6. Empirical analysis
7.2. Analysis of the average price effect
Es importante recalcar que a pesar de que hay polos y ceros en la función de trans- ferencia, este se comporta como compensador por red de retraso de fase [36, Cap. 12.7].
k Fase, según ecuación 1.4.52 2 233° 3 216° 4 208° 5 202° 6 198° 10 191°
Cuadro 1.10: Retardo de Fase en un amplificador tipo 2.
El cuadro 1.10 muestra, los valores del aporte total en fase del compensador, según los valores de k, que representa la relación entre las frecuencias polos y ceros, es decir que tan alejados están entre si.
Donde:
Mϕ =Margen de fase, deg.
θlc =Fase aportado por el filtro LC, deg.
θae =Fase aportado por el amplificador de error, deg.
k =Factor de raíces.
FCO =Frecuencia de cruce por cero decibelios, Hz.
Fesr =frecuencia de corte ESR, Hz.
1.4.7.5
Inductores De Choque
Son bobinados de material conductor sobre un núcleo ferromagnético, los cuales se diferencian de un inductor convencional por que la mayor parte de la corriente que atraviesa por el bobinado es en componente continua, mientras que no mas de 20 % deberá ser corriente alterna para calificar como bobina de choque, ademas existen diferentes materiales ferromagnéticos para diferentes aplicaciones. El material del núcleo se escoge en función a la frecuencia de operación, la relación en la cantidad de componente de corriente alterna y continua, inductancia requerida y requerimientos mecánicos. Cuando la frecuencia del rizo en el inductor es baja, se emplea hierro laminado pues tolera una mayor cantidad de densidad de flujo magnético Φ, a su vez
que requiere menor cantidad de conductor. Cuando la frecuencia es alta, se deberá considerar las perdidas en el núcleo, en consecuencia las ferritas-aire, molypermalloy, núcleo de hierro en polvo, son las opciones a elegir [28, Chap 1.7.1].
Fuente: Disponible en linea, http://www.allaboutcircuits.com/uploads/ articles/7A-Inductor-Designs-for-Converters.png
Figura 1.4.28: Curva BH característica para un inductor de choque.
1.4.7.5.1 Swinging Choke
Este concepto es interesante para fuentes cuya carga es variable; consiste en aprovechar la no linealidad de la curva B-H característica, para reducir la inductancia e incrementar la respuesta dinámica cuando operan a altas corrientes, mientras que para cargas mas ligeras esta inductancia aumenta a fin de mantener al filtro de salida operando en modo continuo en un rango extendido, obteniendo la mayor regulación posible [28, Part 3. Chap. 3.3].
1.4.7.5.2 Criterio de diseño para bobinas tipo Swinging Choke
Para que un material sea adecuado para este tipo de bobina, su curva B-H deberá tener la característica de tener alta no linealidad, especialmente el polvo de hierro comprimido. En el mercado existen una variedad de materiales magnéticos para la elaboración de estos mencionados elementos, los cuales en general son una mezcla de diferentes materiales, para tal propósito los fabricantes proporcionan todos lo datos propios de los materiales como base para el diseño.
Material Permeabilidad inicial µi
Densidad del material (g/cm3)
Costo relativo Código de color
#2 10 5.0 2.7 Red/Clear #8 35 6.5 5.0 Yellow/Red #14 14 5.2 3.6 Black/Red #18 55 6.6 3.4 Green/Red #19 55 6.8 1.7 Red/Green #26 75 7.0 1.0 Yellow/White #30 22 6.0 1.4 Green/Gray #34 33 6.2 1.5 Gray/Blue #35 33 6.3 1.4 Yellow/Gray #40 60 6.9 1.0 Green/Yellow #45 100 7.2 2.6 Black/Black #52 75 7.0 1.2 Green/Blue
Fuente: Power Conversion & Line Filter Applications , [38, pp. 1].
Cuadro 1.11: Propiedades generales de diferentes materiales ferromagnéticos comer- ciales para aplicaciones de potencia.
El autor recomienda usar las mezclas #26 y #40, pues muestran una rápida caída en la permeabilidad magnética en función al incremento en la fuerza magnétizante H, es decir cuando aumenta la corriente en a la carga.
El criterio de diseño indica que para una fuerza magnétizante de 50 oesters, la permeabilidad sera la mitad de la que fue inicialmente y de igual manera la inductancia resultante en una relación de 2:1.
Este cambio es conocido como swing en el arte del diseño de bobinas de choque y también provee un margen de sobrecarga de hasta un 100 %, evitando la saturación del núcleo y a su vez, reduciendo la inductancia hasta en un 20 % del valor inicial. Si el criterio que limita a 50 oesters de fuerza magnétizante se cumple, la temperatura de trabajo no superara los 40°C [28, Part 3. Chap. 3.3.1].
1.4.7.5.3 Construcción De Bobinas toroidales tipo
Para cumplir con los criterios antes mencionados, se requieren algunas formulas de diseño, las cuales parten de la ley de ampere para una trayectoria cerrada tipo toróide, pero son proporcionadas por los fabricantes.
Fuente: Disponible en linea,
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/magnetic/imgmag/tor.gif Figura 1.4.29: Campo magnético en un toróide
Por este motivo y para fines del presente documento, es que a continuación se limita a solo presentar tales formulas de diseño:
Lo = 0,4πµN2A e× 10−2 l (1.4.53) AL = 0,4πµAe× 10 −2 l (1.4.54) HDC = 0,4πN I l (1.4.55) AL = Lo N2 (1.4.56) Donde: Lo =Inductancia, H. AL =Factor de inductancia. HDC =Fuerza magnétizante, Oe.
Ae =Sección transversal del núcleo toroidal, cm2.
Pin =Potencia de entrada del transformador, W .
N =Numero de espiras sobre el núcleo toroidal. l =Longitud de trayectoria magnetica, cm. µ =Permeabilidad magnética absoluta. I =Corriente nominal en el inductor, A.
La ecuación 1.4.53, es útil para estimar la inductancia obtenida con un deter- minado numero de vueltas sobre un núcleo, también el factor de inductancia en la
ecuación 1.4.54, permite una relacionar la cantidad de inductancia resultante por vuelta de material conductor y finalmente en la ecuación 1.4.55, sirve para relacionar la fuerza magnétizante y la corriente electrica que lo genera. Es importante definir también a la permeabilidad absoluta donde, µ = µoµr. Todas estas relaciones son
publicadas en conjunto con una serie de gráficas, por los distintos fabricantes de estos núcleos y para este caso se hace referencia a [39, 38].
1.4.8
Transformadores De Núcleo Ferrimagnético
El transformador es un dispositivo que convierte la energía eléctrica alterna de un cierto nivel de tensión, en energía alterna de otro nivel de tensión, basándose en el fenómeno de la inducción electromagnética. Está constituido por dos bobinas de material conductor, devanadas sobre un núcleo cerrado de material ferromagné- tico, pero aisladas entre sí eléctricamente. La única conexión entre las bobinas la constituye el flujo magnético común que se establece en el núcleo.
Fundamentals of Power Electronics 26 Chapter 12: Basic Magnetics Theory
12.2. Transformer modeling core Φ n1 turns + v1(t) – i1(t) + v2(t) – i2(t) n2 turns
Two windings, no air gap:
+ – n1 i1 Φ Rc Fc + – +– n2 i2 Magnetic circuit model:
R = lm
µAc
Fc= n1i1+ n2i2 ΦR = n1i1+ n2i2
Fuente: Fundamentals of Power Electronics, [40, Fig. 13.13].
Figura 1.4.30: Ilustracion de un transformador eléctrico con núcleo ferrimagnético.
Considerando un transformador ideal de dos bobinas que tiene un área transver- sal de su núcleo Ae, una trayectoria magnética lm y una permeabilidad magnética
la relación de transformación puede definirse como: v1(t) = n1 dΦ (t) dt v2(t) = n2 dΦ (t) dt v1 v2 = n1 n2 (1.4.57) Donde: dΦ(t)
dt =Variación del flujo magnético respecto del tiempo, W b/s.
v1 =Voltaje sobre el bobinado primario, V .
v2 =Voltaje inducido en el bobinado secundario, V .
n1 =Numero de vueltas de la bobina primaria.
n2 =Numero de vueltas de la bobina secundaria.
Entre los materiales cerámicos magnéticos, destaca las cualidades de las ferritas blandas hacen de ellas ideales para ser empleadas como núcleo para transformadores e inductores en fuentes conmutadas, los cuales para ser empleados de dicha forma, requieren de un cuidadoso proceso de diseño, para ello, los fabricantes de dichos materiales entregan un conjunto de documentos donde se describen sus propiedades y características geométricas, de esta forma es posible conocer sus limitaciones. Para entender de forma mas amplia el funcionamiento de los transformadores es necesario tener en cuenta algunas leyes de la física que rigen este arte.
1.4.8.1
Ley de Faraday
Describe que la magnitud del voltaje v (t), inducido en una espira de material conductor es proporcional a la variación del flujo magnético Φ (t) respecto del tiempo que la atraviesa.
v (t) = dΦ (t)
dt (1.4.58)
El flujo magnético como una medida de cantidad de magnetismo, se puede definir como la cantidad de líneas de campo magnético que atraviesan una determinada
superficie S en el espacio. Φ = ˆ S ~ B · d ~S (1.4.59)
1.4.8.2
Ley de Ampere
Es útil para el cálculo de campos magnéticos creados por determinadas distri- buciones de corriente y dice que la circulación de un campo magnético a lo largo de una línea cerrada es igual al producto de la permeabilidad magnética µ0, por la
intensidad neta que atraviesa el área limitada por la trayectoria. ˛
c
~
H · ~dl = I (1.4.60)
Donde la densidad de flujo magnético se relaciona con la intensidad de campo mag- nético mas la magnetización del material, por medio de la permeabilidad magnética y se define para el vació, B = µ0H y para materiales magnéticos B = µ0 ~H + ~M:
Fundamentals of Power Electronics 11 Chapter 12: Basic Magnetics Theory
Core material characteristics:
the relation between B and H
B H µ0 B H µ
Free space A magnetic core material
B =µ0H
µ0= permeability of free space
= 4π · 10-7 Henries per meter
Highly nonlinear, with hysteresis and saturation
(a) Característica de un material sin histéresis magnética
Fundamentals of Power Electronics 11 Chapter 12: Basic Magnetics Theory
Core material characteristics:
the relation between B and H
B H µ0 B H µ
Free space A magnetic core material
B =µ0H
µ0= permeability of free space
= 4π · 10-7 Henries per meter
Highly nonlinear, with hysteresis and saturation
(b) Característica de un material con histéresis magnética
Fuente: Fundamentals of Power Electronics, [40, Fig. 13.6].
Figura 1.4.31: Curva característica B-H para el vació (a) y (b) para un material magnético típico.
El campo magnético es un campo angular con forma circular, cuyas líneas encie- rran la corriente. La dirección del campo en un punto es tangencial al círculo que encierra la corriente y disminuye inversamente con la distancia al conductor.
1.4.8.3
Restricciones Para El diseño De Transformadores Eléc-
tricos Con Núcleo Ferrimagnético
A continuación se definen y cuantifican las siguientes restricciones para el diseño de transformadores, importantes debido a que los criterios para el diseño requieren de estos datos.
1.4.8.3.1 Densidad pico de flujo magnético
En la practica, los núcleos ferrimagnéticos pueden trabajar con una cantidad limitada de densidad de flujo magnético B, por lo tanto es preciso cuantificar esta magnitud, para lo cual es necesario primero conocer el flujo magnético, de la ley de faraday mencionada en la ecuación 1.4.58, es posible llevar la misma idea a la situación en que hay mas de una espiras representado en la figura 1.4.30 y que el autor propone en [40, Eq. 13.12], se obtiene:
vn(t) = n
dΦ (t)
dt (1.4.61)
Ademas, dicho flujo atraviesa una superficie, en el caso de los transformadores, es el área de la sección transversal del núcleo, S = Ae, reemplazando en la ecuación
numerada 1.4.59 y a su vez la ecuación 1.4.61:
vn(t) = nAe
dB (t)
dt (1.4.62)
Donde:
vn(t) =Voltaje en una bobina de n espiras, V .
Ae =Sección transversal del núcleo, m2.
n =Numero de espiras bobinadas.
dB(t)
dt =Variación del campo magnético respecto del tiempo.
Para este caso de estudio es de interés observar la ecuación desde un punto de vista del variación en la densidad de flujo como se puede apreciar en la figura 1.4.32 se relaciona la el área de voltaje por segundo con su respectivo diferencial de la densidad de flujo ∆B, importante para determinar el numero de vueltas requerido
en el primario del transformador.
Fundamentals of Power Electronics 7 Chapter 13: Filter inductor design
n1 : n2 + v1(t) – + v2(t) – i1(t) i2(t) Lmp imp(t) imp(t) t ∆imp v1(t) area λ1 B-H loop, for operation as conventional transformer B Hc core B-H loop λ1 2n1Ac n1∆imp lm H(t) =n imp(t) lm
(a) Área de voltaje por segundo en una onda arbitraria.
Fundamentals of Power Electronics 7 Chapter 13: Filter inductor design
Conventional transformer
n1 : n2 + v1(t) – + v2(t) – i1(t) i2(t) Lmp imp(t) imp(t) t ∆imp v1(t) area λ1 B-H loop, for operation as conventional transformer B Hc core B-H loop λ1 2n1Ac n1∆imp lm H(t) =n imp(t) lm(b) Gráfico B-H para un transformador.
Fuente: Fundamentals of Power Electronics, [40, Fig. 13.45; Fig 13.46]. Figura 1.4.32: Área de voltaje por segundo a la izquierda y gráfico B-H para un transformador a derecha.
Para conocer para obtener el valor máximo que toma el diferencial ∆B en ca- da ciclo de conmutación, es necesario partir de la ecuación 1.4.62, para despejar el campo magnético e integrar ambos miembros de esta expresión, obteniendo los siguientes resultados: ˆ dB (t) = 1 nAe ˆ vn(t) dt
Para una onda arbitraria, λ (t) =´ vn(t) dt, se obtiene la ecuación 1.4.63.
∆B = λ (t) nAe