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El análisis estadístico de los datos obtenidos de la literatura, con respecto de las propiedades mecánicas de los nanotubos de Carbono, fueron evaluados usando @Risk for Excel, versión 4.5.

Los datos han sido ajustados a funciones de densidad a través de tres pruebas: Chi- cuadrada, Anderson-Darling (A-D) y Kolmogorov-Smirnov (K-S). Se ha optado por elegir la menor cantidad de distribuciones de probabilidad que describan al comportamiento de las propiedades mecánicas de los NTsC; por lo que, después de procesar la información en @Risk, se observó que unas pocas distribuciones aparecen recurrentemente en la mayoría de los casos estudiados y en las mejores posiciones de clasificación (al menos en una de las pruebas, aunque no siempre). Las distribuciones más comunes son la logistic y log- logistic, por lo que serán a las que se les dará prioridad cuando exista alguna duda en la elección de la distribución, y sólo de manera excepcional se recurrirá a la distribución de valores extremos y a la de Gauss inversa.

Inicialmente, el análisis estadístico se efectuó sobre todos los datos del Módulo de Young, observándose que la distribución LogLogistic fue clasificada en la primera posición en dos de dichas pruebas, en la de Anderson-Darling y en la de Kolmogorov-Smirnov, y en la segunda posición en la de Chi-cuadrada (aunque el valor de la Chi-cuadrada es igual al obtenido para la distribución colocada en la primera posición), por lo que no hubo duda en su elección. Sin embargo, los valores de las pruebas fueron elevados, por ejemplo en la de Chi-cuadrada se obtuvo un valor de 61.20.

Ya que el módulo de Young tiende a ser menor en los nanotubos de Carbono con menor diámetro, se decidió separar el análisis de estudio en dos intervalos. El primero de ellos efectuándose en nanotubos con diámetros inferiores a 1 nm, y el segundo para aquellos con diámetro mayor o igual a esa magnitud. Al efectuar el análisis para el módulo de Young, en nanotubos con diámetro inferior a 1 nm, se obtuvo la mejor clasificación para el ajuste de los datos para la distribución LogLogistic(0.22618, 070835, 15.405). El valor

obtenido para la prueba Chi-cuadrada fue de 18.71, por lo que se observa una disminución significativa con respecto del valor de 61.20 obtenido para el caso en que es evaluado el módulo de Young para todos los datos. De esta manera es una buena decisión obtener las funciones de densidad para las propiedades mecánicas para varios intervalos. Al evaluar el módulo de Young para nanotubos con diámetro ≥ 1 nm, se obtuvo que la mejor distribución que se ajustó a los datos fue la Logística, con parámetros Logistic(0.970554, 0.055627). Sin embargo, el valor de prueba Chi-cuadrada en lugar de disminuir aumentó a 102.9. Posteriores análisis que no son reportados en el presente trabajo, mostraron que si elegimos más intervalos de análisis, el valor obtenido para la Chi-cuadrada disminuye. De esta manera, el módulo de Young se puede caracterizar mediante dos funciones de densidad: Para nanotubos con diámetros < 1 nm por la distribución LogLogistic(0.22618, 0.70835, 15.407), con una media de _μ= 0.939 TPa y desviación estándar de _σ= 0.085. Y para nanotubos con diámetros _≥ 1 nm, por la distribución Logistic(0.970554, 0.055627)_{, con una media de μ= 0.971 TPa y desviación} estándar de σ= 0.101.

En el caso del módulo de Corte, cuando todos los datos fueron evaluados de manera conjunta, la distribución que se eligió fue la logistic, pues aparece en la primera posición en la prueba de Anderson-Darling. El valor que se obtuvo para la prueba Chi-cuadrada fue de 154.3 (Aunque la mejor clasificada en esta prueba fue de 127). Al evaluar el módulo de corte cuando el diámetro de los nanotubos < 1 nm, se obtuvo que la distribución Logistic fue la mejor clasificada en las tres pruebas, con un valor de 30.76 para la prueba de Chi- cuadrada. Cuando el diámetro de los nanotubos _≥ 1 nm, la distribución elegida fue la Log- logistic pues fue clasificada en el primer lugar por la prueba de Kolmogorov-Smirnov. El valor de la prueba Chi-cuadrada para esta distribución cayó a 46.21. De esta manera, a diferencia del módulo de Young, el ajuste de las funciones de densidad para el módulo de corte mejoró en ambos intervalos, por lo que es una buena elección encontrar dos funciones de densidad en lugar de una. Las funciones que describen el comportamiento del módulo de Corte son: Los nanotubos con diámetros < 1 nm son caracterizados por la

distribución Logistic(0.388166, 0.020501), con una media de μ= 0.3882 TPa y desviación estándar de σ= 0.0372. Y para nanotubos con diámetros ≥ 1 nm, por la distribución LogLogistic(0.386690, 0.011252, 1.3257), con una media de μ= 0.425 TPa, aunque la desviación estándar no ésta definida.

Cuando todos los datos fueron evaluados para la relación de Poisson, se observó que los valores de las diferentes pruebas fue menor que los obtenidos para el módulo de Young y el módulo de Corte, pues fue de 14.30 para la distribución logistic. No obstante lo anterior se realizó el análisis para los dos intervalos anteriores, observándose también un mejor ajuste. Ya que la relación de Poisson también se ve afectada por la quiralidad, se decidió clasificar a los nanotubos primero por quiralidad y luego diámetro. Esto mejoró sustancialmente los valores de la prueba Chi-cuadrada. Por lo tanto, al hacer uso de las funciones de densidad para la relación de Poisson, será necesario conocer la quiralidad del nanotubo, así como el diámetro, o rango de diámetros. Las funciones que describen la relación de poisson son las siguientes: Para nanotubos Aquirales y diámetros < 1nm la función de densidad es del tipo de valores extremos con parámetros ExtValue(0.172006, 0.051239), con una media de _{μ= 0.202 y una desviación estándar de σ= 0.066. Para} nanotubos Aquirales y diámetros _≥ 1 nm, la función de densidad es LogLogistic(0.090070, 0.12381, 6.5668), con media de _{μ= 0.219, y desviación estándar σ= 0.037. Para los} nanotubos quirales y diámetros < 1 nm, LogLogistic(-0.025647, 0.23871, 8.7164), con una media de _{μ= 0.218, y una desviación estándar de σ= 0.052. Finalmente, los nan}otubos quirales y diámetros _≥ 1 nm, pueden ser caracterizados por la distribución InvGauss(0.027150, 0.014933, RiskShift(0.190264)), con una media de μ= 0.217 y una desviación estándar de σ= 0.037.

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Conclusiones

Conclusiones

En este trabajo de tesis se reportaron las funciones de densidad que caracterizan a las propiedades mecánicas de los nanotubos de Carbono de pared única. En particular las que se refieren a: El módulo de Young, el módulo de Corte y la Relación de Poisson.

Para el módulo de Young y el módulo de Corte se reportaron las funciones de densidad para dos intervalos de diámetros.

Se encontró que las funciones de densidad que describen el comportamiento del módulo de Young para los nanotubos de Carbono de pared única son las siguientes:

D < 1 nm �(�) = 21.750 �� − 0.22618 0.70835 � 14.407 �1 +�� −_0.708350.22618� 15.407 � 2 D _≥ 1 nm �(�) = ���ℎ2_�1 2�� − 0.970554 0.055627 �� 0.2225

Así mismo, se determinaron las funciones de densidad que caracterizan al módulo de corte: D < 1 nm _�(�) = ���ℎ2_�1 2�� − 0.388166 0.020501 �� 0.082004 D ≥ 1 nm �(�) = 117.819 �� − 0.386690 0.011252 � 0.3257 �1 +�� −_0.0112520.386690� 1.3257 � 2

En el caso de la relación de Poisson, el mejor ajuste de las densidades de probabilidad se logró cuando los nanotubos no solo fueron clasificados por su diámetro, sino también por su quiralidad, por lo que en lugar de describirlos por solo dos distribuciones, serán necesarias cuatro. Nanotubos Aquirales D < 1 nm �(�) = 1 0.051239 ⎩ ⎨ ⎧ ₁ �� (_�−0.172006 ) 0.051239 + � �−(�−_0.0512390.172006 )�_� ⎭ ⎬ ⎫ D ≥ 1 nm � (�) = 53.0393 �� − 0.090070 0.12381 � 5.5668 �1 +�� −_0.123810.090070� 6.5668 � 2 Nanotubos Quirales D < 1 nm �(�) = 36.5146 �� + 0.025647 0.23871 � 7.7164 �1 +��+ 0.025647_0.23871 � 8.7164 � 2 D _≥ 1 nm _{�(�) =�} 0.0024 (� −0.190264)3 � −�10.1293(_{(�−0.190264 )}�−0.217414 )2�

Con estas distribuciones será posible realizar simulaciones probabilísticas, para determinar la probabilidad de falla de nanoestructuras fabricadas a base de nanotubos de Carbono de pared única.

Apéndice