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OPERACIONES CON EXPRESIONES

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ALGEBRAICAS

ACTIVIDAD 1. En grupo

1. Si llamo x al número de gallinas, y al número de matas de café y z al número de árboles, reduzco un poco la siguiente expresión:

2x + 3y + 4z - 2x + 4y - 2z - 8x

2. Analizo e identifico las semejanzas y diferencias que encuentro en cada una de las siguientes parejas de términos algebraicos.

a) m2_{n y - 2n m c) 2a}2 _{b y - 3a}2 _b

b) 3a y -1

5a d) a

2_{b y b}2 _a

3. Simplifico las siguientes expresiones:

a) 2n + (3n - 1) d) 4b - (5 - 3b) b) 3xy - (2xy - 5) e) 6a2_+(2-3a2₎

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4. Analizo las siguientes parejas de términos y hago algún comentario sobre las partes literales de cada pareja.

a) 6a y -12a d) 8y y -7y2

b) 3x2 _{y -2x}2 _{e) 2a}2_{b y -4ab}2

c) 3ab2 _{y 6ab}2

CONCLUYAMOS

En una expresión algebraica, los términos que tienen la misma parte literal, o sea los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes se llaman TÉRMINOS SEMEJANTES.

Si en una expresión algebraica se encuentran términos semejantes, éstos se pueden sumar algebraicamente, para reducirlos a un sólo término. Esta reducción se hace sumando o restando los respectivos coeficientes numéricos.

EJEMPLOS:

6a - 12a = -6a 3x2_{y + x}2_{y - 2x}2_{y = 2 x}2_y

Cuando en una expresión algebraica aparecen diferentes términos semejantes, estos se pueden conmutar y reducir.

EJEMPLO:

MA

TEMÁTIC

AS 8º

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO

ACTIVIDAD 2. Individual

1. A cada uno de los siguientes términos le sumo o resto un término semejante y efectúo la operación. a) 2a d) -2mn2 b) -3a2 _{e) −}5 2a 2_y3 c) 4x2

2. Reduzco en cada caso los términos semejantes.

a) 4x - 2y - 3x c) 4xy - 2x2 _{+ 6x y- 7x}2

b) 2m2_{n + 2n - 5m}2 _{n + 6n d) -3ab}2 _{+ 6a - 7b -8a + 9ab}2

3. Aplico lo que ya aprendí sobre las propiedades de los números reales, para resolver el ejercicio anterior (ayuda: uso primero la conmutatividad y luego la asociatividad).

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Uso signos de agrupación

Recordemos que el inverso aditivo de 3 es (-3) porque 3 + (-3) = 0 pero 3 + (-3) = 3 - 3 = 0

POSTPRIMARIA RURAL

Generalizando si a es un número real, su inverso aditivo es - a porque

a + (-a) = 0 pero a + (-a) = a - a = 0.

Por otro lado si a y b son números reales, enteros a + b es un número real, y su inverso aditivo es - (a + b) por lo tanto:

(a + b) + [(- (a + b)] = 0.

Como a + b - a - b = 0, al comparar esta expresión con la expresión anterior, se puede concluir que - (a + b) = -a - b.

ACTIVIDAD 3. Individual

1. En el párrafo anterior se concluyó que - (a + b) = - a - b. Describa este hecho oralmente resaltando la acción que tiene el signo - (menos) sobre el paréntesis.

2. Encuentro el inverso aditivo de cada una de las siguientes expresiones

- 8; - a; 5b; (5 + 4); (x + y); (x - y); - (m + n); - (m - n); - (- 8 - u)

3. En mi cuaderno completo las siguientes igualdades:

a) - a - 5 = - ( ) d) 5 + x2 _{- x = - ( )}

MA

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AS 8º

4. Simplifico cada una de las siguientes expresiones: a) (4x + 3x - 8x) + (5y - 2y)

b) (5x2 _{- 2x}2_{y) - (8xy}2 _{+ 3xy}2 ₎

c) 5mn - ( 8mn - 3m ) - 2m

d) - (- x2 _{- 2x + 1) + (- 3 + 2x + x}2₎

CONCLUYAMOS

Si se hace necesario eliminar un signo de agrupación precedido de el signo - (menos) entonces todos los términos dentro de él cambian de signo y si está precedido de signo + (más) los términos mantienen su signo. Recíprocamente, para agrupar varios términos en un signo de agrupación precedido de signo - (menos); es necesario cambiar el signo a cada uno de los términos agrupados.

EJEMPLOS:

a) x - 2Y + 3 = - (- x + 2y - 3)

b) - (1 - 2y) + (3x - y) = - 1 + 2y + 3x - y = 3x + y - 1 c) 3 (x + y) - x - y = 3 (x + y) - (x + y) = 2 (x + y)

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Operaciones con Polinomios

POSTPRIMARIA RURAL EJEMPLO: Sumar x2 _{- x + 8 con 2x}2 _{- 5x - 3} (x2 _{- x + 8) + (2x}2 _{- 5x - 3) = x}2 _{- x + 8 + 2x}2 _{- 5x - 3} = x2 _{+ 2x}2 _{- x - 5x + 8 - 3} = 3x2 _{- 6x + 5} otra forma: x2 _{- x + 8} 2x2 _{- 5x - 3} 3x2 _{- 6x + 5}

CONCLUYAMOS

Como toda expresión algebraica es una representación simbólica de los números reales, la suma de expresiones cumple las mismas propiedades de ellos.

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se puede escribir una a continuación de otra y luego se reducen los términos semejantes.

Otra forma de sumar dos o más polinomios es: primero ordenarlos de acuerdo a algún criterio definido y luego colocarlos uno debajo de otro en tal forma que términos semejantes queden en una misma columna, para por último efectuar la operación.

MA

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AS 8º

EVALUEMOS

ACTIVIDAD 4. En grupo

Junto con dos compañeros realizamos la siguiente actividad.

1. Supongamos que tenemos dos montones de naranjas. Un montón tiene a naranjas. Expresamos simbólicamente el número de naranjas que hay en el segundo montón si en él hay:

a) Doce naranjas menos que en el primero. b) 7 veces lo que tiene el primero.

c) La sexta parte de las naranjas que hay en el primer montón.

2. Escribimos la igualdad de dos expresiones que representen el número de cabezas de ganado que hay en tres manadas. La primera tiene el doble que la segunda, la tercera tiene el doble de cabezas que la primera. En total hay 63 reses ¿Cuántas cabezas hay en cada manada?

3. Hallamos el perímetro de las siguientes figuras:

En la figura el ∆ ABC es esquilatero de lado n y ∆ CDE es isósceles de catetos iguales a la altura del

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4. Encontramos el valor de los lados iguales de un triángulo isósceles, sabiendo que ellos son respectivamente, 3 centímetros más pequeños que el tercer lado y su perímetro es de 18 centímetros.

5. La suma de tres números enteros consecutivos es 57. Hallamos la ecuación que represente esta situación y decimos cuál es el más pequeño de los tres.

6. Simbolizamos los siguientes enunciados verbales, con una expresión algebraica y reducimos los términos semejantes si es posible.

a) El perímetro de un cuadrado de lado a.

b) El perímetro de un rectángulo de base x y altura y.

c) El perímetro de un rectángulo de base a si esta excede a su altura en 3 unidades.

d) La suma de las edades de una madre y su hija, si la madre tiene 30 años más que la hija.

PROBLEMAS PARA PENSAR

ACTIVIDAD 5. Individual

MA TEMÁTIC AS 8º 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 El siguiente ejercicio tiene como objetivos.

a) Traducir del lenguaje aritmético al lenguaje algebraico. b) Generalizar situaciones numéricas.

c) Usar las letras como números generalizados.

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Tomo un cuadrado de 2 x 2 (formado por cuatro números del tablero de contar. Por ejemplo:

15 16

25 26

Observo que 15 + 26 = 16 + 25 = 41.

¿Será válida esta propiedad para todos los cuadrados 2x2 de la tabla de sumar? Si es válida, la enuncio y la justifico.

2. Construyamos la tabla de la suma para los dígitos y repetimos las mismas actividades que en el ejercicio anterior.

• Analizo si se cumplen estas propiedades al tomar los cuatro números, de 2 filas (o de dos columnas) no contiguas.

• Analizo otras situaciones con cada una de las tablas.

ACTIVIDAD 6. En grupo

Junto con otro compañero:

1. Realizamos las siguientes operaciones:

a) 12 + (-5) + (16-2) d) (a + b) - (a + 5) b) (12 - 8) + (13 - 5) e) (x + 2y) - (3y - 2x)

MA

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AS 8º

2. Para cada uno de los siguientes monomios, buscamos otro que, al sumarlos con el anterior, nos de como resultado cero. Tratamos de darle un nombre al monomio encontrado. a) -3a2 _d) -3 2m b) 4x3 _{e) 4m}2 _n c) 1 2y 2

3. Realizamos las siguientes restas.

a) De 21x2_{y restamos 8x}2_{y. c) De 12mn restamos -15mn.}

b) De -3a2_b2 _{restamos - 2a}2_b2_.

4. Como en el punto 2, para cada uno de los siguientes polinomios, buscamos otro polinomio que al sumarlo con el anterior nos dé cero.

a) x - y c) -4a2 _{+ 5b + 3}

b) 2x - 3y + 1 d) 2m - 3n + 5mn

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CONCLUYAMOS

Dado un monomio, si existe otro monomio que al sumarlo con el primero da cero, este último se llama el INVERSO ADITIVO del primero.

Para restar dos monomios, se suma el minuendo con el inverso aditivo del sustraendo.

EJEMPLO:

El inverso aditivo de - 4 x2 _{es 4 x}2 _{ya que - 4 x}2 _{+ 4 x}2 _{= 0.}

Todo polinomio también tiene su inverso aditivo; para hallar éste sólo se tienen que cambiar todos los signos al polinomio.

EJEMPLO:

El inverso aditivo del polinomio 2 x2_{- 3y es - 2 x}2_{+ 3y ya que el opuesto de}

2 x2 _{es - 2 x}2 _{y el de -3y es 3y.}

Además (2 x2 _{- 3y) + (- 2 x}2 _{+ 3y) = 0.}

Para restar un polinomio de otro, lo único que tiene que hacerse es sumar al minuendo, el opuesto aditivo del sustraendo.

MA

TEMÁTIC

AS 8º

PRACTIQUEMOS Y EVALUEMOS LO ESTUDIADO

ACTIVIDAD 7. En grupo

1. Encontremos el inverso aditivo de:

a) -8a2 _b) 7

2m c) -

1 2 z

3

2. Hallamos el inverso aditivo de los siguientes polinomios: a) − 2 3 xy - 4xy 2 _{+ 5 c) 4a}2 _{- 3b}2 _{+ (2 - b)} b) m - 2n2_{m + 5m}2 _{d) -3t}2 _{+ 6t - 5}

3. Efectuamos las siguientes sustracciones:

EJEMPLO:

Para restar -2x2 _{+ 3xy + 4y}3 _{- 8 de 4x}2 _{- 3xy + 8y}3 _{- 3}

Buscamos el opuesto aditivo de:

-2x2 _{+ 3xy + 4y}2 _{- 8 el cual es 2x}2 _{- 3xy - 4y}3 _{+ 8 y éste lo sumamos con el}

minuendo 4x2 _{- 3xy + 8y}3 _{- 3, es decir:}

4x2 _{- 3xy + 8y}3 _{- 3}

2x2 _{- 3xy - 4y}3 _{+ 8}

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Luego (4x2 _{- 3xy + 8y}3 _{- 3) - (- 2x}2 _{+ 3xy + 4y}3 _{- 8) = 6x}2 _{- 6xy + 4y}3 _{+ 5.}

a) Restamos 4m2 _{- 3m + 2 de 8m}2 _{+ 2m - 5.} b) Restamos 7 2a 2 ₊ 2 3ab - 5 de 8a 2 _{- 3ab + 10.} c) Restamos -35t2 _{+ 15ts +20s}2 _{de t}2 _{+ 3st + s}2_.

4. Hallamos el polinomio que al restarlo de:

a) x2 _{+ y}2 _{nos de como diferencia 3x}2 _{+ 6y}2 _{- 4xy}

b) a3 _{+ b}3 _{- 5ab nos dé como diferencia -a}3 _{- 2b}3 _{+ 8 - 5ab}

5. Calculamos el área de la zona no sombreada que aparece en las siguientes figuras:

MA

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AS 8º

ACTIVIDAD 9. En grupo

Junto con dos compañeros realizamos la siguiente actividad:

Consideremos el patio de la escuela y dos de los salones principales, cada uno con las dimensiones que se presentan en las figuras.

PATIO 2a-1 SALÓN 2a-1 SALÓN 2a-2

3a

3

2 a 4a-2

a) Hallamos el área en función de a tanto del patio como de los dos salones, todos por separados, suponiendo que a es un número entero.

b) Sea a = 2 m. Hallamos cada una de las áreas con este nuevo valor.

Tratamos de hacer una comparación, entre los resultados obtenidos en la parte a) y los obtenidos en la parte b).

ACTIVIDAD 9. En grupo

Teniendo en cuenta las propiedades de los números reales y algunas de la potenciación, junto con 2 de mis compañeros efectuamos lo que a continuación se indica:

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1. Si tenemos el monomio 4a2_b3 _{para multiplicarlo por -2ab}2_{c, indicamos la operación}

común y corriente así: (4a2_b3_{) x (-2ab}2_{c) ahora realizamos los siguientes pasos:}

a) Aplicamos la propiedad conmutativa, las veces que sean necesarias, hasta dejar contiguos tanto los coeficientes numéricos, como los símbolos literales. b) Asociamos todos los productos indicados de los coeficientes con cada una de

las expresiones literales.

c) Multiplicamos los coeficientes y aplicamos el producto de potencias de igual base con lo que obtenemos - 8a3 _b5_c.

2. Repetimos el proceso anterior con el producto de -3x2_{yz por -4x}3_y2_z3_.

3. Repetimos el proceso multiplicando entre si las expresiones siguientes:

-2x2_{yz; 4xy; -8xy}2_z2

4. Aplicamos las propiedades posibles para desarrollar:

(-2m2_n3₎3

5. Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y realizamos las demás operaciones; para efectuar el producto de:

a) 8a (7a + 3)

MA

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AS 8º

CONCLUYAMOS

Para multiplicar un monomio por otro, primero se aplica la propiedad conmutativa, las veces que sea necesario, hasta dejar contiguos tanto los coeficientes numéricos como los símbolos literales. Luego se asocian todos los productos indicados de los coeficientes y de los símbolos literales, para por último efectuar las multiplicaciones y aplicar el producto de potencias de igual base. Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma; multiplicando el factor (monomio) por cada uno de los sumandos del polinomio.

Por último se suman los productos parciales en cuanto sea posible.

PRACTIQUEMOS LO ESTUDIADO

ACTIVIDAD 10. Individual

1. Efectúo las siguientes operaciones:

a) 24 _{f) 4n}3_·(n2 _{+ m + a)}

b) (-3a2_)(-5a4_{b) g) a}2 _{· a}-5

c) (2x2_)·x3 _{h) (a}5_b)4

d) -3a2 _{x (2x}3_{)·(x-4) i) (a}n_bn₎₅2

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Tomo como base el siguiente ejercicio para luego desarrollar los demás.

(2a - b2_{) ( (a}2 _{- 3b}3 _{+ 8)}

a) (2a) (a2_{) + (2a) (-3b}3_{)+ (2a)8 + (-b}2_{) (a}2_{) + (-b}2_{) (-3b}3_{) + (-b}2_{) (8)}

b) 2a3 _{+ (2) (-3) (ab}3_{) + (2) (8) a + (-1) (b}2_a2_{) + (-1) (-3)b}2_b3 _{+ (-1) (8)b}2

c) 2a3 _-6ab3 _{+ 16a - b}2_a2 _{+ 3b}5 _-8b2

2. Efectúo el producto indicado:

a) ( a + b) (a - b) c) (x + 2y) (x2 _{+ 3y + 5)}

b) (a - b) (a2 _{- b}2_{) d) (4x - 3y}2_{) (-2x}2 _{- 5y}2 _{+ 6)}

3. Efectuar 2ab por 6a2 _{- 5a}2_{b + ab}2 _{- 5b}2_.

Solución:

6a2 _{- 5a}2_{b + ab}2 _{- 5b}2

2ab

12a3_{b - 10a}3 _b2 _{+ 2a}2 _b3 _{- 10ab}3

MA

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AS 8º

b) Efectúo la multiplicación de:

ab - 3a3_b2 _{+ 6}2_b3 _{- a}2 _{por (2a - b)}

5. Si A₁ = 2ab A₂ = -3 a2_b

A₃ = (-2a + 3b)

a) Efectúo los productos A₁ · A₂ ; A₃ · A₁ ; A₂ · (A₁ + A₃).

b) Luego de haber realizado las operaciones anteriores le doy a a el valor de 2 y a b el valor de -1, para obtener resultados numéricos.

Por ejemplo: A₂ · A₃ (-3a2_{b) · (-2a + 3b)}

(-3a2_{b) (-2a) + (-3a}2_{b) (3b)}

6a3_{b - 9a}2_b2

Ahora en este resultado reemplazamos a = 2 y b = -1: 6a3_{b - 9a}2_b2 _{= 6(2)}3 _{(-1) - 9(2)}2 _(-1)2

= 6(8)(-1) - 9 (4)(1) = - 48 - 36

= -84

c) Encuentro el valor numérico de A₁ · A₂ ; A₃ · A₁ ; A₂ · (A₁ + A₃ ) con a = - 1 y b = 3.

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ACTIVIDAD 11. Individual

Con base en los conocimientos adquiridos realizo la siguiente actividad. 1. Si tengo la igualdad:

y +y

3=8

a) Suponiendo que el valor de y es 3, sustituyo este valor en y +y

3

¿Es este valor igual a 8?

b) Trato de alguna manera de encontrar el valor de y para que se cumpla la igualdad. c) ¿Para qué valor de y se cumple la igualdad?

2. a) Trato de hallar el número k que satisfaga la igualdad: 4k + 3 = 2k + 15

b) Hago lo mismo con la igualdad:

3n - 3 = n - 15

MA

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AS 8º

4. Si al área de la finca de nuestro vecino le quitamos 15.000 metros cuadrados, queda igual a 4 veces el área de nuestra finca. ¿Cuánto mide cada una de las fincas? ¿Hay más de una solución?

5. Si tengo el siguiente enunciado verbal: “Hallar un número tal que su triplo aumentado en 6 dé 21”, lo expreso simbólicamente y encuentro la solución.

ACTIVIDAD 12. En grupo

Prestamos atención a la siguiente situación:

En una finca cercana a la escuela de la vereda, tienen almacenadas cierto número de cajas de tomate para recolectar la cosecha, en la forma que se ve en la siguiente gráfica.

Los señores de la finca saben que el volumen apilado es exactamente de 8x3 _+6x2

metros cúbicos (x un entero mayor que 1) y que la base es la misma área rayada de la parte de arriba; ellos necesitaban hallar esa área, pero no podían medirla, la única medida disponible era la de la altura que es h. Buscaron ayuda en la escuela y dos de los alumnos más avanzados de 8º grado, les resolvieron fácilmente el problema.

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Para ello hicieron lo siguiente: como no podían medir la base directamente y vieron que la altura era la misma en cualquier parte, la midieron y les dio h = 2x.

Por sus conocimientos geométricos sabían que el volumen es igual al área de la base por la altura, es decir V= A h, entonces necesitaban hallar el área de la región sombreada o sea la misma A; despejando A de la fórmula anterior se obtiene A = v

h. Como ya sabían los valores de V y h los reemplazaron para obtener

A 8x + 6x 2x

3 2

=

Vieron que 2x es divisor común de 8x3 _{y 6x}2_{, entonces hicieron lo siguiente:}

A 8x 2x 6x 2x 3 2 = +

Aplicaron las propiedades de multiplicación de potencias de igual base y simplificaron obteniendo A = 4x2 _{+ 3x.}

Resolvieron así el problema y obtuvieron una bonificación de $10.000 dada por los señores de la finca.

En la situación anterior hay varias preguntas que podemos responder:

1. ¿Será posible hallar el volumen V de la figura, si conocemos el área de la base A y la altura h?

MA

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AS 8º

2. ¿Si conocemos el volumen y el área de la base, podemos hallar la altura h?

3. Teniendo en cuenta el punto 2, realizamos las operaciones necesarias, para hallar la altura y así probar que lo que hicieron los 2 alumnos estuvo correcto.

4. En el problema inicial reemplaza x por 2 metros y halla el valor del área. 5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a) 8m n 4mn 3 2 b) h - 3h 3h 3 2

Tratamos junto con los compañeros de efectuar la parte b) de dos maneras.

RESUMAMOS LO ESTUDIADO

Para dividir dos monomios entre si procedemos de la siguiente forma:

1. Dividamos el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador, teniendo en cuenta los signos.

2. Se dividen las partes literales que sean semejantes, aplicando las propiedades de cociente de potencias de igual base.

3. El resultado de división es por lo general otro monomio.

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PRACTIQUEMOS

Efectuemos la división de 12x2_y3 _{entre -4xy}2_.

Para este fin procedemos así:

1. Dividimos los coeficientes con los respectivos signos así: 12 ÷ (-4) = - 12

4 =-3

2. Dividimos ahora las partes literales. x2_y3 ÷ _xy2 ₌ x y xy 2 3 2 = x 2-1_y3-2_=xy 3. La solución es -3xy.

Podemos efectuar la división entre un polinomio y un monomio, para esto procedemos como sigue:

1. Se ordena el polinomio de acuerdo a las potencias de una letra en forma descendente.

2. Se divide luego, cada uno de los términos del polinomio entre el monomio dado.

MA

TEMÁTIC

AS 8º

PRACTIQUEMOS

Dividir 8a5_b4 _{- 4a}4_b3 _{+ 6a}7_b5 _{entre 2a}2

SOLUCIÓN. Primero ordenamos el polinomio, de acuerdo a las potencias de a

en forma descendente, así:

6a7_b5 _{+ 8a}5_b4 _{- 4a}4_b3

Dividimos, ahora cada termino de este polinomio (ya ordenado) entre el monomio 2a2_. 6a b 2a 8a b 2a 4a b 2a 7 5 2 5 4 2 4 3 2 + −

Simplificando obtenemos 3a5_b5 _{+ 4a}3_b4 _{- 2a}2_b3_{, es decir}

8a b 4a b 6a b 2a 5 4 4 3 7 5 2 − + = 3a5_b5 _{+ 4a}3_b4 _{- 2a}2_b3

ACTIVIDAD 13. En grupo

Tengamos en cuenta la siguiente situación que se presenta muy a menudo.

La familia Rodríguez posee un terreno rectangular que tiene un área de 3x2 _{+ 8x - 3}

metros cuadrados y un ancho de x + 3 metros. Ellos necesitan saber exactamente el largo del terreno (aquí x representa un entero mayor o igual que 3).

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Junto con 3 de mis compañeros y con ayuda del profesor, tratamos de resolver el problema a la familia Rodríguez. Hacemos uso de lo aprendido en las dos actividades anteriores.

CONCLUYAMOS

Para resolver el problema anterior se necesitó realizar una división entre dos polinomios.

Así, para dividir un polinomio entre otro, tengamos en cuenta los siguientes pasos:

1. Se ordena el polinomio dividendo y el polinomio divisor, en forma descendente respecto a la misma letra.

2. Si en el polinomio dividendo hace falta términos, se completan estos sumandos (o lugares) con ceros o bien se dejan en blanco.

3. Se divide el primer término del polinomio dividendo, entre el primer término del polinomio divisor y se escribe este resultado en el cociente.

4. Este resultado, escrito en el cociente, se multiplica por cada uno de los términos del polinomio divisor y el resultado se va restando del polinomio dividendo.

5. Se bajan los términos siguientes en el polinomio dividendo. 6. Se repite de nuevo el proceso, las veces que sea necesario.

MA

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AS 8º

PRACTIQUEMOS LO ESTUDIADO

ACTIVIDAD 14. En grupo

De las operaciones con expresiones algebraicas, posiblemente la división sea la que requiere de más atención, por eso en esta actividad vamos a encontrar ejercicios resueltos sobre divisiones, a manera de ejemplos.

1. Si tenemos un terreno rectangular cuya área es de 12a4 _{metros cuadrados, y cuyo}

largo es 4a4 _{metros. Nos piden hallar el ancho de dicho terreno (aquí “a” representa}

un entero mayor o igual que 2).

SOLUCIÓN:

12a4 _metros2 _{ancho = ?}

4a2 _metros

Como ya sabemos Área = largo x ancho, entonces ancho = Area

largo. Así para hallar el

ancho tenemos que efectuar la división del área entre el largo, o sea,

12a metros 4a metros =

4 2

2 3a

POSTPRIMARIA RURAL

2. El mismo ejercicio anterior, con otros datos: Área = 8a4 _metros2 _{y largo = 5a}2

metros. SOLUCIÓN:

8a4 _metros2÷ _5a2 _{metros =} 8a metros 5a metros = 8a 5 metros 4 2 2 2

3. Suponiendo que el producto de dos expresiones algebraicas es 9x2 _{- 10x +}

6x3 _{- 15 , y conociendo que uno de los dos factores es 2x + 3, donde x es un entero}

mayor que 1, necesitamos hallar el otro factor. SOLUCIÓN:

Para hallar el otro factor, efectuamos la división del producto por el factor conocido, o sea:

9x2 _{- 10x + 6x}3 _{- 15} ÷ _{2x + 3}

Para esto realizamos los siguientes pasos:

a) Ordenamos el dividendo en potencias decreciente de x: 6x3 _{+ 9x}2 _{- 10x - 15}

y ejecutamos la división así:

b) 6x3 _{+ 9x}2 _{- 10x - 15 2x + 3}

-6x3 _{- 9x}2 _3x2

MA

TEMÁTIC

AS 8º

c) Continuando con la división, 6x3 _{+ 9x}2 _{- 10x - 15 2x + 3}

-6x3 _{- 9x}2 _3x2 _{- 5}

0 0 -10x - 15 10x + 15 0 0

Nota el -5 es el resultado de dividir -10 x por 2x.

Ahora, 10x + 15 es el resultado de multiplicar 2x + 3 por -5 para restar este resultado del nuevo dividendo -10x - 15.

d) Por último el resultado de la división es el cociente 3x2 _{- 5.}

El residuo en este caso es cero.

4. Dividamos 3a3 _{- a + 4 - 2a}2 _{entre 2a}2 _{+ 2 - 3a.}

SOLUCIÓN:

Colocamos los polinomios 3a3 _{- a + 4 - 2a}2 _{y 2a}2 _{+ 2 - 3a; en potencias decrecientes}

de a, o sea: 3a3 _{- 2a}2 _{- a + 4 y 2a}2 _{- 3a + 2} b) 3a3 _{- 2a}2 _{- a + 4 2a}2 _{- 3a + 2} -3a3₊ 9 2a 2_{- 3a} 3 2 a 0 + 5 2a 2_{- 4a + 4}

POSTPRIMARIA RURAL

-3a3 ₊ 9

2a

2 _{- 3a es el resultado de multiplicar 2a}2 _{- 3a + 2 por} 3

2 a y cambiarle el

signo para restar. 5

2a

2 _{- 4a + 4 es el nuevo dividendo para continuar repitiendo pasos.}

3a3 _{- 2a}2 _{- a + 4 2a}2 _{- 3a + 2} -3a3 ₊9 2 a 2 _{- 3a} 3 2 a+ 5 4 0 + 5 2a 2 _{- 4a + 4} - 5 2a 2 ₊15 4 a - 10 4 0 −1 4a + 6 4 Nota: 5 4 es el resultado de dividir 5 2a 2 _{por 2a}2_. 5a 2 2a 2 2 = 5 4 −5 + − 2a 15 4 a 10 4

2 _{es el resultado de multiplicar 2a}2 _{-3a + 2 por} 5

4 y cambiar de signos para restar.

−1 +

4a 6

4- es el resultado de la resta indicada.

MA

TEMÁTIC

AS 8º

4. Simplifico cada uno de las siguientes expresiones: La solución general de la división se suele escribir como:

3 2a 5 4 1 4a 6 4 2a2 3a 2 + + − + − + El sumando − + − + 1 4a 6 4

2a2 3a 2 es el residuo dividido por el divisor.

EVALUEMOS LO APRENDIDO

ACTIVIDAD 15. En grupos de 3 estudiantes

1. Buscamos una expresión, que multiplicada en cada caso por el monomio que aparece a continuación, nos de como resultado 15x2_y.

a) 5x. d) 1 b) 15 4 x e) 1 xy c) 1 2

POSTPRIMARIA RURAL

2. Realizamos las siguientes divisiones: a) 1 2a 2 _entre 2 3 d) 3a 2_b2 _{+ 5a}3_b3 _{entre -2a.} b) 2 3 m 5_n3 _entre 1 6n 3 _{e) 18x}4_y2 _-6x2_y4 _{entre -3x}2_y2 c) -4x3_y5 _{entre 8xy}3

3. El terreno de una casa es de forma rectangular y tiene 18x2 _{+ 9x - 20 metros}

cuadrados de área. Si uno de los lados mide 6x - 5 metros, hallemos el otro lado. En este problema x representa un entero mayor o igual que 1.

4. Realizamos el problema anterior dándole a x el valor de 3.

5. El producto del dinero que poseen 2 amigos es 2x3 _{+ 10x -3x}2 _{- 15 pesos, para}

x ≥ 3. Si el dinero de uno de ellos es x2 _{+ 5, ¿Cuál es el dinero del otro amigo?}

Aquí x representa un entero mayor o igual que 3. 6. Realizamos el problema anterior dando a x el valor 50. 7. Efectuamos las siguientes divisiones:

a) u2 _{- 5u + 7 entre 3u - 4 d) 3m}2 _{+ 4m}3 _{+ 8m entre 3m - 5m}2

b) a2 _{- 9 entre a - 3 e) 2x}2 _{+ 2x}2 _{- 2x + 30 entre x}2 _{- 2x + 5}

MA TEMÁTIC AS 8º ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

CAPÍTULO 2

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

FACTORIZACIÓN PRODUCTOS NOTABLES

ACTIVIDAD 1. Individual

1. Descompongo el número 100 en todos sus factores primos.

2. Busco por lo menos 4 pares de monomios tales que, al multiplicarlos entre sí den como resultado 6a3_b5_.

3. Escribo la expresión algebraica t5 _{+ 3t}2 _{como el producto de dos factores.}

ACTIVIDAD 2. En grupo

Suponemos que representa la misma expresión algebraica, o sea, que tiene el mismo valor donde la encontremos.

Si tenemos un polinomio cualquiera como:

4 -3m + 6a

POSTPRIMARIA RURAL

1. Identificamos lo que encontremos de común en cada uno de los sumandos del polinomio anterior.

2. Lo sacamos y lo dejamos como un factor del polinomio que quede.

3. Efectuamos el productos de los dos factores anteriores, para probar si lo que hicimos

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