

( )

{

( )

}

* : 0 , 0.

E µ = ω∈Ω z ω − µτ ω ≤ µ ≥

При формированиимножества E_*

( )

µ

пред

-варительно для каждого ω_i определяем µ_i, прикоторомреализуетсяравенство

( )

_i _i

( )

_i 0. z ω − µ τ ω =

Вданномпримереполучаем:

1 1

4,7931

: 0,6842;

7

ω µ = =

2 2

7,3231

: 0,6657;

11

ω µ = =

3 3

8,0831

: 0,6842;

12

ω µ = =

( )

4 4 4

4

: z ω 0,9760;

ω µ = =

τ ω

( )

5 5 5

5

: z ω 0,9351;

ω µ = =

τ ω

( )

6 6 6

6

: z ω 0,7182;

ω µ = =

τ ω

( )

7 7 7

7

: z ω 1,0146.

ω µ = =

τ ω

Полученные значения µ упорядочиваем по возрастанию и формируем множества E_*

( )

µ ,

арезультатысводимвтабл. 2.

Таблица 2

µ E_*

( )

µ

z E⎡⎣ *

( )

µ ⎤⎦ τ⎡⎣E*

( )

µ ⎤⎦

z E⎡⎣ *( )µ ⎤⎦

0≤ µ <0,6657 ∅ 0,0000 0,0 0,0

0,6657≤ µ <0, 6736 ω₂ 7,3231 11,0 21,0

0,6736≤ µ <0,6842 ω ω₂, ₃ 15,4062 23,0 29,2

0,6842≤ µ <0,7182 ω ω ω₁, ₂, ₃ 20,1997 30,0 31,3

0,7182≤ µ <0,9351 ω ω ω ω₁, ₂, ₃, ₆ 30,9724 45,0 40,8

0,9351≤ µ <0,9760 ω ω ω ω ω₁, ₂, ₃, ₅, ₆ 39,8555 54,5 46,2

0,9760≤ µ <1,0146 ω ω ω ω ω ω₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆ 47,4686 62,3 51,1

(8)

Аналогичнымобразомстроимрешениезадачи

( )

min,

z E E

⎡ ⎤

→ ⎢_−τ ⎥

⎣ ⎦

(23)

где

( )

,

i E

z E z

ω ∈

=

∑

ω

а показательτ

( )

E вычисляется по такой же формуле, какивзадаче (22).

Значения

µ

взадаче (23) следующие:

1 2,0143;

µ = µ =₂ 1,09091;

3 1,8;

µ = µ =₄ 2,1282;

5 2,1579;

µ = µ =₆ 1,62; µ =₇ 2, 2 .

( )

Используя формулу (15), решение задачи (23) пометодуЛагранжаформируемввиде

( )

{

( )

}

* : 0 , 0.

E µ = ω∈Ω z ω − µτ ω ≤ µ ≥

Результатысводимвтабл. 3.

Таблица 3

µ E_*

( )

µ

z E⎡⎣ *

( )

µ ⎤⎦ τ⎣⎡E*

( )

µ⎤⎦ z E⎡⎣*

( )

µ ⎤⎦

0≤ µ <1,62 ∅ 0,0 0,0 0,0

1,62≤ µ <1,8 ω₆ 24,3 15,0 24,3

1,8≤ µ <1,9091 ω ω₃, ₆ 45,9 27,0 34,2

1,9091≤ µ <2,0143 ω ω ω₂, ₃, ₆ 66,9 38,0 38,7

2,0143≤ µ <2,1282 ω ω ω ω₁, ₂, ₃, ₆ 81,0 45,0 40,8

2,1282≤ µ <2,1579 ω ω ω ω ω₁, ₂, ₃, ₄, ₆ 97,6 52,8 45,7

( )

2,1579≤ µ <2, 2 ω ω ω ω ω ω₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆ 118,1 62,3 51,1

( )

2, 2 ≤ µ ω ω ω ω ω ω ω₁, ₂, ₃, ₄, ₅, ₆, ₇ _{138,1 71,3 56,6}

Анализируярезультаты табл. 2 итабл. 3 на предмет несравнимых вариантов по точному подсчету затрат z E

( )

и времени сокращения хода поезда, получаем десять несравнимых ва -риантов, приведенныхвтабл. 4.

Символом E_L отмечаем множества, полу -ченныес использованием функции Лагранжа в задачах (22) и (23).

Теперь воспользуемся производной от

функции множества по мере, и принимая во внимание необходимое условие (12), опреде -лимнесравнимыеварианты.

Исходить будем из варианта, который при -надлежит решению задачи (10). Очевидно, что таким вариантом является само множество Ω. Затемнаходимтакое ω ∈Ω_* , чтоимеетместо

* *

max

dz d dz d

d _ω d _ω ω∈Ω d _ω d _ω

⎛ ⎞ ⎛ τ ⎞₌ ⎛ ⎞ ⎛ τ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ _λ ⎟ ⎜ _λ ⎟ _⎝ _λ _{⎠ ⎝} _λ _⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(24)

итогдамножество Ω ω\ { }_* будетэффективным. В нашем случае реализация соотношения (24) осуществляетсяпри

ω = ω

_* ₄

.

Такимобразом, множество

1 2 3 5 6 7

\ { } { ,_n , , , , } E= Ω ω = ω ω ω ω ω ω

доставляетзначениезатрат

( )

51,7

z E = и τ

( )

E =63,5.

Далее с множеством Е поступаеманалогич -но и находим ω_*, который в силу (24) надо удалить из Е и т. д. Результаты данной проце -дурысводимвтабл. 5. Сравнивая срезультата -ми, представленнымивтабл. 4, заключаем, что множество, состоящееиз элемента ω₆, должно быть исключено из перечня эффективных, так как множество ω₁, ω₃ изтабл. 5 дает меньшие затратысредствибольшеезначение τ.

Таблица 4

L

E z E

( )

L τ

( )

EL

2

ω 21,0 11,0

6

ω 24,3 15,0

2, 3

ω ω 29,2 23,0

1, 2, 3

ω ω ω 31,3 30,0

2, 3, 6

ω ω ω 38,7 38,0

1, 2, 3, 6

ω ω ω ω 40,8 45,0

1, 2, 3, 4, 6

ω ω ω ω ω _{45,7 52,8}

1, 2, 3, 5, 6

ω ω ω ω ω 46,2 54,5

1, 2, 3, 4, 5, 6

ω ω ω ω ω ω 51,1 62,3

(9)

Таблица 5

L

E z E

( )

L τ

( )

EL

1

ω _{14,1 7,0}

1, 3

ω ω 23,7 19,0

1, 2, 3

ω ω ω _{31,3 30,0}

1, 2, 3, 5, 6

ω ω ω ω ω 46,2 54,5

1, 2, 3, 5, 6, 7

ω ω ω ω ω ω _{51,7 62,3}

Ω 56,6 71,3

Объединиврешения из табл. 4, 5 и оставив несравнимые варианты, получим набор под -множеств множества ,Ω которые между собой несравнимы (табл. 6).

Замечание: полученное из двенадцати не -сравнимых вариантов множество не обладает свойством выпуклости в пространстве функ -ционалов ( , )z τ , вчем можноубедитьсяиз гео -метрическогопредставления (рис. 1).

Таблица 6

L

E z E

( )

L τ

( )

EL

1

ω _{14,1 7,0}

2

ω 21,0 11,0

1, 3

ω ω _{24,3 15,0}

2, 3

ω ω 29,2 23,0

1, 2, 3

ω ω ω _{31,3 30,0}

2, 3, 6

ω ω ω 38,7 38,0

1, 2, 3, 6

ω ω ω ω _{40,8 45,0}

1, 2, 3, 4, 6

ω ω ω ω ω 45,7 52,8

1, 2, 3, 5, 6

ω ω ω ω ω _{46,2 54,5}

1, 2, 3, 4, 5, 6

ω ω ω ω ω ω 51,1 62,3

1, 2, 3, 5, 6, 7

ω ω ω ω ω ω _{51,7 63,5}

Ω 56,6 71,3

Рис. 1. Геометрическоепредставлениемножества E_L:

(10)

Как следует из рис. 1, полученное по изло -женной методике решение достаточно хорошо описывает точное решение. Оно не содержит толькотриточкиточногорешения.

Выводы

Метод неопределенных множителей Лагран -жа в задачах векторной оптимизации позволяет находить выпуклую комбинацию несравнимых вариантоввпространствефункционалов.

Если реконструкция средств транспорта может быть описана технолого-экономической картой, то затраты средств оцениваются снизу исверхуаддитивнымифункциямимножеств.

Решение, избегающее непосредственного пе -ребора, строится как объединение несравнимых вариантов трех решений задач векторной опти -мизациисиспользованиемоценокснизуисверху длязатратипроизводнойотфункциимножества.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. Васильев Ф. П. Численные методы решения

экстремальныхзадач. – М.: Наука. 1980. – 518 с.

2. БосовА. А. Производнаяфункциимножества

// Проблемы математического моделирова

-ния: Тезисы конференции. – Днепродзер

-жинск: 2004, – С. 6–7.

3. Босов А. А. Моделювання технологій ремонту

технічнихоб’єктів / А. А. Босов, Б. Е. Боднарь,

Е. Б. Боднарь // Вісникнаціональногоуніверси

-тету. – К.: КНУ, 2002. – Вип. 6. – С. 10–14.

4. Курган М. Б. Наукові основи перебудови існу

-ючих залізниць України для впровадження

швидкісногорухупоїздів. Автореф. дис. … д-ра

техн. наук. – Д.: 2004. – 33 с.

5. ХалмошП. Теориямеры. – М.: И*Л, 1953. – 291 с.