Chapter 2. 0: Flood – dynamics, impacts, vulnerability, risk management, and their
2.4 Agricultural changes and their impacts on flooding in developing countries
En el presente trabajo se ha estudiado la condici´on que deben de cumplir los precios de un conjunto de activos financieros, que en nuestro trabajo los consideramos divisas, para que un inversionista no tenga oportunidades de arbitraje; es decir, no pueda obtener un beneficio sin riesgo alguno.
Primero, se present´o el cl´asico modelo de un mercado financiero sin fricciones, en el que las transacciones entre activos pueden realizarse sin costo alguno, y luego se estableci´o que dichos mercados se encuentran libres de arbitraje si y solo si exist´ıa una medida de probabilidad equivalente respecto de la cual los precios descontados de los activos en el mercado conformaban una martingala. Con la intenci´on de extender este resultado, conocido como el teorema fundamental de preciso de arbitraje, se introdujo posteriormente el modelo de mercados financieros bajo costos de transacci´on proporcio- nales en un mercado de divisas. En este modelo se supuso que la compra de una divisa por intermedio de otra estaba sujeta a un costo de transacci´on, la cual se expresaba como un porcentaje adicional sobre el valor de la tasa de cambio. Se estudio aqu´ı c´omo entender, desde un punto de vista geom´etrico, la condici´on de no arbitraje y se deter- min´o que esta condici´on se cumple si y solamente si podemos garantizar la existencia de un sistema de precios consistentes, conformado por una colecci´on de martingalas de componentes estrictamente positivos. Para ello, se revisaron principalmente las in- vestigaciones de Kabanov and Safarian (2009) y Delbaen and Schachermayer (2006), quienes demostraron, con rigurosidad matem´atica, que el principio de no arbitraje en mercados imperfectos (con costos de transacci´on proporcionales) para procesos obser- vados discretamente en un horizonte finito se basaba en la teor´ıa de martingalas. Si bien los enfoques de estos autores consideraron diversas variantes en la modelizaci´on e incluso la posibilidad que los precios pudieran tomar cualquier valor (es decir, que el espacio muestral Ω sea un espacio arbitrario), nosotros basamos nuestro enfoque en el de Kabanov, qui´en demostr´o que muchos conceptos para el caso general pod´ıan simpli- ficarse considerablemente de tomarse Ω finito. Este fue el caso analizado en el presente
trabajo, as´ı como una extensi´on de la condici´on de no arbitraje que deja expedito el camino para investigaciones futuras en el caso que Ω sea un espacio arbitrario.
Vale tambi´en aclarar que la teor´ıa de los modelos de mercados financieros con costos de transacci´on no solo se limita a establecer las condiciones de no arbitraje y su relaci´on con la teor´ıa de martingalas, sino que tambi´en nos provee, como en el caso de los modelos sin fricciones, de una herramienta ´util para analizar otros problemas financieros como lo son el de la valuaci´on de instrumentos derivados o la soluci´on a problemas de consumo e inversi´on ´optimos en estos mercados; temas que esperemos puedan ser analizados en investigaciones futuras.
Ap´endice A
Conos poli´edricos
En este ap´endice desarrollamos algunos conceptos de convexidad en Rn que son
referidos en el trabajo. Nos enfocaremos principalmente en el concepto de los conos poli´edricos. A lo largo de este desarrollo entenderemos ah., .icomo un producto interno enRn.
Definici´on A.1. Un conjuntoC⊆Rnse dice que es convexo si∀x
1, x2 ∈C,0≤λ≤1
uno tiene
λx1+ (1−λ)x2 ∈C.
Se dice queC ⊆Rn es un cono si ∀x∈C y λ≥0, λx∈C. El conjunto C⊆Rn es un
cono convexo si es un conjunto convexo y, a la vez, un cono.
Una extensi´on natural de los conceptos de recta y plano en los espacios eucl´ıdeos viene dada por la siguiente definici´on.
Definici´on A.2. Dados a ∈ Rn \ {0} y α ∈ R definimos un hiperplano de vector
normal a mediante:
H ={x∈Rn | hx, ai=α}.
Claramente todo hiperplano H que pasa por el origen particiona a Rn en dos
conjuntos: {x ∈ Rn | hx, ai ≥ 0} y {x ∈ Rn | hx, ai < 0}. Llamaremos al primero de ellos un semiespacio lineal (cerrado).
Definici´on A.3. Un conoCse dice que es poli´edrico si es la intersecci´on de un n´umero finito de semiespacios lineales.
Note que si C es un cono poli´edrico, entonces ∃a1, a2, ..., am∈Rn tales que
C =
m
\
j=1
As´ı, si definimos la matrizA= [a1, ..., am]T de orden m×n, el cono poli´edricoC puede
tambi´en describirse, en el caso de trabajarse con una norma euclideana, como:
C ={x∈Rn |Ax≥0},
donde tomaremos a los elementos deRn como vectores columna.
Definici´on A.4. Dadosx1, x2, ..., xm ∈Rndefinimos el cono finitamente generado por
estos vectores por:
cono{x1, x2, . . . , xm}={ m
X
j=1
λjxj |λj ≥0}.
La demostraci´on del teorema siguiente que ser´a fundamental en nuestro estudio se puede encontrar enSchrijver (1986).
Teorema A.5 (Farkas-Minkowski-Weyl). Un cono es poli´edrico si, y solamente si, ´este es finitamente generado.
Corolario A.6. La imagen de un cono poli´edrico bajo una transformaci´on lineal es un cono poli´edrico.
Demostraci´on. Si C es un cono poli´edrico, entonces por el teorema anterior
∃a1, a2, ..., ak∈Rn tal queC={x∈Rn|x=
Pk
j=1λjaj para algunosλj ≥0}. Luego,
siL:Rn →Rm es una transformaci´on lineal, LC ={y∈Rm | y=Lxpara alg´un x∈
C} ={y ∈ Rm | y =Pk
j=1λjLaj, para algunosλj ≥ 0} es finitamente generado y es
por tanto, por el teorema anterior, un cono poli´edrico.
Definici´on A.7. Dado un cono C en Rn definimos su cono dual mediante:
C∗ ={a∈Rn| ha, xi ≥0, ∀x∈C}.
Vale comentar que el dual de todo cono C es siempre cerrado y convexo, al margen de que C lo sea.
Proposici´on A.8. Si C1 y C2 son 2 conos convexos cerrados en Rn, entonces:
(C1+C2)∗ =C1∗∩C2∗.
Demostraci´on. Sea y ∈ (C1 +C2)∗, entonces hy, x1 +x2i ≥ 0, ∀x1 ∈ C1, ∀x2 ∈ C2.
Dado que el vector nulo se encuentra en la clausura de C1 y C2, si x2 → 0 con
x2 ∈ C2 en la ecuaci´on anterior, obtenemos hy, x1i ≥ 0,∀x1 ∈ C1; y similarmente,
si x1 → 0 con x1 ∈ C1 en la ecuaci´on anterior, obtenemos hy, x2i ≥ 0,∀x2 ∈ C2. Por
tanto, y ∈ C∗
1 ∩C2∗, lo cual demuestra que (C1 +C2)∗ ⊂ C1∗∩C2∗. De otro lado, sea
y∈C∗
1∩C2∗, entonceshy, x1i ≥0,∀x1 ∈C1 y hy, x2i ≥0,∀x2 ∈C2, lo cual implica que hy, x1+x2i=hy, x1i+hy, x2i ≥0,∀x1 ∈C1 y∀x2 ∈C2. Por tanto, y∈(C1+C2)∗, lo
que demuestra queC∗
Culminemos este ap´endice presentando un resultado que nos ser´a de gran utilidad. Este es una extensi´on del conocido lema de Stiemke (cuya versi´on original fue publicada en la revista Mathematische Annalen en 1915). Antes, necesitamos el concepto de conos propios.
Definici´on A.9. Un cono convexo y cerrado C se dice propio si
F =C∩ −C ={0}.
El lema de Stiemke manifiesta lo siguiente. Si
A= [a1 a2 . . . an]
es una matriz de ordenm×n, siendoa1, . . . , an vectores columna enRm, entonces s´olo
una de las dos situaciones siguientes puede ocurrir: a) Existe x∈Rn
++ con Ax= 0.
b) Existe y∈Rm tal que y′A⊤ >0.
Aqu´ı conviene indicar que:
Rn+ ={x∈Rn|x≥0}, Rn++={x∈Rn|x >0},
donde x≥0 si xi ≥0,∀i, y x >0 si xi ≥0,∀iy xi >0 para alg´un i.
El Lema de Stiemke establece que, para cualquier matrizA,
R(A⊤)∩Rn+={0} ⇔null(A)∩Rn++
donde
R(A) = {y|y=Ax, x∈Rn}
y
null(A) = {x|Ax = 0, x∈Rn}
Posteriormente, Kabanov and Stricker (2001) generaliza dicho teorema para un mercado financiero con costos de transacci´on, estableciendo la siguiente proposici´on, cuya prueba puede encontrarse enKabanov and Safarian (2009)
Proposici´on A.10. (Extensi´on del Lema de Stiemke) Sean R y C conos cerrados en
Rn. Asumamos que C es propio . Entonces
R∩C ={0} ⇔(−R∗)∩int(C∗)6=∅.
La extensi´on del Lema de Stiemke nos da la condici´on matem´atica que evita opor- tunidades de arbitraje en un mercado financiero con fricci´on. En este caso, podemos asociar los conosR y C del Lema con los conosRbT yL0(Rd+), respectivamente, siendo
´este ´ultimo, adem´as, propio. El Lema establece que el ´unico elemento en com´un entre
b
RT y L0(Rd+) ser´a el cero, si, y solo si, el negativo del dual deRbT y el interior del dual
deL0(Rd
Bibliograf´ıa
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