Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema de encontrar la mejor
manera de hacer algo. Por ejemplo, un granjero necesita elegir la mezcla de cultivos que sea la más apropiada para producir la mayor ganancia. Un médico desea selec- cionar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. A un fabricante le gustaría minimizar el costo de distribución de sus productos. Algunas veces, un proble- ma de este tipo puede formularse de modo que implique maximizar o minimizar una función en un conjunto específico. Si es así, los métodos de cálculo proporcionan una he- rramienta poderosa para resolver el problema.
Entonces suponga que se nos da una función f(x) y un dominio Scomo en la figu- ra 1. Ahora planteamos tres preguntas:
1. ¿f(x) tiene un valor máximo o un valor mínimo en S?
2. Si tiene un valor máximo o un valor mínimo, ¿dónde se alcanzan? 3. Si existen, ¿cuáles son los valores máximo y mínimo?
Dar respuesta a estas tres interrogantes es el principal objetivo de esta sección. Em- pezamos por introducir un vocabulario preciso.
La cuestión de la existencia ¿f tiene un valor máximo (o mínimo) en S?La respuesta depende, sobre todo, del conjunto S. Considere f(x) =1>xen S=(0,q); no tiene valor máximo ni mínimo (véase la figura 2). Por otra parte, la misma función en S=[1, 3] tiene el valor máximo de f(1) =1 y el valor mínimo de En S=(1, 3],
fno tiene valor máximo y el valor mínimo es
La respuesta también depende del tipo de función. Considere la función disconti- nua g(véase la figura 3) definida por
En S=[1, 3],gno tiene valor máximo (se acerca arbitrariamente a 2, pero nunca lo alcanza). Sin embargo,gtiene el valor mínimo g(2) =0.
Existe un teorema preciso que responde la pregunta de existencia para muchos problemas que se presentan en la práctica. Aunque intuitivamente es obvio, una de- mostración rigurosa es muy difícil, la dejamos para textos más avanzados de cálculo.
g1x2= ex si 1 …x 62 x - 2 si 2 …x …3 f132= 13. f132 = 13. y x S y = f(x) Figura 1 y x 1 2 3 1 2 3 y = f(x) = 1x 1 1 3 En (0,
En (1, 3], no hay máximo, mínimo =
Figura 2
Definición
Suponga que S, el dominio de f, contiene el punto c. Decimos que: (i) f(c) es el valor máximode fen S, si f(c) Úf(x) para toda xen S; (ii) f(c) es el valor mínimode fen S, si f(c) …f(x) para toda xen S;
(iii) f(c) es el valor extremode fen S, si es un valor máximo o un valor mínimo; (iv) la función que queremos maximizar o minimizar es la función objetivo.
Teorema A Teorema de existencia de máximo y mínimo
Si fes continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces falcanza un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo.
Observe las palabras clave en el teorema A; se requiere que fsea continuay que el con- junto Ssea unintervalo cerrado.
¿En dónde se presentan los valores extremos? Por lo común, la función
objetivo tendrá un intervalo Icomo su dominio. Pero este intervalo puede ser de cualquiera de los nueve tipos estudiados en la sección 0.2. Algunos de ellos contienen sus puntos finales (puntos fronterizos); algunos no. Por ejemplo,I=[a,b] contiene ambos puntos fronterizos; [a,b) sólo contiene su punto fronterizos izquierdo; (a,b) no contiene ninguno de sus puntos fronterizos (véase la figura 4).
Si ces un punto en el que f¿(c) =0, lo llamamos punto estacionario. El nombre proviene del hecho de que un punto estacionario de la gráfica se coloca en una trayec- toria horizontal, puesto que la recta tangente es horizontal. A menudo, los valores ex- tremos aparecen en los puntos estacionarios (véase la figura 5).
Por último, si ces un punto interior de I, en donde f¿no existe, decimos que ces un
punto singular. Es un punto en donde la gráfica de ftiene una esquina, una tangente vertical, quizás un salto, o cerca del cual la gráfica oscila de manera abrupta. Los valo- res extremos pueden aparecer en puntos singulares (véase la figura 6), aunque en pro- blemas prácticos esto es muy raro.
Estas tres clases de puntos (fronterizos, estacionarios y singulares) son los puntos clave en la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto de uno de estos tres tipos, en el dominio de una función f,se denomina punto críticode f.
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EJEMPLO 1 Encuentre los puntos críticos de f(x) = -2x3+3x2enSOLUCIÓN Los puntos fronterizos son y 2. Para determinar los puntos estacio- narios, resolvemos f¿(x) = -6x2+6x=0, para x, obteniendo 0 y 1. No existen puntos sin-
gulares. Por lo tanto, los puntos críticos son-1 y 2. ■
2, 0, 1,
-1
2
C
-1 2, 2D
.Demostración Primero considere el caso en donde f(c) es el valor máximo de fen
Iy suponga que cno es un punto fronterizo ni un punto singular. Debemos demostrar que ces un punto estacionario.
Ahora, como f(c) es el valor máximo,f(x) …f(c) para toda xen I; esto es, f(x) -f(c) …0
Por consiguiente, si x6c, de modo que x-c60, entonces (1)
mientras que si x7c, entonces
f1x2 - f1c2 x - c Ú 0 Máx Mín Puntos fronterizos y a b x
Figura 4 Figura 5 Figura 6
Máx Puntos estacionarios Mín y x Máx Mín Puntos singulares y x
Teorema B Teorema de los puntos críticos
Sea fdefinida en un intervalo Ique contiene al punto c. Si f(c) es un valor extremo, entonces cdebe ser un punto crítico; es decir,ces alguno de los siguientes: (i) un punto fronterizo de I;
(ii) un punto estacionario de f; es decir, un punto en donde f¿(c) =0; o (iii) un punto singular de f; esto es, un punto en donde f¿(c) no existe.
1 2 3 1 2 y x y = g(x)
No hay máximo, mínimo = 0
Sección 3.1 Máximos y Mínimos
153
(2)
Pero f¿(c) existe porque cno es un punto singular. En consecuencia, cuando hacemos x:c-en (1) y x:c+en (2), obtenemos, respectivamente,f¿(c) Ú0 y f¿(c) …0. Conclui- mos que f¿(c) =0, como se quería.
El caso en donde f(c) es el valor mínimo se maneja de forma análoga. ■
En la demostración que se acaba de dar, utilizamos el hecho de que la desigualdad … se preserva bajo la operación de tomar límites.
¿Cuáles son los valores extremos? En vista de los teoremas A y B, ahora po- demos establecer un procedimiento muy sencillo para determinar los valores máximo y mínimo de una función continua fen un intervalo cerrado I.
Paso 1: Encuentre los puntos críticos de fen I.
Paso 2: Evalúefen cada uno de estos puntos críticos. El mayor de estos valores es el valor máximo; el más pequeño es el valor mínimo.
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EJEMPLO 2 Determine los valores máximo y mínimo de f(x) =x3en [-2, 2].SOLUCIÓN La derivada de f¿(x) =3x2, que está definida en (-2, 2) y es cero sólo en
x=0. Por lo tanto, los puntos críticos son x=0 y los puntos fronterizos x= -2 y x=2. Al evaluar fen los puntos críticos se obtiene f(-2) = -8,f(0) =0 y f(2) =8. Por lo tanto, el valor máximo de fes 8 (que se alcanza en x=2) y el mínimo es -8 (que se
alcanza en x= -2). ■
Observe que en el ejemplo 2,f¿(0) =0, pero fno alcanza un mínimo o un máximo en x=0. Esto no contradice al teorema B. Éste no dice que si ces un punto crítico, en- tonces f(c) es un mínimo o un máximo; dice que si f(c) es un mínimo o un máximo, entonces ces un punto crítico.
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EJEMPLO 3 Encuentre los valores máximo y mínimo de f(x) = -2x3+3x2en
SOLUCIÓN En el ejemplo 1 identificamos 0, 1, y 2 como los puntos críticos.
Ahora y f(2) = -4. Así, el valor máximo es 1 (que se alcanza en y x=1), y el valor mínimo es -4 (que se alcanza en x=2). La gráfica
de fse muestra en la figura 7. ■
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EJEMPLO 4 La función F(x) =x2>3es continua en todas partes. Encuentre sus valores máximo y mínimo en [-1, 2].SOLUCIÓN nunca es cero. Sin embargo,F¿(0) no existe, de modo
que 0 es un punto crítico, así como los puntos fronterizos -1 y 2. Ahora,F(-1) =1,
F(0) =0 y Por consiguiente, el valor máximo es el valor mínimo es 0. La gráfica se muestra en la figura 8. ■
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EJEMPLO 5 Determine los valores máximo y mínimo de f(x) =x+2 cos xen [-p, 2p].SOLUCIÓN La figura 9 muestra una gráfica de y=f(x). La derivada es f¿(x) =1 -2 sen x, que está definida en (-p, 2p) y es cero cuando sen x=1>2. Los únicos valores de xen el intervalo [-p, 2p] que satisfacen sen x=1>2 son x=p>6 y x=5p>6. Estos dos números, junto con los puntos fronterizos -py 2p, son los puntos críticos. Ahora, evalúe fen cada punto crítico:
234; F122= 234 L 1.59. F¿1x2= 23x-1>3, x = -12 f
A
-12B
= 1, f102 = 0, f112= 1, -1 2,C
-1 2, 2D
. f1x2 -f1c2 x -c … 0Observe la manera en que los térmi- nos se utilizan en el ejemplo 3. El
máximo es 1, que es igual a y
f(1). Decimos que el máximo se al-
canza en y en 1. De manera aná-
loga, el mínimo es –4, que se alcanza en 2. -1 2 f
A
-12B
Terminología 1 –1 1 2 3 –1 –2 –3 –4 y x y= –2x3 + 3x2 Figura 7 F(x) =x2/3 1 1 2 –1 y x 4 3 =34 = Figura 8 y x 6 4 2 –2 –4 8 p 22p –p – f(x) = x+ 2cos x Figura 9Revisión de conceptos
1. Una función ________ en un intervalo ________ siempre ten-
drá un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo.
2. El término valor ________ denota un valor máximo o uno
mínimo.
3. Una función puede alcanzar un valor extremo sólo en un
punto crítico. Los puntos críticos son de tres tipos: ________, ________ y ________.
4. Un punto estacionario para f es un número c tal que
________; un punto singular para fes un número ctal que ________.