5.5 Analysis of DC Electroabsorption results
5.5.3 AC Modulation Effects
Si se observan los valores que se muestran en las tablas de la 3.1 a la 3.4 del epígrafe anterior, se puede apreciar a simple vista que los resultados que aporta el nuevo modelo no difieren significativamente de los resultados obtenidos con el modelo original ACO en cuanto a calidad de soluciones, pero si se perciben diferencias en cuanto a costo computacional (en tiempo) y en el caso de la observación de los resultados de la tabla 3.5 se puede pregonar que la nueva estrategia de búsqueda incorporada al modelo ACO logra converger más rápidamente a buenas soluciones que el modelo original.
Un análisis a simple vista no sería suficiente para probar lo antes dicho, por lo que se utilizaron técnicas estadísticas para validar los resultados y no dejarlo solamente a la apreciación, este análisis se realizó utilizando el paquete estadístico SPSS versión 11.0, a partir de los datos del epígrafe 3.1. Las técnicas estadísticas utilizadas se justifican mediante estudios sobre el uso de tests no
Las pruebas paramétricas requieren supuestos acerca de la naturaleza o forma de las poblaciones involucradas. Las pruebas no paramétricas no requieren estos supuestos. Consecuentemente, las pruebas no paramétricas de hipótesis son frecuentemente llamadas pruebas de libre distribución.
Aunque el término no paramétrico sugiere que la prueba no está basada en un parámetro, hay algunas pruebas no paramétricas que dependen de un parámetro tal como la media. Las pruebas no paramétricas, sin embargo, no requieren una distribución particular, de manera que algunas veces son referidas como pruebas de libre distribución. Aunque libre distribuciónes una descripción más exacta, el término no paramétrico es más comúnmente usado. Además, un estudio realizado sobre el porqué utilizar pruebas no paramétricas en vez de tests paramétricos para el análisis de los resultados de problemas combinatorios se presenta en [87] así como una excelente descripción de las técnicas utilizadas.
Para el análisis estadístico para cada caso se escogió el valor promedio de las 10 corridas de cada base de datos y la prueba utilizada fue el test de Friedman, que sirve para comparar J promedios poblacionales cuando se trabaja con muestras relacionadas. La situación experimental que permite resolver esta prueba es similar a la estudiada a propósito del ANOVA de un factor con medidas repetidas para saber si existen diferencias significativas entre los grupos de muestra y el test Wilcoxon par a par, para en caso de diferencias significativas en los grupos, detectar en cuales muestras están las diferencias. En todos los casos las tablas resumen las dos pruebas, donde la primera columna representa los algoritmos utilizados y la columna “Rangos Medios” muestra el ranking del test de Friedman, la letra de superíndice brinda las diferencias significativas par a par encontradas por el test de Wilcoxon según el orden en el abecedario.
Las tablas 3.6 y 3.7 muestran los análisis estadísticos para las soluciones reportadas en la tabla 3.1 para el TSP, en estos casos, el valor del significativo de Monte Carlo del Test de Friedman fue sig= 0.000, por lo que muestra que existen diferencias significativas entre el conjunto total de muestras.
Rangos Medios MS 1.00a TS-ACS(r=0.2) 2.6363b ACS 3.1818b TS-ACS(r=0.25) 3.5454bc TS-ACS(r=0.3) 4.4363c
Las tablas 3.8 y 3.9 muestran los resultados estadísticos desarrollados sobre los resultados expuestos en la tabla 3.4 para el JSSP, para el cual se realizaron las mismas pruebas que para el problema anterior, para este caso el valor de la significación de Friedman tuvo valor sig= 0.000.
Rangos Medios MS 1.50a TS-AS-JSSP(0.2) 2.80b TS-AS-JSSP(0.25) 3.10b AS-JSSP 3.45bc TS-AS-JSSP(0.3) 4.15c
Tabla 3.8 Estadístico para la calidad de las soluciones de la tabla 3.4
Rangos Medios TS-AS-JSSP(0.3) 1.00a
TS-AS-JSSP(0.25) 1.40ab TS-AS-JSSP(0.2) 2.10b
AS-JSSP 4.00c
Tabla 3.9 Estadístico para el costo computacional de la tabla 3.4
La tabla 3.10 muestra el análisis estadístico desarrollado sobre el estudio realizado para el problema SCP mostrado en la tabla 3.5, en este caso la significación del test de Friedman fue 0.000.
Rangos Medios
MS 1.00a
TS-AS-SCP 2.00b
AS-SCP (0.2) 3.00c
Tabla 3.10 Estadístico sobre el estudio realizado en la tabla 3.5 Rangos Medios
TS-ACS(r=0.3) 1.18a
TS-ACS(r=0.25) 2.18b
TS-ACS(r=0.2) 2.82b
ACS 3.82c
3.3 Conclusiones parciales
El comportamiento de los algoritmos ACO es sensible a los valores de los parámetros del modelo. En el caso del Sistema de Colonias de Hormigas (Ant Colony System), dos de los parámetros de mayor incidencia en los resultados alcanzados son los parámetros q0 y β y el estudio presentado en este capítulo sobre estos parámetros muestra la forma de escoger los valores de estos para obtener buenos resultados, esta deducción no ha sido reportada en ningún estudio obtenido en la búsqueda bibliográfica para esta tesis.
A partir de los estudios estadísticos que validan los resultados experimentales realizados al aplicar este nuevo modelo a diversos problemas de optimización combinatoria (Problema del viajero vendedor, Problema de Scheduling, y Problema de Cubrimiento) se puede concluir que el nuevo enfoque para la estrategia ACO tiene un impacto significativo ya que se presenta de forma más eficiente en el proceso de solución; esto fue valorado usando dos vías de comparación (tiempo de ejecución y convergencia), lo cual se fundamenta en:
– Tiempo de ejecución: como se muestra en las tablas 3.2 y 3.5 el nuevo modelo ACO en dos etapas es capaz de encontrar soluciones con calidad semejante a las reportadas por el modelo original ACO, pero estas soluciones son encontradas en un tiempo que representa entre el 40% y 60% menor que el empleado por ACO, como se sabe, esta disminución está en dependencia del acercamiento, o de lo que es lo mismo, del factor r.
– Convergencia: en la tabla 3.6 se puede apreciar que el nuevo modelo es capaz de obtener buenas soluciones más rápidamente que el modelo ACO, en otras palabras, es capaz de encontrar mejores soluciones que el modelo original en un tiempo límite.
Para el factor r en todos los problemas se estudiaron distintos valores {0.2, 0.25, 0.3, 0.35, 0.4, 0.5} en todos los casos los mejores resultados del modelo se encontraron para los valores entre {0.2, 0.25, 0.3}, ver tablas desde 3.2 a la 3.6.
También se probó experimentalmente el efecto de la búsqueda local en el nuevo modelo, contrastando con el efecto de este en el modelo original ACO para el TSP, básicamente se obtuvo que:
– Al aplicar la búsqueda local en la primera etapa del nuevo modelo en aras de mejorar los estados iniciales para el proceso de búsqueda en la segunda etapa, no se presentan mejoras en la calidad de las soluciones, aunque el tiempo empleado por esta variante es mucho menor que el que emplea la segunda posibilidad, ya que la dimensión de las soluciones a refinar es menor, por lo que lleva menos intercambios de componentes en la solución.
– Al mejorar las soluciones de la segunda etapa con la aplicación de la búsqueda local se presentan resultados interesantes como:
- El tiempo de ejecución al aplicar la búsqueda local en la segunda etapa es mucho menor que el tiempo empleado por el modelo original ACO sin búsqueda local e incluyendo la misma.
- Las soluciones encontradas con la aplicación de la búsqueda local 2-opt a la segunda etapa del nuevo modelo obtiene mejores resultados que los presentados por el modelo original con la búsqueda local. Además de comportarse mucho mejor que el modelo ACO sin búsqueda local.
Conclusiones
Como resultado de esta investigación se desarrolló una nueva metodología de trabajo con la meta- heurística ACO, que ofrece a los investigadores y desarrolladores en el campo de la optimización combinatoria una herramienta que brinda un mejor rendimiento de los algoritmos basados en colonias de hormigas en la solución de problemas, cumpliéndose de esta forma el objetivo general planteado, ya que:
– Existe un creciente interés por el uso de los algoritmos bioinspirados para la solución de problemas de optimización, principalmente por el comportamiento de la metaheurística ACO ante problemas combinatorios. Sin embargo los principales trabajos reportados en la literatura sobre ACO están dirigidos a la solución de problemas reales, a la búsqueda de nuevas formas de movimiento de las hormigas y en otras maneras de trabajo con los rastros de feromona, estos elementos han sido la base fundamental en el origen de otros algoritmos incorporados a la metaheurística ACO.
– El análisis crítico sobre el comportamiento de la metaheurística ACO arrojó como deficiencia principal el tiempo que emplea este modelo para la solución de problemas, esta deficiencia se debe a la estrategia de exploración del espacio de búsqueda utilizada por ACO, en la cual un conjunto de hormigas se desplaza una cierta cantidad de ciclos por un grafo buscando soluciones de un tamaño determinado, por lo que la calidad de las soluciones está en dependencia del tamaño de la búsqueda o de lo que es lo mismo, de estos parámetros.
– El diseño de la nueva metodología de trabajo con la metaheurística ACO llamada TS-ACO se basa fundamentalmente en proponer una nueva estrategia de exploración del espacio de búsqueda, la cual se basa en dividir en dos etapas este proceso, de forma tal que en la primera etapa se encuentren soluciones parciales que sirven de estado inicial para las hormigas en la segunda etapa. La cantidad de trabajo a realizar por las hormigas y la cantidad de estas en cada etapa se regula por un factor de proporcionalidad r que permite calcular los valores de algunos de los parámetros del algoritmo para cada etapa.
– La validación del modelo TS-ACO se realizó a partir de estudios experimentales desarrollados a problemas de optimización combinatoria (TSP, JSSP, SCP), donde se comprobó que la estrategia de exploración empleada por el nuevo modelo consigue explorar el espacio de búsqueda de forma más eficiente que el modelo original, probándose estadísticamente que es capaz de reducir el tiempo de ejecución entre el 40% y 60% en dependencia de la dimensión de las etapas, sin presentar diferencias significativas en cuanto a calidad de las soluciones obtenidas, además de converger más rápidamente a buenas soluciones mostradas a partir de
otro enfoque de comparación donde se fijó el tiempo de ejecución y de las soluciones obtenidas por los dos modelos se encontraron diferencias significativas que premian el uso del nuevo modelo para la solución de problemas de optimización combinatoria. De esta forma queda validada la hipótesis de investigación que dio paso a este estudio.
Recomendaciones
El estudio realizado no agota este campo de investigación, de modo que existen diversas alternativas de trabajo científico posterior relacionado con esta problemática, entre las cuales se destacan:
Analizar el efecto de dividir el proceso de búsqueda desarrollado por las hormigas en el modelo ACO en 3 o más etapas.
Estudiar el comportamiento del modelo TS-ACO propuesto en la solución de otros problemas de optimización combinatoria.
Estudiar el comportamiento del enfoque propuesto en otras meta-heurísticas, como la Optimización basada en partículas, en la cual también los parámetros cantidad de partículas y número de ciclos influyen en el costo computacional de la búsqueda.
Anexo1 Estudio experimental para los parámetros β y q0
Base de dato N Mejor Solución
Valor Valor β Solución ACS
bays29.tsp 29 2020 0.3 1 2595 3 2147 5 2057.66667 0.6 1 2141.66667 3 2102.33333 5 2072.66667 0.9 1 2104.66667 3 2052,66667 5 2103.33333 gr24.tsp 24 1272 0.3 1 1512.333333 3 1325 5 1310.666667 0.6 1 1366 3 1300 5 1319.666667 0.9 1 1301 3 1339 5 1349.333333 rd100.tsp 100 7910 0.3 1 16145.66667 3 9628 5 8765.666667 0.6 1 11588.66667 3 8926 5 8716.666667 0.9 1 9030 3 8850.333333 5 8872.333333 gr120.tsp 120 6942 0.3 1 14259.66667 3 9181.333333 5 8254.333333 0.6 1 10020.33333 3 7946.333333 5 7659.333333 0.9 1 7550.333333 3 7443.666667 5 7501.333333
st70.tsp 70 675 0.3 1 1286.333333 3 841 5 786.3333333 0.6 1 957.6666667 3 802 5 789 0.9 1 797.6666667 3 786.3333333 5 798 tsp225.tsp 70 3919 0.3 1 9504 3 5221 5 4578 0.6 1 6315.666667 3 4682.666667 5 4417 0.9 1 4574.666667 3 4322 5 4328
Anexo2 Terminología utilizada en la teoría de grafos
Definición 2.1. Un seudografo G=(V,A,f) es una terna, donde:
– V≠∅ es el conjunto de nodos, puntos o vértices. – A es el conjunto de aristas.
– f:A Æ VxV∪{{u,v}; u,v∈V}
∀a∈A, si f(a)=(u,v) o f(a)={u,v}, se dice la arista a conecta los nodos u y v.
Definición 2.2. Un seudografo se denomina sencillo (o simple) si no tiene aristas
múltiples.
Definición 2.3. Una arista a se dice lazo o bucle si f(a)=(v,v) o f(a)={v,v}.
En dependencia de las características de las aristas, existen diferentes tipos de seudografos: Seudografo dirigido, seudografo no dirigido y seudografo mixto.
Definición 2.4. Un seudografo se dice dirigido u orientado si todas sus aristas son
dirigidas.
Definición 2.5. Un seudografo se dice no dirigido o no orientado si todas sus aristas
son no dirigidas.
Definición 2.6. Un seudografo se dice mixto si tiene aristas dirigidas y aristas no
dirigidas.
Índice
Introducción ... 7
Capítulo 1 Problemas de Optimización Combinatoria, meta-heurística ACO y algoritmos de Búsqueda Local. ... 12
1.1 Problemas de Optimización Combinatoria ... 13
1.1.1 Problema del Viajante de Comercio ... 13
1.1.2 Secuenciación de Tareas ... 15
1.1.3 Problema del Cubrimiento de Conjuntos ... 18
1.2 Vida artificial y algoritmos de Búsqueda Local ... 18
1.2.1 Optimización Basada en Colonias de Hormigas ... 19
1.2.2 Modo de funcionamiento y estructura genérica de la meta-heurística ACO ... 20
1.2.3 Algoritmos de la meta-heurística ACO ... 23
1.2.4 Búsqueda Local ... 27
1.3 Conclusiones parciales ... 29
Capítulo 2 Nuevo modelo ACO en dos etapas para resolver Problemas de Optimización Combinatoria ... 30
2.1 Optimización basa en Colonias de Hormigas en dos Etapas ... 30
2.2 Aplicación de los algoritmos ACS y TS-ACS al TSP ... 33
2.2.1 ACS al TSP ... 34
2.2.2 TS-ACS al TSP ... 35
2.2.3 Efecto de la Búsqueda Local en ACS y TS-ACS al TSP ... 37
2.3 Aplicación de los algoritmos AS y TS-AS al JSSP ... 38
2.3.1 AS al JSSP ... 40
2.3.2 TS-AS al JSSP ... 41
2.4 Aplicación de los algoritmos AS y TS-AS al SCP ... 43
2.4.1 AS al SCP ... 43
2.5 Conclusiones parciales ... 46
Capítulo 3 Prueba experimental y análisis de los resultados ... 47
3.1 Resultados Experimentales ... 48
3.2 Técnicas estadísticas para el análisis de los resultados ... 54
3.3 Conclusiones parciales ... 57
Conclusiones ... 59
Recomendaciones ... 61
Referencias Bibliográficas ... ¡Error! Marcador no definido. Anexo1 Estudio experimental para los parámetros β y q0 ... 62
Referencias bibliográficas
1. Johnson, M.R.G.a.D.S., Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP- Completeness. 1979, San Francisco: H. Freeman and Company.
2. A. Díaz, F.G., H.M. Ghaziri, J.L. Gonzalez, M. Laguna, P. Moscato and Tseng, and F.T.,
Optimización Heurística y Redes Neuronales. 1996, Madrid: Paraninfo.
3. Glover, F., Future Paths for Integer Programming and Links to Artifical Intelligence.
Computers and Operations Research, 1986. 13: p. 533–549.
4. Reeves, C.R., Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems. 1995, UK: Ed. McGraw-Hill.
5. Kelly, I.H.O.a.J.P., Meta-Heuristics: Theory and Applications. 1996, Boston: Ed. Kluwer Academic.
6. Glover, F., Heuristics for Integer Programming Using Surrogate Constraints. Decision Sciences, 1977. 8: p. 156-166.
7. S. Kirkpatrick, C.D.G., M.P. Vecchi, Optimization by simulated. annealing. Science, 1983.
220(4598): p. 671-680.
8. Resende, T.F.a., A probabilistic heuristic for a computational difficult set covering problems.
Operations research letters, 1989. 8: p. 67–71.
9. Goldberg, D.E., Genetic Algorithms in Search. Optimization and Machine Learning. 1998, University of Alabama: Addison-Wesley Publishing Company.
10. Eberhart, J.K.a.R.C. Particle swarm optimization. in on neural networks. 1995. Piscataway, NJ.
11. Stützle, M.D.a.T., ACO Algorithms for the Traveling Salesman Problem. Evolutionary Algorithms in Engineering and Computer Science: Recent Advances in Genetic Algorithms, Evolution Strategies, Evolutionary Programming, Genetic Programming and Industrial Applications. 1999, EEUU: John Wiley & Sons.
12. Gambardella, D.M.a.L., Ant Colonies for the Traveling Salesman Problem. BioSystems, 1997. 43: p. 73-81.
13. Karp, R., Reducibility among combinatorial problems. Complexity of Computer Computations. 1972, New York: R. Mille and J. Thatcher.
14. Reinelt, G., TSPLIB - A traveling salesman library. ORSA Journal on Computing, 1991. 3: p.
376-384.
15. Johnson D.S., M.L.A., The traveling salesman problem: a case study in local optimization. Local Search in Combinatorial Optimization,. 1997, New York,: New York: Wiley.
16. Bfirdossy, I.K., Jinos Jzsa and Andrfis, Improving Spatial and Temporal Discretisation By Simulated Annealing. 2002.
17. Mxico, H.S.-s.a.C.M., Methodology to Parallelize Simulated Annealing and its Application to the Traveling Salesman Problem. 2002.
18. McGeoch, J.D.S.y., The traveling salesman problem: a case studyin local optimization. Local Search in Combinatorial Optimization. 1997, New York: New York: Wiley.
19. Michael, A., A New Approach to Evolutionary Computation: Segregative Genetic Algorithms ({SEGA}). 2004.
20. Jose Ignacio Hidalgo, Raaele Perego, Dpto Arquitectura, Computadores, Gambhava, Dr K. Kotecha and Nilesh, A Parallel Hybrid Heuristic for the Solving Precedence Constraint Traveling Salesman Problem using Genetic Algorithm. 2001.
21. Stützle T., G.A., Linke S. y Rüttger M., A Comparison of Nature Inspired Heuristics on the Traveling Salesman Problem, in The Sixth International Conference on Parallel Problem Solving for Nature (PPSN-VI). 2000: Paris – Francia.
22. Liu, B.L.M.a.J., Addressing the gap in scheduling research: a review of optimization and heuristic methods in production scheduling. International Journal Production Research, 1993.
31(1): p. 59-79.
23. Sadeh. N., F.M.S., Variable and value ordering heuristics for the job shop scheduling constraint satisfaction problem. Artificial Intelligence, 1996. 86: p. 1-41.
24. Hentenryck, H.S.a.M.D., Constraint satisfaction using constraint logic programming.
Artificial Intelligence, 1992. 58: p. 113-159.
25. R. Varela, C.R.V., J. Puente and C.L. Alonso, Parallel Logic Programming For Problem Solving. International Journal of Parallel Programming, 2000. 28(3): p. 275-319.
26. Johnston, H.M.A.a.M.D. A discrete stochastic neural network algoritm for constraint satisfaction problems. in International Joint Conference on Neural Networks. 1990. San Diego.
27. M. Zweben, E.D., B. Daun, E. Drascher, M. Deale and M. Eskey, Learning to improve constraint-based scheduling. Artificial Intelligence, 1992. 58: p. 271-296.
28. Bayiz, I.S.a.M., Job shop scheduling with beam search. European Journal of Operational Research, 1999. 118: p. 390-412.
29. Reeves, T.Y.a.C.R. Permutation Flowshop Scheduling by Genetic Local Search. in
International Conference on Genetic Algorithms in Engineering Systems 1997. GALESIA. 30. Nowicki, E., The Permutation flow shop with buffers: A tabu search approach. European
Journal of Operational Research, 1999. 116: p. 205-219.
31. Kolonko, M., Some new results on simulated annealing applied to the job shop scheduling problem. European Journal of Operational Research, 1999. 113: p. 123-136.
32. Bierwirth, C., A Generalized Permutation Approach to Jobshop Scheduling with Genetic Algorithms. OR Spectrum, 1995. 17: p. 87-92.
33. Pesch, U.D.a.E., Evolution based learning in a job shop scheduling environment. Computers & Operations Research, 1995. 22: p. 25-40.
34. Syswerda, G., Schedule Optimizacion Using Genetic Algorithms, in Handbook of Genetic Algorithms, V.N.R. L. Davis, Editor. 1991: New York. p. 332-349.
35. Beasley, J.E., Or-library: distributing test problems by electronic mail. Journal of the Operations Research Society, 1990. 41(11): p. 1069-1072.
36. Meeran, A.S.J.a., Deterministic jobshop scheduling: Past, present and future. European Journal of Operational Research, 1999. 113: p. 390-434.
37. Olivier, C., On Solving Covering Problems. 1996.
38. Dortmund, T.B., Martin Schutz, Sami Khuri and Informatik Centrum, A Comparative Study of a Penalty Function, a Repair Heuristic, and Stochastic Operators with the Set-Covering Problem. 1995.
39. Marchiori, E., An Iterated Heuristic Algorithm for the Set Covering Problem. 1998.
40. Jiménez, F. Vida Artificial. 1999 [cited; Available from:
http://complex.us.es/~jimenez/CA/ac/node19.html.
41. Liekens, A. Alife Online. 2000 [cited; Available from: http://alife.org/.
42. Paolo, E.D. Artificial Life Bibliography of On-line Publications. 2000 [cited; Available from: http://www.cogs.susx.ac.uk/users/ezequiel/alife-page/alife.html.
43. F. Glover and G. Kochenberger, Handbook of Metaheuristics. 2003: Kluwer Academic Publishers.
44. S. Voss, S.M., I.H. Osman and C. Roucairol, Meta-Heuristics: Advances and Trends in Local Search Paradigms for Optimization. 1999, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers 45. Bonabeau, E., Swarm Intelligence: From natural to artificial systems. 1999: Oxford
University Press.
46. T.Stutzle, M.D.a., Ant Colony Optimization. 2004, MIT Press. p. 303-348.
47. Caro, M.D.a.G.D., The Ant Colony Optimization meta-heuristic, in New Ideas in Optimization, M. Hill, Editor. 1999: London UK. p. 11-32.
48. M. Dorigo, G.D.C., and L. M. Gambardella, Ant algorithms for discrete optimization.
Artificial Life, 1999. 5(2): p. 137-172.
49. Gambardella, É.D.T.a.L.M., Adaptative memories for the quadratic assigment problem., in
DSIA-97. 1997: Lugano, Switzerland,.
50. L. M. Gambardella, È.D.T., and M. Dorigo, Ant colonies for the quadratic assigment problem. Journal of the Operational Research Society, 1999. 50(2): p. 167-176.
51. Caro, M.D.y.G.D., Ant Colony Optimization meta-heuristic, in New Ideas in Optimization, M.D.y.F.G. D. Corne, editores, Editor. 1999: McGraw Hill, London, UK. p. 11-32.
52. Stützle, M.D.y.T., The ant colony optimization metaheuristic: Algorithms, applications and advances, in Handbook of Metaheuristics, e. F. Glover and G. Kochenberger, Editor. 2003, Kluwer Academic Publishers. p. 251-285.
53. M. Birattari, T.S., L. Paquete, y K. Varrentrapp., A racing algorithm for configuring metaheuristics, in GECCO 2002: Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference, e. W.B. Langdon y otros, Editor. 2002, Morgan Kaufmann Publishers: San Francisco, CA, USA. p. 11-18.
54. M. Dorigo, V.M., and A. Colorni, The Ant System: Optimization by a colony of cooperating agents. IEEE Transactions on Systems Man, and Cybernetics, 1996. 26: p. 29-41.
55. Gambardella, M.D.y.L.M., Ant Colony System: A cooperative learning approach to the traveling salesman problem. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 1997. 1(1): p.
53-66.
56. Hoos, T.S.a.H., MAX-MIN Ant System. Future Generation Computer Systems, 2000. 16(8): p.
889-914.
57. B. Bullnheimer, R.F.H.a.C.S., A new rank-based version of the Ant System: A computational study. Central European Journal for Operations Research and Economics, 1999. 7(1): p. 25-
38.
58. O. Cordón, I.F.d.V., F. Herrera, and L. Moreno. new ACO model integrating evolutionary computation concepts: The Best-Worst Ant System. in ANTS 2000. 2000. Université Libre de Bruxelles, Belgium,.
59. Dorigo M., M.V.y.C.A., The Ant System: Optimization by a colony of cooperating agents.