El movimiento del agua en la naturaleza presenta normalmente una variaci´on del caudal de paso con el tiempo, en particular en los episodios de lluvias en medio urbano, que son objeto de estudio, o en situaciones derivadas de la explotaci´on de elementos de la red (dep´ositos de retenci´on, estaciones de bombeo con caudales variables por ejemplo). Por ello, el tipo general
de movimiento que se produce ser´a el denominado no permanente o no estacionario, tambi´en
llamado gradualmente variable. A partir de este punto, si deseamos realizar con la mayor fidelidad posible el an´alisis del flujo en nuestra red, deber´ıamos adoptar la aproximaci´on del movimiento
no permanente. Las hip´otesis b´asicas de las que partimos para describir el movimiento no
permanente son las siguientes:
El flujo se asume como de tipo unidimensional. Solo tenemos en cuenta la velocidad del agua en la direcci´on de la alineaci´on del conducto y no se consideran las componentes en las otras direcciones del espacio. Dadas las dimensiones de los conductos de alcantarillado esta hip´otesis es claramente asumible.
La pendiente de los colectores de estudio se supone que es reducida, de manera que si el valor del ´angulo de la pendiente es θ, podemos aceptar cosθ ' 1, de la misma manera que θ ' sin θ ' tan θ.
Se acepta una distribuci´on uniforme de velocidades en cada secci´on, despreciando las variaciones transversales de velocidad dentro de la misma.
Suponemos que la curvatura de la l´amina de agua es reducida, por lo que en el seno del fluido aceptamos la existencia de una distribuci´on hidrost´atica de presiones.
Las p´erdidas de energ´ıa se representan con las mismas expresiones de r´egimen permanente.
A partir de estas hip´otesis principales, se aplican los principios f´ısicos de conservaci´on de la masa o ecuaci´on de continuidad, y la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento (equilibrio de fuerzas actuantes). Como resultado de su aplicaci´on, las ecuaciones de conservaci´on de la masa y de conservaci´on de la cantidad de movimiento adoptan las siguientes expresiones, para un conducto de secci´on constante:
∂y ∂t + v ∂y ∂x+ A b ∂v ∂x = 0
122 Tema 6 ∂v ∂t + v ∂v ∂x+ g ∂y ∂x − g(Io− If) = 0
donde v, es la velocidad media del agua en la secci´on, y el nivel de agua (calado) en dicha secci´on, A es la secci´on transversal del conducto ocupada por el flujo, b el ancho superficial del agua, g la aceleraci´on de la gravedad, Io pendiente de la solera del conducto, If la pendiente de la l´ınea
de energ´ıa, x la abscisa a lo largo del conducto y t el tiempo.
Si se expresan en t´erminos de variables caudal, secci´on del conducto (Q,A) podemos escribir tal y como aparece en el manual de usuario de SWMM:
∂A ∂t + ∂Q ∂x = 0 ∂Q ∂t + ∂(Q2/A) ∂x + gA ∂H ∂x + gAIf + gAhL= 0
donde Q, es el caudal, A, secci´on transversal del flujo en el conducto, H, nivel de la l´amina de agua en el conducto, suma de cota de fondo m´as calado, y hLes la contribuci´on de las p´erdidas
localizadas de carga por unidad de longitud en el conducto.
Las ecuaciones matem´aticas anteriores representan, en el caso de la ecuaci´on de continuidad que el balance entre lo que entra y sale, en un volumen de control, es igual a la variaci´on de almacenamiento de agua, y la ecuaci´on de conservaci´on de cantidad de movimiento expresa el balance entre todas las fuerzas actuantes. En este ´ultimo caso podemos indicar:
∂v ∂t + v
∂v
∂x Fuerzas de inercia sobre el agua en movimiento (aceleraciones local y convectiva) ∂y
∂x Fuerzas de presi´on debidas a los diferentes niveles de agua entre zonas de la masa del
fluido
Io Pendiente del cauce, expresi´on de la influencia de las fuerzas gravitatorias
If Pendiente motriz (p´erdida de energ´ıa por unidad de peso y por unidad de longitud)
expresi´on de las fuerzas de disipaci´on de energ´ıa por fricci´on, turbulencia, etc. Estas ecuaciones deducidas por A.J.C. Barr´e de Saint–Venant en 1871, no tienen soluci´on anal´ıtica por lo que debe abordarse su tratamiento mediante m´etodos num´ericos. T´ecnicas bien conocidas como los m´etodos en diferencias finitas, vol´umenes finitos, elementos finitos o el m´etodo de las caracter´ısticas (Streeter y Wylie, 1979) se pueden utilizar en su resoluci´on. La utilizaci´on de un m´etodo u otro producir´a resultados casi iguales, por lo que no se puede
reconocer un procedimiento como muy superior a los otros, si bien en los ´ultimos a˜nos los
desarrollos num´ericos m´as habituales utilizan el m´etodo de los vol´umenes finitos con un esquema expl´ıcito de integraci´on num´erica (Blad´e, 2005) . SWMM 5.0 opta por un esquema en diferencias finitas expl´ıcitas, que es m´as f´acil de formular, si bien precisa trabajar con incrementos de tiempo de c´alculo m´as reducidos para asegurar la estabilidad de la soluci´on num´erica.
La formulaci´on del r´egimen no permanente engloba todas las descripciones de movimiento
C´alculo hidr´aulico de la red de drenaje usando SWMM 5.0 123
continuidad despejamos el t´ermino de variaci´on de velocidad seg´un la direcci´on del flujo ∂v/∂x,
y reemplazamos en la ecuaci´on de cantidad de movimiento obtendr´ıamos:
∂y ∂x = Io− If 1 − F r2 + ∂y ∂t F r2 v − 1 g ∂v ∂t 1 − F r2
Si el movimiento fuera permanente las variaciones respecto del tiempo tanto del calado como de la velocidad ser´ıan nulas, por lo que el comportamiento se podr´ıa describir con el primer t´ermino de la derecha de la ecuaci´on anterior, que resulta ser la expresi´on de la curva de remanso. En la medida que los t´erminos del segundo miembro de la ecuaci´on sean importantes (variaciones temporales de calado y velocidad) las diferencias entre el c´alculo con una u otra expresi´on ser´an m´as significativas.
Las ecuaciones de Saint Venant representan como dec´ıamos antes el caso m´as general de
movimiento, pero en a˜nos pasados la dificultad de resoluci´on junto a la necesidad de disponer de mucha mayor informaci´on sobre la red y sobre el proceso de transformaci´on lluvia–escorrent´ıa, hizo que se utilizaran m´etodos de c´alculo hidr´aulico m´as sencillos. Si bien suponen un avance respecto a los m´etodos de dise˜no que consideran flujo permanente, todav´ıa no tienen en cuenta todos los t´erminos de la ecuaci´on de equilibrio din´amico. La soluci´on ser´a un resultado en
flujo no permanente, pero tan s´olo una aproximaci´on al comportamiento descrito por las
expresiones deducidas por Saint Venant. Dichas aproximaciones pueden consultarse en alguna de las referencias (G´omez, 1988, 1992). Hoy d´ıa las razones que impulsaban el uso de modelos
simplificados, fundamentalmente el menor tiempo de c´alculo por ordenador, han desaparecido
ante los incrementos de capacidad de c´alculo por lo que dedicaremos todo el cap´ıtulo a los
modelos que resuelven el r´egimen no permanente de forma completa.
4.
Influencia de las fuerzas actuantes sobre el movimiento del
agua en l´amina libre
Una pregunta que nos podemos hacer es si todas las fuerzas actuantes son igual de importantes, lo que podr´ıa suponer si eso fuera as´ı, el que algunas simplificaciones o incluso la aproximaci´on de flujo en r´egimen permanente fuera suficiente para un c´alculo hidr´aulico adecuado.
Para ello, podemos revisar en algunos casos los valores correspondientes de cada una de las fuerzas actuantes. As´ı, Henderson (1966) da a conocer, para el caso de un cauce de gran pendiente y con un hidrograma de subida r´apida, los datos indicados en la tabla 1.
Tabla 1: Importancia relativa de fuerzas actuantes en un r´ıo de gran pendiente
Fuerzas actuantes Gravedad Fricci´on Presi´on Acel. convectiva Acel. local
124 Tema 6
Este resultado nos indica que para el caso de conductos con gran pendiente, con situaciones de flujos torrenciales o supercr´ıticos con elevadas velocidades as´ı como n´umeros de Froude mayores de 1, las fuerzas predominantes son las de fricci´on y gravedad, pero adem´as de manera muy clara. Las otras fuerzas suponen menos del 2 % del total de fuerzas actuantes. Pero en muchos cauces
alternan tramos de gran pendiente con otros de pendiente menor, o se producen fen´omenos
locales que cambian las condiciones de flujo generando zonas con r´egimen subcr´ıtico. O bien, analizamos tramos de cauce de menor pendiente. En esos casos, la pregunta puede ser: ¿se mantienen estas proporciones entre las fuerzas actuantes?
No existen referencias de evaluaciones de estos t´erminos en el caso de cauces de moderada pendiente. Para resolver esa carencia podemos evaluar en un caso concreto la importancia de las fuerzas actuantes. Evaluemos para un caso de un canal de 1000 m de longitud, secci´on rectangular
de 2 m de ancho, rugosidad de Manning 0.013 y con una pendiente de 0.005 ´o 0.0001, sobre el
que act´uan dos hidrogramas sencillos, que representan un cambio de caudal de manera que se
dobla en pocos minutos.
Figura 1: Balance entre las fuerzas actuantes. Pendiente 0.0001
Realizamos la simulaci´on num´erica y evaluamos en cada instante en el punto medio del
canal, a partir de los valores instant´aneos de velocidad y calado, los t´erminos de las fuerzas correspondientes, fricci´on, gravedad, presi´on e inercia, y calculamos a partir de los valores de cada uno, la importancia en tanto por ciento de cada una de las fuerzas actuantes.
Los resultados se pueden observar en las figuras 1 y 2. Podemos concluir a la vista de los datos calculados, que para pendientes media altas, a partir de 0.005, propias de flujos supercr´ıticos con n´umero de Froude mayor que 1, sea la subida m´as r´apida o m´as suave, las dos fuerzas m´as importantes son las de gravedad y fricci´on.Entre ambas nos llevamos casi el 98 % de las fuerzas actuantes, y una aproximaci´on del tipo onda cinem´atica ser´ıa suficiente.
Pero si las pendientes empiezan a ser moderadas, con flujos de tipo subcr´ıtico con n´umeros de Froude menor que 1, durante el proceso de variaci´on de caudal, se produce una variaci´on muy significativa entre las fuerzas actuantes. Si bien gravedad y fricci´on siguen siendo las m´as
C´alculo hidr´aulico de la red de drenaje usando SWMM 5.0 125
Figura 2: Balance entre las fuerzas actuantes. Pendiente 0.005
importantes, entre las dos suponen del orden de un 50 % del total, mientras que las otras representan otro 50 %. Es interesante observar como durante el periodo de tiempo en que se modifica el caudal, la fuerza de presi´on puede llegar a ser la m´as importante de todas, al generarse
variaciones de l´amina de agua importantes en el conducto. Conductos de pendiente moderada,
o zonas en las que se produzcan cambios de r´egimen r´apido a lento, deben ser modeladas
considerando las ecuaciones completas de Saint Venant en r´egimen no permanente. Adem´as,
en nuestro caso no debemos olvidar que estamos calculando no un conducto aislado, sino una red de conductos interconectados, con lo cual las mutuas influencias entre ellos pueden ser determinantes a la hora de definir su comportamiento hidr´aulico.
5.
Opciones de c´alculo hidr´aulico en SWMM 5.0
Teniendo en cuenta todo lo anterior, vamos a revisar las opciones de c´alculo hidr´aulico que
tenemos disponible y su aplicabilidad. La nueva versi´on permite tres opciones de evaluar el
comportamiento hidr´aulico de la red de drenaje.
5.1. R´egimen permanente
La primera de ellas se refiere a un c´alculo en r´egimen permanente (steady flow ), donde en cada conducto se traslada el hidrograma calculado desde aguas arriba hacia aguas abajo, sin modificarlo y sin generar un decalaje temporal. Esta opci´on de c´alculo no permite considerar efectos de propagaci´on, laminaci´on de caudales, efectos de reflujo, etc. Esta opci´on solo puede aplicarse y con reservas a redes de tipo arborescente, aquellas en que en cada nudo hay un ´unico colector de salida. Deber´ıa considerarse como mucho como un c´alculo preliminar, pero que puede ser en ocasiones alejado de la realidad, o aplicado a aquellos estudios de simulaci´on continuada (series temporales largas de varios a˜nos).
126 Tema 6
5.2. Onda cinem´atica
En este caso se resuelve una aproximaci´on de las ecuaciones de Saint-Venant, considerando la ecuaci´on de equilibrio de fuerzas solo con las componentes de gravedad y fricci´on. El modelo limita as´ı el m´aximo caudal de circulaci´on por cada conducto como el caudal a secci´on llena. Caudales mayores de paso ser´ıan expulsados de la red, o almacenados en el pozo de aguas arriba para ser reintroducidos m´as tarde cuando el sistema lo permita.
La onda cinem´atica no permite atenuar puntas de caudal, no modela la entrada en carga,
ni tampoco los efectos de reflujo, es decir, todo aquello producto de las condiciones de contorno aguas abajo. Permite trabajar con intervalos de tiempo mayores que otras opciones, del orden de varios minutos frente a pocos segundos, y es m´as estable desde el punto de vista de c´alculo sobre todo en caso de flujos r´apidos. No se puede aplicar a redes malladas, sino tan solo a las arborescentes. Es m´as r´apida de c´alculo que la propagaci´on con onda completa, y en ocasiones se utiliza como opci´on para la simulaci´on siempre que la red sea arborescente y predomine el r´egimen r´apido en toda la red, sin problemas de influencias de las condiciones de contorno aguas abajo.
5.3. Onda din´amica
Esta opci´on es la que se se aproxima m´as a la realidad de lo que sucede en la red de drenaje. Se consideran todas las fuerzas actuantes, gravedad, fricci´on, presi´on e inercia, y permite simular los efectos de laminaci´on, reflujos, condiciones de contorno aguas abajo o entrada en presi´on de la red.
Al resolver las ecuaciones completas de Saint Venant, puede aplicarse a redes malladas as´ı como por supuesto a las arborescentes. Acepta flujos superiores en cada conducto al m´aximo aceptable a secci´on llena en r´egimen permanente, y permite simular la salida de agua desde la red, elimin´andola del sistema o almacen´andola en cada pozo para volver a introducirla en la red. En el caso de SWMM 5.0, dado el esquema num´erico de soluci´on que utiliza para resolver las ecuaciones, tipo diferencias finitas expl´ıcitas, necesita intervalos de tiempo m´as cortos, de menos de un minuto en general, lo que puede suponer para sistemas grandes mayor tiempo de c´alculo. Pero en ocasiones donde se producen situaciones complicadas de flujo, como en los cambios de r´egimen (r´apido a lento) o cerca de puntos de entrada en carga, o con hidrogramas de subida muy r´apida, se pueden generar inestabilidades de c´alculo. Ello puede sugerir que en unos primeros c´alculos se limite la aplicaci´on de la onda din´amica. SWMM 5.0 permite en las opciones de c´alculo, o bien utilizar siempre los t´erminos inerciales (opci´on Keep), que suelen ser los que generan problemas de inestabilidad num´erica en la soluci´on, o bien ponderarlos de manera que
se reduzca su importancia (opci´on Dampen) en zonas conflictivas, como por ejemplo las zonas
de flujo cercanos a calados cr´ıticos, e ignorarlos en caso de flujo supercr´ıtico, o sencillamente ignorarlos (opci´on Ignore), con lo cual se utiliza una aproximaci´on de onda difusiva (fuerzas de gravedad, fricci´on y presi´on hidrost´atica). Las razones para optar por esto son simplemente razones de estabilidad de la soluci´on num´erica. En primera opci´on, se sugiere siempre mantener los t´erminos de inercia. S´olo si reduciendo los intervalos de tiempo de c´alculo no resolvemos el problema, ser´ıa necesario recurrir a alguna de las opciones mencionadas.
C´alculo hidr´aulico de la red de drenaje usando SWMM 5.0 127
6.
Filosof´ıa de modelaci´on en SWMM 5.0
Antes de entrar en los detalles de c´alculo hidr´aulico, conviene aclarar algunas peculiaridades de SWMM 5.0, derivadas de la forma de resolver el sistema de ecuaciones que describen el movimiento. El c´odigo con objeto de ahorrar tiempo de c´alculo resuelve tan solo en los nudos del sistema la altura de agua en cada pozo y en los conductos de la red el valor del caudal. Como consecuencia de ello, el c´odigo proporciona los niveles de agua s´olo en los nudos, no en los conductos, y calcula el caudal s´olo en el conducto y no en los nudos. Adem´as para cada conducto eval´ua un ´unico valor de caudal. La filosof´ıa parte del concepto de utilizar la dualidad nudo - conducto para la representaci´on de la red de alcantarillado. El pozo de registro se convierte as´ı en el elemento de informaci´on b´asico para definir la red, siendo el conducto el elemento de conexi´on entre dos pozos.
Esta filosof´ıa debe adaptarse para la soluci´on de casos particulares. Por ejemplo, si tenemos
un tramo de colector muy largo, de a lo mejor cientos de metros, SWMM 5.0 asume un ´unico
valor del caudal para el colector. Sin embargo esto puede ser una forma algo pobre de modelar la realidad del conducto, por ejemplo si queremos seguir el proceso de entrada en carga del
mismo, o la propagaci´on de caudal a lo largo del mismo. Se recomienda en este caso incluir
algunos pozos de registro ficticios, de manera que el colector largo queda dividido en tramos m´as peque˜nos y se puede as´ı seguir mejor su din´amica hidr´aulica. El programa no va a subdividir internamente el conducto en intervalos de espacio m´as peque˜nos, a la manera que pueden hacer otros programas y por ello es una labor previa del responsable de la modelaci´on analizar estos tramos m´as conflictivos. Ser´ıa conveniente que por ejemplo en una red a estudiar, las longitudes de los conductos fueran de ´ordenes de magnitud similares.
6.1. Onda din´amica: ecuaciones de funcionamiento
SWMM 5.0 presenta una forma algo elaborada de las mismas ecuaciones de Saint Venant presentadas con anterioridad. As´ı para resolver el caudal en cada conducto utiliza una ecuaci´on del tipo: ∂Q ∂t + gAIf− 2V ∂A ∂t − V 2∂A ∂t + gA ∂H ∂x = 0
fruto de combinar la ecuaci´on de conservaci´on de cantidad de movimiento y la de conservaci´on de la masa, pero sigue siendo una sola ecuaci´on a aplicar en el conducto. La pendiente motriz se eval´ua con expresiones tipo Manning, Chezy, etc. iguales a las del r´egimen permanente. Aplicando un esquema en diferencias finitas sobre la ecuaci´on, entre un instante t, y otro t + ∆t tenemos al final:
Qt+∆t= Qt−
k∆t R4/3h
|Vt|Qt+∆t+ 2V (∆A/∆t)t∆ + V2[(A2− A1)/L]∆t − gA[(H2− H1)/L]∆t
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∆t es el intervalo de tiempo de c´alculo. Despejando el valor del caudal en el instante t + ∆t, tenemos Qt+∆t= 1 1 + k∆t R4/3h |V |
Qt+ 2V (∆A/∆t)t∆ + V2[(A2− A1)/L]∆t − gA[(H2− H1)/L]∆t
Los valores de V,A y R que aparecen en la ecuaci´on, est´an ponderados entre los valores de los nodos aguas arriba y aguas abajo. La variaci´on de ´area respecto al tiempo, se calcula hacia atr´as, en el instante t, por lo que es dato conocido. Se puede reescribir esta expresi´on final como
Qt+∆t=
Qt+ ∆Qgravedad+ ∆Qinercia
1 + ∆Qrozamiento
donde est´an representadas todas las fuerzas actuantes sobre la masa de agua en la red de drenaje. La ecuaci´on de conservaci´on de la masa aplicada a cada nudo (junction) se puede expresar como:
Ht+∆t= Ht+ ΣQt∆t/ASt
donde ASt es el ´area en planta del nudo. Entendemos como ´area en planta del nudo la suma
del ´area en planta del pozo de registro, m´as la mitad del ´area resultante de cada conducto concurrente en el nudo, tal y como se aprecia en la figura 3.
Figura 3: Aplicaci´on de la ecuaci´on de conservaci´on de la masa en SWMM 5.0, para un pozo de