Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite enumerar todas las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes. El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la primera acción a efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras diferentes se pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan otros nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que se desprenden tantas ramas como maneras lógicas diferentes pueda realizarse esa segunda acción, considerando la manera en que se realiza la primera. Y así, sucesivamente.
Ejemplo:
Se tienen en un estante de 3 libros; uno de Álgebra, uno de Contabilidad y otro de Biología. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar los libros?
Ω = {ACB, ABC, BAC, BCA, CAB, CBA} Ejemplo:
Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces consecutivas y observar, cada vez, la cara que queda hacia arriba.
Ejemplo:
Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde un dólar. El hombre empieza con un dólar y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su dinero o si gana tres dólares, esto es, si tiene cuatro dólares. Realizar un diagrama de árbol para dicho experimento aleatorio.
PERMUTACIÓN
Las permutaciones son los diferentes arreglos u ordenamientos que se pueden realizar con una parte o con todos los elementos de un conjunto.
Permutación lineal.- Son los diferentes arreglos que se hacen en una línea referencial. Ejemplo:
¿De cuántas maneras diferentes se ordenan A, B, C y D tomados de dos en dos? Se tienen cuatro elementos: A, B, C y D
Entonces tenemos 12 maneras diferentes de ordenar A, B, C y D Otra manera
En general
Factorial de un número.- Es el producto de todos los números enteros positivos y consecutivos des de la unidad hasta n. Se denota n!
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x…x (n-1) x n
Ejemplos:
4! = 1 x 2 x 3 x 4
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
Nota: Por convención se asume que 0! = 1
Permutación Circular.- Es un arreglo u ordenamiento de elementos alrededor de un objeto o punto de referencia.
Ejemplo:
¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 4 personas alrededor de una mesa circular? Sean A, B, C y D las personas que se van a ubicar alrededor de la mesa.
Se tiene 6 maneras. En general
Permutación lineal con elementos repetidos.- Es un ordenamiento lineal cuyos elementos no todos son distintos entre sí, es decir, hay elementos que se repiten.
Ejemplo:
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila dos fichas iguales de color negro y dos fichas iguales de color blanco?
Sean las fichas N, N, B y B
Se observa que hay seis maneras diferentes de ordenar. Otra manera
En general
Ejemplo:
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CASACA?
Se pueden formar 60 palabras diferentes con la palabra CASACA COMBINACIÓN
Viene a ser los diferentes grupos que se pueden formar con una parte o todos los elementos de un conjunto determinado sin considerar el orden de los agrupamientos.
Ejemplo:
¿De cuantas maneras diferentes se pueden agrupar A, B, C y D al tomar de 2 en 2? Tenemos cuatro elementos, la cual se agrupa de 2 en 2.
Se observa que hay 6 maneras diferentes de agrupar de 2 en 2. Otra manera
Es una combinación de 4 elementos que se toman de 2 en 2 y se obtiene:
En general
Ejemplo:
Un grupo de 7 estudiantes se desea conformar dos comisiones. La primera comisión debe estar integrada por 4 estudiantes y la segunda comisión por 3 estudiantes. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir a los alumnos que deben conformar la primera comisión?
El grupo tiene 7 estudiantes, entonces n = 7
EJERCICIOS
1.- Un artículo de computo se vende en tres galerías; en el primero se tienen disponibles 4 tiendas, en el segundo 7 y en el tercero 6 tiendas. ¿De cuántas maneras se puede elegir una tienda para comprar dicho artículo?
2.- ¿De cuantas maneras pueden ubicarse 8 personas en una banca de capacidad para 5 personas?
3.- Un entrenador de fútbol tiene 16 jugadores a su cargo, de los cuales uno está lesionado y no puede jugar. ¿De cuántas maneras podrá formar su equipo, si cualquiera de los jugadores puede desempeñarse en cualquier puesto?
4.- En el hipódromo de Monterrico se va alargar una carrera donde competirán 6 caballos. ¿De cuántas maneras podrán ocupar los primeros 3 puestos? De esta manera se puedan repartir los premios.
5.- ¿De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas de S/.5 y 4 monedas de S/. 2 en una misma línea?
6.- En el comedor de la ciudad universitaria se ofrece un menú que consiste en una sopa, un segundo, un postre y una bebida. ¿Cuántos almuerzos son posibles, si podemos elegir 4 tipos de sopas, 3 tipos de segundo, 5 postres y 4 bebidas?
7.- Se debe formar una comisión de tres ingenieros: uno de sistemas, uno de electrónica y otro de industrial ¿Cuántas posibilidades de formar dicha comisión hay? Si se cuentan con tres de sistemas, cuatro de electrónica y seis industriales.
PROBABILIDADES
El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación:
¿Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería?
¿Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico? ¿Qué posibilidad hay de que hoy llueva? para llevar mi paraguas o no. ¿Existe alguna probabilidad de que repruebe el examen final?
Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza representativa o práctica de que ocurra un evento futuro, o bien una forma sencilla de interpretar la probabilidad. En este tema lo que se quiere es entender con claridad su contexto, como se mide y como se utiliza al hacer inferencias.
El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico. El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadística inferencial.
Experimento determinístico
Un experimento determinístico es aquel cuyos resultados del experimento están completamente determinado y puede describirse mediante una fórmula matemática llamada también modelo determinístico.
Ejemplos:
Lanzar una pelota en un tanque de agua y ver si flota o se hunde. Soltar una piedra en el aire.
Experimento no determinístico
Un experimento no determinístico se da cuando los resultados de los experimentos no pueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento.
Ejemplos:
Lanzar una moneda y observar la cara superior (cara o sello)
Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. EXPERIMENTO ALEATORIO
En la vida podemos encontrar situaciones que no se pueden predecir, como cuando se realiza un partido de fútbol, se lanza una moneda, etc. En todos estos casos no sabemos qué resultado se tendrá y por eso a estas situaciones se les llama experimentos aleatorios.
Un experimento aleatorio, tiene dos propiedades en común:
Uno de estas es que cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden especificarse de antemano.
Ejemplos:
Conocer el número de alumnos que faltaran a clases, la próxima semana.
Preguntar a un profesor de secundaria la especialidad que tiene (Matemática, Química, Biología, etc.)
Verificar la legalidad de un billete de $100 (legal o falso). ESPACIO MUESTRAL
El espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, es el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento aleatorio.
Lanzar una moneda y observar la cara superior (cara o sello) Ω1 = {C, S}
Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Ω2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tiempo de espera hasta ser atendido en el banco. Ω3 = { t / 0 ≤ t} EVENTOS
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio y lo denotaremos por A, B, C, D, etc.
SUCESO
Un suceso es todo elemento del espacio muestral y lo designaremos por w, x, y, etc. Ejemplos:
Consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Un evento podría ser: A: “ocurre un número par” A = {2, 4, 6}
Observar el tiempo de vida del foco de una lámpara. Ω = { t / 0 ≤ t}
Un evento podría ser: B: “el foco dura más de 200 horas” B = {t / t > 200}
Evento imposible
Evento que no ocurre nunca en un experimento aleatorio. Algunos eventos nunca pueden ocurrir en el experimento aleatorio, y por eso se llama imposible. Se simboliza con Ø.
Ejemplo:
Sea el evento A: Lanzar dos dados y que la suma del resultado sea 14. A = Ø
Evento seguro
Evento que “siempre ocurre” en un experimento aleatorio. Ejemplo:
Sea el evento B: Sacar una bola roja, de una urna que contiene 6 bolas rojas B = Sacar una bola roja es un evento seguro, pues todas son rojas.
OPERACIÓN CON EVENTOS