KEN RIBET, quien en un principio tomó a broma la afirmación, empezó a pensar en las
conjeturas de Serre e incluso reconoció en ellas algo que él mismo había formulado para sí cuando había dedicado cierto tiempo a reflexionar sobre la “broma” de Frey. Se trataba de unas aclaraciones acerca de los enunciados de Gerhard Frey que, de ser demostrados, establecerían la siguiente implicación:
Conjetura de Shimura y Taniyama→ Último teorema de Fermat
La manera en que funcionaba la idea de Frey era ingeniosa. Su razonamiento era el siguiente: Supongamos que el último teorema de Fermat no es verdadero. Entonces, para una potencia n mayor que 2 existe una solución para la ecuación de Fermat: xn+ yn = zn, donde x, y y z son enteros. Esta solución en particular, a, b, y c, daría origen a una curva elíptica específica. Entonces Frey escribió la ecuación general de esta curva que resultaría de la solución a la ecuación de Fermat. Su conjetura presentada en Oberwolfach enunciaba que precisamente esta curva, hoy denominada curva de Frey, era un animal muy extraño, y a tal punto que, de hecho, no podía existir. Por añadidura, y lo que es más importante, la curva elíptica que surgiría si el último teorema de Fermat fuese falso definitivamente no sería modular. Así pues, si la conjetura de Shimura y Taniyama resultaba ser verdadera, entonces todas las curvas elípticas debían ser modulares, y por lo tanto una curva elíptica que no fuese modular no podía existir. De esto se deduciría que la curva de Frey, una curva elíptica que no era modular (además de presentar otras características extrañas), no podría existir. En consecuencia, las soluciones a la ecuación de Fermat tampoco podrían existir. Sin la existencia de soluciones a la ecuación de Fermat, su último teorema (que afirma que no existen soluciones a la ecuación para toda n>2) quedaría demostrado. Esta era una complicada cadena de consecuencias pero sigue de manera admirable la lógica de la demostración matemática. La
lógica era: A implica B; por tanto si B no es verdadero, A tampoco puede serlo. Sin embargo, la afirmación de Frey no era sino otra conjetura; una conjetura que sostenía que si otra conjetura (la de Shimura y Taniyama) era verdadera, entonces el último teorema de Fermat quedaría establecido. Las dos conjeturas subsiguientes incluidas en la carta de Serre a Mestre facilitaron a Ken Ribet a pensar en la conjetura de Frey en términos claros. CORTESÍA DE C. J. MOZZOCHI Ken Ribet presentando sus interesantes teoremas. CORTESÍA DE C. J. MOZZOCHI Andrew Wiles durante una entrevista. CORTESÍA DE C. J. MOZZOCHI Barry Mazur, de la Universidad de Harvard, el
“abuelo” de todos ellos, matemático cuya perspicacia geométrica inspiró a todos los que contribuyeron a la prueba final del último teorema de Fermat. CORTESÍA DE C. J. MOZZOCHI Gerhard Frey, quien tuvo la “loca idea” de que la curva elíptica resultante de una solución a la ecuación de Fermat simplemente no podía existir. A Ken Ribet nunca le había interesado el último teorema de Fermat. Había comenzado a especializarse en química en la Universidad de Brown. Bajo la influencia y la tutela de Kenneth F. Ireland, Ribet se orientó hacia las matemáticas y se interesó en las funciones zeta, sumas exponenciales y teoría de números. Había descartado el último teorema de Fermat por considerarlo “uno de esos problemas acerca de los que nada importante puede añadirse”. Compartía este punto de vista con muchos matemáticos, pues los problemas de teoría de números suelen estar aislados, sin esquema unificador ni principio general y fundamental. Lo que resulta interesante del último teorema de Fermat, no obstante, es que abarca la historia de las matemáticas desde los albores de la civilización hasta nuestro tiempo. La solución definitiva del teorema también abarca toda la amplitud de las matemáticas, incluyendo campos que no pertenecen a la teoría de números: álgebra, análisis, geometría y topología, es decir, prácticamente todas las matemáticas.
Ribet se trasladó a la Universidad de Harvard para cursar los estudios de doctorado. Una vez allí, primero indirectamente y, a medida que se acercaba a su graduación, de manera más
directa, cayó bajo la influencia del gran geómetra investigador en teoría de números Barry Mazur, cuya perspicacia inspiró a todos los matemáticos que estuvieron relacionados, aun en grado mínimo, con los esfuerzos por demostrar el último teorema de Fermat. El escrito de Mazur sobre el ideal de Eisenstein significaba una abstracción de la teoría de ideales desarrollada en el siglo XIX por Ernst Kummer, dentro de los campos modernos de las
matemáticas, la geometría algebraica y los nuevos enfoques sobre la teoría de números a través de la geometría. 22
Ken Ribet obtuvo plaza de profesor de matemáticas en la Universidad de California en Berkeley e hizo investigación en teoría de números. En 1985 oyó hablar de la “loca” idea de Frey de que si existiese una solución a la ecuación de Fermat —es decir, si el último teorema de Fermat fuese falso—, esta solución daría origen a una curva muy extraña. Esta curva de Frey estaría asociada con una curva elíptica que no sería modular. Las dos conjeturas relacionadas e incluidas en la carta de Serre a Mestre lo hicieron interesarse en demostrar la conjetura de Frey. Aunque en el fondo no le interesaba el último teorema de Fermat, Ribet reconoció que se había convertido en un problema muy controvertido que resultó corresponder a un campo que conocía muy bien. En la semana del 18 al 24 de agosto de 1985, Ribet se encontraba en una reunión sobre geometría algebraica aritmética en Arcata, California. Empezó a pensar sobre la afirmación de Frey y le dio vueltas en la cabeza durante un año. Cuando se vio libre de sus obligaciones como profesor en Berkeley, a principios del verano de 1986, Ribet voló a Alemania, donde se proponía hacer investigación en el mundialmente conocido instituto Max Planck, importante centro de matemáticas. Poco después de llegar, Ribet realizó un importante avance y estuvo a punto de demostrar la conjetura de Frey.
Pero no lo consiguió del todo. Cuando regresó a Berkeley se topó con Barry Mazur, que procedente de Harvard había llegado de visita.
—Ven, Barry, vamos a tomar un café —sugirió Ribet. Se encaminaron a un conocido café cercano a la Universidad de California. Y ahí, entre sorbo y sorbo de cappuccino, Ribet le confesó a Mazur:
—Estoy intentando generalizar lo que he hecho para demostrar la conjetura de Frey, pero no he podido dar con lo que necesito para generalizarlo…
Mazur echó un vistazo a lo que Ribet le enseñaba.
repasar tus argumentos ¡y ya está!
Ribet miró a Mazur, luego a su cappuccino y luego de nuevo a Mazur.
—¡Dios mío, tienes toda la razón! —exclamó. Más tarde volvió a su cubículo para rematar la demostración.
—La idea de Ken era genial —aseguró Mazur cuando describió la ingeniosa demostración de Ken Ribet después de que fuera publicada y se difundiera por el mundo de los matemáticos.23
Ribet había formulado y demostrado un teorema que establecía como hecho que si la conjetura de Shimura y Taniyama era verdadera, entonces el último teorema de Fermat quedaría demostrado como consecuencia directa. La persona que sólo un año antes pensaba que la propuesta de Frey era una broma ahora demostraba que la “broma” era en realidad una realidad matemática. Y quedaba abierta de par en par la puerta para el ataque sobre el problema de Fermat utilizando los métodos modernos de la geometría algebraica aritmética. Sólo hacía falta que alguien demostrase la aparentemente imposible conjetura de Shimura y Taniyama. Entonces el último teorema de Fermat pasaría a ser verdadero automáticamente.
22 Barry Mazur, “Modular Curves and the Eisenstein Ideal”, París, Francia, The Mathematical Publications of I.H.E.S.,
vol. 47, 1977, pp. 33-186.