3.3.1. Sea (an) una sucesión de números reales y, para cada n E N, conside remos el conjunto An ={a,:k;¡,n).
Si la sucesión (an) está acotada superiormente, existe sup An para todo n E N y como An+l e An se tiene supAn+.L,;;supAn, luego la sucesión (supAn) es decre
ciente y, por tanto, tiene límite en Ihl:
lim (supAn)=inf{supAn:n n E N).
Este límite es un número real o - 00 según que la. sucesión (sup An) esté acotada inferiormente o no.
Análogamente, si la sucesión (an) está acotada inferiormente, existe inf An para todo n E N y la sucesión (inf An) es creciente y, por tanto, tiene límite en Ihl:
lim (inf An ) = sup {inf An: n E N }.
n
Este límite es un número real o + 00 según que la sucesión (inf An) esté acotada superiormente o no.
Definición: Sea (an) una sucesión de números reales y, para cada n E N, consi deremos el conjunto A n = {a, : k ;¡, n}.
Se llama límite superior de la sucesión (an) y se designa por lim an al elemento n
de Ihl definido por
(sup An) si (an) está acotada superiormente en otro caso
ANALlSIS MATEMATlCO 1 11117 { Iim (inf A.)
lim a = •
_ .
• -00
si (a.) está acotada inferiormente en otro caso.
3.3.2. Si (a.) es una sucesión acotada superiormente, su límite superior pue de ser un número real o -oo.
Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales y sea a E Ihl. Entonces Iím a. = a si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes:
•
1. Para cada x > a existe un m E N tal que a. < x para todo n;;.m.
2. Para cada y < a y cada número natural m existe otro número natural n;;. m tal que a. > y.
Demostración: Para cada n E N sea A. = {ak : k;;.n}.
Por definición de límite superior es Iim an = a E Ihl si y sólo si inf {sup An : n E N }
•
= a E Ihl, Y esto ocurre cuando y sólo cuando se verifican las dos condiciones siguientes: a) Para cada x > a existe un m E N tal que sup Am < x.
b) Para cada y < a y para cada número natural m es y<sup Am'
Pero estas dos condiciones son, respectivamente, equivalentes a las dos con diciones del enunciado.
Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales. Entonces si y sólo si lím a. = - oo .
•
Iim n a. = - oo Demostración: Para cada n E N sea A. = {ak : k;;.n}. Será Iím a . = -":fJ SI Y
•
sólo si la sucesión (sup A.) no está acotada inferiormente, es decir, si y sólo si para cada e E Ihl existe un m E N tal que sup A m < e, y esto ocurre cuando y sólo cuando para cada c E Ihl existe un m E N tal que a. < c para todo n;;. m, o sea, cuando y sólo cuando Iím an = - oo .
•
3.3.3. De manera análoga se demuestran las dos proposIcIOnes siguientes: Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales y sea a E Ihl. Entonces Iím a. = a si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes:
-•
1 . Para cada x > a y cada número natural m existe otro número natural n ;;' m tal que a. < x.
111/8 ANA LISIS MATEMATlCO I
2. Para cada y < a existe un m E N tal que a. > y para todo n � m.
Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales. Entonces lím a. = + 00 si •
y sólo si Iím a. = + OO •
•
3.3.4. Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales Entonces a es el mayor de los puntos de aglomeración de (a.).
tal que lím a. = a .
•
Demostración: Si a = + 00, entonces (a.) no está acotada superiormente, luego para cada c E IR Y para cada número natural m existe otro número natural n � m tal que a. E (c, + 00) y por la proposición 3.2.2, + 00 es un punto de aglomeración de
la sucesión (a.) y, evidentemente, es el mayor.
Si a = - 00 entonces lím a. = - 00 y, por tanto, - 00 es el único punto ae
• aglomeración de (a.).
Finalmente, supongamos que a E IR y sean B > O y m E N. Como a + B > a, existe un número natural no tal que a. < a + B para todo n � no y como a - B < a, existe un número natural n � máx {m, no} tal que a. > a - B. Por consiguiente, existe un número natural n � m tal que a. E (a - B, a + e) y, por la proposición 3.2.2, a es un punto de aglomeración de (a.). Además, es el mayor, pues si (a.) tuviese otro punto de aglomeración X > a, eligiendo un y E IR tal que X > y> a, por ser x punto
de aglomeración y ser X > y, para cada número natural m existiría otro número natural n tal que a. > y, y por ser a punto de aglomeración y ser y> a, existiría un m E N tal que a. < y para todo n � m, y estas dos propiedades son incompatibles.
ces a
y
De manera análoga se demuestra la siguiente
Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales tal que es el menor de los puntos de aglol eración de (a.). Iím
a. = a. Enton-
-
•
3.3.5. Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales. Entonces • •
Iíma.=líma.=a si y sólo si Iíma.=a.
• • •
Demostración: El límite inferior y el límite superior de (a.) son, respectiva mente, el menor y el mayor de los puntos de aglomeración de (a.) y, por tanto,
ANALlSIS MATEMATICO I 111/9
Si lím an = lím an = a, de las proposIcIOnes de 3.3.2 y 3.3.3 se deduce que si
n n
a = + 00 (respectivamente, a = -00) entonces Iím an = + 00 (resp. Iím an = - 00) y que
n n
si a E IR entonces para cada e> O se tiene a -e < a < a + e y, por tanto, existe un
m E N tal que a -e < an < a +e para todo n:;;,m, luego Iíman = a. n
Finalmente, si Iím n a n = a entonces a es el único punto de aglomeración de (an) y como el límite inferior y el límite superior de (an) son puntos de aglomeración de (an), será Iím an = Iím an = a.
n n
Ejercicios de autocomprobación
1 . Sea (a.) una suceSlOn de números reales, tal que las subsucesiones (az._¡), (az.) y (a3.) son convergentes. Probar que la sucesión (a.) es convergente. 2. Probar que la sucesión (a.) definida por
es convergente y calcular su límite.
3. Sea (a.) una sucesión de Cauchy de números reales y sea a un punto de aglomeración de (a.). Probar que (a.) es convergente y que Iím a. = a .
4. Sea (a.) una sucesión de números reales. Probar que Iím ( -a.) = _Iím a •.
• •
•
5. Sean (a.) y (b.) dos sucesiones de números reales. Probar que se verifican las desigualdades
a) Iím a. +Iím b. ,¡;;lím (a. + b.) ,¡;;Iím a. + lím b.
n n n n n
b) Iím a. + Iím b.,¡;; Iím (a. + bn),¡;; lím a. + lím bn
n n n n n
siempre que las sumas estén definidas.
6. Sea (a.) una sucesión de números reales positivos. Probar que
111, 1 2 ANALlSIS MATE MATICO 1
lím SI lím an>O
lím n an an n
+CO S I lím an=O
n
7. Sean (an) y (bn) dos sucesiones de números reales positivos. Probar que se verifican las desigualdades
a) (lí�an) (lí�bn) siempre que los productos estén definidos.
8. Sea (an) una sucesión de números reales positivos. Demostrar las desigualdades
y
lím lím n
_ " an n
9. Hallar los límites superior e inferior de la sucesión (an) definida por a) an=( -1)" (1 +�) b) an 2n+(_I)nn
3n+2 n:rc n:rc c) an=n sen-3 d) an=(- I)n+senT "
10. Sea (an) una sucesión de números reales positivos tal que lím (an + ¡jan) < 1. n
Soluciones a los ejercicios de autocomprobación
1. Toda subsucesión de una sucesión converge con límite a es también convergen te y tiene por límite a.
Las sucesiones (a2n-t) y (a3n) son convergentes. La sucesión (a6n-3) es una subsucesión de cada una de ellas, luego es convergente y
Iím a2n-t = lím a6n-3 = lím a3n n n n
Las sucesiones (a2n) y (a3n) son convergentes. La sucesión (a6n) es una subsuce sión de cada una de ellas, luego es convergente y
Por consiguiente, Iím a2n =lím a6n = Iím a3n n n n Iíma2n_t =líma2n n n
y si a es el límite común de (a2n-t) y (a2n) y f (n) = 2n-l y g (n) = 2n, como f ( N) u g ( N) = N,
Iíman=a n
2. Consideremos la subsucesión (a2n). Como a2 = 4 Y a4 = 1 3/4 se tiene a4 -a2 <O. Supongamos que a2n + 2 -a2n < O. Entonces
1 1
a2n+4 -a2n +2 = 2" (a2n +2 +a2n+ 3) -2" (a2n +a2n+ t)
111 ( 1 5 3 1 1 =4 a2n+2-4(a2n+a2n+I)-4 a2n 3 1 =4 a2n+z-'2 Q2n+2-¡ aZn < o.
ANALlSIS MATE MATICO 1
Por tanto, la sucesión (a2n) es decreciente. Además, está acotada inferiormente (an > O para todo n E N), luego es convergente.
De manera análoga se prueba que la subsucesión (a2n-1) es creciente y está
acotada . superiormente, luego también es convergente. Sean a=lím a2n Y b=lím a2n-l. Como
n n
y
lím a2n_1 =b=líma2n_3, n se tiene
a -b =lím(a2n -a2n_l) =0 n
es decir, a=b. Pero para f(n)=2n y g(n)=2n-l es f(N) u g(N)=N y, por
tanto, la sucesión (an) es convergente y
lím an=a n
Además, sumando miembro a miembro las igualdades
ANALlSIS ).1ATEMATICO I 1 11 1 6
y pasando al límite se obtiene 2a + a = 9, es decir, a = 3
3. Observemos en primer lugar que por ser (an) una suceslOn de Cauchy está acotada y, por tanto, cualquier subsucesión extraída de ella también está aco tada, luego a E IR.
Por ser (Un) una sucesión de Cauchy, para cada 6 > O existe un no E N tal que IU", - unl < 6/2 para m, n ? no, y como U es un punto de aglomeración de (an)
existe un número natural m? no tal que am E (a - [;/2, u + [;/2). Por consiguiente,
para todo n ? no se verifica luego
6 6 la - al ":: la - a 1 + la - al < - + - = 6 n -""::: n m m
2 2
n
4. Si (an) está acotada inferiormente entonces ( - an) está acotada superiormente y
SI A n = {a k : k ? n} Y Bn = { - ak : k ? n}, se tiene sup Bn = -inf A n y, por tanto,
n n n n
Si (un) no está acotada inferiormente, entonces lím an = -00 y (- an) no está
n
acotada superiormente, luego lím ( - an) = + 00 y también se verifica la igual- n
dad del enunciado.
5. Si (an) y (hn) están acotadas superiormente y entonces y, por tanto, n n n =lím (sup A n) + lím (sup Bn) n n n n
Si (an) o (bn) no están acotadas superiormente, entonces Iím an +lím bn = + 00
n n
1 1 1 ; 1 7 ANALlSIS MATEMATICO 1
y también en este caso se verifica la segunda desigualdad de a).
La primera desigualdad de a) se deduce ahora aplicando el resultado del ejercicio anterior:
Iím a. = lím(a. + b. - b.) ,;; lím (a. + b.l + Iím ( - b.)
n n n n
= lím (a. + b.) - Iím b.
• •
De manera análoga se demuestran las desigualdades de b).
6. Si Iím a. > O entonces la sucesión (a.) está acotada inferiormente y, por tanto,
•
la sucesión (l/a.) está acotada superiormente, y si
se tiene sup B. = I/(inf A.) y, por consiguiente,
-1' l l'
B ]' ( 1 ) l 1m -= 1m (sup .) = 1m :---f A =--.
n a" n n In n l' 1m a"
•
Si Iím a . = O, para cada k > O existe un n E N tal que a. < I/k, es decir, I/a. > k
•
y, por tanto, la sucesión (l/a.) no está acotada superiormente, luego - 1 Iím - = + 00
• a.
7, Si (a.) y (b.) están acotadas superiormente y
entonces
y, por tanto,
sup C. ';;(sup A.)(sup C.)
Iím (a.bn) = lím (sup C.) ,;; lím (sup A.)(sup Bn)
n • n
ANALlSIS MATEMATICO 1
Si (an) o (bn) no están acotadas superiormente entonces (lím an)(lím bn) = + 00
n n
y también, en este caso, se verifica la segunda desigualdad de a).
1II/ 1 �
La primera desigualdad de a) se deduce ahora aplicando el resultado del eJerCICIO anterior: Si Iím b n - > O,
n
=[Ií�(anb,JJ bn
n
y si lím bn=O, la desigualdad es evidente. -
n
De manera análoga se demuestran las desigualdades de b).
8. Probaremos sólo la primera desigualdad. La segunda se demuestra de manera análoga.
Sea a = lím (an+ I/an). Si a = n + 00, no hay nada que demostrar. Supongamos pues que a E lJ\Ii Y sea b > a. Entonces existe un m E lJ\Ii tal que an + dan < b para
todo n � m y, por tanto,
y por inducción resulta que
para todo k E N, o lo que es igual, para todo n > m. Por consiguiente, para todo n > m, y como
m = 1, n
111/ 19 ANALlSIS MATEMATICO 1
se tiene
Como esto es cierto para todo b > a, resulta
9. a) 1 y - 1 ; b) 1 Y 1/3; e) + 00 y - 00; d) 2 Y -( 1 + I/fi). lO. Sea a > ° un número real tal que
Entonces existe un m E N tal que an + l/an <a para todo n � m y, por tanto,
arn+ 1 <a Q,m
2 am+ 2 < a Qrn + l <a a,",
3 am+ 3 < a am + 2 <a Qm'
y por inducción resulta que
para todo k E N, es decir,
para todo n > m, y como lím an - m = O,
n
lím an = O n
TEMA IV
Series de números reales
Esquema/resumen
4. 1 . Series de nlÍmeros reales. 4.2. Series alternadas.
4.3. Series de términos no negativos.
Combinando la adición con el paso al límite se puede dar sentido a la suma de los términos de una sucesión de números reales. Si An es la suma de los n primeros términos de la sucesión (an), el par de sucesiones ((an), (A n)) se llama serie de término general an y se designa por L a .. El número real An se
llama suma parcial n-sima de la serie. Si la sucesión (An) tiene límite finito A, se dice que la serie es convergente y el número A es, por definición, la suma de la serie. En otro caso, se dice que la serie es divergente.
Un criterio elemental de convergencia para series de términos alternati vamente positivos y negativos es el criterio de Leibnitz.
Como la sucesión de las sumas parciales de una serie de términos no negativos es creciente, tendrá límite finito o infinito según que esté acotada superiormente o no. Por consiguiente, una serie de términos no negativos converge si y sólo si la sucesión de sus sumas parciales está acotada superior mente. De este hecho resultan dos criterios generales para decidir la conver gencia o divergencia de una serie de términos no negativos, los criterios de comparación.
Por comparación con las series geométricas se deducen los criterios del cociente y de la raíz. Un criterio muy útil para las series de términos positivos decrecientes e3 el criterio integral.
4. 1. SERIES DE N UMEROS REALES
Sea (an) una sucesión de números reales y sea (An) la sucesión definida por para cada n E N. El par de sucesiones ((an), (An)) se llama serie de término general a" y se designa por L a .. El número real An se llama suma parcial n-sima de la serie L an•
Se dice que la sene L an es convergente cuando existe y es finito el límite límAn=lím(a¡ n n + a2 + ···an)
y SI este límite es igual a A ( E IR), se escribe
y se dice que A es la suma de la serie L a ..
Cuando el limite anterior no existe o es infinito, se dice que la serie L an es divergente.
Una condición necesaria para la convergencia de una serie es que su término general tienda a cero.
Proposición: Si la serie L an es convergente, entonces lím an = O. n
Demostración: Sea A la suma de la serie y sea (An) la sucesión de sus sumas 57
lV¡4 ANALlSlS MATE MATlCO 1
parciales. Entonces Iím A. = A y como a. = A. - A. _ l'
•
lim a = A - A = O . .
•
Proposición. (Criterio de Cauchy): Una serie La. es convergente si y sólo si para cada E > O existe un número natural no tal que
siempre que n > m ;;' no.
Demostración: Basta tener en cuenta que la suceSlOn (A.) de las sumas par ciales de la serie L a. es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy y que
Ejemplos:
1 . La serie armónica L ( l/n) diverge, pues para todo m E N es
¡ 1 1 m ¡ am + l + a m + 2 + ··· +am + m =--¡ +--2 + ··· + -- > -2 = -2
m + m + m + m m y la condición del criterio de Cauchy no se verifica para E ';;; 1/2.
Este ejemplo prueba que la condición lima. = O, necesana para la con ver-
•
gencia de la serie L a., no es suficiente.
oc
2. Sea r un número real. La serie geométrica I r· converge SI Irl < 1 Y n = O
diverge si Irl ;;' 1 . En efecto: Su suma parcial n-sima es
y como lím r· + l = O si Irl < l, la sen e converge y tiene por suma 1/( l - r) cuando
•
Irl < 1 . En cambio, si Irl ;;' 1 la serie diverge, pues no se verifica la condición necesaria
de con vergencla.
Proposición: Sean L a. y L b. dos series convergentes. Entonces, para todo par de números reales a, {J, la serie L (aa. + {Jb.) es convergente y
00 oc 00
ANALlSIS MATEMATICO 1 IV¡5
m m
n= 1 n= 1 n = 1 y pasar al límite cuando m tiende a + CIJ.
Proposición: Si en una serie I, an se intercalan (respectivamente, se suprimen) un número finito de términos cuya suma es S, la serie obtenida tiene el mismo carácter, convergente o divergente, que la primera y si A es la suma de I, a., la nueva serie tiene por suma A + S (respectivamente, A - S).
Demostración: Supongamos que se han intercalado k términos. Designemos por I, bn la serie obtenida y sea am el primer término de la serie dada posterior a todos los intercalados. Si An Y Bn son las sumas parciales n-simas de I, an y I, bn respectivamente, se tiene
para todo n ;¡, m - l , de donde se deduce que I, bn es convergente SI y sólo SI lo es
00 '"
I, an y que si ¿ an = A, entonces ¿ bn = A + S. n = 1 n = 1
La demostración para el caso de supresión de términos es análoga.