Fremlin [Freb] demostró que, para cualquier función integrable Birkhoff f :Ω−→ X, la fa-
milia Zf es estable. De hecho, Zf tiene incluso la propiedad de Bourgain, como mostramos a continuación. Naturalmente, la prueba es semejante a la de la medibilidad de las funciones reales integrables Birkhoff (véase la demostración del Teorema 2.1.12).
Proposición 2.3.1 ([CR05]). Sea f :Ω−→ X una función integrable Birkhoff. Entonces Zf tiene la propiedad de Bourgain.
Demostración. Fijamos ε > 0 y A ∈Σcon medida positiva. Como f es integrable Birkhoff, existe una partición contableΓ= (An) deΩen Σtal que, para cada n ∈ N y cualesquiera elecciones
ti,ti0∈ Ai, se tiene n
∑
i=1 µ (Ai) (x∗◦ f )(ti) − (x∗◦ f )(ti0) ≤ n∑
i=1 µ (Ai) f (ti) − f (ti0) ≤ ε µ (A) 2 (2.14)para cada x∗ ∈ BX∗. Fijamos n ∈ N suficientemente grande tal que ∑ni=1µ (A ∩ Ai) > µ(A)/2, y
definimos I = {1 ≤ i ≤ n : µ(A ∩ Ai) > 0}. Vamos a demostrar, por reducción al absurdo, que para
cada x∗∈ BX∗ se cumple
m´ın
i∈I osc(x
∗◦ f |
••
88 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales En efecto, si para algún x∗∈ BX∗ no se verifica la desigualdad anterior, entonces para cada i ∈ Ipodemos tomar puntos ti,ti0∈ A ∩ Aitales que (x∗◦ f )(ti) − (x∗◦ f )(t0
i) > ε. Por tanto ε µ (A) 2 <
∑
i∈Iµ (A ∩ Ai) (x ∗◦ f )(t i) − (x ∗◦ f )(t0 i) ≤∑
i∈I µ (Ai) (x∗◦ f )(ti) − (x∗◦ f )(ti0),lo que contradice la desigualdad (2.14) y termina la prueba.
El recíproco de la proposición anterior no es cierto en general. En efecto, del Lema 1.7.4 se sigue fácilmente que Zf tiene la propiedad de Bourgain para cada función fuertemente medible f :Ω−→ X. Por otro lado, existen funciones fuertemente medibles que no son integrables Birkhoff
(es decir, integrables Pettis, véase el Corolario 2.1.16). Un ejemplo sencillo lo proporciona la función f : [0, 1] −→ c0 definida por f =∑∞n=1(en/λ (En))χEn, donde (En)
∞
n=1 es una partición
de [0, 1] formada por conjuntos medibles Lebesgue con medida positiva.
Sin embargo, sí que podemos establecer la equivalencia en el caso de funciones acotadas, gracias a la caracterización (dada en el Apartado 2.2.2) de la propiedad de Bourgain en términos de familias de oscilación pequeña.
Teorema 2.3.2 ([CR05]). Sea f :Ω−→ X una función acotada. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) f es integrable Birkhoff;
(ii) Zf tiene la propiedad de Bourgain;
(iii) existe un conjunto normante B ⊂ BX∗ tal que Zf ,Btiene la propiedad de Bourgain.
Demostración. En vista de la Proposición 2.3.1, sólo queda demostrar (iii)⇒(i). Nótese que, al
ser acotada, f es sumable respecto de cualquier partición contable de Ω en Σ. Por otra parte, como Zf ,B= {x∗◦ f : x∗∈ B} es uniformemente acotada y tiene la propiedad de Bourgain, el
Corolario 2.2.12 nos asegura que Zf ,Bes una familia de oscilación pequeña. Dado ε > 0, existe una partición finitaΓ= {A1, . . . , An} deΩen Σtal que ∑ni=1µ (Ai) osc(x∗◦ f |Ai) ≤ ε para cada
x∗∈ B. Entonces, para cualesquiera elecciones ti,ti0∈ Ai, tenemos
n
∑
i=1 µ (Ai) f (ti) − n∑
i=1 µ (Ai) f (ti0) = sup x∗∈B x ∗∑
n i=1 µ (Ai) f (ti) − f (ti0) ≤ sup x∗∈B n∑
i=1 µ (Ai) (x∗◦ f )(ti) − (x∗◦ f )(ti0) ≤ ε.Por tanto, diam(J( f ,Γ)) ≤ ε. Esto demuestra que f es integrable Birkhoff.
Como hemos comentado anteriormente, Riddle y Saab [RS85] probaron que una función aco- tada f :Ω−→ X∗ es integrable Pettis si la familia {h f , xi : x ∈ B
X} ⊂ RΩ tiene la propiedad de
Bourgain. El siguiente caso particular del Teorema 2.3.2 mejora dicho resultado.
Corolario 2.3.3 ([CR05]). Sea f :Ω−→ X∗ una función acotada. Entonces f es integrable
2.3 La integral de Birkhoff y la propiedad de Bourgain
••
89Pasamos ahora a analizar el caso de funciones no necesariamente acotadas. En primer lugar, para reducirnos al “caso acotado” vamos a emplear el siguiente lema.
Lema 2.3.4 ([CR05]). Sean B1, . . . , Bn⊂ X conjuntos para los que existe una constante M > 0 tal
que m´ın 1≤i≤n osc(x ∗| Bi) ≤ M para cada x ∗ ∈ BX∗.
Entonces existe un 1 ≤ j ≤ n tal que Bjes acotado.
Demostración. Para cada 1 ≤ i ≤ n, definimos Ci:= {x∗∈ BX∗ : osc(x∗|B
i) ≤ M}. Obsérvese que
cada Ci es cerrado en la topología de la norma. Como {BX∗\ Ci : 1 ≤ i ≤ n} es una familia de
subconjuntos relativamente abiertos de BX∗ con intersección vacía, existe un 1 ≤ j ≤ n tal que
BX∗\ Cj no es denso en BX∗. Por tanto, G := {x∗∈ X∗: kx∗k < 1} 6⊂ BX∗\Cj
k·k
, luego existen
x∗0∈ G y δ > 0 tales que
{x∗∈ X∗: kx0∗− x∗k ≤ δ } ⊂ G ∩Cj.
Fijamos x0∈ Bj. Dado x∗∈ BX∗, el vector x∗0+ δ x∗pertenece a Cj y, por tanto, para cada x ∈ Bjse
tiene |δ x∗(x)| ≤ |(x∗0+ δ x∗)(x) − (x∗0+ δ x∗)(x0)| + |x∗0(x) − x∗0(x0)| + |δ x∗(x0)| ≤ osc((x∗0+ δ x∗)|B j) + osc(x ∗ 0|Bj) + δ kx0k ≤ 2M + δ kx0k.
Así, kxk ≤ (2M)/δ + kx0k para cada x ∈ Bjy, en particular, Bj es acotado.
Observación 2.3.5. La conclusión del Lema 2.3.4 es válida incluso para una sucesión infinita
B1, B2, . . . de subconjuntos de X . Para comprobarlo, basta razonar del mismo modo observando
que, en este caso, la existencia de “un j ∈ N tal que BX∗\Cjno es denso en BX∗” se puede deducir
del Teorema de la Categoría de Baire.
Corolario 2.3.6 ([CR05]). Sea f :Ω−→ X una función tal que Zf tiene la propiedad de Bourgain. Entonces existe una partición contable (An) de Ω en Σ tal que la restricción f |An es acotada
cuando µ(An) > 0.
Demostración. Por el “principio de exhaustividad” (Lema 1.7.3), basta demostrar que para cada A ∈Σde medida positiva existe un E ⊂ΣA de medida positiva tal que f |E es acotada. Vamos a
probar esto: como Zf tiene la propiedad de Bourgain, existen E1, . . . , En∈ΣAcon medida positiva
tales que m´ın 1≤i≤n osc(x ∗| Bi) = m´ın1≤i≤nosc(x ∗ ◦ f |E i) ≤ 1 para cada x ∗ ∈ BX∗,
donde escribimos Bi:= f (Ei) para cada 1 ≤ i ≤ n. Por el Lema 2.3.4, existe un 1 ≤ j ≤ n tal que Bj = f (Ej) es acotado. Esto completa la demostración.
••
90 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Teorema 2.3.7 ([CR05]). Sea f :Ω−→ X una función. Las siguientes condiciones son equiva- lentes:(i) f es integrable Birkhoff;
(ii) Zf es uniformemente integrable y tiene la propiedad de Bourgain.
Demostración. Supongamos que f es integrable Birkhoff. Entonces f es integrable Pettis (Coro-
lario 2.1.13) y, por el Corolario 1.9.3, Zf es un subconjunto uniformemente integrable deL1(µ).
Por otro lado, ya sabemos que la integrabilidad Birkhoff de f asegura que Zf tiene la propiedad de Bourgain (Proposición 2.3.1). La implicación (i)⇒(ii) queda así establecida.
Recíprocamente, probamos (ii)⇒(i). En vista del Corolario 2.2.4, la aplicación canónica
I : (Zf, Tp) −→ (L1(µ), k · k1) (2.15)
(que envía cada función a su clase de equivalencia) es continua. Por tanto, podemos aplicar la Proposición 1.9.2 para deducir que f es integrable Pettis. Por otro lado, como Zf tiene la propiedad de Bourgain, existe una partición contable (An) deΩen Σtal que la restricción f |An es acotada
cuando µ(An) > 0 (Corolario 2.3.6). Se afirma que f |An es integrable Birkhoff para cada n. En
efecto, esto es obvio si µ(An) = 0; por otra parte, cuando Antiene medida positiva, sabemos que
la restricción f |A
n es acotada y que Zf |An tiene la propiedad de Bourgain, por lo que podemos
aplicar el Teorema 2.3.2 para concluir que f |A
nes integrable Birkhoff. Finalmente, el Lema 2.1.15
garantiza la integrabilidad Birkhoff de f .
En [Bir35, Theorem 18] se demostró que toda función integrable Birkhoff es el límite, en la seminorma de Pettis, de una sucesión de funciones simples. Como ya sabemos (Teorema 1.8.13), esto equivale a decir que el rango de la integral indefinida de cualquier función integrable Birkhoff
es relativamente compacto en norma. Nosotros ahora podemos deducir este resultado combinando
la Proposición 1.9.2 y la continuidad de la aplicación I dada en (2.15).
Corolario 2.3.8 ([Bir35]). Si f :Ω−→ X es integrable Birkhoff, entonces νf(Σ) es relativamente compacto en norma.
El Corolario 2.3.8 mejora un resultado de [KSS+02] relativo a la separabilidad del rango de la integral indefinida de las funciones integrables Riemann-Lebesgue, que se definen como sigue. Definición 2.3.9 ([KT00, KSS+02]). Una función f :Ω−→ X se dice integrable Riemann- Lebesgue si existe x ∈ X con la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe una partición contable
ΓdeΩenΣtal que, para cada partición contableΓ0deΩenΣmás fina queΓy cada elección T0 inΓ0, la serie S( f ,Γ0, T0) es absolutamente convergente y kS( f ,Γ0, T0) − xk ≤ ε.
En virtud de la Proposición 2.1.4, toda función integrable Riemann-Lebesgue es integrable Birkhoff, y ambas nociones coinciden para funciones acotadas.
2.3 La integral de Birkhoff y la propiedad de Bourgain
••
91Corolario 2.3.10 ([CR05]). Sea f :Ω−→ X una función. Las siguientes condiciones son equiva- lentes:
(i) f es integrable Riemann-Lebesgue;
(ii) Zf tiene la propiedad de Bourgain y existe g ∈L1(µ) tal que k f k ≤ g µ-a.e.
Demostración. Veamos (i)⇒(ii). Como f es integrable Birkhoff, la familia Zf tiene la propiedad de Bourgain (Proposición 2.3.1). Fijamos ahora una partición contableΓ= (An) deΩenΣtal que
kS( f ,Γ, T ) − S( f ,Γ, T0)k ≤ 1
para cualquiera dos elecciones T y T0 en Γ, siendo las series absolutamente convergentes. En particular, f |A
n es acotada cuando µ(An) > 0. Es fácil ver que la serie∑µ (An)>0k f (An)kµ(An) es
convergente y, por tanto, la función definida por g =∑
µ (An)>0k f (An)kχAn es integrable. Además,
se tiene k f k ≤ g µ-a.e.
Recíprocamente, (ii)⇒(i). Como k f k ≤ g µ-a.e. y Zf está formada por funciones medibles (porque tiene la propiedad de Bourgain), Zf es uniformemente integrable y, por tanto, f es inte- grable Birkhoff (Teorema 2.3.7). Por otra parte, la desigualdad k f k ≤ g µ-a.e. se puede aplicar nuevamente para encontrar una partición contable (An) deΩen Σtal que f |An es acotada cuan-
do µ(An) > 0 y la serie ∑µ (An)>0k f (An)kµ(An) es convergente. Claramente, esto implica que
S( f ,Γ0, T0) es absolutamente convergente para cada partición contable Γ0 de Ω en Σ más fina queΓy cada elección T0inΓ0. Finalmente, podemos utilizar la Proposición 2.1.4 para deducir que
f es integrable Riemann-Lebesgue.
Talagrand [Tal87] caracterizó las funciones f :Ω−→ X para las que Zf es estable y existe
g ∈L1(µ) cumpliendo k f k ≤ g µ-a.e. como aquéllas que satisfacen la llamada ley de los grandes números: existe l´ımn(1/n)∑ni=1f (ti) para casi todo (ti)i∈N∈ΩN, dondeΩN se considera equipa-
do con la probabilidad producto (suponiendo que µ(Ω) = 1). Tales funciones se conocen como funciones integrables Talagrand y han sido ampliamente estudiadas, véase [FM94, Fre95, Freb,
HJ85, Mus94, Tal87]. Por el Teorema 1.9.4, toda función integrable Talagrand es integrable Pettis. Corolario 2.3.11. Toda función integrable Riemann-Lebesgue f :Ω−→ X es integrable Tala- grand.
Demostración. Basta combinar el Corolario 2.3.10 y la Proposición 2.2.5.