Associations between the Social and Environmental Conditions Sub-Index and

En este punto queremos reforzar la idea de que flujo y volumen son en general cosas distintas, aunque en algunos casos, numéricamente pudieran coincidir, como fue el caso de la SP-4. El volumen siempre es positivo y el flujo puede ser negativo. El flujo está asociado a una dirección, y si se cambia a la dirección contraria, el signo del flujo también cambia.

Consideremos de nuevo que el agua fluye de acuerdo con el campo de velocidades de la SP-4: v x y( , )=yk; pero ahora lo hace a través de la compuerta: 2 ) x ) 5 y <5 )

y ) 5 del plano xy (en la SP-4 la compuerta es 2 ) x ) 5 y 1 ) y ) 5 del plano xy).

Si colocamos vectores en la compuerta, notamos que los correspondientes a la parte ne- gativa del eje y van hacia abajo y se formaría una figura tridimensional como la que se ilustra a continuación. 3 2 1 0 –1 –4 –2 0 1 2 1 0 –1 –2 x y z x y –5 –2 –5 –5

Figura que se forma en el espacio al colocar sobre cada punto de la compuerta, 2 ≤ x ≤ 5 y –5 ≤ y ≤ 5, los vectores dados por la ecuación v(x, y) = yk.

¿Cuál es el volumen de la figura que se forma considerando todos los vectores del campo de velocidades en la compuerta? Esto es, en un contexto puramente geométri- co, ¿cuál es el volumen de la región del espacio encerrada por la gráfica de la función, el plano xy _{y limitada lateralmente por los planos correspondientes a los lados del} rectángulo 2 ) x ) 5 y <5 ) y ) 5 del plano xy?

Las puntas de las flechas forman una superficie, precisamente la gráfica de la función

z  f (x, y)  y limitada al rectángulo 2 ) x ) 5 y <5 ) y ) 5 del plano xy. z x y –5 –5 –2 –5

Figura que se forma en el espacio al colocar sobre cada punto de la compuerta, 2 ≤ x ≤ 5 y –5 ≤ y ≤ 5, los vectores dados por la ecuación v(x, y) = yk.

z x y –5 –5 –2 –5

Gráfica de la ecuación z = f (x, y) = y por encima y por debajo de la compuerta,

Una forma de calcular este volumen es observar que la figura completa tiene dos partes con el mismo volumen: la parte por arriba del plano xy _{y la parte que está por} abajo de este plano. El volumen de la parte de arriba puede calcularse multiplicando el área de la cara de enfrente (el triángulo) por el fondo.

El área del triángulo es 12.5 (base por altura entre dos), entonces el volumen de la parte de arriba es 37.5 y, por lo tanto, el volumen de la figura completa es 75.

Ahora nos preguntamos por el flujo de agua en dirección de _{k a través de la}  compuerta. Afirmamos que es 0; este resultado puede interpretarse diciendo que la cantidad de agua que fluye en esa dirección por segundo (el volumen de la parte derecha) es la misma que fluye en dirección contraria (el volumen de la parte izquier- da). Se puede decir que el flujo es un “volumen con signo”.

Tarea 2

UNIDAD 1 TEMA 1.2

1. Imaginemos un río recto donde el agua fluye con rapidez constante de 3 metros por segundo; instalemos un sistema de coordenadas cartesianas de tal forma que la parte positiva del eje y está en la dirección del movi- miento del agua. Considérese a la región circular con radio de 2 metros que se encuentra sobre el plano con ecuación y  5 m, como se ilustra en la figura.

z

y= 5

x

y

2

a) ¿Cual es la ecuación matemática de la velocidad v del agua?

b) Calcula el flujo de agua a través de la región circular de la figura en dirección del movimiento del agua. c) Dibuja en la figura el sólido que se forma con la cantidad de agua que atraviesa a la región circular en un

segundo.

d ) ¿Cuál sería el valor del flujo a través de la misma región, pero en dirección opuesta al movimiento del agua?

e) ¿Cuál sería el flujo de agua a través de la región circular de radio 2, en dirección del eje y positivo, si la región estuviera en el plano y  7, en lugar del plano y  5?

f ) ¿Cuál sería el flujo de agua a través de la región circular de radio 2, en dirección del eje x positivo, si ésta estuviera en el plano x  5, en lugar del plano y  5?

g) ¿Cuál sería el flujo de agua a través de la región circular de radio 2, en dirección del eje z positivo, si ésta estuviera en el plano z  3, en lugar del plano y  5?

2. Imaginemos una compuerta en el piso del salón de clases descrita por las desigualdades 3 ) x ) 8 y 2 ) y ) 6, y que por cada punto de ésta fluye el agua de acuerdo con la ecuación de velocidad v f x y k= ( , ). En cada inciso se da una función z  f (x, y) y se pide que se realice lo siguiente.

z compuerta 2 6 8 2 x y

i ) Dibuja la figura que se formaría si colocáramos el vector velocidad en todos los puntos de la compuerta. ii ) Señalar en la figura la superficie con ecuación z  f (x, y).

iii ) Calcular el flujo de agua a través de la compuerta en la dirección positiva del eje z. a) f (x, y)  x

b) f (x, y)  y c) f (x, y)  x2 d ) f (x, y)  x2 e) f (x, y)  y < 4

3. Dibuja la gráfica de cada función de dos variables z  f (x, y) sobre la compuerta definida por las desigual- dades 0 ) x ) 2 y 0 ) y ) 3.

a) z  f (x, y)  2 < x d ) z  f (x, y)  9 < y2

b) z  f (x, y)  3 < y e) z  f (x, y)  4e<x

c) z  f (x, y)  4 < x2 _{f )} z  f (x, y)  3e<y

4. En el problema 3, la gráfica de la función z  f (x, y) constituye la cubierta superior de una región en el espacio cuya base es la compuerta definida por las desigualdades 0 ) x ) 2 y 0 ) y ) 3. Calcula para cada inciso el volu- men de la región.

5. En el problema 3, la gráfica de la función z  f (x, y) constituye la cubierta superior de una región en el espacio cuya base es la compuerta definida por las desigualdades 0 ) x ) 2 y 0 ) y ) 3. Escribe para cada inciso la ecua- ción de velocidad de un fluido cuyo flujo a través de la compuerta y en dirección del eje z positivo coincide con el volumen de la región.

6. El agua fluye a través de la compuerta definida por las desigualdades _{− 3≤ ≤x 3} y 0 ) y ) 5 de acuerdo con la ecuación de velocidad v=₍x2− ₎k

1 . Calcula el flujo del agua a través de la compuerta en dirección del eje z positivo.

7. El flujo de un fluido a través de una compuerta es cero. Plantea dos escenarios posibles acerca del comporta- miento del fluido que expliquen este resultado.

En el tema anterior vimos que cuando un fluido atraviesa una compuerta en un plano donde se ha instalado un sistema de coordenadas x y y, la rapidez r con que el fluido atraviesa la compuerta de- pende en general del punto de la compuerta por el que pasa el fluido. Esto conduce a una ecuación de la forma r = f (x, y)_, donde se indica que la rapidez r depende, o es función, de las coordenadas x y y de los puntos de la compuerta.

1.3

Funciones de dos variables,