4.4 Calibration Setup Solutions
4.4.3 Axial Setup
Dado que estamos trabajando con un espacio muestral dado Ω y con ciertas particiones P, establezcamos los siguientes hechos.
• La partici´on P genera una sigma-´algebra: σ{P}.
• A partir deσ{P}, podemos recostruir la partici´on originalP, ya que los componentes deP son precisamente los ´atomos en σ{P}. En otras palabras, los conjuntos enσ{P} no tienen subconjuntos propios (aparte del conjunto vacio) en σ{P}.
• Si F y S son dos particiones, entonces S es mas fina que P, si y solo si, P ⊆ S. • Para cualquier mapeo f : Ω→ IR, se mantiene que f es P-medible, si y solo si, f es
σ{P}-medible.
Entonces, y dado lo anterior, siempre que estemos trabajando con particiones “finitas” es equivalente trabajar con las particiones mismas o con las sigmas-´algebras correspondi- entes.3 Por lo tanto, la intuici´on que est´a detras del concepto de informaci´on se puede formalizar en t´erminos de las sigmas-´algebras que se pueden construir de ciertas parti- ciones. En particular, estableceremos que si entre dos sigma-´algebras se cumple que
G ⊆ F,
entonces, “ G contiene menos informaci´on que F”.
3 Desde el punto de vista t´ecnico, tenemos que reconocer que el formalismo construido alrededor de
la sigma-´algebra es superior al formalismo de las particiones, entre otras cosas porque la sigma-´algebra es cerrada bajo el conjunto de operaciones mas comunes. Adem´as, el desarrollo de la teor´ıa de la medida establece como objeto b´asico al concepto de sigma-´algebra. As´ı que, a pesar de que el concepto de informaci´on, intuitivamente, es mas natural de formular dentro del esquema de las particiones, tenemos que reconocer que el formalismo de la sigma-´algebra es mucho mas robusto en un contexto agregado. Lo anterior, ademas del hecho que la equivalencia entre particiones y sigmas-´algebras solo se mantiene cuando la partici´on es finita. En un caso mas general, simplemente, no existe un formalismo alternativo entre las particiones y las sigmas-´algebras.
Consideremos, una vez mas, un espacio muestral Ω dado y un mapeo X : Ω → IR y recordemos la siguinete definici´on.
Definici´on D.7. La sigma-´algebra σ{X} se define como la sigma-´algebra mas peque˜na F, tal que X es F-medible.
Podemos referirnos aσ{X}como la sigma-´algebra generada porX. T´ecnicamente hablan- do σ{X} es la intersecci´on de todas las sigma-´algebras F, tal que X es F-medible. Una representaci´on mas explicita de este hecho es la siguiente.
σ{X}={X−1(B);B∈ B(R)}.
Definici´on D.8. Sea K una familia arbitraria de mapeos de Ω a IR. Entonces σ{K} se define como la sigma-´algebra mas peque˜na G, tal que X es G-medible para toda X ∈ K. Con esto, obtenemos un resultado general para las sigma-´algebras paralelo a la Proposici´on D.4 correspondiente a las particiones. La prueba no es f´acil de llevar acabo, por tanto se omite.
Proposici´on D.5. Consideremos como dados los siguiente mapeosX1, . . . , XN, donde Xn :
Ω→IR, y supongamos que un mapeo en particular Z : Ω→IR es σ{X1, . . . XN}-medible.
Entonces existe una funci´on Borel f : IRN →IR, tal que para toda ω∈Ω tenemos que X(ω) =f(X1(ω), . . . , XN(ω)).
Lo que est´a proposici´on nos dice es que si una variable aleatoriaX es medible con respecto a cierta sigma-´algebra, entonces el valor de la variable es completamente determinado por la informcai´on contenida en la sigma-´algebra. Para el caso de los procesos aleatorios, lo primero que debemos de notar es que cada proceso aleatorio genera una familia entera de sigma-´algebras.
Definici´on D.9. Sea {Xt;t ≥ 0} un proceso aleatorio, definido sobre el espacio de proba- bilidad (Ω,F, P). Entonces definimos la sigma-´algebra generada por X sobre el intervalo [0, t], por
FtX =σ{Xs;s≤t}. La interpretaci´on intuitiva es que FX
t es la informaci´on generada por la observaci´on de X sobre el intervalo de tiempo [0, t]. En general no existe una descripci´on expl´ıcita satisfac- toria de lo que esFtX, pero no es dificil mostrar queFtX es generada por todos los eventos de la forma {Xs ∈B}, para toda s ≤t y todo conjunto de Borel B.
Si supondemos que Z es una variable aleatoria y mantenemos en la mente todo lo planteado arriba, podemos decir que si “Z es FtX- medible”, se puede interpretar como “Z es una funci´on de la trayectoria completa X sobre el intervalo de tiempo [0, t]. Donde tambi´en es claro que s ≤t⇒ FX
s ⊆ FtX,asi que cada proceso aleatorio X (establecido de esta forma) generar´a una familia creciente de sigma-´algebras. Generalizando esta ´ultima idea, obtenemos lo que se conoce como filtraci´on.
Definici´on D.10. Una filtraci´on F = {Ft}t≥0 sobre un espacio de probabilidad (Ω,F, P) es una familia indexada de sigmas ´algebras sobre Ω tal que
• Ft ⊆ F,∀t≥0. • s≤t ⇒ FsX ⊆ FtX.
Dada una filtraci´on F definida como arriba, la sigma-´algebra F∞ se define como
F∞ = _
t≥0
Ft.
Una filtraci´on, en este sentido, formaliza la ´ıdea de un flujo de informaci´on no decreciente sobre el tiempo. Ya que hemos llegado a este punto, definiremos uno de los conceptos mas relevantes dentro de la teor´ıa de procesos estoc´asticos.
Definici´on D.11. Consideremos una filtraci´on dada F = {Ft}t≥0 sobre alg´un espacio de
probabilidad y un proceso aleatorio X sobre el mismo espacio. Entonces decimos que el proceso X es adaptado a la filtraci´on F si
Xt ∈ Ft,∀t≥0.
La interpretaci´on intuitiva de este hecho es simple. Para cada tiempo t fijo, el valor del proceso Xt es completamente determinado por la informaci´onFt, a la cual tenemos acceso hasta el tiempo t. Alternativamente, tambi´en podemos decir que el valor de un proceso adaptado no lo podemos ver en el futuro. Dado que a FtX tambi´en se le conoce como la filtraci´on interna generada por el proceso X, entonces es directo pensar que el proceso X esta siempre adaptado a esta filtraci´on interna.
Concluyamos el presente ap´endice exponiendo algunos ejemplos que incorporan los conceptos de conjuntos medibles y filtraci´on. Por tanto, sea X cualquier proceso estoc´as- tico, entonces FtX denota la informaci´on generada por X en el intervalo de tiempo [0, t] o alternativamente “lo que ha ocurrido con X durante el intervalo [0, t]”.
• Si, basados en las observaciones de las trayectorias {X(s); 0 ≤ s ≤ t}, es posible decidir que un evento dado A ha ocurrido o no, entonces podemos escribirlo como A∈ FtX, o diriamos que “Aes FtX-medible”.
• Si el valor de una variable estoc´asticaZ puede ser completamente determinada por las observaciones dadas de la trayectoria {X(s); 0 ≤ s ≤ t}, entonces tambi´en podemos escribir Z ∈ FtX.
• Y finalmente, si Y es un proceso estoc´astico tal que tenemos Y(t) ∈ FtX, para toda t≥0, entonces decimos que Y es adaptada a la filtraci´on {FtX}t≥0.
Una vez que hemos repasado algunos de los conceptos mas abstracto de la teor´ıa de la medida a lo largo del ap´endice; podemos notar ahora que estas afirmaciones, si bien carecen de formalidad, son bastante intuitivas. Algunos ejemplos ayudar´an a aclarar a´un mas el uso de estas definiciones.
1. Si nosotros definimos el eventoAcomoA={X(s)≤3.14,para todas≤9}, entonces tenemos lo siguiente: A∈ F9X.
2. Para la variable estoc´astica Z, definida por
Z = Z 5 0 X(s)ds, tenemos Z ∈ FX 5 .
3. Si W es un proceso de Wiener y si el proceso X se define por X(t) = sup
s≤t
W(s), entonces X es adaptado a la filtraci´on W.
4. Si W es un proceso de Wiener, pero X est´a definida como X(t) = sup
s≤t+1
W(s), X no es adaptado a la filtraci´onW.
5. Sea Z cualquier proceso aleatorio con trayectorias continuas y consideremos la fil- traci´on F como una filtraci´on interna Ft =FtZ. Los procesos son adaptados
Xt = sup s≤t |Zs |, Xt =Zt/2, Xt = Z t 0 Zsds, mientras que los siguientes no lo son
Xt =Zt+1,
Xt =
Z t+2 0
Una aplicaci´on t´ıpica en finanzas, supone que la filtraci´onF es generada por los precios de activos observados. De igual forma, un requerimiento natural para una estrategia de portafolio es que la decisi´on que se toma en t, s´olo es posible considerando toda la informaci´on p´ublica a la cual tenemos acceso en el tiempot (por ejemplo, el conjunto de precios observados en el tiempo t). Entonces, la formalizaci´on de esta idea exige que la estrategia de portafolio sea adaptada.