Case Study One

Este mecanismo es un sistema compuesto por dos barras rígidas (B1 y B2), de

longitud L1 = 1 [m] y L2 = 2 [m], unidas mediante una rótula. La masa de las

barras son m1=1 [kg] y m2= 2[kg] (uniformemente distribuida). La barra de lon-

gitud L1 (barra B1) tiene una rótula que se encuentra fija en el punto O, y realiza

un movimiento circular contenido en el plano XY , y la barra de longitud L2

(barra B2) está restringida a moverse de tal manera que su extremo libre perma-

nece en un eje horizontal. Los detalles se pueden observar en la Figura 4.5. El ángulo ϕt=0 = π₂ [rad] permite establecer la posición inicial del mecanismo. Para

iniciar el movimiento se aplica una velocidad angular ϕ˙t=0= 1 [rad/s]. Las únicas

fuerzas externas que actúan son debidas a la acción de la gravedad g = 1 [m/s2_].

0 1 2 Y X B₁ B₂ O ϕ g θ

Figura 4.5. Sistema biela-manivela plano. Geometría.

El sistema se modeliza utilizando las coordenadas cartesianas solo de los puntos 1 y 2 4.4_{, mostrados en la Figura 4.5, reunidas en un vector q =}

(q1T|q2T)T, donde q1= (x1, y1)T corresponde a la unión entre B1 y B2, y q2= (x2,

y2)T corresponde el extremo restringido de la barra B2. El sistema requiere de 3

ecuaciones de restricción; dos (Φ1 y Φ2) que representan la distancia constante

entre los puntos que configuran las barras B1 y B2 y una (Φ34.5) que obliga al

punto 2 a moverse sólo en dirección horizontal. Estas ecuaciones se escriben de la siguiente manera,

Φ1 = (x1− x0)2+ (y1− y0)2− L12

Φ2 = (x2− x1)2+ (y2− y1)2− L22

Φ3 = y2

4.4. El punto 0 no se ha incluido en las coordenadas del modelo puesto que permanece fijo en todo momento.

4.5. Esta restricción se ha includio en la formulación con la intención de obtener la fuerza asociada

Las restricciones se agrupan en un vector global dado por Φ(q) = {Φ1|Φ2|Φ3}T.

Notar que en este caso las restricciones se han formulado de manera que Φ es una restricción general como se describe en los apartados 4.1.1 y 4.2.1. Está com- puesto por 2 restricciones cuadráticas y 1 lineal (Φ es a lo sumo cuadrático), entonces β = 1₂. Esto permite utilizar la formulación general del esquema conser- vativo energía-momento, con penalización ecuación (4.14) y con Lagrange aumen- tado ecuación (4.26), para resolver la dinámica del problema sin la necesidad de las iteraciones para obtener β.

Una interpretación alternativa, que conduce a una implementación diferente pero con idénticos resultados, es imponer cada restricción (Φi, i = 1, 2, 3) por sepa-

rado. Haciendo esto, es posible identificar Φ1, Φ2 y Φ3 como restricciones de tipo

escalar, como se describe en los apartados 4.1.2 y 4.2.2 (utilizada en el ejemplo anterior).

El movimiento es integrado con el esquema conservativo para los métodos de penalización y Lagrange aumentado, durante 20 [seg] con un paso de tiempo ∆t = 0.05 [seg]. Se emplea un valor de penalización α = 104 _{para imponer las restric-}

ciones. En este problema se ha calculado el vector inicial de multiplicadores λ0⋆=

λ₀ consistente con las condiciones iniciales del problema, cumpliendo exactamente las ecuaciones de restricción en velocidad (Φ˙0) y aceleración (Φ¨0) en la posición

inicial.

La Figura 4.6 muestra la posición y trayectoria del mecanismo, en 2 instantes de tiempo: 5 [seg] y 15 [seg]. Los resultados mostrados fueron calculados con el método de penalización.

t = 5 [seg] t = 15 [seg]

Figura 4.6. Posición y trayectoria del mecanismo en t = 5 [seg] y t = 15 [seg].

La Figura 4.7 muestra la evolución de la restricción en posición (calculada como la norma cuadrática del vector de restricciones Φ = kΦk = P

i=1 3

Φi2

q

) y el comportamiento de la energía total. Se comparan los resultados obtenidos con el método de penalización y Lagrange aumentado.

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0 5 10 15 20 R es tr ic ci ´on en p os ic i´o n Tiempo [seg] Evoluci´on de kΦk en el tiempo penalizaci´on (∆t=0.05) α = 104 L. aumentado (∆t=0.05) α = 104 2.6630 2.6640 2.6650 2.6660 2.6670 2.6680 2.6690 0 5 10 15 20 E n er g´ı a [J ] Tiempo [seg] Energ´ıa total E = T + V L. aumentado penalizaci´on

(a ) Restricción kΦk vs. tiempo. (b) Energía total vs. tiempo.

Figura 4.7. Comportamiento de las restricciones y evolución de la energía total. Inte- grador: energía-momento. Método de penalización y Lagrange aumentado.

En este problema se ha utilizado un valor de penalización (α = 104_{) relativa-}

mente bajo, con la intención de obtener una diferencia comparable entre ambos métodos. En la Figura 4.7-a se observa que con el método de penalización las res- tricciones en posición no son cumplidas satisfactoriamente, para obtener un cum- plimiento aceptable es necesario utilizar un valor de penalización bastante más alto. Sin embargo, con el método de Lagrange aumentado los resultados son nota- blemente mejores. En la Figura 4.7-b se muestra el comportamiento de la energía total, calculada como la suma de la energía cinética (T ) y la energía potencial de gravedad (V ), se puede observar que existe una diferencia entre ambos métodos, que para el caso de penalización corresponde a la energía potencial de restricción (VΦ). 2.663 2.664 2.665 2.666 2.667 2.668 2.669 0 5 10 15 20 E n er g´ı a [J ] Tiempo [seg] Energ´ıa total E = T + V + VΦ E-momento penalizaci´on

Figura 4.8. Energía vs. tiempo.

Esta diferencia varía dependiendo, entre otras cosas, del valor para el parámetro de penalización α y del paso de tiempo utilizado. En la Figura 4.8 se muestra la energía total, obtenida con el método de penalización, incluyendo la energía potencial de las restricciones VΦ = 1₂αΦTΦ. Se

puede observar que se conserva exactamante, al igual que con Lagrange aumentado.

En la Figura 4.9 se muestra la reacción vertical del punto 2 (ver Figura 4.5), R2y(t). Esta reacción corresponde a la fuerza fy2 correspondiente a la coordenada

y2 del vector de fuerzas fΦ3 asociado a la restricción Φ3 que impide el movimiento

vertical del extremo libre de la barra B2. La reacción se obtiene, según la formula-

ción utilizada como,

R_2ypen(t) = f_Φpen₃ = Φ3qT αΦ3

R_2ylag(t) = f_Φlag₃ = Φ3qT αΦ3+ λ3⋆

con β =1₂ en ambos casos, penalización y Lagrange aumentado.

Además, en la Figura 4.9, se comparan los resultados obtenidos con el esquema conservativo formulado con penalización y Lagrange aumentado, con los resultados obtenidos al integrar las ecuaciones de Lagrange utilizando las coorde- nadas generalizadas ϕ y θ del sistema, e introduciendo una ecuación de restricción Φ = L1 sen(ϕ) − L2 sen(θ) = 0 a través del método de los multiplicadores de

Lagrange. Como se estudió anteriormente, esta formulación conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas (DAEs), que para este caso se ha utilizado un algoritmo específico (Daspk) en la integración numérica de las ecuaciones. Este solver se describe en [Brenan et al. (1996)] y esta implementado en GNU Octave (versión 2.1.72, Copyright (C) 2005) [Eaton (2005)].

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 5 10 15 20 R2 y ( t) [N ] Tiempo [seg]

Evoluci´on de la reacci´on vertical penalizaci´on (∆t=0.05) α = 104

L. aumentado (∆t=0.05) α = 104

DASPK (∆t=0.01)

Figura 4.9. Reacción vectical vs. tiempo. Comparación de diferentes métodos.

Se puede observar que los resultados obtenidos con penalización presentan un comportamiendo oscilatorio alrededor de la solución «exacta»4.6_{. Por otro lado,}

los valores obtenidos con Lagrange aumentado son muy aproximados a los calcu- lados con Daspk. La ventaja del método de Lagrange aumentado frente a Daspk, es principalmente la simplicidad numérica para resolver las ecuaciones, obteniéndose resultados muy satisfactorios.

4.6. Considerada como «excata» la solución obtendia con Daspk, puesto que resuelve el problema original con un paso de tiempo relativamente inferior.

Capítulo

5

Aplicación a modelos de contacto

En este capítulo, primero se resume la formulación conservativa desarrollada en el Capítulo 4 principalmente para restricciones holónomas y que estan en función de un argumento escalar. Como se ha mencionado antes, esta característica permite formular de manera cerrada las fuerzas de restricción. Luego, aprovechando las ventajas de la formulación conservativa, se modela el contacto de sólidos rígidos o deformables planteando el fenómeno como un problema de restricciones. El método de penalización es una de las técnicas más utilizadas para la formulación del contacto y además con muy buenos resultados. Se estudia aquí la aplicación del método de Lagrange aumentado formulado conservativamente en la modela- ción del contacto. Por último, se analizan dos casos simples de contacto y se com- paran los resultados obtenidos con la formulación conservativa de penalización y

Lagrange aumentado.