CHAPTER 3. ANALYSIS
3.4. Category 2: Therapy congruency
3.4.3 Adaptation
ASIGNACIÓN DE CANAL CON
CAPITULO 3 ASIGNACIÓN DE CANAL CON PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA
Este capítulo apunta a definir matemáticamente el problema de asignación de frecuencias en redes WiMAX fijo, mediante un modelo de programación lineal entera.
En este capítulo se explican detalladamente todas las tareas de estudio, análisis y procedimientos realizados en las etapas de diseño y simulación del comportamiento de la red inalámbrica de banda ancha con tecnología WiMAX que opera con un plan de frecuencias diseñado a partir de la solución del modelo generado para dicha red.
3.1.- Descripción del modelo matemático
Una vez que se han definido las distancias de reutilización de frecuencias, se presenta la metodología propuesta para realizar la asignación de frecuencia a las distintas radio bases que integran la red. Se tiene un conjunto de radio bases definido por { }, cada radio base estará subdividida en sectores por lo que se tiene el siguiente conjunto de sectores { }. Cada sector perteneciente a alguna radio base será considerado como un vértice de un grafo que modela la red, por lo que el conjunto de vértices está definido de la siguiente forma
{ }, (14)
Que de manera simplificada se representará como { } donde el cual representa el número total de pares sector-radio base.
Se establece que va a existir un posible enlace entre los vértices cuando la distancia entre los vértices es menor o igual a una distancia predefinida , la cual es la distancia de reutilización de frecuencia de acuerdo a los cálculos realizados en el capítulo anterior, por tanto los posibles enlaces entre dos vértices están dados por el conjunto de aristas, defino de la siguiente forma
.
{ | || || } (15)
Por otro lado se tiene , el conjunto de frecuencias disponibles para operar el sistema definido por el conjunto { } . Por lo que se puede definir el problema de minimización de interferencia en un sistema WiMAX fijo de la siguiente manera.
Parámetros
El modelo de la red WiMAX para este problema está dado por un grafo dirigido , un grupo de frecuencias disponibles para operar la red y un conjunto de pesos de penalización por la reutilización de frecuencias para todo .
Dónde:
Indica todos los números enteros positivos Indica todos los números reales positivos
Pesos de penalización calculados en el capítulo 2. El problema puede ser descrito de la siguiente manera
Figura 7 Componentes de un grafo
Es posible describir los posibles enlaces entre los diferentes vértices de toda la red mediante una Matriz de Adyacencia (MA).
[
] (16)
En donde las entradas de la matriz son si existe una arista entre los vértices, en otro caso
{ ( )
Por lo que un valor de 1 en algún elemento de la matriz de adyacencia significa que si el par de vértices asociado a ese elemento de la matriz usa la misma frecuencia se generaría interferencia en la red. Asociada a la matriz de adyacencia se genera una matriz de pesos que indica cual es el grado de afectación o nivel de interferencia que se incorporaría a la red por efecto de reutilización de frecuencia en aquellos nodos identificados en la MA.
Como también se puede obtener una matriz de pesos, en donde en lugar de usar valores binarios, se usan los propios pesos de cada enlace y en caso de que no exista conexión entre dos nodo se representa con cero.
Variables de decisión:
De acuerdo a lo anterior, la asignación del canal al vértice v, se puede representar por la siguiente expresión.
Para cada vértice v y cada frecuencia disponible se tiene a la siguiente variable binaria { (18) y la variable { Restricciones:
A cada vértice se le debe asignar una sola frecuencia, esto queda representado con la siguiente expresión:
∑ (20)
Cuando existe un enlace entre dos vértices, será posible asignarles el mismo canal, es decir si valen 1 va existir esto se describe por la siguiente desigualdad:
Las variables son enteras y binarias
{ } (22) { } (23) Por lo que el modelo de optimización queda definido de la siguiente manera.
En el diseño del plan de frecuencia se desea minimizar la interferencia por lo que se establece la siguiente función objetivo
∑
3.2.- Un ejemplo del problema
Para ilustrar la metodología de asignación de frecuencias propuesta, esta se aplica en una red compuesta de 5 radio bases con 4 sectores de 90 grados cada una. Se considera que esta red opera bajo el estándar IEEE 802.16-2004 (WiMAX fijo) y que se tiene 7 canales disponibles.
La figura 8 muestra los sectores que son interferidos por el sector 2, considerando que no se tiene la distancia de separación propuesta en el capítulo anterior de este trabajo de tesis. Los enlaces interferentes son representados con flechas de colores, cada color representa un tipo de interferente, para el caso verde se tiene un tipo de interferente I1, el color rojo representa un tipo de interferente I2, y en el caso del color morado representa una interferencia del tipo I3 incluyendo el sector 7 y 9. Para la radio base R4 se tiene la misma clasificación de interferentes que se tiene en la radio base R5. Todos los sectores en color indican que en caso de que usaran la misma frecuencia generarían una interferencia del tipo co-canal. De igual manera el sector 4 que pertenece a la misma radio base que el sector 2 no podrá usar la misma frecuencia. Adicionalmente los enlaces de los sectores 1, 3 con el sector 2 también tendrán el valor de 1 en la Matriz de adyacencia.
En este trabajo se desarrolló un programa en Matlab que toma como entrada la descripción del escenario de despliegue de la red WiMAX y genera un conjunto de archivos de texto que contienen la información necesaria para poder realizar la evaluación de una solución en un formato predefinido. En las siguientes secciones se describe la información contenida en estos archivos y su utilidad.
Datos generales
El programa considera el número de radio bases, su número de sectores y sus coordenadas geográficas correspondientes.
También se debe manejar el tipo de antena, su patrón de radiación, la altura de la estación base como del suscriptor, su potencia y se debe de considerar el tipo de terreno donde se desplegará la red. Restricciones
El problema que se intenta resolver en el modelo propuesto anteriormente consiste en hallar una asignación de frecuencias de manera tal que se minimice la suma total de interferencias.
Esto no es una tarea sencilla y, como ya se explicó en secciones anteriores, existen condicionantes que implican restricciones del problema.
Una buena solución será aquella que satisfaga de mejor manera las restricciones del escenario, presentadas a continuación:
Matriz de Adyacencia (MA)
En esta matriz se toma en consideración la distancia geométrica entre las radio bases, mientras más próximas sean las radio bases, la proporción de interferencia que podría generarse es mayor.
Es por esto que se proponen determinadas distancias de separaciones, explicadas en secciones anteriores.
Si se consideran estas distancias de separación, puede definirse la separación mínima necesaria entre cada uno de los pares de transmisores del escenario, dato que puede ser de mucha utilidad al decidir una asignación de frecuencias para no incurrir en interferencias inaceptables.
La matriz de adyacencia es una matriz cuyos elementos indican si dos sectores se interfieren o no de acuerdo a la distancia geométrica entre las radio bases. Esta separación se representa por un número con valores de 0 y 1. Un 0 significa que los dos sectores no se interfieren o que se cumplen con la mínima distancia requerida y por consiguiente la misma frecuencia puede reusarse. Un 1 implica que existe una interferencia del tipo co-canal y que las radio bases no tienen la mínima separación
requerida o en otro caso si el sector pertenece a la misma radio base, y lo más recomendable es que usen frecuencias diferentes.
Tomando como referencia la figura 8 todos los enlaces entre el sector 2 y los sectores que se encuentran de color, en la matriz de adyacencia tendrán el valor de 1 indicando que existe una interferencia del tipo co-canal, de igual manera el sector 4 que pertenece a la misma radio base que el sector 2 no podrá usar la misma frecuencia, adicionalmente los sectores 1, 3 también tendrán el valor de 1 ya que se tendría una interferencia.
Por lo que del ejemplo anterior se puede obtener la Matriz de Adyacencia para el sector 2, considerando que entre el sector 2 y todos los demás sectores no existe la separación mínima requerida para que no exista interferencia.
RADIO BASE
R1 R2 R3 R4 R5
SECTOR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
R1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
Tabla 14 Matriz de Adyacencia para el sector 2 del ejemplo propuesto.
Matriz de Penalización
Partiendo de la matriz de adyacencia cuyos elementos indican si dos sectores se interfieren o no de acuerdo a la distancia geométrica entre las radio bases y su azimut, se realiza la matriz de penalización la cual indica el grado de penalización que pudieran tener dos sectores si se les asignara la misma frecuencia.
Al igual que la matriz de adyacencia los valores de cada elemento de la matriz de penalización son generadas de acuerdo a las características de cada problema en particular y son el medio que permite de forma indirecta la optimización de la función objetivo del modelo propuesto, pues cada posible asignación de frecuencia es evaluada de acuerdo a la penalizació ue de e paga . Los valo es ás altos de penalización se asignan a los enlaces que generarían mayor interferencia en la red y viceversa. Los valores o pesos de la matriz de penalización son tomados de los pesos calculados en el capítulo anterior, esta penalización se considera con respecto al tipo de terreno donde se despliega la red, la distancia entre los sectores y el tipo de interferente, en la tabla siguiente se muestra los valores calculados para estos pesos.
DISTANCI A (KM)
TIPO A I1 TIPO B I1 TIPO C I1 TIPO A I2 TIPO B I2 TIPO C I2 TIPO A I3 o I4 TIPO B I3 o I4 TIPO C I3 o I4 1 0.508651 0.266436 0.202422 0.989619 0.956747 0.820069 0.820069 0.686851 0.543253 2 0.16782 0.133218 0.079585 0.904844 0.794118 0.574394 0.416955 0.316609 0.256055 3 0.115917 0.088235 0 0.809689 0.693772 0.446367 0.238754 0.186851 0.1609 4 0.065744 0 0 0.705882 0.593426 0.346021 0.16436 0.107266 0.108997 5 0 0 0 0.624567 0.517301 0.250865 0.091696 0.051903 0.058824 6 0 0 0 0.522491 0.410035 0.17301 0 0 0 7 0 0 0 0.397924 0.33045 0.119377 0 0 0 8 0 0 0 0.323529 0.285467 0.093426 0 0 0
Tabla 15 Pesos que son usados en la matriz de penalización para los tres tipos de entornos a diferentes distancias de separación de los sectores.
Como se puede observar en la tabla anterior los interferentes del tipo I2 tendrán una mayor penalización en el modelo, seguido de los interferente I3 y los que tienen una menor afectación son los interferentes del tipo I1.
En la tabla siguiente se muestra la distribución de estos interferentes para el modelo propuesto, como puede verse también los mismos sectores de la radio base tendrán una penalización con un valor de 1 de tal manera que se evite la reutilización de un canal en la misma radio base
RADIO BASE
R1 R2 R3 R4 R5
SECTOR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
R1 2 1 1 1 1 I1 I2 I3 0 I3 I2 I1 0 I3 I2 I3 I1 I3 I2 I3 I1
Tabla 16 Tipos de interferentes que se tienen de acuerdo a la configuración de la red propuesta
Para el ejemplo anterior los valores o coeficientes de penalización tomarían los siguientes valores si se considera un terreno de tipo B.
RADIO BASE
R1 R2 R3 R4 R5
SECTOR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
R1 2 1 1 1 1 0.13 0.79 0.31 0 0.31 0.79 0.13 0 0.31 0.79 0.31 0.13 0.68 0.95 0.68 0.26
La matriz con los valores 1 indica que tendrán un mayor grado de interferencia si se quiere asignar la misma frecuencia a sectores pertenecientes a la misma radio base
Los demás valores diferente de uno se clasifican en los tres tipos de interferentes (I1, I2, I3) como se muestra en la tabla 16 y el valor asignado será de acuerdo al peso calculado en el apartado anterior. La información presentada en las matrices de interferencia ayuda a encontrar la solución que contenga la mínima interferencia en una asignación de frecuencias.
3.3.-Solución del modelo
En este apartado se describe el procedimiento que se lleva a cabo para la solución del problema de asignación de frecuencias con Programación Lineal Entera.
La solución de este problema está conformada principalmente por tres etapas: Primera etapa.- Generación de las matrices de adyacencia y penalización
Este procedimiento es llevado a cabo en el software Matlab y consiste en generar las matrices de separación y de penalización descritas anteriormente, estas sirven como entrada en el modelo matemático que describe el problema.
Segunda etapa.- AMPL
El modelo matemático propuesto es reescrito en un lenguaje de programación para poder ser resuelto por medio de rutinas ya creadas. El lenguaje utilizado es AMPL el cual es un programa dirigido a la construcción y resolución de modelos de optimización, fundamentalmente modelos de Programación Lineal y Programación Entera.
La forma más habitual de trabajar con AMPL es editar primero tres archivos, con extensiones .mod, .dat y .run conteniendo, que contienen respectivamente las componentes del modelo, los datos en el formato AMPL, y los comandos que se van a ejecutar. Estos archivos de texto pueden editarse y mantenerse con cualquier editor de textos (con el Bloc de Notas de Windows).
Con un archivo .mod se indica a la computadora qué modelo se desea resolver. Por lo que el modelo descrito en el ejemplo anterior es escrito con este lenguaje.
Con un archivo.dat se alimentan los datos de ese modelo. Las matrices de adyacencia y penalización que se obtuvieron de Matlab, son los datos de entrada en formato AMPL.
Con un archivo .run se establece con que solvers se desea resolver el problema y que información se requiere que se muestre como salida.
Tercera etapa.- El proyecto NEOS
Los archivos descritos anteriormente son enviados al solver GUROBI que está disponible de forma libre en la web desde la página http://www-neos.mcs.anl.gov/neos, la solución se manda a nuestro correo o en la misma página se puede visualizar. El diagrama siguiente muestra el conjunto de etapas que se llevan a cabo para la realización de asignación de frecuencias.
Figura 9 Diagrama de las etapas que se realizan para la obtención de asignación de canales con el modelo propuesto.
Asignación de frecuencias con la metodología propuesta
Una vez descrito anteriormente el procedimiento para la asignación de canales utilizando las distancias de reuso de frecuencia con sus respectivas penalizaciones, se usa esta información para realizar la asignación de frecuencias a los sectores que integran la red. En este caso los de mayor penalización son los interferentes del tipo I2 seguido de los de los de interferentes del tipo I3, sin embargo los de menor interferencia son los interferentes del tipo I1.
Cabe destacar que la interferencia total disminuye gracias a la combinación de las distancias y penalizaciones que se calcularon para la reutilización de frecuencias, obteniendo una reducción considerable de la interferencia co-canal de manera que se logre minimizar la suma total de interferencias.
A cada uno de los transmisores debe asignársele una frecuencia de un conjunto de frecuencias. Un ejemplo de una asignación de frecuencias se muestra en la tabla siguiente esta solución es dada por el solver Gurobi, donde por ejemplo, el transmisor del sector 1 de la estación base A tiene asignada la frecuencia 6. Generacion de las matrices de separacion y penalizacion en Matlab Generacion del modelo matematico y conjunto de restricciones en AMPL solver de PLE que encuentra la solucion de la funcion a minimizar
Est aci ó n base A
Canal 1 Canal 2 Canal 3 Canal 4 Canal 5 Canal 6 Canal 7
Sector 1 0 0 0 0 0 1 0
Sector 2 1 0 0 0 0 0 0
Sector 3 0 0 0 1 0 0 0
Sector 4 0 0 1 0 0 0 0
Tabla 18 Asignación de frecuencias dada por el solver Gurobi para el problema del ejemplo.
La calidad de la solución del problema de asignación de frecuencias en la red WiMAX quedará determinada en base al grado con el que puede lograrse el objetivo de minimizar la interferencia, satisfaciendo las restricciones del problema.
CONCLUSIÓN
El problema que se aborda en el modelo propuesto anteriormente consiste en hallar una asignación de frecuencias de manera tal que se minimice la interferencia de la red.
Esto no es una tarea sencilla por lo que existen condicionantes que implican restricciones del problema como es la distancia geométrica que existe entre las radio bases, el tipo de terreno donde se desplegara la red.
Además de ello se consideran diferentes penalizaciones de acuerdo al tipo de interferente, en este caso los de mayor penalización son los interferentes del tipo I2 seguido de los de los de interferentes del tipo I3, sin embargo los de menor interferencia son los interferentes del tipo I1. Por lo que la solución será aquella que satisfaga de mejor manera las restricciones del escenario o lo que es lo mismo la que minimice la interferencia presente en la red