Capitalism in Globalization

Simon (1995), desde una perspectiva pedagógica constructivista social, remarca que los profesores deberían comprender el aprendizaje de sus alumnos como un proceso de construcción individual y social, y que sus prácticas de enseñanza han de ajustarse a los caminos de aprendizaje de éstos. Este autor plantea la enseñanza de las matemáticas siguiendo, lo que denomina trayectorias hipotéticas de aprendizaje, donde el profesor considera un objetivo de aprendizaje, y a partir de la hipótesis que éste tiene sobre la construcción de conocimiento de los alumnos sobre este objetivo, plantea unas actividades de aprendizaje. Este autor muestra un Ciclo de Enseñanza de las Matemáticas que comienza con un objetivo de aprendizaje para los alumnos, el conocimiento matemático del profesor sobre este objetivo, y la hipótesis del profesor de cómo es la construcción de la comprensión de ese contenido matemático de los alumnos. A partir de esta hipótesis, el profesor construye un plan de actividades y las plantea en el aula.

Las trayectorias hipotéticas de aprendizaje constan de tres elementos: los objetivos para el aprendizaje de los alumnos, las tareas que se utilizarán para promover este aprendizaje y las hipótesis sobre el proceso de aprendizaje de los estudiantes (Simon, 1995). Este autor pone énfasis en trayectoria hipotética por no poderse conocer de antemano lo que va a ocurrir en el aula, ya que la ejecución de cualquier tarea puede verse afectada por variables particulares de cada alumno o del grupo de clase.

Figura 2.12. Ciclo de Enseñanza de las Matemáticas (Simon, 1995, p. 136).

El aprendizaje de los alumnos suele seguir caminos similares y muchos de ellos se pueden beneficiar de una misma tarea. Esta tarea es un diseño instruccional particular que elige el profesor a partir de su conocimiento y de sus hipótesis sobre la construcción de conocimiento de los alumnos, y que influirá sobre el desarrollo conceptual de los estudiantes (Simon, 1995). En este sentido, este autor indica que el programa de la Instrucción Cognitivamente Guiada, marco fundamental de mi trabajo, obtienen buenos resultados en la formación de los profesores sobre el desarrollo del pensamiento de los niños, ya que permite desarrollar la habilidad de anticiparse a los procesos de aprendizaje de los niños y diseñar trayectorias hipotéticas cada vez más ajustadas al pensamiento de los niños.

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El resultado de la interacción al proponer la tarea en el aula, servirá de conocimiento al profesor sobre sus hipótesis de aprendizaje de los alumnos de ese contenido particular, sobre las actividades y representaciones a utilizar en la planificación de la instrucción, así como su percepción de la enseñanza y aprendizaje, y continuamente podrá crear una nueva trayectoria hipotética de aprendizaje para ese concepto o modificarla (Simon, 1995). Gravemeijer (2004) asemeja el Ciclo de la Enseñanza de las Matemáticas que propone Simon (1995) con los procesos cíclicos acumulativos que se realizan en los experimentos de enseñanza dentro de la investigación de diseño, ya que las actividades instruccionales se diseñan, se intentan, se revisan, y se vuelven a rediseñar con la información que aporta el análisis retrospectivo en cada ciclo (Molina, Castro, Molina, y Castro, 2011). Así, el trabajo con este término implica diseñar, probar, evaluar y revisar la trayectoria hipotética de aprendizaje en una serie iterativa de ciclos de enseñanza. Esto puede servir de marco de referencia y ejemplo de secuencias instruccionales para los profesores, siendo ellos mismo quienes lo adaptan a sus grupos de aula, ya que como indica Baroody, Cibulski, Lai y Li (2004) no tienen por qué funcionar igualmente en circunstancias diferentes.

A partir de la propuesta de Simon (1995), las investigaciones sobre trayectorias hipotéticas de aprendizaje (THA) han mostrado diferentes interpretaciones o aplicaciones (Clements y Sarama, 2004; Gómez y Lupiáñez, 2006; Gómez, 2007). La publicación en 2004 de la revista

Mathematics Thinking and Learning (6(2)) de un monográfico sobre las trayectorias hipotéticas de aprendizaje (THA) muestra la diversidad de aplicaciones y significados de este

término. Gómez y Lupiáñez (2006) distinguen dos usos diferentes del término, unos como herramienta para el trabajo de planificación del profesor y otros para la investigación. Según estos autores, una diferencia del uso de las THA es el nivel de concreción del objetivo de aprendizaje, que suponen desde la planificación de varias sesiones en una visión amplia para conseguir un objetivo general, a un objetivo específico concreto de una parte de una clase, o una tarea.

Desde un nivel alto de concreción, Simon y Tzur (2004) utilizan las trayectorias hipotéticas de aprendizaje como vehículos para planificar el aprendizaje de unos contenidos concretos, siendo las tareas que proporciona el profesor, las que permiten promover el aprendizaje de los alumnos. Las THA pueden llegar a un nivel de concreción micro-conceptual como los denominan Baroody, Cibulski, Lai y Li (2004).

Hay una línea de trabajo, que surge de las THA, desarrollada por Gómez y Lupiáñez (2006) y Gómez (2007), en la que surge la idea del camino de aprendizaje para una tarea. Gómez (2007) entiende, siguiendo a Simon y Tzur (2004), que los objetivos de aprendizaje que puede manejar un profesor son los marcados en las unidades didácticas, ya que los objetivos de aprendizaje marcados por las instituciones internacionales, las estatales e incluso del propio centro de trabajo, ya están establecidos. Gómez (2007) basa su trabajo en el Análisis Didáctico como una herramienta para los profesores que sirve para planificar, llevar a la práctica y evaluar una unidad didáctica. Para ello establece varias fases entre las que se encuentra el análisis de contenido en el que, concretando los significados de referencia del profesor sobre un objetivo de aprendizaje matemático concreto, lo caracteriza por capacidades y competencias, teniendo que identificar y formular qué capacidades implican ese objetivo y que competencias se ven implicadas.

Rico y Lupiáñez (2008) describen las expectativas de aprendizaje para estudiar el significado y la concreción de las intenciones curriculares como “aquellas capacidades, competencias, conocimientos, saberes, aptitudes, habilidades, técnicas, destrezas, hábitos, valores y actitudes que se espera que logren, adquieran, desarrollen y utilicen los escolares, mediante las matemáticas” (p. 66). Las expectativas sobre el aprendizaje de las matemáticas tienen en

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cuenta conocimientos declarativos, organizados y estructurados conceptualmente y con una componente procedimental, así, la caracterización cognitiva del conocimiento matemático se ha desglosado en dos campos, conocimiento conceptual y conocimiento procedimental. El conocimiento conceptual consiste en hechos, conceptos y estructura conceptuales. El

conocimiento procedimental son los procesos y modos de actuación o ejecución de tareas

matemáticas, como las destrezas, razonamientos y estrategias.

Las expectativas de aprendizaje se pueden desglosar en dos niveles: objetivos específicos y competencias matemáticas. Los objetivos específicos, que expresan qué se espera que haga un sujeto de cierta edad y nivel educativo en situaciones que requieran el uso de unas herramientas matemáticas determinadas. Estos objetivos se enuncian como capacidades que se muestran como conductas observables de los escolares en tareas vinculadas al currículo (Rico y Lupiáñez, 2008). Los objetivos específicos para estos autores se sustentan sobre la terna de capacidades (acciones o conductas que expresan la capacidad de un sujeto), conocimientos específicos (sobre unos contenidos concretos) en la resolución de problemas en contexto (que se ponen en juego al abordar tareas en situaciones concretas). Se pueden establecer a nivel de resultados generales de una etapa educativa, resultados esperados de un curso o programa, o los que afectan a una unidad didáctica o tema concreto, así los objetivos conectan contenidos y tareas. En este trabajo interesa el término capacidades como el nivel inferior de las expectativas de aprendizaje, que está relacionado con las actuaciones de los estudiantes cuando ejecutan procedimientos rutinarios en un tema concreto (González y Gómez, 2015). Estos autores definen una capacidad como “una expectativa del profesor sobre la actuación de un estudiante respecto a cierto tipo de tarea de tipo rutinario asociada a un tema matemático” (p. 21). Las capacidades son acciones y conductas que muestra un individuo al nivel de concreción mínimo, que un individuo debe mostrar al tratar un contenido concreto al resolver una tarea en una situación concreta. Gómez y Lupiáñez (2006) consideran las capacidades como los conocimientos, experiencias y habilidades de un individuo necesarias para desarrollar una tarea con un contenido concreto. Así una capacidad está vinculada a un tipo de tarea y puede involucrar otras capacidades. Un ejemplo de grafo de los caminos de aprendizaje para una tarea es la que se puede ver en el siguiente Figura 2.13, donde se ven distintos secuencias de capacidades, con los posibles errores que pueden cometer los alumnos, hasta llegar a la resolución de la tarea (González y Gómez, 2015).

Figura 2.13. Ejemplo de un grafo de los caminos de aprendizaje para una tarea (adaptado de González y Gómez, 2015, p.29).

Cuando el alumno resuelve una tarea matemática, necesita una serie de capacidades que le permitirá terminar la tarea con éxito. En el análisis cognitivo, el profesor puede prever y hacer hipótesis sobre el proceso de resolución y los errores o dificultades que puedan encontrar (Gómez, 2007). En estas investigaciones, se define camino de aprendizaje para una tarea a una sucesión de capacidades que el profesor prevé que sus alumnos activen al resolver la tarea, junto a los errores y dificultades que puedan incurrir (Gómez, González y Romero, 2013, p. 3).

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Desde un análisis más amplio, a lo largo de un curso o varias sesiones, el objetivo matemático será un concepto o estructura a nivel de recomendaciones curriculares que puede incluso suponer varias sesiones, un curso escolar, incluso una o varias etapas.

En este sentido, uno de las recomendaciones que se plantean dentro de la comunidad educativa en matemáticas es que se debería mantener coherencia entre la investigación en la educación matemática y el desarrollo del currículo matemático (NCTM, 2003; Clements y Sarama, 2004). El currículo debería contemplar las metodologías que ofrece las investigaciones en esta área, ser integrado en todo sus niveles y conectar las tareas con el pensamiento de los niños, por lo que Clements y Sarama (2004) ponen de manifiesto que la interconexión de las investigaciones sobre las progresiones de desarrollo del aprendizaje y las investigaciones de secuencias instruccionales puede resolver estos problemas de coherencia. Trabajos como los de Steffe (2004), Clements, Wilson y Sarama (2004), Clemens y Sarama (2009) y Lesh y Yoon (2004) investigan en las trayectorias hipotéticas de aprendizaje de distintos contenidos matemáticos que permiten la conexión de estos dos elementos. Clements y Sarama (2004) definen las trayectorias de aprendizaje como:

… descripciones del pensamiento y aprendizaje de los niños en un dominio específico matemático y una ruta relacionada y conjeturada a través de un conjunto de tareas instruccionales diseñadas para engendrar esos procesos mentales o acciones hipotéticas para mover a los niños a través de un desarrollo progresivo de niveles de pensamiento, creados con la intención de apoyar los logros de los niños de unos objetivos específicos en ese dominio matemático (p. 83).

Figura 2.14. Trayectorias de aprendizaje según (Clemens y Sarama, 2009).

Por lo tanto hay dos aspectos importantes a considerar. Primero un modelo de aprendizaje específico, bien fundamentado teórica y empíricamente del pensamiento, aprendizaje y desarrollo de los niños. Segundo, una secuencia instruccional de tareas claves diseñadas para promover ese aprendizaje en un nivel conceptual concreto dentro de una progresión de desarrollo. Así una trayectoria de aprendizaje hipotética incluye tres aspectos: el objetivo de aprendizaje, las progresiones de desarrollo del pensamiento y aprendizaje, y las secuencias de tareas instruccionales (Clements y Sarama, 2004, p. 84; Clements y Sarama, 2009, p. 2). Siguiendo a Clements y Sarama (2009), los objetivos matemáticos de aprendizaje se refieren a las ideas matemáticas importantes, es decir, los conceptos y destrezas matemáticas centrales y coherentes, consistentes con el pensamiento de los niños y que son generativas de futuros aprendizajes. Las progresiones de desarrollo o caminos de aprendizaje son los niveles de pensamiento, cada uno más sofisticado que el anterior, que conducen o guían a alcanzar los objetivos matemáticos. Estas progresiones de desarrollo describen el camino típico que siguen los niños en la comprensión de un contenido matemático concreto (Clements y Sarama, 2009).

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Los diseños instruccionales son los caminos de enseñanza que se componen de un conjunto de tareas en cada uno de los niveles de pensamiento de los caminos de aprendizaje, diseñadas con el fin de que los niños aprendan las ideas y destrezas necesarias para lograr ese nivel de pensamiento y promueven el paso al siguiente nivel (Clements y Sarama, 2009).

Clements y Sarama (2009) describen una trayectoria de aprendizaje de la suma y la resta. Estos autores identifican los objetivos de aprendizaje según las ideas matemáticas importantes de los Curriculum Focal Points (NCTM, 2006). Los Curriculum Focal Points relacionados con la adición y sustracción, y lo relacionado con el aprendizaje del valor posicional de sistema de numeración decimal, se puede ver en la Tabla Anexo1.1. Clements y Sarama (2009) desglosan el aprendizaje de la adición y sustracción en las siguientes “ideas” matemáticas:

a) Definición de la suma en términos del conteo, donde se define la suma a + b de dos números naturales a y b, como el resultado de sumar b números empezando en a. b) Las propiedades conmutativa y asociativa.

c) Las resta como inversa de la adición, y que también se puede definir en términos de conteo como a – b, el resultado de contar hacia atrás desde a, una cantidad de b números.

d) Estructuras de los problemas de adición y sustracción, considerando los problemas de cambio creciente, cambio decreciente, combinación (dos partes que forman un todo) y comparación.

e) Combinaciones aritméticas: Composición y descomposición de números, donde la subitización conceptual es una destreza que juega un gran papel en su desarrollo. f) Agrupamiento y valor posicional, como parte de la comprensión del sistema de

numeración decimal. El agrupamiento en decenas para resolver problemas de adición y sustracción, y desarrollar el concepto de valor posicional.

g) Adición y sustracción con números de varios dígitos, donde el conocimiento conceptual del valor posicional del sistema de numeración decimal es crucial para la comprensión y el uso de los algoritmos.

Una vez marcados los objetivos de aprendizaje, describo los caminos de aprendizaje para la suma y resta de Clements y Sarama (2009). Estos autores dividen en dos trayectorias de aprendizaje para la adición y sustracción en la etapa que afecta este trabajo, desde infantil a segundo de primaria. Así, muestran la progresión del desarrollo del pensamiento de los niños, que comienza con una trayectoria de aprendizaje para la adición y sustracción basada en estrategias de conteo. Describen una trayectoria de aprendizaje paralela a la primera sobre la descomposición y composición numérica que permite a los niños desarrollar estrategias basadas en hechos numéricos y llegar a la descomposición de los números de dos cifras en decenas y unidades.

En la Tabla 2.15 describo los niveles de la progresión del desarrollo del pensamiento de la suma y la resta basada en estrategias de conteos, y en paralelo el camino de aprendizaje de la descomposición y composición numérica.

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Tabla 2.15. Camino de aprendizaje de la suma y resta basado en el conteo y la

descomposición/composición propuesto por Clements y Sarama (2009) y Sarama y Clements (2004) Edad Niveles de Progresión del desarrollo de la adición y sustracción Composición

3 1. Suma y resta no verbal con cantidades muy pequeñas: identifican el resultado de 3 bolas, al juntar 2 bolas y 1 bola.

Reconocen partes de un todo sin exactitud de la cantidad 4

2. Suma y resta con pequeños números: Encuentran el resultado de problemas de cambio con la estrategia de modelización directa “juntar todo”.

3. Encontrar el resultado de suma y resta: encuentran el resultado de problemas de cambio creciente o decreciente con final desconocido o combinación con total desconocido con modelización directa “juntar todo” o “quitar”

4. Hacer un número N: Añaden objetos a un número desde otro, sin necesidad de contar desde 1

5. Encontrar la cantidad de cambio en problemas de cambio creciente y decreciente utilizando modelización directa “añadir hasta” y “quitar hasta”. Resuelven situaciones de comparación sencilla mediante “correspondencia uno a uno” Conocen descomposicione s de números hasta 5 5 Conocen descomposicione s de números hasta 7

6. Estrategias de conteo: Resuelven problemas de cambio creciente con la cantidad final o de cambio desconocida o combinación con los dedos o utilizando estrategias de conteo “contar a partir de” o “contar hasta”

Conocen descomposicione s de números hasta 10

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7. Tienen comprensión inicial de la relación parte-todo y comienzan a usar flexiblemente estrategias de modelización y conteo. Empiezan a reconocer hechos numéricos como los dobles. A veces utilizan ensayo y error para problemas de cambio con la cantidad inicial desconocida

8. Reconocen cuando un número es parte de un todo y mantienen las dos cantidades en la mente. Resuelven problemas con cantidad inicial desconocida con estrategias de conteo

9. Usan estrategias flexibles y hechos numéricos derivados para resolver todo tipo de problemas. Resuelven casos sencillos de adición o sustracción con números de varios dígitos por incremento de decenas y/o unidades

Comprenden los números de dos dígitos en decenas y unidades. 7

10. Resuelven todo tipo de problemas con estrategias flexibles y combinaciones conocidas. Suman con varios dígitos utilizando estrategias de incremento o combinación de decenas y unidades.

11. Suma y resta con varias cifras: Resuelven problemas de suma y resta de varias cifras usando composición de decenas y todas las estrategias anteriores.

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Después de describir los caminos de aprendizaje, Clements y Sarama (2009) describen el camino de enseñanza, proponiendo las tareas para ayudar a desarrollar los niveles de pensamiento matemático de los niños. Los niños pueden aprender aritmética desde los 3 años en situaciones sencillas y muchos profesores no creen que puedan pensar aritméticamente, por lo que les limita sus experiencias aritméticas y la calidad en la enseñanza (Clements y Sarama, 2009; Castro, Cañadas y Castro-Rodríguez, 2013). Los libros de texto tampoco ayudan mucho en este sentido, ya que la mayoría de los problemas presentados son de cambio con la cantidad final resultado desconocida (Clements y Sarama, 2009).

Clements dirige el proyecto Building Blocks fundado por la National Science Foundation (NSF) Este proyecto se creó para diseñar materiales, que sirvan de ejemplo, para aprender matemáticas desarrollando los Principios y Estándares del NCTM (2000). Clements y Sarama (2009) indican que planteando una gran variedad de problemas verbales con distintas categorías semánticas, los niños pueden desarrollar las estrategias basadas en el conteo dotándoles de una buena competencia aritmética. Además, incluyen actividades, que aparecen

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en el proyecto Building Blocks para ayudar a los niños a desarrollar estrategias y pasar de un nivel a otro más evolucionado. Así mismo, estos autores exponen características importantes para la enseñanza de la aritmética provenientes de la investigación tales como “conectar el aprendizaje de los niños de destrezas, hechos, conceptos, y la resolución de problemas, los niños deben inventar, usar, compartir y explicar sus estrategias porque la comprensión del mayor número diferente de estrategias, que afectará al aprendizaje posterior (p. 66)”. De hecho, indican que si los niños por sí mismo no desarrollan estrategias como “contar a partir de un sumando”, “contar hasta” o “contar hacia atrás hasta” deberían recibir instrucción directa, ya que son importantes para la comprensión de la relación parte-todo. Se debe animar a los niños a inventar sus estrategias, explicándolas y debatiéndolas, y alentarles a buscar la estrategia más sofisticada y eficiente. El uso de materiales manipulativos o los dedos son necesarios a ciertos niveles de pensamiento y negarles su uso puede provocar falta de comprensión en el aprendizaje (Clements y Sarama, 2009).

En la Tabla 2.16 incluyo el camino de enseñanza propuesto por estos autores. El recorrido hecho conlleva al uso de hechos numéricos y la suma y resta con números de varios dígitos.

Tabla 2.16. Camino de enseñanza de la suma y resta propuesto por Clements y Sarama (2009) Nivel Tareas (camino de enseñanza)

1 Situación de cambio con final desconocida con números pequeños (hasta 3) donde se muestran una cantidad, se oculta y se realiza una acción de añadir o quitar, y se le pide al niño el resultado.

2

Problemas de cambio (creciente o decreciente) con cantidad final desconocida con número menores de 5. Resolver los problemas con objetos o con dedos.

Utilizar marcos de 10 para juntar cantidades.

3

Problemas de cambio creciente con la cantidad final desconocida y problemas de combinación con total desconocido con materiales o dedos.

Problema de cambio decreciente con cantidad final desconocido con materiales y dedos.