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Principio de dualidad

El principio de dualidad establece que cada expresión algebraica deducida de los postulados del álgebra booleana permanecen valida si los operadores y los elementos identidad se intercambian.

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Teoremas básicos

En la Tabla 3.1 se enlistan seis teoremas del álgebra booleana y cuatro de sus postulados Postulado 2 x +0 =x x • 1 =x Postulado 5 x + x’ =1 x • x’ =0 Teorema 1 x +x = x x • x = 1 Teorema 2 x +1 =1 x • 0 =0 Teorema 3, involución (x’)’ =x

Postulado 3, conmutativo x +y = y+x x • y = y• x Teorema 4, asociativo x +(y+z) = (x+y) + z x(yz) = (xy)z Postulado 4, distributivo x (y+z) = xy + xz x +yz = (x+y) (x+z) Teorema 5, de De Morgan (x + y)’ =x’y’ (x y)’ =x’+y’

Teorema 6, absorción x +xy = x x (x+y) = x

Tabla 3.1 Teoremas Básicos del álgebra de Boole

Los teoremas del álgebra booleana se pueden verificar mediante tablas de verdad. En estas tablas, ambos lados de la relación se verifican para que den resultados idénticos en todas las combinaciones posibles de las variables indicadas, por ejemplo en la tabla 3.2 se muestra el teorema de la absorción.

x y xy x +xy

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1

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Los operadores que tiene una mayor jerarquía al evaluar las expresiones booleanas , están en el siguiente orden:

1. Paréntesis 2. NOT

3. AND 4. OR

En otras palabras la expresión entre paréntesis se debe evaluar antes que las otras operaciones, la siguiente operación que toma precedencia es el complemento, entonces sigue el AND y por ultimo OR, por ejemplo considérese la tabla de verdad para el teorema de De Morgan. Al lado izquierdo de la expresión esta (x+y)’. Por consiguiente la expresión entre paréntesis se evalúa primero y entonces se toma el complemento del resultado. El lado derecho de la expresión es x’y’ así que el complemento de x y el complemento de y se evalúan primero y el resultado se opera por AND. Obsérvese que en la aritmética ordinaria es valida la misma precedencia (excepto para el complemento) cuando la multiplicación y la sumas se reemplazan por AND y OR respectivamente.

Funciones Booleanas

Una variable binaria puede tomar el valor de 0 o 1 una función booleana es una expresión formada por variables binarias, los dos operadores binarios OR y AND, operador unitario NOT, paréntesis y signo de igual. Para un valor dado de las variables el valor puede ser 0 o bien 1 por ejemplo la función booleana

F1 = xyz’

Lla función F1 =1 si x=1, y=1 y z’=0 de otra manera F1 = 0

De forma análoga la función F2=x+y+z’ la función F2=0 si x=0, y=0 y z’=1

de otra manera F2=1

Para que cualquier función booleana puede representarse en una tabla de verdad, el numero de renglones en la tabla es 2n _{, donde n es el numero de}

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obtienen fácilmente mediante los números binarios, contando desde 0 a 2n-1. para cada renglón de la tabla hay un valor para la función igual ya sea a 1 o 0.

Equivalencia de las expresiones Booleanas a Circuitos Lógicos

Una función booleana puede transformarse de una expresión algebraica en un diagrama lógico compuesto de compuertas AND, OR y NOT. A continuación se muestran en la tabla 3.3, en donde se muestran los equivalentes de la función de boole a circuitos lógicos. El circuito inversor corresponde a NOT, la compuerta AND corresponde al producto punto y el OR corresponde al operador +.

Leyes de Morgan

El complemento de una función f es f’ y se obtiene por el intercambio de números 0 a números 1 y de números 1 a 0 en el valor de f. El complemento de una función puede derivarse de forma algebraica mediante el teorema de De Morgan. Este par de teoremas se muestra en la tabla 3.2 para dos variables, estos teoremas de De Morgan se pueden ocupar en tres o mas variables. los postulados y teoremas de De Morgan se muestran en la tabla siguiente.

La forma de tres variables del primer teorema de De Morgan se muestran a continuación

Compuertas lógicas digitales

Ya que las funciones booleanas se expresan en términos and, or y not, es fácil implantar una función booleana con estos tipos de compuertas los principales puntos que se deben tomar en cuenta en la construcción de otros tipos de compuertas lógicas son:

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1. la factibilidad y economía de producir la compuerta con componentes físicos

2. la posibilidad de extender la compuerta a mas de dos entradas

3. las propiedades básicas del operador binario, como conmutabilidad y asociabilidad.

4. la habilidad de las compuertas para implantar compuertas booleanas solas o junto con otras compuertas.

Cada compuerta básica tiene una o dos variables de entrada designadas por “x” y “y” una variable binaria de salida por f. Los circuitos and, or e inversor se muestran en la figura siguiente. El pequeño circulo en la salida del símbolo gráfico de un inversor designa el complemento lógico, el símbolo de triangulo por si mismo denota un circuito buffer. Un buffer produce la función de transferencia pero no produce alguna operación lógica particular, ya que el valor binario de la salida es igual al valor binario de la entrada.

La función NAND es el complemento de la función AND, como se indica por un símbolo gráfico que consta de un símbolo gráfico AND seguido de un círculo pequeño. De forma similar NOR es el complemento de la función OR y usa un símbolo gráfico OR seguido de un círculo pequeño