BIBLIOGRAPHY

4.2.1 Muestreo directo y búsqueda de nuevas características del proceso

aleatorio original

El siguiente PMR, pretende ser aplicado a la reconstrucción de procesos aleatorios que a diferencia del caso anterior, no cuentan con un nivel de amplitud máxima y siempre constante, o en otras palabras la duración de sus realizaciones no es constante.

Quizás, después del análisis anterior, la primera idea sería establecer la función de amplitud que define las realizaciones del proceso aleatorio y agregar un factor de desplazamiento temporal. Sin embargo, a partir de la ecuación (4.1) y asumiendo un proceso con forma cuadrática, se puede ver que aparece un parámetro A, el cual determina la máxima amplitud de las realizaciones. Pero para el caso de interés la amplitud no es constante, es decir como ahora la duración de las realizaciones del proceso es aleatoria, por consiguiente la amplitud es aleatoria también aún cuando está en función de la duración de cada realización del proceso (figura 4-4).

Entonces El PMR descrito al inicio de este capítulo resulta inconveniente; así que entonces es necesario idear un nuevo algoritmo que se pueda usar en la reconstrucción de este tipo de proceso. Tal vez después de haber revisado el PMR para un PBM, la siguiente idea sea aplicar la integración en busca de nuevas propiedades que faciliten la reconstrucción, Sin embargo, continuando con el ejemplo de una forma de amplitud cuadrática, es claro que la integración no proporciona características adicionales, pues al contrario la función que inicialmente es cuadrática se convierte en una función cúbica después de aplicar la integración. Esto resulta aun más complicado cuando la función de amplitud es de tipo exponencial, pues en este caso la integración da como resultado otra función exponencial; así que este planteamiento queda descartado.

Figura 4-4. Proceso con realizaciones de duración aleatoria

Pero sucedió que al observar el proceso en la figura 4-4, se pueden identificar dos estados en el proceso. El primero de ellos se puede interpretar como la presencia de alguna realización del proceso, o en otras palabras un nivel de amplitud mayor que cero. Mientras que el segundo estado se puede asociar con una amplitud cero. Entonces bajo este planteamiento sería posible transformar el proceso bajo análisis en un proceso que solo tiene dos estados o mejor dicho en un proceso binario. En forma más concreta se puede trasformar el proceso original en un PBM siempre y cuando se aplique una transformación adecuada (ver figura 4-5)

Resulta claro que ahora cada uno de los estados del PBM está relacionado con las realizaciones del proceso aleatorio original; dicho de otra forma aun después de la transformación la información de interés, tal como la duración de cada estado, se conserva.

Ahora si la duración de las realizaciones del proceso original sigue una distribución exponencial, es posible emplear el PMR del capítulo anterior ya que las transiciones del PBM indican el cambio en las realizaciones del proceso original. Y toda vez que la función de amplitud original es conocida, basta con determinar la duración de cada estado y generar directamente el proceso original, en base a la duración de cada estado del PBM.

En forma aun más general, con la aplicación de la transformación adecuada es posible reconstruir procesos con cualquier tipo de función de amplitud; pues toda vez que esta última sea conocida, basta con determinar la duración de cada estado para reconstruir el proceso original.

Figura 4-5. Transformación del proceso aleatorio original en un PBM.

4.2.2 Sobre las transformaciones del proceso aleatorio original para

convertirlo en un PBM

Retomando el primer ejemplo de este capitulo, la pregunta es cuál es la transformación que debe aplicarse a un proceso cuya función de amplitud es cuadrática. Como se mencionó, si la integración incrementaba el orden de la función de amplitud, entonces la diferenciación debe reducir el orden de la amplitud; así que si se integra una vez el proceso original se obtiene un nuevo proceso con orden unitario tal como el usado para determinar las transiciones en un PBM después de un esquema de integración ideal. Sin embargo, si vuelve a aplicar la diferenciación el proceso original se convierte en un PBM, para el cual ya se ha estudiado a detalle el PMR. De esta forma se ha transformado mediante una doble integración el proceso original en un proceso binario (ver figura 4-6).

Este esquema deja abierta la posibilidad de aplicar una serie de integraciones sucesivas, lo que solo da la posibilidad de aplicarse aun conjunto de funciones muy especiales, es decir funciones en forma polinomial. Pero que ocurre con funciones de tipo exponencial, pues nuevamente al aplicar la integración el resultado es otra función exponencial.

Sucedió entonces que una forma más general es aplicar un esquema de comparación donde se establezca un umbral de decisión; es decir, cuando el proceso rebasa cierto valor de amplitud se asume que ha cambiado de estado. Para el caso donde se considera un sistema libre de interferencias y sin ruido este umbral puede ser exactamente cero; cuando la amplitud del proceso se hace más grande que cero el PBM se encuentra en su estado uno, pero cuando el nivel de amplitud es cero, el proceso se encuentra en su segundo estado.

Una forma de implementar este tipo de transformación es mediante un comparador de nivel donde, como se ha mencionado, el umbral es un nivel de amplitud cero; como el que se muestra a continuación (ver figura 4-7).

Figura 4-7. Transformación mediante aplicación de umbral.

4.2.3 Simulación del PMR de procesos con transformación a un PBM

El siguiente paso consiste en realizar las simulaciones respectivas, para diferentes casos donde se varía la duración de cada estado. Para ello se considera que la duración promedio λ de las realizaciones (esperanza matemática) del proceso original se rige por una distribución exponencial y que además las realizaciones del proceso son sin traslapes.

Para las simulaciones se utilizan funciones de amplitud de tipo exponencial, por ser un caso que no puede ser resuelto mediante integración o diferenciación:

( )

(

(

))

(

( )

)

x = 1−exp − / =21−exp− , (4.5)

Figura 4-8. PBM obtenido de la transformación del proceso impulsivo con duración promedio λ=1,

Figura 4-10. Resultado del PMR de un proceso impulsivo con duración promedio λ=1, Vp=2 y rc=1

Nuevamente se emplea la función corrcoef (2.53) para calcular el coeficiente de correlación de dos señales del software Matlab versión 6.5, donde se observa que en ausencia de ruido el umbral seleccionado permite una reconstrucción adecuada.

Figura 4-12. Integración y muestreo del nuevo PBM obtenido por transformación

Figura 4-14. PBM obtenido de la transformación del proceso impulsivo con duración promedio λ=0.5,

Vp=2 y rc=1.

Figura 4-16. Resultado del PMR de un proceso impulsivo con duración promedio λ=0.5, Vp=2 y rc=1

Como se puede apreciar de las figuras que se han mostrado, el PBM obtenido mediante la transformación conserva las características o propiedades fundamentales del proceso impulsivo original. Conforma la duración promedio de las realizaciones del proceso original se incrementa o disminuye, la duración promedio del estado uno del PBM varía en la misma proporción, conservándose la información necesaria.

Toda vez que se conoce la función de amplitud del proceso original, entonces se puede reconstruir dicho proceso mediante la generación de la misma función durante el tiempo determinado por la duración de cada estado, calculada en base al PMR del Proceso Binario.

De esta forma ahora es necesario mostrar que el PMR que se propone en este capítulo puede ser aplicado a cualquier tipo de proceso aleatorio cuya función de amplitud de sus realizaciones sea conocida. Ahora considere que la función de amplitud tiene la siguiente forma exponencial:

( )

(

)

x = _P − = − , (4.6)

donde: Vp = 5 es el máximo valor de amplitud que pueden tomar las realizaciones del

Figura 4-17. PBM obtenido de la transformación del proceso impulsivo con duración promedio λ=1,

Vp=5 y rc=1.

Figura 4-19. Resultado del PMR de un proceso impulsivo con duración promedio λ=1, Vp=5 y rc=1

A continuación se muestra otro ejemplo cualitativo, donde la función de amplitud contiene una forma senoidal:

( )

( )

donde Vp = 5 es la máxima amplitud de las realizaciones del proceso impulsivo.

Figura 4-23. PBM obtenido de la transformación del proceso impulsivo con duración promedio λ=1,

Figura 4-25. Resultado del PMR de un proceso impulsivo con duración promedio λ=1, Vp=5

De esta forma se aprecia que el PMR puede ser empleado para cualquier tipo de función en la que se puedan distinguir dos estados; el primero de ellos representado por un nivel de amplitud mayor que cero, que se relaciona con el estado uno del PBM; mientras que el segundo estado es representado por un nivel de amplitud cero, el cual se relaciona con el estado dos del PBM.

Ahora el PMR para un PBM se debe modificar un poco, pues ahora el mayor interés no radica en el instante exacto donde ocurre un transición o salto dentro del intervalo de muestreo, sino mas bien la duración de cada uno de los estados del PBM y más precisamente del estado uno.

Los errores de la reconstrucción evaluados cualitativamente mediante la función de correlación son del orden de 0.35 %, o equivalentemente un 99.65 % de similitud entre el proceso original y el proceso reconstruido; toda vez que se obtiene el promedio de 10000 simulaciones, donde cada una de ellas consta de 100 realizaciones del proceso.

Una consideración importante, es que se tomó el comparador de nivel con umbral de referencia cero como el esquema de transformación del proceso impulsivo original. Sin embargo, esto en la práctica es más complejo pues el ruido inherente de los sistemas determina un umbral que debe ser mayor que cero y además la elección adecuada del umbral bajo condiciones de ruido es un problema fuera de los alcances de esta tesis.

Por último se muestra el diagrama a bloques del sistema receptor, que implementa el PMR de los procesos impulsivos (figura 4-26).

Figura 4-26. Diagrama a bloques del sistema receptor que implementa el PMR de los procesos aleatorios de tipo impulsivo.

CONCLUSIONES

En este trabajo inicialmente se realizó una revisión de los diferentes esquemas o algoritmos utilizados para implementar el Procedimiento de Muestreo-Reconstrucción, con la finalidad de comprender el panorama existente alrededor de la teoría de muestreo de procesos aleatorios y analizar la viabilidad de su aplicación en la reconstrucción de procesos aleatorios con características especiales, tales como saltos o transiciones en sus realizaciones; si embargo se mostró que la utilización de la regla de la esperanza matemática condicional proporciona buenos resultados cuando se aplica a procesos Gaussianos, debido a la posibilidad de establecer un fdp multidimensional, pero la complejidad de las integrales a resolver incrementa cuando los procesos no son Gaussianos. Otra aplicación importante de la regla de la esperanza matemática condicional es para procesos de tipo Markoviano, donde a pesar de las complejas integrales, se puede obtener una función de reconstrucción. No obstante los dos procesos mencionados son algunos casos particulares, pues aunado a la dificultad de resolver las integrales resultantes, está la posibilidad de que dichas integrales no tengan convergencia y que de todas formas la función de reconstrucción no deja de ser un promedio de las realizaciones del proceso original.

Buscando sobrepasar este inconveniente se plantea la aplicación de un procedimiento basado en las características conocidas de las realizaciones de los procesos, por ejemplo, para el caso de un PBM es bien sabido que solo consta de dos estados posibles los cuales son conocidos y que además están relacionados con dos flujos de Poisson. Entonces surge la posibilidad de determinar solamente dónde ocurren las transiciones entre los dos estados (duración), pues la amplitud de cada uno de ellos siempre será conocida. Siguiendo esta idea se plantea el primer método para el PMR, el cual consiste en determinar en base a las propiedades estadísticas del PBM y más precisamente en las intensidades de los dos flujos de Poisson, el instante o momento promedio donde ocurren las transiciones, lográndose una adecuada reconstrucción. Sin embargo, nuevamente la determinación de las transiciones no deja de ser un promedio y además es imposible determinar cuándo ha ocurrido un pulso con duración menor al período de muestreo, lo cual degrada el desempeño de la reconstrucción. De cualquier forma se realizaron las simulaciones correspondientes, tanto para la reconstrucción del PBM como para la evaluación del error y la distribución de las transiciones dentro del intervalo de discretización.

Debido a la problemática antes mencionada el siguiente paso fue buscar mediante alguna transformación o procedimiento nuevas características que no están presentes en el proceso original, pero sin la pérdida de la información original. Entonces resultó que al aplicar un procedimiento de integración, en el caso de un PBM, se obtiene un nuevo proceso que conserva la información original del PBM (duración de cada estado) y además permite determinar en el extremo receptor en forma exacta, bajo la consideración de un canal ideal sin ruido, el momento exacto donde ocurren las transiciones. Esto facilitó la implementación del PMR y dejando un poco de lado las complejas integrales y la evaluación estadística, el problema se convierte en una implementación de ingeniería.

Sin embargo, en este punto surgió la idea de por qué no aplicar la regla de la esperanza matemática al proceso obtenido a la salida del integrador, que en este caso es

obtuvo la fdp transitoria para los PBM a la salida de un filtro pasa bajas. Pero nuevamente resultó un conjunto de integrales bastante complejas para la determinación de la función de reconstrucción y la función de evaluación del error.

Así que el PMR descrito en base a la previa integración, brinda la posibilidad de resolver un conjunto de sencillas ecuaciones que determinan el instante exacto donde ocurre una transición y además permite una reconstrucción directa del PBM, toda vez que no es necesario aplicar un procedimiento de diferenciación, pues basta con alimentar a un bloque de disparo (trigger) con los pulsos adecuados que indiquen dónde ha ocurrido una transición y reconstruir el PBM.

Como una extensión del PMR a otro tipo de procesos con saltos, los cuales no son Markovianos, se analiza la posibilidad de buscar nuevas características en los procesos mediante la integración o diferenciación. Sin embargo, resultó que por ejemplo en el caso de procesos aleatorios con duración aleatoria de las realizaciones, pero con una amplitud determinada por funciones exponenciales o senoidales, el aplicar cualquiera de los dos procedimientos, resulta en otra función exponencial o senoidal y que en el peor de los casos aumenta la complejidad.

Desde un punto de vista diferente y dejando de lado la integración o diferenciación, resultó que un proceso con una función de amplitud determinística, pero con duración de sus realizaciones aleatoria puede ser transformado en un PBM, bajo la consideración que un nivel de amplitud diferente de cero representa el estado uno del PBM; mientras que un nivel de amplitud cero representa el estado dos del PBM. Entonces ahora el problema de la reconstrucción se centra en la elección de la transformación del proceso original en un PBM al cual se puede aplicar el PMR bajo un esquema de integración. Por otra parte en el lado receptor es posible realizar la reconstrucción directa, toda vez que la forma de las realizaciones es conocida, pero no así su duración que es determinada por un pulso que habilita a un generador cada vez que se debe presentar el inicio de una realización.

Recomendaciones para trabajos futuros

La aplicación del PMR descrito en esta tesis brinda la posibilidad de reconstruir diversos procesos aleatorios con características especiales o conocidas de sus realizaciones, pero que debido a las transiciones o saltos que presentan, no permiten la aplicación de la regla de la esperanza matemática condicional, toda vez que es posible averiguar su espectro de potencia, su función de covarianza o sus momentos de mayor interés, sin embargo, basta con determinar los momentos donde ocurren tales saltos para reconstruir el proceso.

De este planteamiento surgen diferentes ideas o temas que pueden ser resueltos en investigaciones posteriores. El primero está relacionado con la consideración de un canal no ideal, el cual puede agregar ruido blanco aditivo Gaussiano o un canal con ruido impulsivo; entonces como consecuencia directa será necesario determinar el error de reconstrucción que es el segundo punto de interés; y también resulta interesante averiguar cual es el límite mínimo para la frecuencia de muestreo.