componentes que se interrelacionan entre ellos:
o Componente de enseñanza del MTL, o de forma abreviada, Modelo de enseñanza.
o Componente de cognición del MTL o Modelo para los procesos cognitivos.
o Componente de competencia formal del MTL o Modelo de competencia formal.
o Componente de comunicación del MTL o Modelo de comunicación.
En el modelo para los procesos cognitivos se tienen en cuenta los procesos para desarrollar el pensamiento matemático. En este componente tienen lugar las posibles estrategias y métodos para resolver un problema. El uso competente del concepto podría evitar que el estudiante caiga en tendencias cognitivas que dificultan la resolución de un problema (como el desencadenamiento de procesos erróneos para la solución) y permite el desarrollo de tendencias cognitivas positivas (como presentar procesos de abreviación de una situación concreta para producir reglas sintácticas nuevas, etc.). En este componente se reconoce que los estudiantes competentes hacen uso de esquemas mentales y de la memoria de trabajo para identificar la estrategia, aplicarla y encontrar la solución del problema.
Por otro lado, el modelo de comunicación se representa por medio de los SMS usados para comprender y expresar el objeto matemático. Al interior de este modelo, la gramática (la semántica, la sintaxis) y la pragmática tienen un papel relevante, pues posibilitan la interpretación del significado de los mensajes matemáticos durante los procesos de enseñanza y aprendizaje que se llevan a cabo en el aula de clase; más aún, gramática y pragmática se complementan en el modelo de enseñanza para lograr que el estudiante sea competente en el uso de los SMS, es decir, los estudiantes deben ser competentes tanto en producir como descodificar mensajes matemáticos.
En cuanto al modelo de enseñanza éste se concibe como una sucesión de textos2
matemáticos que son intercambiados entre profesor y estudiante; en el proceso, los aprendices
2, Un texto se define como “el resultado de un trabajo de lectura/transformación hecho sobre un espacio textual” (Talens y Company, 1984, p.32) y el espacio textual es un sistema en el que la persona identifica el significado y sentido del texto, mientras que el texto es una nueva articulación resultado de ese acto de lectura. Desde el
le atribuyen sentido y significado a las lecturas que realizan de los textos elaborados por el docente. El modelo de enseñanza es también una secuencia de situaciones problemas, una secuencia de textos matemáticos, cuya producción y descodificación permiten al aprendiz interpretar todos los textos para avanzar en la comprensión del SMS abstracto.
En este modelo se asumen dos estrategias para el aprendizaje del objeto matemático. En la primera estrategia, se parte de las situaciones y operaciones concretas para dar significado a expresiones y operaciones nuevas, a esta estrategia se le denomina Modelaje de situaciones más abstractas en situaciones más concretas para desarrollar habilidades sintácticas; y en la segunda estrategia, se le da sentido a esas expresiones y operaciones nuevas que junto con la utilización de las habilidades sintácticas permiten desarrollar
estrategias de resolución de problemas. En estas estrategias el modelaje concreto3 y el
modelaje sintáctico4 hacen parte del aprendizaje del objeto matemático
Por último, el modelo de competencia formal posibilita la descripción de situaciones utilizando un SMS abstracto. Es necesario partir del hecho de que en las clases regulares se encuentran estudiantes con diferentes niveles de competencias y se producen intercambios de textos matemáticos, este modelo permite descodificar todos los textos y agruparlos en un SMS abstracto. El observador y el maestro desempeñan un rol fundamental, pues deben tener el conocimiento abstracto del objeto de estudio y transmitirlo de manera efectiva a los alumnos comprender los textos matemáticos que producen los alumnos; lo anterior, permite que el educando sea competente y continúe en la comprensión de SMS más abstractos. En este componente, también, se estudian los fenómenos que están organizados en las matemáticas modelo de enseñanza los textos matemáticos son una secuencia de textos tomados como espacios textuales para ser leídos/transformados dentro de otros espacios textuales.
3 En el modelo concreto, el modelaje tiene dos componentes principales la traducción y la separación. En la
traducción, a partir de los contextos concretos se dota a los objetos matemáticos de sentido y significado para relacionarlos en una situación más abstracta; es importante que se produzca de un contexto a otro para que se pueda identificar el objeto matemático en los distintos niveles, de un nivel concreto a un nivel abstracto y del nivel abstracto al nivel concreto. Con relación al segundo componente, se produce la separación de los objetos matemáticos de los significados más concretos, para consolidar significados más abstractos en vía de la construcción del modelo sintáctico. Es importante dominar ambos componentes y que haya un periodo de Transición entre uno y el otro para que se produzca el modelaje.
4 El modelo sintáctico por su parte, se enfatiza en el trabajo con la carga semántica de los signos y operaciones.
El modelo se enfoca en la regla general utilizada para realizar las operaciones. Es necesario tener en cuenta que los sujetos generan semánticas privadas sobre el SMS, lo cual se evidencia en el fenómeno de lectura de las situaciones para ejecutar las tareas sintácticas; sin embargo, muchas veces las semánticas privadas resultan erróneas; de ahí la importancia de realizar ejercicios prácticos, para rectificar las lecturas espontaneas de los
tomados en el momento actual y su uso actual. En este sentido, se dan a conocer las reglas lógicas y los SMS que se usan para pensar el objeto matemático.
De acuerdo con Filloy (1999) los componentes del MTL antes presentados se encuentran interrelacionados (Ver ilustración 2), de manera que al realizar una investigación en este marco se deben tener en cuenta el modelo de enseñanza, junto con el modelo para procesos cognitivos, estos dos relacionados con el modelo de comunicación para describir el uso del SMS empleado para crear textos matemáticos y el modelo de competencia formal que da a entender la actuación de un sujeto ideal competente en el uso del SMS.
Ilustración 2. Interrelación de los componentes del MTL
Finalmente, los componentes del MTL están ligados al análisis fenomenológico propuesto por Freudenthal (1991) en el que se distinguen varios tipos de fenomenología, la fenomenología pura, la fenomenología histórica, la fenomenología didáctica y la fenomenología genética. La fenomenología pura y la fenomenología histórica se relacionan con el modelo de competencia formal, la fenomenología didáctica se relaciona con el modelo de enseñanza; y por último, en la fenomenología genética se relaciona con el modelo para procesos cognitivos y con el modelo de comunicación.
2.1.2 Sobre el diseño y desarrollo de la experimentación. Desde el punto de vista