Analytical impulse response waveforms

  In this study, the waveform is of the form of the impulse response of a linear  and  time  invariant  damped  single  degree  of  freedom  oscillator.    The  form  of  the  waveform is presented in  (3.8). 

  1 sin( ).

)

( e t

t m

f ^t _d

d

n 





        (3.8) 

The  waveform  characteristics  depend  on  the  natural  frequency _n

 and  the  damping ratio   . The parameter ^m is the mass of the system and _d is the damped  natural  frequency  calculated  by  _d _n 1² .  In  this  study,  three  different 

analytical  impulse  response  waveforms  are  constructed  by  using  the  three  sets  of  system parameter values _n and  .  The system parameter values are selected in  order  to  study  the  performance  of  the  Formula  and  do  not  consider  physical  meaning  behind  the  analytical  impulse  response  waveform.    To  allow  for  the  impulse  response  waveform  to  sufficiently  decay,  the  length  of  the  waveform  is  selected  to  be  an  integer  number  of  periods  which  is  greater  than  five  time  constants.  

Parameter set Natural  frequency 

Damping  ratio 

1   0.3

2   0.5

3  2 0.3

Table 3.1 Parameter sets for theoretical impulse response waveforms. 

In  the  previous  section,  the  length  N  of  the  vector  of  calculated  coefficients  for each Daubechies scaling function is known.  This information must be identified  in the case of an impulse response waveform to ensure the ability of the coefficients  to  capture  the  characteristics  of  the  waveform.    The  ability  of  the  calculated  coefficients  to  capture  the  characteristics  of  the  waveform  is  determined  by  using  the  coefficients  in  a  single  iteration  of    (3.1)  with  a  half  scale  of  the  original  waveform.    This  representation  is  called  the  calculated  function  and  is  then  compared to the original waveform using a L¹ norm.  The sufficient length N of the  vector  of  calculated  coefficients  is  selected  when  the  L¹  norm  error  between  two  function is below a selected threshold error value. 

Number of coefficients Number of coefficients 

(A)  (B) 

Figure 3.3 Comparison of the calculated function derived by using the  calculated coefficients and its half scale function to the original impulse 

response waveform for parameter set 1 (A) N=4 and (B) N=20.  

In  Figure  3.3(A),  the  length  N  of  the  coefficients  is  equal  to  four.  The  calculated  function  from  this  coefficient  set  clearly  exhibits  poor  correlation  with  the  original  waveform.  With  an  insufficient  number  of  coefficients,  the  characteristics  of  the  original  waveform  are  not  successfully  captured.  In  Figure  3.3(B), the length N of coefficients is increased to twenty.  The agreement between  the calculated function and the original waveform is greatly improved.  To provide a  quantitative  measure  of  the  correlation,  the  absolute  value  of  the  difference  between  the  calculated  function  and  the  original  waveform  is  calculated  for  each  length  N  of  the  calculated  coefficients.    The  resulting  error  vector  is  numerically  integrated  over  the  non‐dimensionalized  time  and  is  used  to  characterize  the  relative  effectiveness  of  the  coefficients  in  capturing  the  characteristics  of  the  original signal for each length N.  

(A)  (B) 

Figure 3.4 (A) Plot of the error between calculated function and original  waveform versus the length N of coefficients. (B) Comparison of the calculated 

function and the original waveform for N=30. 

This  error  vector  is  used  to  evaluate  the  performance  of  the  Formula  in  a  range  of  different  values  of  N  for  a  particular  waveform.    An  error  function  corresponding  to  values  of  N 4  to N 20  are  plotted  in  (A).    The  magnitude  of  the error is much greater for N 4 than for N 20, reflecting the lesser ability of  the shorter coefficient lengths to capture the characteristics of the waveform when  compared  with  the  longer  coefficients  lengths.    As  a  result,  the  magnitude  of  the  error for parameter set 1 in (A) decreases as the length of coefficients is increased.  

By increasing the value of N beyond 20, the error function is decreased further at a  much  lower  rate.    By  increasing  the  number of  coefficients  from N 4  to N 20,  the value of the error function decreasing by 91 percent. 

When the number of coefficients is increased from N=20 to N=30, the error is  decreased by only 2 percents. Better agreement is observed during the first period  of oscillation as  seen in  (B)  with Figure  3.3(B).  However, a deviation  between  two  functions is observed in the second half of the scaling function in (B). The coefficient  length  N=19  is  sufficient  to  represent  this  waveform.  The  procedure  uses  to  study  the performance of the Formula with impulse response waveforms is in Figure 3.5. 

Figure 3.5 The procedure uses to convey the performance of the Formula with  impulse response waveforms. 

Similar assessments are repeated for waveforms that are generated by using   (3.8) with the values from parameter sets two and three. The magnitude of the error  for  these  parameter  sets  are  also  plotted  in  (A).    A  similar  trend  as  the  first  parameter set is observed. 

Number of coefficients Number of coefficients 

(A)  (B) 

Figure 3.6 Calculated functions compared with impulse response waveforms  for (A) N=16 with parameter set 2 and (B) N = 19 with parameter set 3. 

Considering a threshold error value at 5 percents of the error value at N=4, it  is observed in Figure 3.6(A) a sufficient length N of coefficients for parameter sets  two and three are N=16 and N=19, respectively.  Using these values, good agreement  with  the  impulse  response  waveform  and  the  calculated  function  is  illustrated  in  Figure 3.6(A) and (B) for both parameter sets.  It is clear that in order to successfully  capture  the  characteristics  of  a  particular  waveform,  the  length  of  coefficients  N  must be selected appropriately.  By conducting additional simulations, it is observed  that  when  the  system  damping  ratio  is  increased,  fewer  coefficients  are  need  to  reproduce the original waveform.  For parameter set one and parameter set three,  the overlap of the error functions is observed.  This behavior can be expected since  the length of the signal is adjusted based on the natural frequency of the system of  being studied and damping for both parameter sets are the same.  

Figure 3.7 The experiment system uses a cantilevered aluminum beam with a  single accelerometer to measure the resulting impulse responses.