Definici´on 2.5.1. Un cuerpo K es algebraicamente cerrado si para cada poli- nomio p(x)
∈
K [x] de grado≥
1 todas las ra´ıces de p(x) est´ an en K .Notemos que K es algebraicamente cerrado si, y s´olo si, cada polinomio p(x)
∈
K [x] de grado≥
1 se descompone completamente en K [x] en producto de factoreslineales. Tambi´en, K es algebraicamente cerrado si, y s´olo si, los ´unicos polinomios irreducibles de K [x] son los de primer grado. De forma equivalente, K es alge- braicamente cerrado si, y s´olo si, el cuerpo de descomposici´on de cada polinomio p(x)
∈
K [x] de grado≥
1 est´a contenido en K .Observaci´on 2.5.2. (i) Ning´un cuerpo finito es algebraicamente cerrado. En efecto, sea F =
{
a1 = 1, a2, . . . , an}
un cuerpo finito; consideremos el polinomio p(x) :=1 + (x
−
a1)· · ·
(x−
an)∈
F [x], entonces f (ai) = 1 para cada 1≤
i≤
n, es decir,f (x) no tiene ra´ıces en F .
(ii) As´ı pues, todo cuerpo algebraicamente cerrado es infinito. (iii)
R
es infinito pero no es algebraicamente cerrado.Veremos a continuaci´on que todo cuerpo F est´a contenido en un cuerpo alge- braicamente cerrado, el cual adem´as es una extensi´on algebraica de F .
Teorema 2.5.3. Sea F un cuerpo. Entonces existe una extensi´ on F
⊇
F que tiene las siguientes propiedades:(i) F es una extensi´ on algebraica de F .
(ii) F es algebraicamente cerrado.
(iii) Cada polinomio p(x)
∈
F [x] de grado≥
1 tiene todas sus ra´ıces en F .(iv) F = F (S ), con
S :=
{
α∈
F|
p(α) = 0para alg´ un p(x)∈
F [x]de grado≥
1}
. Se dice que F es una clausura algebraica de F .Demostraci´ on. Paso 1. Probemos primero que existe una extensi´on K 1
⊇
F en lacual cada polinomio p(x)
∈
F [x] de grado≥
1 tiene al menos una ra´ız. Veamos tambi´en que K 1 es una extensi´on algebraica de F .A cada polinomio p(x)
∈
F [x] de grado≥
1 le asociamos una indeterminada y p;sea Y el conjunto de todas estas indeterminadas. Consideremos el anillo F [Y ] de todos los polinomios en estas indeterminadas; notemos que cada elemento f (Y ) de F [Y ] es un polinomio en un subconjunto finito
{
y p1, . . . , y pn}
de indeterminadas deY (que dependen de f (Y )). Sea I el ideal de F [Y ] generado por todos los polinomios de la forma p(y p), p(x)
∈
F [x], gr( p(x))≥
1, es decir,I :=
p(y p)|
p(x)∈
F [x], gr( p(x))≥
1
.Notemos que I es propio: en efecto, supongamos que I = F [Y ], entonces existen polinomios p1(x), . . . , pn(x)
∈
F [x] y elementos q 1, . . . , q n∈
F [Y ] de tal forma queCada polinomio q i incluye solamente un n´umero finito de indeterninadas y’s, luego
podemos asumir que todos los polinomios de la relaci´on anterior incluyen las mismas indeterminadas y1, . . . , ym (hemos simplificado un poco la notaci´on cambiando yf i
por yi y adem´as notemos que m
≥
n). Tenemos entonces que1 = q 1(y1, . . . , ym) p1(y1) +
· · ·
+ q n(y1, . . . , ym) pn(yn).Seg´un el corolario 2.1.17, existe un cuerpo L1
⊇
F en donde p1(y1) tiene al menosuna ra´ız α1; p2(y2) puede ser considerado como polinomio de L1[y2] y existe una
extensi´on L2
⊇
L1 en donde p2(y2) tiene al menos una ra´ız α2; podemos continuarde esta manera y encontrar una extensi´on L
⊇
F en donde cada polinomio pi(yi)tiene una ra´ız αi, 1
≤
i≤
n. Tomando en la igualdad de arriba yi = αi y y j = α j = 0para n + 1
≤
j≤
m obtenemos la contradicci´on 1 = 0.As´ı pues, I
= F [Y ]. Existe entonces un ideal maximal P en F [Y ] que contiene a I (v´ease [10]) de tal manera que K 1 := F [Y ]/P es un cuerpo y se tiene el homo-morfismo can´onico
j : F [Y ]
→
K 1, q→
q .Observemos que F est´a sumergido en K 1: en efecto, la funci´on a
→
a, a∈
F , esun homomorfismo inyectivo pues si a = 0, entonces a
∈
P y a = 0 (de lo contrario 1 = aa−
1∈
P ). As´ı pues, podemos asumir que K 1⊇
F . Sea p(x)∈
F [x] degrado
≥
1, entonces y p∈
K 1 es una ra´ız de p(x) ya que p(y p) = p(y p) = 0 puesp(y p)
∈
I⊆
P .Para terminar este primer paso veamos que K 1 es una extensi´on algebraica de
F : sea q
∈
K 1 con q∈
F [Y ]; si q∈
F , entonces claramente q es algebraico sobreF . Sea q no constante, q = q (y1, . . . , yn)
∈
F [Y ], entonces q = q (y1, . . . , yn), perocomo vimos antes, cada yi es ra´ız de un polinomio con coeficientes de F , 1
≤
i≤
n,es decir, yi es algebraico sobre F . Del corolario 2.2.4 se obtiene que q es algebraico
sobre F , luego K 1 es una extensi´on algebraica de F .
Paso 2 . Ahora podemos considerar todos los polinomios de K 1[x] de grado
≥
1;seg´un el paso anterior, existe una extensi´on K 2
⊇
K 1 en la cual cada uno de estospolinomios tenga al menos una ra´ız y sea algebraica sobre K 1; surge as´ı una cadena
ascendente de cuerpos
F
⊆
K 1⊆
K 2⊆ · · · ⊆
K n⊆
K n+1⊆ · ··
de tal forma que cada polinomio de grado
≥
1 de K n[x] tiene al menos una ra´ız enK n+1 y K n+1 sea una extensi´on algebraica de K n. Sea K :=
n≥
1K n. Notemos queK es un cuerpo y, por supuesto, contiene a F .
Paso 3. Sea p(x)
∈
K [x] de grado k≥
1; entonces existe n≥
1 tal que todos los coeficientes de p(x) est´an en K n, es decir, p(x)∈
K n[x]. Entonces, p(x) tiene almenos una ra´ız α1 en K n+1 y por lo tanto p(x) = (x
−
α1) p1(x), con p1(x)∈
K n+1[x];con
con p p22((xx))
∈∈
K K nn+2+2[[xx], continuando de esta manera encontramos que], continuando de esta manera encontramos que p p((xx) tiene todas) tiene todassu
sus s ra´ra´ıceıces s enen K K nn++kk
⊆ ⊆
K K . Hemos pues construido un cuerpo algebraicamente cerrado. Hemos pues construido un cuerpo algebraicamente cerradoK
K que contiene a que contiene a F F ..
Paso 4.
Paso 4. SeaSea F F la uni´ la uni´on de todos los subcuerpos deon de todos los subcuerpos de K K que son extensiones alge- que son extensiones alge- braic
braicas as dede F F (al menos (al menos F F es una extensi´ es una extensi´on algebraica deon algebraica de F F ); notemos que); notemos que F F es una es una extensi´
extensi´on algebraica deon algebraica de F F : sea: sea αα
∈∈
F F , entonces, entonces α α est´ est´a en alguno de los subcuerposa en alguno de los subcuerpos de la reuni´de la reuni´on anterior, luegoon anterior, luego α α es algebraico sobre es algebraico sobre F F . Esto demuestra que. Esto demuestra que F F es una es una extensi´
extensi´on algebraica deon algebraica de F F y tenemos probado el numeral (i). y tenemos probado el numeral (i).
Paso 5.
Paso 5. Probemos ahora que Probemos ahora que F F es algebraicamente cerrado. Sea es algebraicamente cerrado. Sea pp((xx))
∈∈
F F [[xx] ] dede gradogrado
≥ ≥
1 y sea 1 y sea αα una una ra´ra´ız ız dede pp((xx); como); como pp((xx))∈ ∈
K K [[xx] ] yy K K es algebraicamente es algebraicamente cerrado, entoncescerrado, entonces α α
∈∈
K K y existe y existe n n≥≥
1 tal que α1 tal que α∈∈
K K nn. Veamos que. Veamos que α α es algebraico es algebraicosobre
sobre F F : tenemos que: tenemos que F F
⊆⊆
K K 11⊆ ·· ⊆ ·· · ⊆· ⊆
K K nn, con, con K K ii una extensi´ una extensi´on algebraica deon algebraica deK
K ii
−−
11, , 11≤≤
ii≤≤
nn, luego aplicando repetidamente el corolario, luego aplicando repetidamente el corolario 2.2.3 2.2.3 encontramos que encontramos queα
α es algebraico sobre es algebraico sobre F F .. As´
As´ı ı pupueses,, F F ((αα) es una extensi´) es una extensi´on algebraica deon algebraica de F F contenida en contenida en K K , con lo cual, con lo cual F
F ((αα))
⊆⊆
F F , de donde, de donde α α∈∈
F F . He. Hemos mos demostrademostrado do que que cada cada rara´´ız dız dee p p((xx) est´) est´a a enen F F , , eses decir,decir, F F es algebraicamente cerrado. Esto prueba el numeral (ii). El numeral (iii) es es algebraicamente cerrado. Esto prueba el numeral (ii). El numeral (iii) es consecuencia directa de (ii) ya que
consecuencia directa de (ii) ya que F F
⊆ ⊆
F F .. Para concluir la demostraci´Para concluir la demostraci´on del teorema veamos la prueba del numeral (iv).on del teorema veamos la prueba del numeral (iv). Sea
Sea αα
∈ ∈
F F , como, como F F es una extensi´ es una extensi´on algebraica deon algebraica de F F , entonces, entonces αα es es rara´´ız ız de de algalg´´unun polinomiopolinomio pp((xx))
∈ ∈
F F [[xx] de grado] de grado≥ ≥
1, es decir, 1, es decir, αα∈ ∈
S S , luego, luego αα∈ ∈
F F ((S S ), ), as´as´ı ı puepues,s, FF
⊆ ⊆
F ((S F S ). ). RecRec´´ıproıprocamente, camente, es es claro claro queque F F ((S S ))⊆⊆
F F .. Observaci´Observaci´on 2.5.4.on 2.5.4. (i) Se puede demostrar que dos clausuras algebraicas de un (i) Se puede demostrar que dos clausuras algebraicas de un cuerpo son extensiones equivalentes, la prueba completa de este teorema usa sufi- cuerpo son extensiones equivalentes, la prueba completa de este teorema usa sufi- cientes e
cientes elementos lementos de teode teorr´´ıa dıa de cone conjuntos e juntos e inducci´inducci´on transfinita y va m´on transfinita y va m´as all´as all´a de losa de los alcance
alcances ds de ee este ste cuaderno cuaderno (v´(v´ease ease [[55] ] o o tamtambi´bi´en en [[1717]).]). (ii) Si
(ii) Si F F es algebraicamente cerrado, entonces es algebraicamente cerrado, entonces F F == F F .. (iii) En
(iii) En topologtopolog´´ıa conjuntista la ıa conjuntista la clausura de clausura de un subun subconjunto de un conjunto de un espacio topespacio topol´ol´o-o- gico
gico es el es el menor menor cerrado cerrado del esdel espacio pacio que coque contiene a ntiene a dicho sdicho subcoubconjunto. njunto. AquAqu´´ı en ı en teorteor´´ıaıa de cuerpos, la clausura algebraica de un cuerpo
de cuerpos, la clausura algebraica de un cuerpo F F no es el menor algebraico que lo no es el menor algebraico que lo contiene ya que dicho algebraico es
contiene ya que dicho algebraico es F F yy F F en general puede no ser algebraicamente en general puede no ser algebraicamente cerrado.
cerrado. (iv) Sea
(iv) Sea L L tal que tal que F F
⊆ ⊆
LL⊆⊆
F F yy L L es algebraicamente cerrado, entonces es algebraicamente cerrado, entonces L L = = F F :: seasea αα
∈ ∈
F F , entonces, entonces αα es es rara´´ız ız de de un un polinomiopolinomio pp((xx) con coeficientes en) con coeficientes en F F , luego, luego pp((xx))
∈∈
LL[[xx], por lo tanto,], por lo tanto, α α∈∈
LL.. (v) Sea(v) Sea F F
⊆⊆
K K⊆⊆
LL tal que tal que K K es una extensi´ es una extensi´on algebraica deon algebraica de F F . Entonces,. Entonces, LL == K K si, y s´ si, y s´olo si,olo si, LL == F F : : sisi LL == K K , entonces, entonces LL es algebraicamente cerrado y es algebraicamente cerrado y es una extensi´
es una extensi´on algebraica deon algebraica de K K , pero como, pero como K K es una extensi´ es una extensi´on algebraica deon algebraica de F F ,, entonces
entonces LL es es tambi´tambi´en en una una extensi´extensi´on algebraica deon algebraica de F F . . RecRec´´ıprıprocaocamente, mente, sisi LL == F F ,, entonces
entonces LL es algebraicamente cerrado y es una extensi´ es algebraicamente cerrado y es una extensi´on algebraica deon algebraica de F F , luego, luego tambi´
(vi) Sea
(vi) Sea F F
⊆ ⊆
K K , con, con K K algebraicamente cerrado, entonces algebraicamente cerrado, entonces FF == A A = =
{{
αα∈∈
K K||
αα es algebraico sobre es algebraico sobre F F}}
.. Por el corolarioPor el corolario 2.2.4 2.2.4 sabemos que sabemos que AA es efectivamente un cuerpo que contiene a es efectivamente un cuerpo que contiene a F F ,, y por supuesto, una extensi´
y por supuesto, una extensi´on algebraica deon algebraica de F F . Veamos que. Veamos que AA es algebraicamente es algebraicamente cerrado: sea
cerrado: sea p p((xx))
∈∈
AA[[xx], entonces], entonces p p((xx))∈∈
K K [[xx] ] y py por lo or lo tanto todas tanto todas sus sus rara´´ıces est´ıces est´anan enen K K , sea, sea α α una una cualquiecualquiera dra de ese estas tas rara´´ıces, ıces, entoncesentonces p p((αα) = 0 y) = 0 y α α es de esta manera es de esta manera algeb
algebraico raico sobresobre AA, pero como, pero como AA es una extensi´ es una extensi´on algebraica deon algebraica de F F , entonces, entonces αα eses algebraico sobre
algebraico sobre F F (corolario (corolario 2.2.3 2.2.3), es decir,), es decir, α α
∈∈
AA.. Cerramos esta secci´Cerramos esta secci´on enunciando y aplicando el teorema sobre la clausura alge-on enunciando y aplicando el teorema sobre la clausura alge- braica del cuerpo de los n´
braica del cuerpo de los n´umeros complejos.umeros complejos. Ejemplo 2.5.5.
Ejemplo 2.5.5. (i)(i) T Teeororema ema fundafundamentmental al del del ´ ´ algebra algebra ::
CC
es algebraicamente es algebraicamente cerradocerrado. Existen m´. Existen m´ultiples pruebas de este hecho cl´ultiples pruebas de este hecho cl´asico del ´asico del ´algebraalgebra; ; la la mayormayor´´ıa ıa dede las demostraciones cortas usan elementos de an´
las demostraciones cortas usan elementos de an´alisis complejo, y otras puramente al-alisis complejo, y otras puramente al- gebraicas, p
gebraicas, pero ero bastante extensas, bastante extensas, utilizan utilizan demasiadas demasiadas herramientherramientas as no no incluinclu´´ıdas ıdas enen esta colecci´
esta colecci´on de cuadernos. Remitimos al lector interesado a consultar por ejemploon de cuadernos. Remitimos al lector interesado a consultar por ejemplo [[11] ] y y [[1616], en donde podr´an ], en donde podr´an enconencontrar pruebas trar pruebas del del teoreteorema.ma.
(ii)
(ii)
C C
==CC
ya que ya queC C
es algebraicamente cerrado. es algebraicamente cerrado. (iii)(iii)
RR
==CC
: en efecto,: en efecto,CC
==RR
((ii) es una extensi´) es una extensi´on algebraica deon algebraica deRR
yyCC
eses algebraicamente cerrado.algebraicamente cerrado. (iv)
(iv)
{ {
αα∈ ∈
CC||
αα es algebraico sobre es algebraico sobreQ Q}}
: esto se obtiene del teorema funda-: esto se obtiene del teorema funda- mental del ´mental del ´algebra y de la parte (vi) de la observaci´algebra y de la parte (vi) de la observaci´onon 2.5.4 2.5.4..