Cuando un cambio pequeño enx produce un cambio grande en el valor de la funciónf(x), de- cimos que la función es relativamente sensiblea cambios en x. La derivadaf9(x) es una medida de esa sensibilidad.
EJEMPLO 7 Datos genéticos y sensibilidad al cambio
Al trabajar en su jardín con guisantes y otras plantas, el monje austriaco Gregor Johann Mendel (1822-1884) dio la primera explicación científica de la hibridación.
Sus cuidadosos registros mostraron que si p(un número entre 0 y 1) es la frecuencia del gen (dominante) de los guisantes con cáscara lisa, y (12 p) es la frecuencia del gen para cás- cara rugosa en guisantes, entonces la proporción de guisantes de cáscara lisa en la siguiente ge- neración será
La gráfica de ycontra p, en la figura 3.19a, sugiere que el valor de yes más sensible a un cam- bio en pcuando pes pequeño que cuando pes grande. Este hecho se corrobora con la gráfica de la derivada en la figura 3.19b, que muestra que dyydpes cercana a 2 cuando pes próxima a cero y cercana a 0 cuando pes próxima a 1.
y = 2ps1 - pd + p2 = 2p - p2.
3.4 La derivada como una tasa de cambio
131
La implicación para genética es que la introducción de unos cuántos genes de cáscara lisa, en una población donde la frecuencia de guisantes con cáscara rugosa es grande, tendrá un efecto más drástico en las generaciones posteriores que un aumento similar cuando la pobla- ción tiene una proporción grande de guisantes de cáscara lisa.
p y 0 1 1 (a) dy/dp p 01 2 (b) y 2pp2 2 2p dy dp
FIGURA 3.19 (a) La gráfica de y52p2 p2describe la
proporción de guisantes de cáscara suave en la siguiente generación. (b) La gráfica de dyydp(ejemplo 7).
Ejercicios 3.4
Movimiento a lo largo de una recta coordenada
Los ejercicios 1 a 6 dan las posiciones s5f(t) de un cuerpo que se mueve en una recta coordenada;x está en metros y ten segundos.
a. Determine el desplazamiento del cuerpo y la velocidad promedio para el intervalo indicado.
b. Determine la rapidez y aceleración del cuerpo en los extremos del intervalo.
c. ¿Cuándo, si es que sucede, el cuerpo cambia de dirección durante el intervalo? 1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. Movimiento de una partícula En el instante t, la posición de un cuerpo que se mueve en el eje ses s5t32 6t219tm.
a. Determine la aceleración del cuerpo en cada instante en que la velocidad es cero.
b. Determine la rapidez del cuerpo en cada instante en que la ace- leración es cero.
c. Determine la distancia total recorrida por el cuerpo de t50 a t52. 8. Movimiento de una partícula En el instante t$0, la veloci-
dad de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje horizontalx es
y5t22 4t13.
a. Determine la aceleración del cuerpo en cada instante en que la velocidad es cero.
b. ¿Cuándo se desplaza el cuerpo hacia delante? ¿Cuándo se des- plaza hacia atrás?
c. ¿Cuándo aumenta la velocidad del cuerpo? ¿Cuándo disminuye? Aplicaciones de caída libre
9. Caída libre en Marte y en Júpiter Las ecuaciones para caída li- bre en las superficies de Marte y de Júpiter (sen metros, ten segun- dos) son s51.86t2para Marte y s511.44t2en Júpiter. Si en cada
planeta se deja caer una roca desde el reposo, ¿cuánto tardará en al- canzar una velocidad de 27.8 mys (alrededor de 100 kmyh)? 10. Movimiento de un proyectil en la Luna Se lanza una roca ver-
ticalmente hacia arriba, desde la superficie lunar, a una velocidad de 24 myseg (aproximadamente 86 kmyh); la roca alcanza una altura de s524t2 0.8t2m en tsegundos.
a. Determine la velocidad y la aceleración de la roca en el instante t. (En este caso, la aceleración es la aceleración debida a la gravedad lunar).
b. ¿Cuánto tarda la roca en llegar a su punto más alto? c. ¿Qué altura alcanza la roca?
d. ¿Cuánto tarda la roca en alcanzar la mitad de su altura máxima? e. ¿Cuánto tiempo permanece la roca en el aire?
11. Determinación de gen un pequeño planeta sin aire Supongamos que exploradores en un pequeño planeta sin aire usaron una pistola de resorte para lanzar una bola verticalmente hacia arriba, desde la superficie, y con una velocidad de lanzamiento de 15 myseg. Puesto que la acelera- ción debida a la gravedad en la superficie del planeta fue de gsmyseg2,
los exploradores esperaban que la bola alcanzará una altura de s515t
2 (1y2)gst2m al cabo de tsegundos. La bola alcanzó su altura máxima
20 segundos después de ser lanzada. ¿Cuál es el valor de gs?
s = 25 t+5, -4 … t… 0 s = 25 t2 - 5 t, 1 … t … 5 s =st4>4d -t3 +t2, 0 … t … 3 s = -t3 +3t2 - 3t, 0 … t… 3 s =6t-t2, 0 … t… 6 s =t2 -3t+2, 0 … t… 2
12. Bala rápida Una bala calibre 45 disparada directamente hacia arri- ba, desde la superficie de la Luna, alcanzará una altura de s5832t
2 2.6t2ft después de tsegundos. En la Tierra, en ausencia de aire,
su altura sería de s5832t2 16t2ft después de t segundos. En cada
caso, ¿cuánto tiempo estará en el aire la bala?
13. Caída libre desde la torre de Pisa Si Galileo hubiera dejado caer una bala de cañón desde la torre de Pisa, a 179 ft del nivel del suelo, la altura de la bala al cabo de tsegundos de la caída habría sido
s51792 16t2.
a. ¿Cuáles habrían sido la velocidad, la rapidez y la aceleración de la bala en el tiempo t?
b. ¿Cuánto habría tardado la bala en golpear el suelo? c. ¿Cuál habría sido la velocidad de la bala en el momento del
impacto?
14. Fórmula de caída libre de Galileo Galileo desarrolló una fórmula para la velocidad de un cuerpo durante la caída libre al hacer rodar ha- cia abajo, desde el reposo, bolas sobre tablones inclinados. Cada vez inclinaba más los tablones y buscaba una fórmula límite que predijera el comportamiento de la bola cuando el tablón estuviera vertical y la bola cayera libremente; véase el inciso (a) de la siguiente figura. En- contró que, para cualquier ángulo dado del tablón, la velocidad de la bola tsegundos en movimiento era un múltiplo constante de t. Esto es, la velocidad estaba dada por una fórmula del tipo y5kt. El valor de la constante kdependía de la inclinación del tablón.
En notación moderna —inciso (b) de la figura— con la distan- cia en metros y el tiempo en segundos, lo que Galileo determinó mediante experimentación fue que para cualquier ángulo dado ula velocidad de la bola a tsegundos de inicio del movimiento era
y59.8(sen u)tmyseg.
a. ¿Cuál es la ecuación para la velocidad de la bola en caída libre? b. Con base en su trabajo del inciso (a), ¿cuál es la aceleración
constante que experimenta un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la Tierra?
Interpretación del movimiento a partir de gráficas
15. La siguiente figura muestra la velocidad y5dsydt5f(t)(myseg) de un cuerpo que se mueve a lo largo de una recta coordenada.
a. ¿Cuándo retrocede el objeto?
b. ¿Cuándo aproximadamente se mueve el objeto con rapidez constante? 0 –3 2 4 3 6 8 10 y (m/seg) yf(t) t (seg) (a) ? (b) θ Posición de caída libre
c. Grafique la rapidez del objeto para 0 #t#10. d. Grafique la aceleración donde esté definida.
16. Una partícula Pse mueve en la recta numérica que se ilustra en el in- ciso (a) de la siguiente figura. El inciso (b) ilustra la posición de P
como una función del tiempo t.
a. ¿Cuándo se mueve Phacia la izquierda? ¿Cuándo hacia la derecha? ¿Cuándo está inmóvil?
b. Grafique la velocidad y la rapidez de la partícula (donde estàn definidas).
17. Lanzamiento de un cohete Cuando se lanza el modelo de un co- hete, el combustible se quema durante unos segundos, con lo que el cohete acelera hacia arriba. Cuando se consume el combustible, el co- hete sigue subiendo durante algún tiempo y luego empieza a bajar. En ese momento, una pequeña carga explosiva abre un paracaídas que frena la caída del cohete para evitar que éste se destruya al aterrizar.
La siguiente figura muestra la información de la velocidad del vuelo del cohete. Utilice la información para responder lo siguiente. a. Cuando el motor se detuvo, ¿qué tan rápido ascendía el cohete? b. ¿Durante cuántos segundos se quemó el combustible?
c. ¿Cuándo alcanzó el cohete el punto más alto? En ese momento, ¿cuál era su velocidad?
d. ¿Cuándo se abrió el paracaídas? En ese momento, ¿qué tan rápido descendía el cohete?
e. ¿Cuánto tiempo descendió el cohete antes de que el paracaídas se abriera?
f. ¿Cuándo fue mayor la aceleración del cohete?
g. ¿Cuándo fue constante la aceleración del cohete? En ese mo- mento, ¿cuál fue su valor (al entero más cercano)?
0 24 68 10 12 100 50 0 –50 –100 150 200
Tiempo después del lanzamiento (seg)
Velocidad (ft/seg) 0 –2 –4 12 2 3456 (b) 0 (a) P s (cm) s (cm) sf(t) t (seg) (6, 4)
3.4 La derivada como una tasa de cambio
133
18. La siguiente figura representa la velocidad y5f(t) de una partícula que se mueve en una recta horizontal coordenada.
a. ¿Cuándo se mueve la partícula hacia delante? ¿Cuándo hacia atrás? ¿Cuándo aumenta su rapidez? ¿Cuándo se detiene? b. ¿Cuándo es positiva la aceleración de la partícula? ¿Cuándo es
negativa? ¿Cuándo es cero?
c. ¿Cuándo alcanza la partícula su máxima rapidez?
d. ¿Cuándo permanece inmóvil la partícula durante más de un instante?
19. Dos bolas que caen La siguiente figura de una fotografía con múl- tiples tomas muestra dos bolas que caen desde el reposo. Las reglas verticales están marcadas en centímetros. Con base en la ecuación
s5490t2(la ecuación de caída libre para sen centímetros y ten se-
gundos), responda las siguientes preguntas.
a. ¿Cuánto tardan las bolas en caer los primeros 160 cm? En ese periodo, ¿cuál es su velocidad promedio?
b. ¿Qué tan rápido caían las bolas cuando llegaron a la marca de 160 cm? En ese momento, ¿cuál era su aceleración? c. Aproximadamente, ¿qué tan rápido se disparaba el flash (en
flashes por segundo)?
t (seg)
y
0 123456789
20. Un viaje en camión La siguiente gráfica indica la posición sde un camión que viaja por una carretera. El camión inicia en t50 y regresa 15 h después en t515.
a. Utilice la técnica descrita en la sección 3.2, ejemplo 3, para graficar la velocidad del camión y5dsydtpara 0 #t#15. Luego repita el proceso, con la curva de la velocidad, para graficar la aceleración del camión dyydt.
b. Suponga que s515t22 t3. Grafique dsydty ds2ydt2y compare
sus gráficas con las del inciso (a).
21. Las siguientes gráficas muestran la posición s, la velocidad y5dsydt
y la aceleración a 5d2sydt2 como funciones del tiempo tde un
cuerpo que se desplaza en una recta coordenada. ¿Cuál gráfica es cuál? Justifique sus respuestas.
22. Las siguientes gráficas muestran la posición s, la velocidad y5dsydt
y la aceleración a 5d2sydt2 como funciones del tiempo tde un
cuerpo que se desplaza en una recta coordenada. ¿Cuál gráfica es cuál? Justifique sus respuestas.
t y 0 A B C t y 0 A B C 0 100 200 300 400 500 510 15 Tiempo transcurrido, t (hr) Posición, s (km) Economía
23. Costo marginal Suponga que el costo, en dólares, de producirx la- vadoras es c(x) 52000 1100x2 0.1x2.
a. Determine el costo promedio por lavadora en la producción de las primeras 100 lavadoras.
b. Determine el costo marginal cuando se producen 100 lavadoras. c. Demuestre que el costo marginal cuando se producen 100 lava-
doras es aproximadamente el costo de producir una lavadora más después de producir las 100 primeras; hágalo calculando el último costo en forma directa.
24. Ingreso marginal Suponga que el ingreso por la venta de lava- doras es
dólares.
a. Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras. b. Utilice la función r9(x) para estimar el incremento en los ingresos
que se obtendrían por el incremento de la producción de 100 a 101 lavadoras a la semana.
c. Determine el límite de r9(x) cuandox:`. ¿Cómo interpreta
este número? Aplicaciones adicionales
25. Población de bacterias Cuando un bactericida se agregó a un cultivo de nutrientes en el que las bacterias crecían, la población de bacterias continuó su crecimiento por un tiempo, pero luego dejó de crecer y empezó a disminuir. El tamaño de la población en el tiempo t(horas) fue b51061104t2 103t2. Determine las tasas
de crecimiento en a. t50 horas. b. t55 horas. c. t510 horas.
26. Drenado de un depósito El número de galones de agua en un de- pósito tminutos después de que éste empezó a drenar es Q(t) 5 200(302 t)2. ¿Qué tan rápido sale el agua al final de 10 minutos?
¿Cuál es la tasa promedio a la que el agua sale durante los primeros 10 minutos?
27. Drenado de un depósito Toma 12 horas drenar un depósito de al- macenamiento si se abre la válvula ubicada en la parte inferior. La profundidad yde fluido en el depósito thoras después de que se abrió la válvula está dada mediante la fórmula
a. Determine la tasa dyydt(myh) a la que drena el depósito en el instante t.
b. ¿Cuándo el nivel del fluido en el depósito desciende más rápido? ¿Cuándo desciende más lentamente? En esos instantes, ¿cuáles son los valores de dyydt?
c. Grafique juntas yy dyydt, luego analice el comportamiento de y
en relación con los signos y valores de dyydt.
28. Inflado de un globo El volumen, V5(4y3)pr3, de un globo es-
férico cambia con el radio.
a. ¿A qué tasa (ft3yft) cambia el volumen con respecto al radio
cuando r52 ft?
b. ¿Aproximadamente en cuánto aumenta el volumen cuando el radio cambia de 2 a 2.2 ft? y =6a1 - t 12b 2 m . rsxd =20,000a1 - 1 xb T
29. Despegue de un avión Suponga que la distancia que recorre un avión a lo largo de la pista antes de despegar está dada por D5(10y9)t2,
donde Dse mide en metros desde el punto de partida y tse mide en segundos a partir del momento que se liberan los frenos. El avión em- pezará a volar cuando su rapidez alcance 200 kmyh. ¿Cuánto tardará en emprender el vuelo y qué distancia habrá recorrido en ese tiempo? 30. Brotes de lava volcánica Aunque en noviembre de 1959 la erup- ción del volcán Kilauea Iki en Hawai inició con una línea de brotes a lo largo de la pared del cráter, posteriormente la actividad se concen- tró en un solo conducto en el piso del cráter; en un momento dado lanzó lava a 1,900 ft de altura (un récord para el archipiélago). ¿Cuál fue la velocidad de salida de la lava en ft por segundo? ¿En millas por hora? (Sugerencia: Si y0es la velocidad de salida de una partícula de
lava, su altura tsegundos después será s5y0t2 16t2ft. Comience
por determinar el tiempo en el que dsydt50. No tome en cuenta la resistencia del aire).
Análisis de movimiento mediante gráficas
Los ejercicios 31 a 34 dan la función de posición como una función del tiem- po t, s5f(t), de un objeto que se mueve a lo largo del eje x. Grafiquef jun-
3.5 Derivadas de funciones trigonométricas
135
to con la función velocidad y(t) 5dsydt5f9(t) y la función aceleración
a(t) 5d2sydt25f0(t). Comente sobre el comportamiento del objeto en
relación con los signos y valores de yy a. En sus comentarios incluya temas como los siguientes:
a. ¿Cuándo está en reposo el objeto?
b. ¿Cuándo se mueve hacia la izquierda (hacia abajo) o hacia la derecha (hacia arriba)?
c. ¿Cuándo cambia de dirección?
d. ¿Cuándo se incrementa la rapidez y cuándo disminuye ésta? e. ¿Cuándo es más rápido el movimiento? ¿Cuándo es más lento?
f. ¿Cuándo está el objeto más lejos del origen?
31. s5200t2 16t2, 0 #t#12.5 (un objeto pesado lanzado directa-
mente hacia arriba desde la superficie de la Tierra a una velocidad de 200 ftyseg). 32. 33. 34. s =4 - 7t+6t2 -t3, 0 … t … 4 s =t3 -6t2 + 7t, 0 … t… 4 s =t2 -3t+2, 0 … t… 5
3.5
Derivadas de funciones trigonométricas
Muchos fenómenos de la naturaleza son más o menos periódicos (campos electromagnéticos, ritmo cardiaco, mareas, clima). Las derivadas de senos y cosenos desempeñan un papel impor- tante en la descripción de cambios periódicos. Esta sección explica cómo derivar las seis fun- ciones trigonométricas básicas.