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SUR LA CONTINUITÉ AUTOMATIQUE DES ÉPIMORPHISMES
DANS LES
-ALGÈBRES DE BANACH
L. OUKHTITE, A. TAJMOUATI, and Y. TIDLI
Reçu le 26 avril 2001 et en forme révisée le 18 janvier 2002
Nous étudions les problèmes de continuité automatique dans des algèbres de Banach avec in-volutions. Nous obtenons aussi des nouveoux résultats concernant-idéals des-algèbres.
Classification 2000 des Sujets Mathématiques: 46J10, 46K05.
1. Préliminaires. La majorité des définitions et des résultats qui sont rappelés ici se trouvent dans [1]. Les algèbres considérées sont supposées sur C, unitaires, non nécessairement commutatives.
Une involution sur une algèbreAest une application:A→Avérifiant les propriétés suivantes :
(x)=x, (x+y)=x+y, (xy)=yx, (λx)=λx,
∀x,y∈A, ∀λ∈C. (1.1)
Munie de l’involution,Aest dite une-algèbre. Une involutionest dite anisotrope si pour toutadansAon a :aa=0⇒a=0. Un idéalId’une-algèbre est dit-idéal si I⊂I (et alorsI=I). Il en résulte alors que tout-idéal est bilatère. De plus, si les seuls-idéaux deAcontenu dansIsont (0) etIalors on dit queI est-minimal. Remarquons que siIest un-idéal non nul deA, alorsinduit une involution surA/I, notée aussi, définie par :(a+I)=a+I. Un-idéalᏹest dit-maximal si les seuls -idéaux contenant ᏹsontAetᏹ. Une algèbreAest dite simple si les seuls idéaux bilatères deAsont (0) etA. Dans le cas oùAadmet une involution, on dira queAest
-simple si les seules-idéaux deAsont (0) etA.
Remarquons que siAest une algèbre simple munie d’une involution, alorsAest
-simple, mais la réciproque n’est pas vraie en général.
Exemple1.1. SoitAune algèbre simple etA◦l’algèbre opposée deA. Considérons alors l’algèbreB=A×A◦, munie de l’involution d’échangedéfinie par : (x,y)=
(y,x). Alors une simple vérification montre queBest une algèbre-simple mais n’est pas simple.
Un idéalP deAest-premier (resp.-semi-premier) si pour deux-idéauxIetJ
SoitI un idéal minimal à gauche d’une algèbre semi-premièreA, alors il existe un idempotent minimale∈Atel queI=Ae.
Rappelons que le radical de Jacobson, Rad(A), d’une algèbreA est définit comme étant l’intersection de tous les idéaux àgauchemaximaux deA. Si de plusAest une
-algèbre, alors le-radical deA, noté Rad(A), est l’intersection de tous les idéaux
-maximaux deA. En outre, si Rad(A)=(0)alorsAest dite-semi-simple.
SoitT une application linéaire d’un espace de BanachXdans un espace de Banach
Y. Alors l’espace séparateurσ (T )deTest un sous-espace deY défini par :
σ (T )=y∈Y| ∃xnn∈X:xn n→∞→0 etTXn n→∞→y
. (1.2)
Il est bien connu queTest continue si, et seulement si,σ (T )=(0)[2]. En outre, l’espace séparateur d’un épimorphisme d’une algèbre de BanachAdans une algèbre de Banach
B est un idéal bilatère fermé [2]. De plus, siθest un épimorphisme d’une algèbre de BanachAsur une algèbre de Banach B et sib∈σ (θ), alorso∈Sp(b)[2, théorème 6-16].
2. La continuité automatique dans une algèbre de Banach-simple. Nous com-mençons par donner quelques propositions préliminaires utiles pour la suite.
Proposition2.1. SoitIun idéal-minimal d’une-algèbreA. SiIn’est pas minimal et siJ est un idéal inclu strictement dansI, alorsI=J⊕J, oùJ etJ sont des idéaux minimaux deA. Si de plusI2≠0, alorsJ etJ sont les seuls idéaux non nuls contenu strictement dansI.
Démonstration. Supposons queIn’est pas minimal et soitJun idéal non nul de
Acontenu strictement dansI. On aJ+JetJ∩Jsont deux-idéaux deAcontenus dansI. OrIest un idéal-minimal, doncJ∩J=(0)etJ+J=I. Par conséquence, I=J⊕J. SoitY un idéal non nul deAtel queY⊂J. Un raisonnement analogue montre que :I=Y⊕Y. De plus, sik∈Jalorsk=y1+y2, oùy1∈Y ety2∈Y. Par suite k−y1=y2∈J∩J=(0), donck∈Y de sorte queJ=Y. Par conséquent,J(resp.J) est un idéal minimal deA.
Supposons maintenant que I2≠0 et soit B un idéal non nul deA tel queB ⊂I, B ≠J et B ≠J. Une simple vérification montre queB est un idéal minimal de A. Par conséquence BJ =(0), de même on trouve que BJ=BJ =BJ =(0). D’où I2=(B⊕B)(J⊕J)=(0), ce qui contredit le fait queI2≠(0).
Proposition2.2. SoientI1etI2deux idéaux d’une-algèbreAtels que :A=I1⊕I2 etI2=I
1. SiI1etI2sont minimaux alorsAest une algèbre-simple.
Démonstration. On aA2=(I1⊕I2)(I1⊕I2)=I2
1⊕I1I2⊕I2I1⊕I22. CommeI1I2et I2I1sont inclus dansI1∩I2=(0), on en déduit queA2=I2
1⊕I22. OrI12⊂I1etI22⊂I2,
le fait que I1 etI2 sont minimaux donne alors I2
1=(0)ou I12=I1. SiI12=(0)alors I2
2=(0), par suiteA2=(0). Ce qui est impossible puisqueAest unitaire. DoncI12=I1
de sorte queI2
2=I2. D’oùA2=A, dans ce cas les seuls-idéaux deAsont (0) etA. Par
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Proposition2.3. Pour une-algèbreA, soient les assertions suivantes : (i) Aest-simple
(ii) Aest-première (iii) Aest-semi-première (iv) Aest semi-première. Alors on a (i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(iv).
Démonstration. (i)⇒(ii) SoientI etJ deux-idéaux deAnon nuls, alors IJ est non nuls, carIJ=A2≠(0). Par conséquent,Aest-première.
(ii)⇒(iii) Evident.
(iii)⇒(iv) SoitI un idéal à gauche deAtel queI2=(0). Alors(I∩I)2=(0), ce qui
implique queI∩I=(0). D’autre part, on a
(I+I)2=I2+II+II+(I)2=(I)2=I2=(0). (2.1)
Par conséquent,I⊆I+I=(0).
Proposition2.4. SoitAune algèbre de Banach simple unitaire d’unité e. Alors tout épimorphisme d’une algèbre de Banach surAest continu.
Démonstration. Soitθ:B→Aun épimorphisme d’une algèbre de BanachB sur
Aet soitel’unité deA. Le fait queσ (θ)un idéal deA, entraîne alors queσ (θ)=(0) ouσ (θ)=A. Siσ (θ)=Aalorse∈σ (θ), par suite 0∈Sp(e)[2, théorème 6-16], ce qui est absurde. Doncσ (θ)=(0), par conséquentθest continu.
Théorème2.5. SoientAune algèbre de Banach etBune algèbre de Banach-simple. Alors tout épimorphisme deAdansBest continu.
Démonstration. Soit θ:A→B un épimorphisme. SiB est une simple algèbre, d’après laproposition 2.4,θest automatiquement continu. SiBn’est pas simple, alors
B est somme directe de deux sous-algèbres simples. En effet, commeB est -simple qui n’est pas simple, on peut considérerB comme un idéal-minimal qui n’est pas minimal dans lui même. Donc, pour tout idéal non nul propreJdeB, on aB=J⊕J, avecJetJsont des idéaux minimaux deB(voirproposition 2.1).
Montrons queJ est une algèbre simple. Soit doncT un idéal non nul de J, alors
T est un idéal de B. En effet, soit b un élément deB et t un élément deT, alors il existej etjdeux éléments deJtels queb=j+j∗, d’oùbt=(j+j∗)t=jt+j∗t. Puisque j∗t∈J∩J= {0}, alors bt =jt∈T. Ce qui implique queT est un idéal de A. D’après la minimalité de J, nécessairement T =J, (même chose pour J). En outre,Best semi-première (proposition 2.3), alors il existe un idempotente∈Btel que
la proposition précédente Pr1◦θ(resp. Pr2◦θ) est continue. Par suite Pr1◦θ+Pr2◦θ=θ
est continu.
Corollaire2.6. SoitBune algèbre de Banach-simple. AlorsBpossède une unique norme d’algèbre de Banach.
Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème précédent à l’identité deB.
Remarque2.7. SiAest une algèbre -simple et si l’involution est anisotrope, alorsAest simple.
Proposition 2.8. Soient Aune -algèbre et M un idéal-maximal qui n’est pas maximal deA. Alors il existe un idéal maximalNtel queN+N=AetN∩N=M.
Démonstration. PuisqueA/M est une algèbre-simple qui n’est pas simple, la proposition 2.1assure l’existence d’un idéal propreNdeAavecM⊂Ntel queA/M=
(N/M)⊕(N/M), oùN/Met(N/M)N/Msont deux idéaux minimaux et maximaux à la fois deA/M. Par conséquence,NetNseront deux idéaux maximaux deAvérifiant N+N=AetN∩N=M.
Corollaire2.9. Toute algèbre-semi-simple est semi-simple.
Démonstration. SoitAune algèbre-semi-simple, alors Rad(A)=M=0, où
Mdésigne l’intersection de tous les idéaux-maximaux deA. MaisM=N∩Npar laproposition 2.8, oùNest un idéal maximal deA. En outre, siNest un idéal maximal alorsN est aussi un idéal maximal. Donc
M -maximalM⊇
Nmaximal(N∩N), le fait que
Rad(A)⊆
Mmaximal
M=
Nmaximal
(N∩N)⊆ M-maximal
M=Rad(A)=0 (2.2)
donne alors queAest semi-simple.
Proposition2.10. SoientAune-algèbre de Banach etM un idéal-maximal de A. AlorsMest fermé dansA.
Démonstration. Si M est un idéal maximal, alorsM est fermé. Si M n’est pas maximal, la proposition précédente entraîne l’existence d’un idéal maximalNtel que
N∩N=M. CommeNetNsont deux ideal fermés, alorsMest aussi un idéal fermé.
Corollaire2.11. SoitM un idéal-maximal d’une-algèbre de BanachA. Alors A/Mest une algèbre de Banach-simple.
Les résultats suivants sont des conséquences ducorollaire 2.9.
Théorème2.12. SoitBune algèbre de Banach-semi-simple. Alors : (1) tout épimorphisme d’une algèbre de Banach dansBest continu ; (2) toutes les normes complètes surBsont équivalentes ;
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Bibliographie
[1] L. H. Rowen,Ring Theory. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, vol. 127, Academic Press, Massachusetts, 1988.
[2] A. M. Sinclair,Automatic Continuity of Linear Operators, Cambridge University Press, Cam-bridge, 1976.
L. Oukhtite : Département de Mathématiques et Informatique, Faculté des Sciences Dhar-Mahraz, B.P 1796 Atlas Fès, Morocco
E-mail address:oukhtite@caramail.com
A. Tajmouati : Département de Mathématiques et Informatique, Faculté des Sciences Dhar-Mahraz, B.P 1796 Atlas Fès, Morocco
E-mail address:atajmouati@yahoo.fr
Y. Tidli : Département de Mathématiques et Informatique, Faculté des Sciences Dhar-Mahraz, B.P 1796 Atlas Fès, Morocco