Accounting for entry and exit: Data issues

La transmisión de calor en un macizo tridimensional sin emisión interna de calor (hipótesis aceptada en presas de hormigón) se expresa mediante la ecuación diferencial de Fourier:

𝜕𝜕2_𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥2+ 𝜕𝜕2_𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦2+ 𝜕𝜕2_𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑧𝑧2= 1 𝜆𝜆 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑡𝑡 En donde

𝜆𝜆=_𝑐𝑐𝑘𝑘_𝜌𝜌 difusividad [𝑚𝑚2_{/𝑠𝑠]: rapidez con la que varía la}

temperatura de un material ante una solicitud térmica

𝑘𝑘 conductividad [𝑊𝑊/(𝑚𝑚𝐾𝐾]: capacidad de un material para transferir calor

𝑐𝑐 calor específico [𝐽𝐽/(𝑘𝑘𝑔𝑔𝐾𝐾]: cantidad de energía necesaria para aumentar en 1ºC la temperatura de 1 kg de material

𝜌𝜌 densidad [𝑘𝑘𝑔𝑔/𝑚𝑚3_{]: masa de material por unidad de}

volumen

Se admite que el material no modifica sus propiedades térmicas durante el proceso de conducción de calor y que el medio es continuo, homogéneo e isótropo.

La variación de la temperatura atmosférica se puede representar mediante una serie de Fourier reducida a dos términos correspondientes a las variaciones anual y diaria.

Diferentes autores han estudiado la conducción transitoria de calor en el interior de un sólido semiinfinito cuya superficie está sometida a una oscilación periódica y sinusoidal de temperaturas, y siendo la temperatura media igual a la del sólido a gran profundidad. Chapman desarrolla la ecuación general de la conductividad para dichas condiciones de contorno con los siguientes resultados (Chapman, 1965):

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“Sea un sólido semiinfinito con una temperatura T∞ uniforme y constante a gran profundidad. La temperatura de su superficie T (0,t) es una función sinusoidal de amplitud T0 y frecuencia η[s-1]. La temperatura en cada punto

es una función de la profundidad x y del intervalo t, es decir, T(x,t). Simplificando la ecuación con el uso de diferencias de temperaturas y desarrollándola obtendremos:

∆T0= T(0, t)− T(∞, t) = T0sin(2πη t)

∆T = T(x, t)− T(∞, t) = ∆T0𝑒𝑒−𝑥𝑥�𝜋𝜋𝜋𝜋/𝜆𝜆sin(2πη t−x�𝜋𝜋𝜋𝜋/𝜆𝜆)

Comparando la solución de la ecuación diferencial con la función de las condiciones de contorno se observa que la variación de la temperatura en cualquier punto del sólido es periódica y de igual frecuencia, pero con un desfase o retardo, y que la amplitud máxima es proporcional a la de la superficie aunque afectada por un factor de amortiguación:

Amortiguación de onda: 𝝁𝝁=𝒆𝒆−𝒙𝒙�𝝅𝝅𝝅𝝅/𝝀𝝀 _2-3

Retardo de onda: ∅=_𝟐𝟐𝒙𝒙�_{𝝀𝝀𝝅𝝅𝝅𝝅}𝑳𝑳 2-4

∆𝑻𝑻= 𝑻𝑻(𝒙𝒙,𝒕𝒕)− 𝑻𝑻(∞,𝒕𝒕) = ∆𝑻𝑻𝟑𝟑𝝁𝝁𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐𝝅𝝅𝝅𝝅 (𝒕𝒕 − ∅)) 2-5 Esta ecuación refleja con transparencia el fenómeno de la Inercia térmica.” (Martín Monroy, 1996)

Si se supone que en cada punto sólo tiene influencia la temperatura de uno de los paramentos, la amplitud de las variaciones térmicas decrecen rápidamente con la profundidad y las variaciones están desfasadas con respecto a las del ambiente.

En las presas, la difusividad varía principalmente debido a los cambios que experimenta la conductividad al modificarse la humedad en el macizo de hormigón.

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Las características geométricas de las presas de hormigón permiten considerar que:

El flujo de calor en el macizo es ortogonal a los paramentos Entre secciones no hay flujo de calor

La ecuación de flujo unidireccional del calor queda simplificada:

𝜕𝜕2_𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥2= 1 𝜆𝜆 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑡𝑡

y puede ser resuelta por métodos numéricos y analíticos.

Métodos empíricos

De las observaciones en la presa Boonton, EEUU, Merriman dedujo la expresión:

𝑎𝑎=𝐴𝐴𝑥𝑥−23

en donde

A es la amplitud de la temperatura externa y

a es la amplitud de la temperatura interna a la distancia x (en pies) del paramento.

En la presa KOMAKI, Japón, Eiichiro Ishii dedujo la fórmula:

𝑎𝑎(𝜃𝜃𝐶𝐶) = 24.5 𝑒𝑒−0.07𝑥𝑥

Y en la presa Kensiko, Japón, se dedujo:

𝑎𝑎(𝜃𝜃𝐹𝐹) = 48.0−12.3 ln𝑥𝑥

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Métodos semiempíricos

Considerando que la temperatura externa varía según una ley de la expresión:

𝑇𝑇=𝐴𝐴_{2 cos}�2𝜋𝜋_{𝑁𝑁 − 𝑘𝑘}𝑡𝑡 0�

Se deduce que el campo de temperaturas internas será:

𝑇𝑇=𝐴𝐴₂ 𝑒𝑒−� 𝜔𝜔2𝑘𝑘𝑥𝑥_{cos�𝜔𝜔𝑡𝑡 − �}𝜔𝜔

2 𝑘𝑘 − 𝑘𝑘0�

En donde 𝑘𝑘 es la conductividad y 𝜔𝜔 es la frecuencia.

Métodos numéricos

La ecuación diferencial que describe la difusión de calor en el macizo de hormigón puede ser resuelta por métodos numéricos basados en diferencias finitas.

Método de Schmidt/ Cusimberre

Basado en la discretización del dominio de la temperatura y en la estimación de la temperatura de un elemento volumen a partir de las temperaturas de elementos de volumen adyacentes.

Bonaldi, Fanelli, Giuseppetti, Silva Gomes, entre otros han realizado intentos de modelización de presas bóveda.

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Modelo térmico de la presa del Atazar (Sánchez Caro, 2007)

Se modeliza la temperatura mediante la suma de tres funciones senoidales con diferentes períodos y amplitudes de onda térmica:

𝑇𝑇(𝑡𝑡) =𝑇𝑇𝑚𝑚+� 𝐴𝐴𝑖𝑖sin[𝐷𝐷(𝑟𝑟𝑡𝑡+∅𝑖𝑖)] 3

𝑖𝑖=1

Donde

𝑟𝑟 pulsación de onda �₃₆₅2𝜋𝜋�

𝑡𝑡 nº de día del año

∅𝑖𝑖 desfase de cada onda

𝑇𝑇𝑚𝑚 temperatura media anual

2.10.6

Modelos de elementos finitos

Los modelos de elementos finitos se hacen imprescindibles cuando se pretende introducir geometrías de presas complejas, o bien tener en cuenta gran número de parámetros para predecir el comportamiento de la presa. De las diversas investigaciones al respecto se han seleccionado las siguientes:

Léger et al. realizan un estudio paramétrico para analizar la influencia de determinados factores sobre la respuesta de las presas de gravedad en términos de esfuerzos y deformaciones. Los factores analizados son las propiedades geométricas de la estructura, las características térmicas y mecánicas del hormigón y del cimiento de la misma, la temperatura del agua embalsada y la distribución de temperaturas del aire. (Léger, Venturelli, & Bhattacharjee, Seasonal temperatura and stress distributions in concrete gravity dams. Part II: behaviour. , 1993)

Los autores determinan el estado térmico de la presa resolviendo el problema térmico con un modelo de elementos finitos bidimensional con un

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paso de tiempo de un día y en el que las propiedades térmicas de los materiales son isótropas y constantes a lo largo del tiempo.

Daoud et al. estudian la distribución de temperaturas en el interior de presas de gravedad de hormigón. Los autores desarrollan un modelo matemático bidimensional de elementos finitos en el que el cuerpo de presa se divide en dos zonas, según el hormigón se encuentra saturado de agua o no. La conductividad térmica asignada al hormigón de cada zona es diferente y su ubicación varía según el nivel del agua del embalse. La temperatura ambiente se aproxima a una función sinusoidal calibrada con los datos de una estación meteorológica próxima. En el paramento mojado se asume que la temperatura del mismo es igual que la del agua de contacto, la cual se calcula con un modelo de elementos finitos que aplica el principio de conservación de la energía. (Daoud, Galanis, & Ballivy, 1997) Sheibany, F. y Ghaemian, M. estudian la distribución de esfuerzos debido al gradiente térmico en una presa bóveda. El problema térmico transitorio es resuelto con un modelo tridimensional de elementos finitos, con propiedades térmicas de los materiales constantes y flujo de calor entre la estructura y cimiento nulo. En los puntos del paramento seco se impone un flujo de calor provocado por la radiación solar incidente. La temperatura media diaria ambiental se obtiene ajustando una función sinusoidal a los registros de una estación meteorológica próxima. En los puntos del paramento sumergido se asume que la temperatura es igual a la del agua en contacto con ellos. (Sheibany & Ghaemian, 2006)

Jin et al. estudian la distribución de temperatura en las superficies no inundadas de los paramentos de la presa bóveda de Ertan. El problema térmico transitorio se resuelve con un modelo de elementos finitos tridimensional, con variaciones de las propiedades mecánicas espacialmente. Se determina la radiación solar incidente sobre superficies inclinadas, considerando la presencia de sombras sobre los paramentos. (Jin, Chen, Wang, & Yang, 2010)

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