3
Una partícula m icroscópica de m asa m se mueve en una dim en sió n , so m e tid a al pozo infinito de po tencial:
O, |x| < 3
' ' > ' = ( + 00, x > a
S u p ó n g a se q u e (en un cierto instante f = 0 ) la par tícula está en un e sta d o (pg = 4>g(x) normalizado, tal
que: i) la probabilidad de que, al medir en él la ener gía, se en cu e n tre un valor mayor que ih^n^)A2ma^)
es nula; ii) <x> = x^; iii) <p> = p^. Xq y Po son cons tantes (reales). D eterm ínese la forma general de (p^.
Las autofunciones (p^^ hamiltoniano
H , = p^l2m + V^(x) ( p = - Ui(d/éx)) con las condiciones de contorno (pj{x = -ha) = = -ci) = O son:
l _ 1 1 S
^ eos k„x, k„a - y ’ "
Solución
l nn
^ sen/c„x, K a = — , n = 2, 4, 6, ...
Así pues, los momentos y las energías posibles de la partícula están cuantificados: fik^ y ^ = [hk^Y/2m, res pectivamente. Nótese que todas las autofunciones 0 están ortonormalizadas:
+íi — a
+ fl
J - a
El estado buscado 0^ es superposición de las autofun ciones La condición i) implica que únicamente n = 1 y n = 2 contribuirán en dicha superposición. Por tanto:
donde y C2 son amplitudes complejas. P u e sto que
está normalizada y que las ^ están ortonormalizadas:
Se tiene
+ a
<x> = d x x \<p^
Análogamente, se tiene:
<P> = dx(KP<l>o· -a
AI sustituir (¡>„, se observa que, de nuevo, solamente contribuyen las integrales que multiplican a los términos cruzados en c jc f y cfcj. Tras efectuar una integración por partes, se tiene:
<P> = (ClC* - C*C2)
-a
= ( C j C * - C * f 2 )
Aih
3a Po·
Supongamos que expresamos cada amplitud Cj,j — 1, 2, en términos de su módulo \Cj\ y su fase (real) Oy. Cj = |cjl expioLj, Se ve fácilmente que las tres ecuaciones obtenidas constituyen un sistema que depende sola mente de los dos módulos IC2L y de la diferencia de fases — 0Í2y y que permite obtener estas tres cantida
des. Hay una fase global, «2 (ó a j que no aparece en
dicho sistema, y que, por tanto, no queda determinada.
P r o b i « # » #
ase que: i) en el instante O, la par-
estado fundamental ó correspon- ^ infinito con paredes én - 3 y vale Problema anterior; ii) al cabo de un inter
nes d if^finitesim alm ente breve, las pare-
pozo infinito pasan a estar ubicadas en
fo rm ^ ^ ~ siendo + x > ò > a. Caracterícese la
que ^ del estado normalizado \p(t) = \lj{x, t)
. ^^Presenta a la partícula en el nuevo pozo, en el
de Hállese la amplitud de probabilidad
en ^1^^' dicho instante t, la partícula pueda estar
® estado fundamental 0 ^^ del nuevo pozo con
61
Solución
anchura 2b. 2) Considérese una situación análoga a la del apartado 1)/ con la única diferencia de que las paredes pasan, instantáneannente, a estar en
^ = - o o y e n x = +oo. Hállese la estru ctu ra general del estado normalizado \l/(t) = \l/(x, t) q u e representa a la partícula en el instante f > 0. C aracterícense los
m om entos posibles de la partícula en la nueva situa c i ó n , o b t é n g a n s e sus probabilidades.
1) En í > O, se tiene un nuevo hamiltoniano /íj, = p^ßm + V¡,(x), y nuevas condiciones de contorno, que se obtienen de las del Problema anterior sin más que sustituir a por b. Se trata de analizar la estructura de la solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo ([H¿ - iñ{d/dty\i¡/(t) = 0), con la condición inicial:
* ( 0 ) = { V[O , a < |x| < + 00.
Sean las autofunciones de las cuales se obtie nen de las del Problema anterior sin más que sustituir o por b. La solución buscada de la ecuación de Schrödin ger es:
00
n = 1
El número complejo es la amplitud de probabilidad de que la partícula pueda encontrarse, en í > O, en e
estado 0^ ^, habiendo estado, en í = O, en 0^ ^ Particu arizando la ecuación anterior para í = O, se tiene:
00 •Aa.lW = X C„4>^Jx), o < lx| < o n = 1 00 n = 1
62
Estas ecuaciones implican, puesto que 0^ ^{x) se anula < b:
Cn = n»
que permite evaluar las amplitudes c„. En particular, la amplitud de probabilidad de que la partícula pueda en contrarse, en í > O, en el nuevo estado (p^ j es:
c, = í* + a — a M2 dx (p^ I 9b, a-\- b Ib
2) Ahora la función de ondas en r > O describe una partícula libre desde x = - o c hasta x = -hoo. Los valores posibles del momento p son ñk con - o o < k < + 00, es decir, no están cuantificados sino
que constituyen un espectro continuo. Análogamente, el espectro de energías E = (ñk^/lrn de la partícula es continuo: O ^ + oo. La ecuación de Schrödinger [p^/2m ~ iñ{d/dt)^ij/{t) = O tiene como solución la si guiente integral de Fourier:
^(t) = i¡/(x, t) =
+ 00 dk -00 i2n)
— A{k) exp i(kx - Et/h).
Se supondrá que \¡/(t) está normahzada (J_^* dx\\p(x, 01 = 1). En consecuencia, Á{k) es la amplitud de proba bilidad de que la partícula tenga su momento entre hk y h{k -f dk). En el instante r = O, análogamente a la si tuación de apartado 1), \¡/(Qi) debe coincidir con (p^ i(x) si |x| < a y debe anularse si |x| > a. Por tanto, invirtien- do la integral de Fourier (véase el Apéndice «Algunas fórmulas matemáticas de utilidad»), obtenemos A(k):
A(k) = — X ' + a dx (2n)— exp ( - ikx)ij/(x, 0) dx - a (2?t) — expí-i/íA-) ,(v) 63
n cos ka ( I n y ^ a k^ + in/2ay
La probabilidad pedida es \A(k)\^dk.
Pirobiema 21
Una partícula microscópica de m a s a m se mueve en el espacio tridim ensional, s o m e tid a al potencial (véase la Figura):
O, x > b región
\/(x) = \/(x) = { V 2, b > x > a, región II
- V ^ , a > x > 0 , región I,
siendo V(x) = V(x) = -f 00 si x < 0. Los valores cons tantes V2 y del potencial son positivos. Por hipó
tesis, la partícula incide inicialmente d e s d e x = - x
en forma de onda plana con vector de onda
k ~ ( - k ^ , ky, 0), con k ^ > 0 y siendo k^ real. Resuél vase y discútase la ecuación de S ch rö d in g er para la partícula en todo el espacio. Hállese el coeficiente de reflexión en la región
VU)
x = Q
II III
Puesto que el potencial no depende ni de y ni de z, y teniendo en cuenta la forma de ¡c, la función de ondas independiente del tiempo es:
0(x, y, z) = exp[i7Cj,y]i/i(x), (l) donde (p(x) satisface la ecuación de Schrödinger indepen diente del tiempo unidimensional;
d-
2m dx^ + V(x) (p(x) = £# x ). (2) E es la energía en el movimiento unidimensional en el eje X. La solución (f>= (pj= (p(x)j de la ecuación (2) en
la región j-ésima (/ = /, II, III) es la siguiente: (f>i = D sen Ix (pij = B e x p i q x + C Q x p { - iqx) Q xp{-ik ^x) + A e x p i k ^ h^kl E = 2 ,.2 2 / 2 2m 2m 2m
Claramente, la energía total E del que la mensional según el eje x es no-nega iva. poten- región x < O es inaccesible a ¡J'*E;'J.onsecuencia, cial es infinitamente repulsivo ^ ' = 01 = O que
<Kx) = O si X < O y, p o r c o n tin u id a d ^ x >
es automáticamente satisfecha por <P/(· ’ . igcos/x cual no hemos incluido un término propo !
en 0,(x). Por otra parte, no hay n.ngun res .caó ^ b,e en x - O N < > ' f ' „ S d a n c t a con e x p ( - i í i ^ ) e n 0,„ ( \) e s la unida , han de el estado inicial que se ha supu . , » y í/0/í/x
cumplirse las condiciones de contmui a de en X = a y en X = h. Estas
empalme), aplicadas a (/>/, (pn V ^ D sen la = B exp ^ C exp i
Solución
65
ID eos la = iq(B exp iqa - C exp ( iqa))
Bexp ¿ib + C e x p ( - i q b ) = e x p ( - i M ) + A e x p i k ^ b iq{B exp iqb — C exp ( ~ iqb)) =
= ik,,{ - exp ( - ik^b) + A exp ik^b),
que constituye un sistema lineal inhomogéneo de cuatro ecuaciones, que permite obtener las cuatro amplitudes A , B , C y D. En tanto que k^ y l son siempre reales (es decir, para toda £), q lo es solamente si £ > V2· Por el
contrario, si O < £ < V2, entonces q es imaginario puro, con q = iqo (qo > 0). Aunque puede ser interesante hallar explícitamente A, B, C y D, no será estrictamente nece sario hacerlo para evaluar el coeficiente de reflexión pe dido. En efecto, éste será calculado mediante el método más sencillo que veremos a continuación. Haremos bas tante uso de la corriente (o densidad de corriente) de probabilidad dada en el Apéndice «Algunas fórmulas matemáticas de utilidad». La corriente de probabilidad para la onda incidente = e x p ( - i k ^ x ) ) es:
fl =
Jinc
2im ó*^inc 1 - d). 'f'i
* ■ ine
dx inc dx
ñk m
La corriente de probabilidad para la onda reflejada (^re/ ~ ^ ^xp se obtiene mediante un cálculo aná logo al efectuado paraj^.^^, sin más que sustituir 0·^^ por
El resultado es:
Jref
ñk m El coeficiente de reflesión es:
R =__Jref
J inc
cornnleta función de ondas u n id im en sion al
corresDonH (S\(t>\^/dt = 0) implica que la lente corriente de probabilidad, /, es conser-
ídildx = 0) P®*" tanto, constante en toda la región ^ ble a la partícula (O ^ x < co). Claramente, j se
en X = O, por ser (p nula (y ser dcp/dx finita) en ese ^” ^to Por tanto, también se anulará; en todo x
muy interesante evaluar j explícitamente para x > > 0. Esb. Se tiene; 0 = ;· = ñ 2im A* A d(f)*I I I I I I dx ñk. m ( - 1 + 1^ 1') tras observar que los términos lineales tu A y se cancelan. Por tanto, se deduce que \A\^ = 1, es decir i? = 1, sin necesidad de haber resuelto el sistema lineal inhomogéneo para las amplitudes A, etc.
Estúdiense los posibles estados ligados de la par tícula som etida al potencial del Problema anterior.
Problema 22
La función de ondas p r o b t o ? anterior forma dada en la ecuación (1) función de on- (con igualmente real), donde 'a ecuación (2) das unidimensional (/>(x) también s „ , foj-ma de la
de dicho Problema, pero ahora £ < ·
nueva (p(x) en las regiones I y H es sirni p^ece- la función de ondas unidimensiona aniplitudes, dente en las mismas regiones (con nue
B, C, D), con la única modificación siguj^^nte. q ^ cesariamente imaginario puro con
Por otra parte, en la región 111 » ,4 e x p ( - l i , , x ) , c o n l „ . > 0 y c o n » n a n u enueva ampi'- tud A. Ahora se tiene:
ñ^k^ E = ~ — ^ o 2m h^q\ fri- 2m 2m Solución 67
con / real. Las condiciones de empalme en x = a y en X = b se obtienen de forma similar al Problema anterior. Así, las dos ecuaciones allí presentadas para x = a con
tinúan siendo válidas (con q = iqo)’ tanto que las con diciones de empalme correctas para x — b son ahora:
B exp ( - qot>) + C exp qob = A exp ( - ^b)
- q^iB exp ( - qob) ~ C exp qob) '-= ~ k^ qA exp ( - k^ ^b). Ahora se tiene un sistema lineal homogéneo de cuatro ecuaciones para las cuatro nuevas amplitudes A, B, C y D. A fin de que existan soluciones para ellas que no sean idénticamente nulas, ha de verificarse una condición de compatibilidad: el determinante S de la matriz de dicho sistema debe ser nulo. La condición ó = O implica, tras algunos cálculos algebraicos:
.,0 . , - 1 + (^o/O tan/a
- exp 2qQb = --- exp Iq^a.
X, o 1 + (^o/O tan la
Esta última ecuación es una transcendente, cuya resolu ción numérica (utilizando las expresiones para qQ, k^ ^ y / en función de E) proporciona los niveles de energía unidimensional E de los estados ligados de la partícula. Nótese que aunque la partícula está Hgada por lo que respecta a su movimiento en el eje x (0 (x , y, z) tiende a cero exponencialmente si x tiende a -f oo), aquélla puede desplazarse sin ninguna limitación y, por tanto, no está ligada en su movimiento a lo largo de los ejes y y z.
Problema 23
Una partícula m ic ro s c ó p ic a d e m a s a m se m u e v e en una d im e n s ió n , s o m e t id a al p o t e n c ia l ( v é a s e la Figura): ÍO, x < O, región '^W = <\/2, 0 < x < a , región II .V^v a < X < + 00^ región I.68
V(x)
x = 0 x = a
Se s u p o n e q u e los v a lo re s co n stan tes l/j y del potencial so n positivos, con I/2 > V^. Por hipótesis, la partícula incide inicialm ente d esd e x = - x en forma de o n d a p lan a con vector de onda k > 0. Re suélvase y d is c ú ta s e la ecuación de Schrödinger para la partícula en to d o el espacio unidimensio nal. Hállese el coeficiente de reflexión en la re gión III, así c o m o el de tran sm isión en la región I. Estúdiense los p o sib les e s ta d o s ligados.
La función de ondas independiente dei tiempo (p{x) satisface la ecuación de Schrödinger unidimensional (2) del Problema 21, con energía total E. La solución 4>j~ (K^)j de dicha ecuación en la región y-ésima ^ ~ A //, III) es
0/ 4>ii
0///
D exp ilx
B exp iqx + C exp ( ~ iqx) exp ikx + A exp ( - ikx)
E =
2ni 2m 2m
Solución
/ es real solamente si £ > Por el contrario, si O < V i , entonces l es imaginario puro, con / ^ // (/q > 0). La solución en la región / no incluye un término exp( - ilx\ que es físicamente inaceptable. En efecto, esta exclusión es necesaria tanto para O ^ E < (pues, de no efectuarla, 0(x) sería exponencialmente divergente para x tendiendo a + co) como para E > (ya que, en caso contrario, (p{x) incluiría una plana propagándose desde x = + oo hacia x = a cuyo origen físico sería inex plicable: la onda incidente genera una onda que se pro paga hacia x = + oo y no es posible que ésta, a su vez dé lugar a otra que venga desde x = + oo). En lo que sigue, trataremos conjuntamente los casos E > y O ^ £ < Vj. Las condiciones de continuidad para (p y díp/dx e n x = O y e n x = a (condiciones de empalme), aplicadas a cpjjj, (pj¡ y (pj, implican:
\ + A = B-l· C ik{l - A) = iq{B - C)
B exp iqa + C exp ( - iqa) = D exp ila iq(B exp iqa - C exp ( - iqa)) = ilD exp ila.
Estas cuatro ecuaciones forman un sistema lineal inho mogéneo, que permite obtener las cuatro amplitudes A, B, C y D. La solución de dicho sistema es la siguiente:
C =
(1 + q/k)rj + (1 - q/k)
A = B-l· C - \
D = CrjQ\pia{q ~ /) + Q x p ia (~ q - /)·
La corriente de probabilidad para la onda incidente (exp ikx) es:
J ine
hk m