A continuación introducimos una aplicación, mediante el software Eviews 8 (veánse por ejemplo Gusti Ngurah Agung, I. (2009) y Startz, R. (2013)), donde mostraremos cómo es posible en la práctica utilizar todos los elementos descritos a lo largo del trabajo, y la estimación mediante modelos ARCH −GARCH del Value at Risk y la Expected Shortfall de una cartera de acciones. Para la construcción de un modelo ARCH−GARCH que modelice los rendimientos producidos por un activo concreto (en este caso acciones de la compañía Telefónica), seguiremos los siguientes pasos:
1. Especificar una ecuación para la media, mediante la construcción de un modelo
ARMA
oportuno para los rendimientos, eliminando cualquier dependencia lineal en los rendimientos.2. A partir de los residuos obtenidos en el ajuste realizado en el paso 1, haremos los oportunos test para detectar la presencia de estructura ARCH −GARCH. 3. Especificar un modelo concreto para la estructura ARCH−GARCHdetectada y
proceder a su ajuste.
4. Validación del modelo y estudio de los residuos. 5. Calcular el VaR asociado y la ES.
Los datos utilizados en la aplicación práctica corresponden a los rendimientos (estos rendimientos se obtienen como log
(
P Pt t−1)
siendo P el precio de cotización en tel momento t ) obtenidos por las acciones de Telefónica S.A desde 02/01/2002 hasta 16/08/20136.
La representación gráfica de los mismos es la siguiente:
-.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 RENDIMIENTO
Figura 1: Rendimientos Telefónica 2002-2013.
Como podemos observar el nivel de la serie permanece cercano a cero y aparecen rachas de mayor y menor variabilidad en torno a este valor, la serie parece presentear indicios de estacionariedad en media. La representación del histograma y de los estadísticos descriptivos básicos de la serie nos permite obtener una visión un poco más amplia del comportamiento de la misma:
0 100 200 300 400 500 600 -0.025 0.000 0.025 0.050 Series: RENDIMIENTO Sample 1/02/2002 8/16/2013 Observations 2951 Mean -3.39e-05 Median 0.000000 Maximum 0.057381 Minimum -0.041421 Std. Dev. 0.007372 Skewness 0.173314 Kurtosis 8.427576 Jarque-Bera 3636.952 Probability 0.000000
Figura 2: Histograma y estadísticos descriptivos serie Rendimiento Telefónica 2002-2013.
Como puede comprobarse el coeficiente de asimetría es levementepositivo, lo que indicaría que la distribución es asimétrica positiva a la derecha, y el coeficiente de curtosis indica un valor muy superior a 3, es decir, nos encontramos con una distribución con cola más pesada que una Normal y con un mayor apuntamiento,
6
distribución leptocúrtica. Además podemos comprobar cómo la significatividad del contraste de Jarque-Bera permite rechazar formalmente el comportamiento Normal de la distribución. Además, mediante gráficos Q-Q podemos verificar la normalidad de la serie:
Figura 3: Q-Q Plot Rendimientos Telefónica 2002-2013.
A partir de este gráfico Q-Q podemos observar que la normalidad de los datos puede ser descartada. A continuación llevamos a cabo la obtención del modelo subyacente para la media. Inicialmente será necesario descartar la estacionariedad de la serie, puesto que si no sería necesario realizar una transformación (mediante Box-Cox, diferenciación,...) de la misma. Para ello realizamos un test de raíces unitarias, el test de Dickey-Fuller aumentado, que mostramos a continuación:
Null Hypothesis: RENDIMIENTO has a unit root Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=27)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -54.51750 0.0001 Test critical values: 1% level -3.432376
5% level -2.862321 10% level -2.567230 *MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RENDIMIENTO) Method: Least Squares
Date: 08/17/13 Time: 17:41 Sample (adjusted): 1/03/2002 8/16/2013 Included observations: 2950 after adjustments
Variable Coefficien... Std. Error t-Statistic Prob. RENDIMIENTO(-1) -1.004044 0.018417 -54.51750 0.0000 C -3.53E-05 0.000136 -0.259894 0.7950 R-squared 0.502040 Mean dependent var -7.38E-07 Adjusted R-squared 0.501871 S.D. dependent var 0.010448 S.E. of regression 0.007374 Akaike info criterion -6.980957 Sum squared resid 0.160313 Schwarz criterion -6.976897 Log likelihood 10298.91 Hannan-Quinn criter. -6.979496 F-statistic 2972.158 Durbin-Watson stat 1.998668 Prob(F-statistic) 0.000000
Figura 4: Test de Dickey Fuller Aumentado.
-.03 -.02 -.01 .00 .01 .02 .03 -.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06 Quantiles of RENDIMIENTO Q u a n ti le s o f N o rm a l
Los valores obtenidos para el test ADF permiten rechazar la hipótesis nula de que la serie no sea estacionaria.
A continuación mostramos las funciones de autocorrelación simple y parcial asociadas a la serie, que nos permitirá identificar qué tipo de proceso subyace en su comportamiento. Como podemos observar, el correlograma presenta signos de correlación en los datos, con un retardo de orden 3 que supera la banda de confianza en la función de correlación simple y otro retardo del mismo orden en la función de correlación parcial. El estadístico Q permite encontrar dos coeficientes no significativos.
Figura 5: Correlogramas asociados.
A la vista del correlograma presentado podemos suponer la presencia de un modelo
(3)
AR
de la forma (1−φ
2B2−φ
3B X3) t =ε
t. Realizamos los oportunos ajustes sobre los datos obteniendo los siguientes resultados:Dependent Variable: RENDIMIENTO Method: Least Squares
Date: 09/03/13 Time: 18:46
Sample (adjusted): 1/07/2002 8/16/2013 Included observations: 2948 after adjustments Convergence achieved after 3 iterations
Variable Coefficien... Std. Error t-Statistic Prob.
AR(2) -0.033852 0.018355 -1.844295 0.0652
AR(3) -0.060846 0.018354 -3.315131 0.0009
R-squared 0.004815 Mean dependent var -4.02E-05
Adjusted R-squared 0.004478 S.D. dependent var 0.007366
S.E. of regression 0.007349 Akaike info criterion -6.987817
Sum squared resid 0.159108 Schwarz criterion -6.983754
Log likelihood 10302.04 Hannan-Quinn criter. -6.986355
Durbin-Watson stat 2.009357
Inverted AR Roots .18+.37i .18-.37i -.36
En este modelo puede observarse que el coeficiente para B no es significativo, sin 2 embargo, esta estimación es una estimación preliminar, y este coeficiente puede ser significativo cuando se especifica el modelo completo con la estructura ARCH, como se hará más adelante.
Para el modelo obtenido, puede comprobarse que es estacionario e invertible, es decir, que las raíces de los polinomios no caen fuera del círculo unidad, como podemos comprobar en la siguiente salida:
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s) Specification: RENDIMIENTO AR(2) AR(3) Date: 09/03/13 Time: 16:15
Sample: 1/02/2002 8/19/2013 Included observations: 2948
AR Root(s) Modulus Cycle
0.182342 ± 0.365509... 0.408467 5.670474 -0.364683 0.364683
No root lies outside the unit circle. ARMA model is stationary.
Figura 7: Estacionariedad e invertibilidad.
Una vez seleccionado el modelo explicativo para la media será necesario analizar los residuos asociados y detectar la posible presencia de heterocedasticidad condicional. Para ello es posible observar las funciones de autocorrelación muestrales de los residuos y de los residuos al cuadrado del modelo y realizar un contraste de presencia de estructura ARCH.
Figura 9: Correlograma de los residuos al cuadrado.
Podemos observar autocorrelación en los residuos al cuadrado mientras que para la serie de residuos esta característica se aprecia únicamente en retardos altos. Además el test de multiplicadores permite afirmar la existencia de estructura ARCH en el comportamiento de la varianza, ya que los estadísticos F y
Obs R*
2 son significativos, tanto en el test ARCH con un retardo (figura 10 izquierda) como en el test ARCH con cinco retardos (figura 10 derecha) por lo que será necesario pasar a la modelización de la misma, a fin de establecer el orden y características del proceso autorregresivo de heterocedasticidad condicional asociado.Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic 114.6958 Prob. F(1,2945) 0.0000 Obs*R-squared 110.4713 Prob. Chi-Square(1) 0.0000 Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 09/03/13 Time: 19:07 Sample (adjusted): 1/08/2002 8/16/2013 Included observations: 2947 after adjustments
Variable Coefficien... Std. Error t-Statistic Prob. C 4.34E-05 2.78E-06 15.59539 0.0000 RESID^2(-1) 0.193473 0.018065 10.70961 0.0000 R-squared 0.037486 Mean dependent var 5.39E-05 Adjusted R-squared 0.037159 S.D. dependent var 0.000144 S.E. of regression 0.000142 Akaike info criterion -14.88677 Sum squared resid 5.90E-05 Schwarz criterion -14.88270 Log likelihood 21937.65 Hannan-Quinn criter. -14.88531 F-statistic 114.6958 Durbin-Watson stat 2.054532 Prob(F-statistic) 0.000000
Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic 63.60819 Prob. F(5,2937) 0.0000 Obs*R-squared 287.5523 Prob. Chi-Square(5) 0.0000 Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 09/03/13 Time: 16:23 Sample (adjusted): 1/14/2002 8/16/2013 Included observations: 2943 after adjustments
Variable Coefficien... Std. Error t-Statistic Prob. C 2.54E-05 2.99E-06 8.505582 0.0000 RESID^2(-1) 0.117225 0.018385 6.376110 0.0000 RESID^2(-2) 0.094901 0.018389 5.160720 0.0000 RESID^2(-3) 0.114900 0.018349 6.261999 0.0000 RESID^2(-4) 0.114599 0.018386 6.233006 0.0000 RESID^2(-5) 0.084576 0.018368 4.604458 0.0000 R-squared 0.097707 Mean dependent var 5.38E-05 Adjusted R-squared 0.096171 S.D. dependent var 0.000144 S.E. of regression 0.000137 Akaike info criterion -14.94781 Sum squared resid 5.53E-05 Schwarz criterion -14.93561 Log likelihood 22001.71 Hannan-Quinn criter. -14.94342 F-statistic 63.60819 Durbin-Watson stat 2.009075 Prob(F-statistic) 0.000000
Figura 10: Test ARCH.
Para determinar la estructura del proceso ARCH−GARCHasociado, será necesario evaluar el correlograma de los residuos al cuadrado (Figura 8), lo que nos permite
comprobar la existencia de muchos coeficientes significativos, lo que sugiere una estructura AR de orden alto. Esto nos llevaría a considerar un modelo
ARCH p( )
de orden alto, lo que a su vez nos conduce a la necesidad de considerar una media móvil en las varianzas llegando por tanto al modeloGARCH p q( , )
y sus extensiones, en especial las modelizaciones EGARCH, TARCH y APARCH.Las diferentes pruebas realizadas, comparando la significatividad de los modelos, y los diferentes criterios de información asociados (AIC, SBC) nos llevarían a plantear inicialmente un modelo AR(3)−GARCH(1,1), no obstante, la estimación obtenida muestra coeficientes no significativos en la media para el modelo AR(3), por lo que se propone una modificación del mismo, quedándonos con un GARCH(1,1). Ambas estimaciones se muestran a continuación:
Dependent Variable: RENDIMIENTO
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 09/05/13 Time: 18:10
Sample (adjusted): 1/07/2002 8/16/2013 Included observations: 2948 after adjustments Convergence achieved after 12 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*GARCH(-1)
Variable Coefficien... Std. Error z-Statistic Prob. AR(2) -0.014036 0.020135 -0.697110 0.4857 AR(3) -0.013082 0.020142 -0.649481 0.5160 Variance Equation C 7.27E-07 1.06E-07 6.874274 0.0000 RESID(-1)^2 0.094997 0.007843 12.11226 0.0000 GARCH(-1) 0.892005 0.008281 107.7224 0.0000 R-squared 0.002141 Mean dependent var -4.02E-05 Adjusted R-squared 0.001803 S.D. dependent var 0.007366 S.E. of regression 0.007359 Akaike info criterion -7.306765 Sum squared resid 0.159536 Schwarz criterion -7.296608 Log likelihood 10775.17 Hannan-Quinn criter. -7.303108 Durbin-Watson stat 2.008542
Inverted AR Roots .11+.22i .11-.22i -.22
Dependent Variable: RENDIMIENTO
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 09/05/13 Time: 17:38
Sample (adjusted): 1/02/2002 8/16/2013 Included observations: 2951 after adjustments Convergence achieved after 9 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(1) + C(2)*RESID(-1)^2 + C(3)*GARCH(-1)
Variable Coefficien... Std. Error z-Statistic Prob. Variance Equation
C 7.18E-07 1.05E-07 6.843053 0.0000 RESID(-1)^2 0.094424 0.007735 12.20677 0.0000 GARCH(-1) 0.892750 0.008203 108.8329 0.0000 R-squared -0.000021 Mean dependent var -3.39E-05 Adjusted R-squared 0.000318 S.D. dependent var 0.007372 S.E. of regression 0.007371 Akaike info criterion -7.306395 Sum squared resid 0.160333 Schwarz criterion -7.300306 Log likelihood 10783.59 Hannan-Quinn criter. -7.304203 Durbin-Watson stat 2.007938
Figura 11: Estimación AR(3)-GARCH(1,1) y GARCH(1,1) respectivamente.
A continuación analizamos los residuos estandarizados asociados al modelo, que presentan el siguiente histograma y estadísticos descriptivos básicos, donde podemos comprobar el rechazo de la hipótesis de normalidad mediante el contraste de Jarque- Bera, y una distribución con un apuntamiento mayor. No obstante, la media está en torno a cero y la desviación típica en torno a uno, y se observa un histograma muy similar al que se obtendría en una distribución Normal(0,1), pero sin llegar a serlo.
0 100 200 300 400 500 600 700 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Series: Standardized Residuals Sample 1/02/2002 8/16/2013 Observations 2951 Mean -0.006040 Median 0.000000 Maximum 5.742147 Minimum -4.988705 Std. Dev. 1.000173 Skewness -0.080615 Kurtosis 4.890745 Jarque-Bera 442.7622 Probability 0.000000
Figura 12: Histograma y estadísticos descriptivos de los residuos estandarizados del modelo GARCH(1,1).
Es interesante observar la representación gráfica de estos residuos y deberemos comprobar de nuevo que ha desaparecido la presencia de estructura ARCH, con los mismos test que realizamos anteriormente, además de comprobar que la serie de residuos no necesita una modelización ARIMA. Así, en la figura 13 podemos observar la representación de los residuos de la serie:
-6 -4 -2 0 2 4 6 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 Standardized Residuals
Figura 13: Residuos estandarizados del modelo GARCH(1,1).
Puede observarse que no hay acumulaciones de volatilidad por periodos y el comportamiento es más o menos estable en la serie de residuos estandarizados.
Y el test de presencia de estructura ARCH y los correlogramas de los residuos son los mostrados en las figuras 14 y 15 respectivamente. En el test ARCH podemos observar para retardos uno y cinco que no existe ya presencia de estructura ARCH. El
correlograma de los residuos muestra a su vez una función de autocorrelación y autocorrelación parcial de los residuos adecuadas, es decir, entre las bandas
Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic 0.403999 Prob. F(1,2948) 0.5251 Obs*R-squared 0.404218 Prob. Chi-Square(1) 0.5249
Test Equation:
Dependent Variable: WGT_RESID^2 Method: Least Squares Date: 09/05/13 Time: 18:22 Sample (adjusted): 1/03/2002 8/16/2013 Included observations: 2950 after adjustments
Variable Coefficien... Std. Error t-Statistic Prob. C 1.012060 0.040744 24.83943 0.0000 WGT_RESID^2(-1) -0.011706 0.018416 -0.635609 0.5251 R-squared 0.000137 Mean dependent var 1.000350 Adjusted R-squared -0.000202 S.D. dependent var 1.973639 S.E. of regression 1.973838 Akaike info criterion 4.198515 Sum squared resid 11485.52 Schwarz criterion 4.202576 Log likelihood -6190.810 Hannan-Quinn criter. 4.199977 F-statistic 0.403999 Durbin-Watson stat 1.999250 Prob(F-statistic) 0.525081
Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic 0.574637 Prob. F(5,2940) 0.7195 Obs*R-squared 2.876240 Prob. Chi-Square(5) 0.7191 Test Equation:
Dependent Variable: WGT_RESID^2 Method: Least Squares
Date: 09/05/13 Time: 18:22 Sample (adjusted): 1/09/2002 8/16/2013 Included observations: 2946 after adjustments
Variable Coefficien... Std. Error t-Statistic Prob. C 0.996273 0.055309 18.01273 0.0000 WGT_RESID^2(-1) -0.010823 0.018443 -0.586865 0.5573 WGT_RESID^2(-2) 0.001805 0.018437 0.097902 0.9220 WGT_RESID^2(-3) -0.015604 0.018435 -0.846436 0.3974 WGT_RESID^2(-4) 0.024133 0.018435 1.309072 0.1906 WGT_RESID^2(-5) 0.003912 0.018439 0.212157 0.8320 R-squared 0.000976 Mean dependent var 0.999734 Adjusted R-squared -0.000723 S.D. dependent var 1.974290 S.E. of regression 1.975004 Akaike info criterion 4.201052 Sum squared resid 11467.88 Schwarz criterion 4.213248 Log likelihood -6182.150 Hannan-Quinn criter. 4.205443 F-statistic 0.574637 Durbin-Watson stat 1.999824 Prob(F-statistic) 0.719519
Figura 14: Test ARCH con uno y cinco retardos respectivamente.
Y el correlograma de los residuos muestra que las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial se encuentran entra las bandas de confianza:
Figura 15: Correlograma de los residuos asociados
Por tanto, el modelo estimado es un GARCH(1,1), y sabiendo que R es el rendimiento t obtenido, responde a las siguientes ecuaciones:
Ecuación para la Varianza Condicional:
t t t R =
ε ς
2 7 2 2 1 1 7.18 10 0.094424 0.892750 t Rt tς
−ς
− − = × + +Una vez estimado el modelo para la media y la varianza condicional, podemos utilizar las estimaciones que se obtendrían para realizar una estimación del Value at Risk asociado a la tenencia de una cartera con acciones de telefónica. Haremos la predicción a un día. En cuanto a predicción de la volatilidad de la serie, tenemos que:
2 7 2 2
2952 7.18 10 0.094424R2951 0.892750 2951 0.0000304
ς
= × − + +ς
=Y por tanto tendremos un VaR dado por:
(1 0.05)
2953 -0.0074836
VaR − =
En cuanto a la pérdida esperada o Expected Shortfall viene dada por:
(0.95)
2953|2952 -0.042422363
ES =
Es decir, ante una posición en largo para acciones de telefónica por importe de 10.000€, al 95%, la predicción de pérdida es de 74,83€ y la pérdida media esperada es de 424,22€.
Conclusión
Hemos podido comprobar cómo realizar el ajuste de un modelo ARCH a los datos reales de cotización de las acciones de Telefónica para después obtener su Valor en Riesgo y su Pérdida Esperada. Inicialmente se propone un modelo
AR(3)
de la forma2 3
2 3
(1−