Para comenzar con el planteamiento del segundo trimestre realizamos, al igual que en el primero una referencia a los contenidos y el modo de trabajarlos durante el mismo. Así vemos de una forma global lo que vamos a tratar y cómo lo haremos en este periodo.
Tabla 5. Planteamiento del segundo trimestre
CONTENIDOS ¿CÓMO TRABAJARLOS?
Figuras planas - Perímetro - Áreas Triangulación El círculo A partir de materiales elaborados por ellos.
Tics.
Formación de figuras planas con triángulos equiláteros.
Trabajamos por parejas para hallar distintas áreas y perímetros.
Este trimestre lo comenzaremos utilizando distintas figuras planas trabajadas en el trimestre anterior. En el primer trimestre le dimos mucha importancia a los triángulos, pues bien, ahora queremos trabajar más figuras geométricas que sean más complejas. En primer lugar sacaremos a la pizarra alumnos, escogidos al azar, para que cada uno realice un dibujo de un tipo de triángulo específico y nos haga un breve resumen o recordatorio oral de sus características, para que así recordemos lo aprendido el trimestre anterior. Posteriormente, les plantearemos que tienen que realizar diversas figuras planas con distintos diseños, modelos... Pretendemos que los alumnos creen sus propios recursos o materiales para la realización de distintas figuras planas. Nos gustaría que utilizaran palillos-plastilina; bolígrafos-gomilla para pegar en la pared…Así será más fácil realizar la construcción y quedarán marcados los vértices y lados, cuyas descripciones y explicaciones ya han sido trabajadas en el trimestre anterior. Esta actividad la realizaremos con la ayuda de la profesora de plástica si lo vemos necesario. Así pues, una vez creadas las diferentes figuras haremos una serie de preguntas dirigidas a la clase:
“En el camping nos dan un recinto máximo que puede ocupar nuestra tienda. ¿Cuánto ocuparía cada construcción o figura? “¿Cómo podemos medir lo de alrededor de cada figura? ¿Y lo de dentro?”
Esperamos que lleguen a la conclusión de que si desglosan la figura, sólo por un punto, el contorno se hallará realizando la suma de la medida de los lados externos. Cuando ya lleguemos a la conclusión correcta les diremos que a este cálculo le denominaremos
“Perímetro” y que va a ser algo fundamental para el problema que queremos resolver
a final de curso. Por este motivo vamos a apuntar en clase, en otra cartulina, que:
“Perímetro es igual a la suma de la medida de todos los lados externos de la figura plana”.
Pero seguimos teniendo una cuestión sin resolver, la cual es: “¿Cómo hallamos lo que mide una figura por dentro?”. Les recordamos que en el trimestre anterior trabajamos qué era la altura y cómo identificarla.
Pues bien, ahora vamos a dibujar un cuadrado, ya que pensamos que es la figura más sencilla para comprender el área. Primero hallaremos el perímetro, que ya lo hemos trabajado y posteriormente nos pondremos con el área. Les planteamos la cuestión anterior y les decimos que ese elemento es necesario para hallarla y que el otro elemento que necesitamos lo podemos medir también.
Vamos analizando las características y observamos que el cuadrado tiene todos los lados iguales, entonces la operación necesaria para resolver la cuestión planteada es que multipliquemos un lado (altura) por el otro (base). Como es una multiplicación les preguntaremos cómo medimos el resultado, ya que con la suma salían centímetros. Al multiplicar hallaremos, en nuestro caso, centímetros cuadrados pero también pueden ser medidas más grandes. Dejaremos apuntado un dibujo del cuadrado y la fórmula del área en la pizarra para no borrarlo.
Posteriormente, nos ponemos con el rectángulo y les damos unas medidas concretas: “Tenemos un rectángulo en el que sus lados más largos miden20cm cada uno, y los más cortos 12cm cada uno, halla su perímetro y su área”.
Por parejas deberán resolver estas cuestiones a la vez que realizan un dibujo de la figura utilizando como materiales la regla, el lápiz y la goma de borrar. Una vez resuelto el problema por parejas, pondremos en común el resultado y realizaremos hipótesis para hallar la fórmula del cálculo del área de esta figura. Cuando esté hallada, dibujaremos la figura y pondremos la fórmula en la pizarra, al lado de la del cuadrado, para poder tenerla presente en todo momento.
Con los dos planteamientos anteriores ya hemos conseguido hallar las fórmulas de las figuras planas más simples. Ahora vamos a intentar hallar la del triángulo. Dibujaremos un rectángulo y trazaremos una diagonal. Les preguntaremos a los alumnos qué se obtiene y si son capaces de decir el área de cada sección obtenida. Planteamos ahora lo siguiente:
“Por parejas os vamos a repartir un triángulo, con la regla tenéis que hallar cuánto mide cada lado y su altura. Para así hallar su área y su perímetro. ¡Suerte!”.
Los alumnos tendrán que llegar a la conclusión de que el área de un triángulo es la misma que la del rectángulo pero dividida por dos. Cuando hayan realizado sus cálculos e hipótesis, cogeremos dos de los triángulos dados a los alumnos y los pondremos con cello en la pizarra. Ellos nos irán diciendo sus conclusiones y resultados y entre todos lo debatiremos. Un voluntario saldrá a la pizarra y nos tendrá que explicar con los dibujos que hemos pegado el porqué del resultado. Es decir, tendrán que poner un triángulo entero y el otro partido a un lado y a otro.
Figura 1. Diseño de la explicación anterior
El color azul es un triángulo y el verde otro, y el área a averiguar es la verde, por lo que llegaremos a la conclusión de que el área del triángulo es base por altura dividido entre dos. Así pues, pondremos el dibujo y la fórmula a un lado de la pizarra con las demás. Ahora les proponemos un reto:
“Vais a juntaros en grupos de seis personas, cada una tiene que hacer un dibujo de un triángulo isósceles con altura de 43mm y base de 50 mm. El triángulo lo tenéis que recortar y juntarlo con los de vuestros compañeros de grupo. ¿Qué figura obtenemos? ¿Cómo podemos hallar su área y perímetro? Entre todos quiero que habléis y valoréis las distintas opiniones. En 10minutos lo pondremos todos en común”.
Posteriormente, (puesto que el triángulo anterior es prácticamente equilátero) haremos el dibujo de la figura resultante en el programa de Geogebra pero en la pizarra digital, para que todos podamos verlo. Así pues, les diremos que el nombre de la figura es hexágono y entre todos vamos a buscar información en internet sobre la misma. Buscaremos información sobre cómo hallar el área y veremos que se realiza de una forma diferente a la que estamos acostumbrados. Realizaremos varias hipótesis de por qué es así la fórmula:
Además tenemos otro término nuevo que es la apotema. Les mandamos investigar qué es.
A partir de la construcción de un hexágono a partir de triángulos, nos surge una duda:
“¿Podemos formar distintas figuras utilizando distintos triángulos?”.
Ahora es el momento de que ellos creen y diseñen y formen una figura plana, sin ninguna línea curva. Este trabajo lo haremos en grupos de tres, tendrán que tener la misma, pero cada uno su propio dibujo. Así pues, una vez que cada grupo tenga su figura plana creada intentará dividirla en triángulos, pueden ser de distintos tamaños, formas…Con esto queremos trabajar la triangulación de diversas figuras, ya que veremos que toda figura plana de perímetro un poliedro se puede desglosar en algo más sencillo que nosotros vamos a poder trabajar. Posteriormente, ellos serán los encargados de hallar el área y el perímetro de su figura. Más tarde, intercambiaremos las figuras y hallaremos áreas y perímetros de los diseños de nuestros compañeros, para posteriormente, el grupo que ha realizado esa figura nos explique delante de toda la clase cómo lo han hecho. Así, entre todos pondremos en común los resultados y valoraremos el proceso realizado y si está bien realizado.
A lo largo de este trimestre habremos trabajado distintas áreas y perímetros de figuras planas. A la vez, durante este periodo también se habrá experimentado con la triangulación de las figuras para su comprensión, reflexión y puesta en práctica. Esto nos habrá ayudado para ver las figuras planas más complejas de una forma más sencilla y que nosotros sabemos trabajar con ellas.
Faltará hablarles del círculo (que no tiene lados) o que el número de sus lados se ha hecho infinito. Veremos cómo calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Para introducir esta figura, llevaremos a clase tapas de botes, y les diremos a nuestros alumnos que dibujen el contorno de éstas. Así ya obtendremos una plantilla con la cual poder trabajar. Ahora lo que nos interesa es hallar la longitud de la circunferencia, para ello les diremos a nuestros alumnos lo siguiente:
“Ya tenemos el dibujo de una circunferencia, ¿cómo podemos hallar cuánto mide su contorno? ¿Sabéis cómo se llama? Ahora vamos a ir a la biblioteca del centro para buscar información y para ello tenéis que llevar una hoja en blanco, el dibujo que habéis realizado y un lápiz, una goma y un bolígrafo.”
En la biblioteca colocaremos a nuestros alumnos por grupos, para que así la búsqueda de información sea más sencilla. Cuando hayan encontrado los datos necesarios, entre todos lo pondremos en común y así formaremos un conocimiento común. Deberán llegar a la conclusión de que el dato que les hemos pedido se llama “longitud” y que se haya con la siguiente fórmula:
Con esta fórmula introducimos los términos de diámetro y el número pi, por este motivo entre todos formaremos una definición o una descripción de los mismos y hablaremos también del radio (medida que es la mitad del diámetro). Por otro lado, investigaremos sobre el número pi y observaremos que siempre es el mismo, es decir, que siempre tendremos un dato fijo. Posteriormente, plantearemos a los alumnos una serie de enunciados para que ellos sean capaces de resolverlos:
- Tenemos una circunferencia de diámetro 6m, halla la longitud de la misma. - Teniendo una circunferencia de radio 2m, halla la longitud de la misma.
- Ahora, tienes que medir del dibujo que hiciste antes el radio de la circunferencia y hallar su longitud.
Lo que pretendemos al plantear estas cuestiones es que nuestros alumnos interioricen la fórmula aprendida y practiquen con ella. Cuando ya han resuelto los puntos planteados pondremos las soluciones en común y las corregiremos. Ahora plantearemos lo siguiente:
“Ya hemos aprendido cómo hallar la longitud de una circunferencia, pero ¿cómo sabemos cuánto mide el interior de la misma? ¿Qué datos necesitaremos?”
Los alumnos realizarán una serie de hipótesis sobre la pregunta lanzada, y seguidamente las comprobaremos buscando la información en los libros utilizados
anteriormente. Así pues, averiguaremos que el área del círculo se halla con la siguiente fórmula:
Ya tenemos la fórmula y con ésta presente realizaremos unas cuestiones, igual que hicimos para trabajar la longitud de la circunferencia. Serán las siguientes:
- Tenemos una circunferencia de radio 3m, halla su área. - Tenemos una circunferencia de diámetro 4m, halla su área.
- Ahora tienes que medir el radio del dibujo que hicimos inicialmente y hallar su área.
Después de haber trabajado cada concepto, longitud y área, por separado realizaremos planteamientos con ambos del estilo a los anteriormente enunciados Aplicaremos lo aprendido al cálculo del perímetro y del área de la base de sus tiendas de campaña. De este modo veremos si las tiendas diseñadas caben en el espacio que nos dan en el camping.
Para finalizar este trimestre proyectaremos en la pizarra distintas construcciones de edificios (rascacielos, pirámides, catedrales) y les pediremos que identifiquen figuras planas en ellos. Esto nos ayudará a que loa alumnos identifiquen en construcciones que pueden encontrar en su entorno cercano los contenidos trabajados hasta ahora.
Área= (Radio de la circunferencia)2 x nº π Área= Radio x radio x nº π