Cuando se discutió el enfoque para enseñar este tema, los profesores norteamericanos tendieron a comenzar con lo que ellos esperaban que 8:8 <3:;968 <45291C25<9X UC2BC9:2@2 12 368 YZ 4567286528 965A2<;25CM B<968 [\Z]^ 82 2976B<569 29 23 456B21C;C29A6 12 B<3B:3<5X O< I5A<X Q<_9? :9< 45672865< G6@29 `:2 52BCE9 a<Db< A25;C9<16 8: 45C;25 <=6 12 2G25BCM cio profesional, explicó este procedimiento:
!:<916 `:C25< `:2 a<>< :9 9c;256 B6;6 Yd e f? 23368 92B28CA<5g9 8<M D25 `:2 96 82 4:212 8:8A5<25 f 12 d? 465 2912? AC2928 `:2 421C5 4528A<16 un 10 al espacio de las decenas y, cuando tomas prestado ese 1, equiM vale a 10. Tarjas el 2 que tenías y se convierte en 10 así que ahora tienes dd e f? a<B28 282 456D32;< 12 8:8A5<BBCJ9? A2 `:21< 23 d > 36 D<G<8X
Estos profesores esperaban que sus alumnos aprendieran a realizar cierM tos pasos: tomar 1 decena del espacio de las decenas y cambiarlo por 10 unidades. Describieron el paso de “tomar” como pedir prestado. Al hacer notar el hecho de que “1 decena equivale a 10 unidades”, explicaban el paso de “cambiar”. Acá vemos las ideas pedagógicas de estos profesores: una vez que sus alumnos pueden realizar estos dos pasos en forma correcta, podrán realizar el cálculo completo en forma correcta.
O68 6A568 B:<A56 4567286528? 3< V567X h259<12i2? 3< V567X h5C1L2A? 3< I5A<X Faith y la Srta. Fleur, sin embargo, esperaban que sus alumnos aprendieran ;g8 `:2 23 456B21C;C29A6 12 Bg3B:36X j<;DCE9 1282<D<9 `:2 8:8 <3:;968 aprendieran el razonamiento matemático que fundamenta este algoritmo. Su enfoque enfatizaba dos puntos: la reorganización subyacente en el paso de “tomar prestado” y el intercambio implícito en el paso de “cambio”. La V567X h259<512i2? :9< 16B29A2 B69 2K425C29BC<? 82=<3Jk
56768%68968:6;%<=>%?@A8@BCD%6E%8FG6;H%IJK%L6?%GH?9;D;MD%<=6%6E%8FN G6;H%IJ%O%6E%8FG6;H%P%:6C68D?%O%3J%=8@:D:6?%6<=@QDE68%D%IJK%L=6AHR% trataría de ilustrar la comparación entre eso porque cuando estás re agrupando no se trata tanto de conocer los hechos sino que, lo que se debe entender es la reagrupación. Se debe partir desde un principio con la reagrupación.
!"# $%&"'# (")&*+# ,&%"# -%,./0,%"# /1# /2# &3%4)1,# 5/# 06# -%)4/%# "7,# 5/# /1 señanza, señaló que los alumnos deben entender que lo que pasa en la reagrupación es el intercambio entre posiciones de valor:
Deben entender cómo se hacen los intercambios. . . con la base de 10 bloques cuando llegas a un cierto número, 10, en base 10 en la columna de las unidades es lo mismo decir que 10 unidades son 1 decena. . . tie nen que acostumbrarse a la idea de que los intercambios se hacen entre valores de posición y que eso no altera el valor del número. . . . No le pasa nada al valor real pero se pueden hacer intercambios.
Sin embargo, lo que los profesores esperaban que supieran sus alum nos, se relacionaba con su propio conocimiento. Los profesores que espe raban que los alumnos sólo aprendieran el procedimiento tendían a tener una comprensión procedimental. Para explicar porque se necesita “pedir prestado” una decena del lugar de las decenas estos profesores decían: “no se puede restar un número grande a un número menor”. Por lo que ellos interpretaban el procedimiento de “tomar prestado” como un tema de que un número obtenía mayor valor a partir de otro, sin mencionar que se trata de un rearreglo dentro del mismo número:
No se puede sustraer un número mayor a un número menor. . . Se debe pedir prestado a la columna siguiente porque la columna del lado tiene más. (Srta. Fay)
8/%,#0)#1,#0/#&)/1/1#069:)/1&/0#61)5"5/0+#0/#-6/5/#)%#5,15/#/2#;/:)1,# que tiene muchas. (Prof. Brady)
“No podemos restar un número mayor a uno menor” es un enunciado matemático falso. Aunque los alumnos de segundo grado no están apren 5)/15,#:<4,#%/0&"%2/#61#1=4/%,#4">,%#"#61,#4/1,%+#/0,#1,#0)?1)9:"#@6/# en la operatoria matemática no se pueda hacer. De hecho, los estudiantes aprenderán a hacerlo en el futuro. Aunque esta habilidad avanzada no se enseña en segundo grado, no se debe crear confusión en el futuro aprendi A"B/#5/2#"2641,#"2#*":/%#31."0)0#/1#61"#)5/"#/@6);,:"5"'
Decir que los dos dígitos del minuendo son amigos o dos vecinos que viven al lado es matemáticamente erróneo en otro sentido, pues sugiere que los dígitos del minuendo son dos números independientes en lugar de dos partes de un número.
!"" #$%$&'(')%*$"+")%,)-.%/."0)"1.,"(.*)(2*'&.,")1)()%*.1)," Otro error sugerido en la explicación de “pedir prestado” es que el va3 lor del número no tiene que permanecer constante durante el cálculo sino que, se puede cambiar en forma arbitraria. Por ejemplo, si el número es “muy pequeño” y, por algún motivo, es necesario agrandarlo, simplemen3 te se puede pedir prestado cierto valor a otro número.
Contrario a esto, los profesores que esperaban que sus alumnos enten3 dieran la lógica subyacente en el proceso, demostraron que ellos tenían 456"789:;<5=>?5"7857<:@46A"B<"C=@<D"E8;"<F<9:A8G"A6"E;8HD"I<;56B<J<"<K3 cluye cualquier error conceptual:
LM4C":><5=6=N"O<5<98="<A"5P9<;8"Q!G"L:8B<98="R4>@6;A<"!QN"E<5=<98=" <5"<=8G"L@><5<"=<5@>B8N"S>"@<5<98="45"5P9<;8"<5"<A";65T8"B<"=<=<5@6G" L:8B<98="R4>@6;A<"45"5P9<;8"<5"<A";65T8"B<"746;<5@6N"I4<58G"=>"<=8" @><5<"=<5@>B8G"<5@857<="6U8;6G"!"9<58="QG"L:8B<98="U67<;"<=8N"V7W"<=@W" <A" !G" X" A<=" 98=@;6;Y6" Z>=46A9<5@<" <A" !D" [<" R4>@698=" QG" G" \G" ]G" !G" 58" <=" =4^7><5@<D"I4<58G"LR4C":8B<98="U67<;N"E8B<98=">;"6"A6"8@;6":6;@<"B<A" número y quitarle lo que podamos usar, sacarlo de un lado y ponerlo <5"<A"8@;8":6;6"6X4B6;"6"R4<"<A"!"=<"@;65=H8;9<"<5" !D
E6;6"A6"E;8HD"I<;56B<J<G"<A":;8_A<96"Q!"`"!Q"58"<=G"7898"=4T><;<"A6" <K:A>767>?5"B<"a:<B>;":;<=@6B8bG"B8=":;87<=8="=<:6;6B8=c"!"`"Q"X"B<=:4C=G" Qd3!d"=>58"R4<G"<="@8B8"45":;87<=8"B<"a=676;A<"45"5P9<;8"<5"<A";65T8"B<" cuarenta a un número en el rango de sesenta”. Más aún, la Prof. Berna3 B<J<":<5=?"R4<"58"<;6"R4<"a58"=<":4<B<";<=@6;"45"5P9<;8"96X8;"6"45" número menor” sino que, los alumnos de segundo grado “no pueden ha3 cer eso”. Por último, la solución era “vamos a la otra parte del número” (se agregaron las cursivas) y, “moverlo a nuestro lado para que nos ayude”. La diferencia entre las frases “otro número” y “la otra parte del número” <="=4@>AG":<;8"A8="=>T5>^76B8="96@<9W@>78="R4<"<K:;<=65"=85"785=>B<;63 blemente distintos.
OC75>76="B<">5=@;477>?5c"e6@<;>6A"965>:4A6@>Z8
El conocimiento que tiene el profesor en este tema se correlacionó no sólo 785"=4="<K:<7@6@>Z6="B<"6:;<5B>f6F<"B<"A8="6A4958="=>58"@69_>C5"785"=4" enfoque educativo. Cuando discutieron cómo enseñarían el tema, todos, excepto un profesor, hicieron referencia al uso de material manipulativo. El material más popular eran paquetes de palitos (palitos de helado, pali3 tos de fósforo u otro tipo de palitos) otros materiales usados fueron poro3 tos, dinero, bloques base 10, imágenes de objetos y juegos. Los profesores señalaron que, al proveer una experiencia “práctica”, el material manipu3 lativo facilitaría un mejor aprendizaje en lugar de sólo “contarles”—la for3 ma en que ellos aprendieron.
Sin embargo, un buen vehículo no garantiza que llegaremos al destino correcto. La dirección que seguirán los alumnos con el material manipula5 6789%:;<;=:;%;=9>?;?;=6;%:;%@A%B9=:CBB7D=%:;@%<>9E;F9>G%H9F%IJ%:9B;=5 tes tenían ideas distintas que querían hacer entender utilizando material manipulativo. Unos pocos simplemente querían que los alumnos tuvieran C=A%7:;A%KB9=B>;6AL%:;%@A%>;F6AG%M9>%;N;?<@9O%B9=%;@%<>9P@;?A%4I%Q%I4O%@A% M>9EG%R;@7=:A%<>9<CF9%K<9=;>%4I%=7S9F%;=%C=A%T@AO%FABA>%I4%U%8;>%VCW%<AFALO% la Srta. Florence indicó que ella habría usado porotos como “huevos de dinosaurio”, lo que podría ser interesante para los alumnos:
Yo los habría hecho empezar con algunos problemas de sustracción con VC7XYF% C=% :7PCN9% :;% IJ% B9FAF% U% <;:7>@;F% VC;% 6A>N;=% 3Z% U% VC;% :;F<CWF% cuenten cuántas quedan. Podría hacerlos trabajar con huevos de dino5 FAC>79%9%A@[9%VC;%6;=[A%C=%<9B9%?YF%:;%F7[=7TBA:9%<A>A%;@@9FG%\C7XYF% hacerlos realizar restas concretas con huevos de dinosaurio o quizás usar los porotos como los huevos de dinosaurio o algo.
H9F%<>9P@;?AF%B9?9%4I5I4%D%IJ53Z%F9=%<>9P@;?AF%:;%>;F6A%B9=%>;F;>8AG% Sin embargo, lo que los alumnos aprenden de actividades que incorporan ?A6;>7A@%?A=7<C@A6789%B9?9%FABA>%I4%A@C?=9F%:;%C=%[>C<9%:;%4I%9%FABA>% 3Z%]C;89F%:;%:7=9FAC>79%:;%C=%@96;%:;%IJO%=9%67;=;%=A:A%VC;%8;>%B9=%@A%>;5 organización. Por el contrario, el uso de material manipulativo elimina la necesidad de reagrupar. El Prof. Barry, otro profesor con experiencia en el grupo guiado por el procedimiento, mencionó que empleaba material ma5 nipulativo para hacer entender la idea de que “se necesita pedir algo pres5 6A:9LG%^7N9%VC;%@@;8A>_A%?9=;:AF%:;%I4%B;=6A89F%U%:;NA>_A%VC;%@9F%A@C?=9F% @AF%BA?P7A>A=%<9>%?9=;:AF%:;%3`%U%:;%4%B;=6A89FG
Las monedas serían una buena idea porque a los niños les gusta el di5 =;>9GGG%HA%7:;A%:;%>;<A>67>%C=A%?9=;:A%:;%I4%B;=6A89F%U%BA?P7A>@A%;=% E9>?A%;VC78A@;=6;%;=%I%:;%3`%U%C=A%:;%4%<A>A%<;:7>%<>;F6A:9%C=A%:;%3`O% dando a entender la idea de que necesitas pedir prestado algo.
a9=%;F6A%7:;AO%FC>[;=%:9F%:7TBC@6A:;FG%M>7?;>9%VC;%69:9O%;@%<>9P@;?A% ?A6;?Y67B9%:;%@A%>;<>;F;=6AB7D=%:;@%M>9EG%RA>>U%;F%I453`O%VC;%=9%=;B;F76A% de una resta con reserva. Segundo, el Prof. Barry confunde el pedir pres5 6A:9% B967:7A=9% Q<;:7>@;% 3`% B;=6A89F% A% C=A% <;>F9=A% VC;% 67;=;% I4Q% B9=% ;@% <>9B;F9%:;%K<>WF6A?9L%;=%@A%>;F6A%B9=%>;F;>8AO%VC;%>;A[>C<A%;@%?7=C;=:9% mediante una reorganización del valor posicional. De hecho, el material manipulativo del Prof. Barry no transmite ninguna comprensión concep5 tual del tema matemático que supuestamente tiene que enseñar.
La mayoría de los profesores norteamericanos dijo que emplearía ma5 terial manipulativo para ayudar a los alumnos a comprender el hecho de que 1 decena equivale a 10 unidades. Según su punto de vista, de los dos
16 !"#"$%&%'#(" ) '#*'+,#-, .' /,* &,('&0(%$,* '/'&'#(,/'* pasos del procedimiento: tomar y cambiar, el último es el más difícil de realizar. Por lo tanto, muchos profesores querían enseñar esta parte en for1 ma visual o dejar que los alumnos tuvieran una experiencia práctica del hecho de que 1 decena es, realmente, 10 unidades:
Le daría a los alumnos paquetes de 10 palitos de helado amarrados 234 56789:238 ; <58=>?8@ 582A:B:ACD >4 =A3B65ED 54 6D =:FDAAD ; 954<ACD 9DEB:?4 638 =DG>5958 <5 =D6:938 ; DH5A:I>DACD =A:E5A3 cómo los separaría (las cursivas se añadieron), para solucionar el problema y ver si es que =>5<54 JD25A 63 E:8E3 ;@ 6>5I3@ G>:F78 <58=>?8 <5 E>2JD =A729:2D@ tal vez darle a cada par de alumnos problemas de resta distintos y des1 =>?8 638 D6>E438@ =3<ACD4@ 43 8?@ <5E389ADA 3 <DA438 6D A58=>589DK L@ hacerlos inventar un problema con palitos, desarmando los montones e ir paso a paso. (Srta. Fiona)
M3 G>5 :4<:2N 6D OA9DK P:34D 58 56 9C=:23 E?93<3 G>5 >8D4 E>2J38 =A31 fesores. Evidentemente, se relaciona más con la resta con reserva que los E?93<38 <582A:938 =3A 6D OA9DK P63A5425 ; 56 QA3RK SDAA;T 8:4 5EBDAI3@ 8:I>5 pareciendo enfocado en el procedimiento. Siguiendo la demostración del profesor, los alumnos practican cómo descomponer un paquete de 10 pa1 litos y ven cómo funciona en los problemas de resta. Aunque la Srta. Fiona describió el proceso de cálculo claramente, no describió para nada el con1 25=93 ED95E79:23 <59A78 <5 ?895K
M38 D2D<?E:238 85 JD4 =5A2D9D<3 <5 G>5@ =DAD =A3E3H5A 56 54954<:E:541 to matemático, es necesario que los docentes ayuden a establecer conexio1 458 549A5 56 ED95A:D6 ED4:=>6D9:H3 5 :<5D8 ED95E79:2D8 5U=6C2:9D8 VSD66@ WXXYT ZA:82366@ WX[WT \:5B5A9@ WX[]T ^584:2_@ WX[YT O2JADE@ `5E85A@ a SD66@ WX[XbK De hecho, no todo profesor es capaz de establecer dicha conexión. Parecie1 ra que sólo los profesores que tienen una clara comprensión de las ideas matemáticas que se incluyen en el tema podrían desempeñar este papel. La Srta. Faith, la profesora principiante, con una comprensión conceptual del tema, dijo que “al depender enormemente del material manipulativo” ella ayudaría a los alumnos a comprender “cómo cada uno de estos paquetes es Wc@ 58 >4D <5254D ; 834 Wc >4:<D<58d@ D 8DB5A G>5 ef <5254D8 ; g >4:<D<58 58 63 E:8E3 G>5 ] <5254D8 ; Wg >4:<D<58d@ D D=A54<5A e6D :<5D <5 :495A2DEB:3 equivalente” y a hablar de “la relación con los números”.
Desde ese punto, lo que yo haría, sería mostrar cómo cada uno de estos paquetes es 10, es 1 decena o 10 unidades. Me aseguraría de que eso 589? 26DA3K h<5E78@ iG>? =D8DACD 8: 8D2DE38 56 56789:23 ; =345E38 Wc DG>Cj i!>74938 954<ACDE38j QDAD 665IDA D6 8:I>:5495 =D83@ 658 E389ADACD G>5 DJ3AD 9545E38 W@ Y@ g@ ] <5254D8 ; Wg >4:<D<58 ; <58=>?8 A589DA <5 58D R3AEDKKK M5 <:ACD D6 4:k3@ iE5 58978 <:2:54<3 G>5 43 J5E38 8>ED<3 4: A589D<3 4D<D D 638 fgj i!:5A93j OC@ 2:423 <5254D8 ; g >4:<D<58 58 63 E:8E3 G>5 ] <5254D8 ; Wg >4:<D<58K il G>? =D8D 8: 8D2DE38 Yf =D6:938j
A diferencia de los otros profesores que utilizaron material manipu !"#$%&'(")"'*)"+,")'-!'()&,-.$/$-0#&'.-',1!,2!&3'!"'4)#"5'6"$#7'!&8'-/(!-9' para representar el concepto matemático. El único motivo por el que el uso de material manipulativo de la Srta. Faith podría llevar más allá a sus alumnos en comparación con el uso que le dieron otros profesores es que ella entendió el tema matemático más profundamente que otros. :#$!$;"0.&'20'/<#&.&'8$/$!")3'()&=-8&)-8',&0'.$8#$0#"8'%$8$&0-8'.-!',&0 tenido llevarán a los estudiantes a distintas formas de comprensión de las matemáticas.