Es muy ventajoso para nosotros ser capaces de predecir con confian za lo que sucederá en el futuro. En ciertos casos, muy excepcionales, podemos predecir que el futuro tendrá un, y solo un, resultado, pon gamos, cuando predecimos la posición futura de uno de los planetas a partir de su estado actual y de las leyes dinámicas del movimiento. En muchos otros casos, sólo contamos con una idea muy vaga de lo que el futuro deparará. Hay un conjunto especial de casos, sin em bargo, donde no podemos decir con seguridad cuál entre un número de sucesos posibles ocurrirá, pero donde podemos tener un conoci miento fiable de la proporción en la que ocurrirán los sucesos en la repetición de un gran número de pruebas de tipo similar. El tirador de dados no sabe lo que obtendrá en la siguiente tirada del dado, pero sabe que en una larga serie de tiradas aparecerá un siete sobre el dado aproximadamente un sexto del total de las veces. La explora ción de dichas situaciones, comenzando con la típica situación de azar, condujo al desarrollo de la teoría de la probabilidad. La proba bilidad de un suceso fue considerada como algo estrechamente rela cionado con la frecuencia con que se esperaría que dicho suceso ocu
N 2 Filosofía de la física
rriera en la repetición de un gran número de pruebas idénticas de un tipo determinado.
Se ha construido una teoría matemática formal de la probabili dad de una simplicidad y elegancia sin par. Sorprendentemente, no se formalizó hasta los años treinta del siglo XX, a pesar del hecho de que las ideas básicas se conocían desde hacía cientos de años. Sea da da una colección de sucesos básicos como el número que aparece en la cara de un dado. Números del cero al uno son asignados a las sub- colecciones de la colección de sucesos básicos. Así, asignamos a la colección formada simplemente por «aparece el número uno» el nú mero — esto es, la probabilidad de— un sexto. A la colección carac terizada por «aparece un número par» le asignamos el número un medio. Al resultado vacío (ninguno de los posibles sucesos ocurre) se le da la probabilidad cero, y al resultado trivial (alguno de los posi bles sucesos ocurre) la probabilidad uno. El postulado más importan te es el de aditividad. Supongamos que si un suceso está en la co lección
A,
no puede estar en la colecciónB, y
viceversa. La probabilidad asignada al resultado«A o B»
se considera entonces que es la suma de las probabilidades asignadas aA y
aB.
Así, si uno no puede ser ciudadano de Nueva York y de California al mismo tiempo, la probabilidad de que uno sea ciudadano de uno de los dos estados es la suma de las probabilidades de que sea neoyorquino y de que sea californiano.En circunstancias ordinarias, nos es bien conocida la situación donde el número de posibles sucesos básicos es finito: el dado con seis caras, la ruleta con treinta y siete ranuras, etcétera. Sin embargo, el matemático y, como veremos, el físico deben tratar con casos don de el número de sucesos básicos es infinito. Por ejemplo, un suceso básico podría ser una partícula puntual ocupando una cualquiera del número infinito de posiciones posibles en una caja. Habitualmente, se adopta una generalización del postulado de aditividad. Ésta es de nominada aditividad contable. Se trata de una suposición natural, si bien tiene algunas consecuencias peculiares. Una de ellas es que la probabilidad cero ya no se asigna solamente al conjunto vacío obte nido cuando no se da ningún resultado básico, sino que también se asigna a conjuntos no vacíos. Por ejemplo, si uno anda ocupado en la tarea de elegir un número entre todos los números reales entre cero y uno, la aditividad contable implica que la probabilidad de obtener un número que sea racional, esto es, que pueda ser representado por
una fracción de dos enteros, es cero. Pero, claro está, hay un número infinito de tales números racionales en la colección. La idea es que hay «muchos más» números reales no fraccionarios que fraccionarios. En estos contextos, pues, el suceso imposible tiene probabilidad cero, pero no todos los sucesos con probabilidad cero son imposi bles. Y el tener probabilidad uno no significa que un suceso deba ne cesariamente ocurrir.
Una noción importante en la teoría de la probabilidad es la de probabilidad condicionada. Supongamos que sabemos que se ha ob tenido un siete en el lanzamiento de dos dados. ¿Cuál es la probabili dad, dado dicho suceso, de que uno de los dados muestre un uno en su cara? Veamos, el siete puede aparecer en seis formas, y en sólo dos de los casos se tendrá un uno en uno de los dados. Así pues, la probabilidad es un tercio. En suma, la frecuencia esperada de un tipo de suceso,
B,
una vez que ha ocurrido un tipo de suceso,A,
es la probabilidad deB
condicionada aA
o la probabilidad deB
bajo la condiciónA.
Si la probabilidad deB
bajo la condiciónA
es simple mente la probabilidad no condicionada deB
(y la probabilidad deA
bajo la condiciónB
simplemente la probabilidad deA),
se dice queA y B
son sucesos probabilísticamente independientes entre sí. Dos lanzamientos sucesivos de una moneda se toman habitualmente como independientes en este sentido. La probabilidad de obtener una cara en el segundo lanzamiento sigue siendo un medio, siendo el resultado del primer lanzamiento irrelevante para esta probabilidad. Sin embargo, ser californiano y ser del oeste no son evidentemente independientes. La probabilidad de que alguien provenga de Califor nia suponiendo que proviene del oeste es obviamente mayor que la probabilidad de que sea californiano suponiendo sólo que vive en al gún lugar de Estados Unidos.A partir de los postulados básicos de la teoría de la probabilidad se puede probar un grupo de importantes teoremas denominados Le yes de los Grandes Números. ¿Esperamos que aparezcan caras la m i tad de las veces en un número pequeño de lanzamientos de una mo neda? Si el número de lanzamientos es impar, no podrá ser. Aun cuando el número de lanzamientos sea par, esperamos que el suceso real se desvíe de la proporción exacta de un medio en cualquier serie dada de lanzamientos. A medida que aumente el número de lanza mientos, sin embargo, esperamos que haya algún tipo de convergen cia de la frecuencia de caras observadas a la probabilidad postulada
Filosofía de la física
ili- im medio. Lo que las Leyes de los Grandes Números nos dicen es que la probabilidad de dicha convergencia (entendida en varios senti dos, pues puede ser de diferentes intensidades) tiende a uno («certe za probabilística») cuando el número de pruebas tiende a infinito. Esto es válido si las pruebas son probabilísticamente independientes entre sí. Así pues, si bien no podríamos ciertamente probar que en cualquier serie de pruebas tendiendo al infinito, la frecuencia conver gería a la probabilidad, podemos probar, dada la independencia de las pruebas, que un resultado semejante es cierto probabilística mente.