realización ejemplar de ella en los
Elementosde Euclides, obra de la ge
neración que sigue a la muerte de Aristóteles. Pero están lejos de serlo, y
El METODO AXIOMATICO
más bien el esquema aristotélico es el que debe verse como una idealiza ción -filosóficamente tendenciosa- de la práctica de los geómetras del siglo IV a. C. Los
Elementos empiezan con aseveraciones que no se
demuestran y exigencias que no se justifican. Las aseveraciones -«no ciones en nuestros manuscritos, «axiomas» para los comen taristas antiguos- son principios lógico-aritméticos que bien pueden pasar por evidentes; v.gr.: «1. Cosas iguales a la misma cosa son iguales entre sí», «2. Si a cosas iguales se agregan cosas iguales los todos [resul tantes] son iguales». Pero las exigencias o de contenido propiamente geométrico, no lo son. Por ejemplo, el Postulado
JI,
»Pro longar una recta finita continuamente en línea recta», no puede ser sa tisfecho en el universo aceptado por los astrónomos hasta1600,
si la recta en cuestión es un diámetro del cielo. Tampoco el PostuladoI1I,
«Trazar un círculo con cualquier centro y radio». Ni da Euclides una lista de primitivos, sino que más bien se empeña en definir todos los tér minos técnicos de la geometría: «punto», «recta», «plano», no menos que «ángulo», «círculo», «paralelas». Pero algunas de sus «definiciones»-v.gr.: «punto es lo que no tiene partes»- no prestan luego ningún ser
vicio en las demostraciones. Éstas ofrecen, sí, un ejemplo de rigor de ductivo insuperado hasta el siglo XIX, pero aquí y allá contienen lagunas,esto es, pasos no autorizados por los principios, que se apoyan -sin de cirlo- en lo que se puede «ver» en el diagrama concomitante. La pri mera laguna ocurre en la Proposición
1
del Libro1.
Se pide «construir un triángulo equilátero sobre una base dada». Sea AB la base. Constrúyanse los círculos con radio AB y centro en A y en B (Postulado III). El ter cer vértice C del triángulo requerido está en la intersección de esos cír culos. Pero los principios enunciados explícitamente por Euclidesno
implican en modo alguno
que tal intersección exista. Por otra parte, el diagrama trazado según las instrucciones sí que exhibe no sólo uno sinodos puntos de intersección.
IlI. EL METO DO AXIOMATICO EN LA REVOLUCION CIENTIFICA DEL SIGLO XVII
Nadie ha manifestado una fascinación tan persistente con la idea aristo télica de ciencia como los grandes filósofos y científicos del siglo XVII, al
punto de que el antiaristotelismo de que generalmente hacen gala bien puede atribuirse a su desilusión con el maestro, que en sus propias obras científicas no hace amago de practicar la metodología que predica. Suele citarse el caso de Spinoza, quien expuso «conforme al uso de los geó metras» los principios de la filosofía cartesiana
(1663)
y luego su propia ética(1677).
Su modelo es el propio Descartes, que había esbozado una presentación axiomático-deductiva de su pensamiento en lasRespuestas
a las Quintas Objeciones
(a susMeditaciones metafísicas, 1641).
Por su parte, Pascal, el extremista, sueña con «un método aún más eminente y consumado, el cual nunca podría ser alcanzado por los yROBERTO TORRETTI
que consistiría «en definir todos los términos y probar todas las propo siciones»
(1950, 360).
Pero también los más grandes adoptan el métodoaxiomático: Galileo en el breve tratado
De motu locali
en que funda la cinemática moderna(1637;
Tercera Jornada), Newton en la obra maestra en que sienta las bases de la nueva dinámica y explica, con ella, los movimientos visibles de los astros
(1687).
Pero estos físicos -en agudocontraste con sus contemporáneos metafísicos- no pretenden que sus axiomas sean verdades evidentes por sí mismas. Galileo confía establecer su verdad cuando se vea que las conclusiones deducidas de ellos con cuerdan exactamente con la experiencia
(1965,
VIII,208).
TambiénNewton ha debido pensar así, por más que dijera que no inventaba hi pótesis. (Sobre la axiomática de Newton, véase Moulines,
1988.)
IV. NUEVAS GEOMETRIAS
Ni los
Principios
de Newton, ni mucho menos laÉtica de Spinoza al
canzan siquiera el imperfecto rigor deductivo de Euclides. Sólo con lasLecciones de geometría moderna de Pasch (1882)
tenemos por fin una realización del método axiomático ajustada a la preceptiva aristotélica. Mediante proposiciones básicas(Grundsatze)
que no se demuestran se enuncian relaciones entre conceptos básicos(Grundbegriffe)
que no se definen. lo que se necesita para la demostración de los teoremas tiene que estar contenido sin excepción en las proposiciones básicas» (Pasch,1882,5).
Aunque la geometría axiomatizada debe, pues, según Pasch, prescindir de diagramas y en general darle la espalda a la intuición y la experiencia, éstas son, en su opinión, la fuente de sus principios. Esta creencia desconcierta, pues la «geometría moderna» axiomatizada por Pasch es la geometríaproyectiva,
en que cada recta contiene un punto ideal por el que pasan todas sus paralelas y los puntos ideales de rectas en un mismo plano se alinean todos en una sola recta ideal, aambos lados
de la cual se extiende el resto del plano determinado por dichas rectas.La necesidad de rigor deductivo en la geometría finalmente satisfecha por Pasch se había tornado urgente debido a la proliferación de teorías geométricas contra intuitivas. Las más importantes para el desarrollo de la axiomática moderna son la geometría proyectiva creada por Poncelet
(1822)
y la geometría <<no euclidiana» descubierta independientementepor Lobachevsky
(1829)
y Bolyai(1832).
Ésta difiere de la geometría deEuclides solamente en que niega el Postulado V y sus consecuencias. Dicho postulado puede parafrasearse así: