The case of five unknown conductivities

Algunos sistemas dinámicos que analizamos en el resto del trabajo no tienen la forma ordinaria (2.1) sino que provienen de ecuaciones en derivadas parciales. Este tipo de sistemas tienen infinitos grados de libertad, por lo que el espacio de las fases asociado tiene también infinitas dimensiones. De todas maneras, suele suceder que debido al carácter disipativo, en algunos sistemas sucede que el flujo se mantiene o bien dentro de un subespacio de dimensión finita o bien en un subespacio de dimensión infinita pero mucho menor que el espacio original de las fases donde podemos aplicar las ideas desarrolladas hasta el momento.

Consideremos el problema de analizar una serie temporal x(t) de un ob- servable que podría representar la evolución temporal de alguna combinación de las componentes del vector de estado de un sistema dinámico no lineal de dimensión no necesariamente finita. Esta serie temporal podría provenir de la medición de alguna variable en un experimento o del valor que toma al- guna variable en un punto dado del espacio integrada numéricamente en el tiempo. Existen algunas técnicas para extraer información de la señal escalar y analizar el sistema dinámico asociado, aunque la calidad de los resultados obtenidos tienen más que ver con el conocimiento que tenga el analista y el fine-tuning que pueda hacer de ciertos parámetros más que con la precisión o complejidad de las herramientas de análisis no-lineal. En particular, el análisis que queremos realizar se reduce a obtener a partir de una sola variable esca- lar x(t), un flujo en un espacio de fases multidimensional y(t) ∈ Rd que sea topológicamente equivalente al original para poder calcular alguna dimensión generalizada.

En general, el análisis de series temporales experimentales suele ser prece- dido por una etapa de separación de la señal útil del ruido inherente a la for- ma de adquirir los datos. Como en este trabajo queremos reconstruir espacios de fases que provienen de la integración numérica de ecuaciones en derivadas parciales suponemos que la señalx(t) no contiene ninguna clase de ruido expe- rimental y contiene sólo información sobre el sistema dinámico que representa. Si bien todavía puede existir la posiblidad de que los métodos aproximados de integración numérica distorsionen la información, suponemos que esta distor- sión puede ser bien caracterizada e incluso reducida. Por otro lado, el objetivo

general de los análisis de estabilidad que proponemos en este trabajo es es- tudiar la topología general del problema y no el comportamiento particular de cada sistema individual. En este sentido, prestamos especial atención a los esquemas numéricos utilizados y en todos los casos nos aseguramos de que la integración numérica guarde cierta relación general con el comportamiento esperado del sistema para el rango de parámetros estudiados.

2.5.1.

Embedding

La idea básica detrás de la reconstrucción del flujo en el espacio de las fases a partir de una serie temporal se basa en el hecho de que la variable obser- vada x(t + ∆t) es alguna combinación —no lineal— de las componentes del vector x(t) y de su campo de derivadas. Packard et al. (1980) proponen cons- truir un vector de dimensiónd a partir de la serie temporal x(t)

y(t) = x(t) x(t − ∆t) x(t − 2∆t) . . . x(t − [d − 1]∆t)T (2.16) En forma equivalente, si disponemos sólo deM puntos discretos tomados en sucesivos instantes de muestreot = ih tales que

xi = x(ih)

entonces el vector reconstruido es

y(t) = x_i x_i−T x_i−2T . . . x_i−[d−1]T† (2.17) Este proceso de reconstrucción se denomina embedding. Si la dimensión d es lo suficientemente grande, entonces existirá una correspondencia biunívoca entre el vector original x(t) y el vector reconstruido y(t). En general no sabe- mos que relación explícita existe entre x e y, pero sí sabemos que debe ser un cambio de variables continuo. Este tipo de mapeos preservan las propiedades topológicas del flujo original, en particular las dimensiones generalizadas (Ar- barbanel, 1993).

Al mirar la forma de los vectores reconstruidos (2.16) y (2.17) surgen cla- ramente dos preguntas. ¿Cómo elegir tanto el delay∆t como la dimensión d? Existen argumentos que sugieren que en realidad el flujo obtenido es topoló- gicamente equivalente al original independientemente del delay ∆t utilizado en la reconstrucción, siempre que la dimensión d sea al menos el doble de la dimensióndAdel atractor original, que puede ser no entera.

La idea del embedding es, por un lado, lograr una correspondencia biuní- voca entre puntos del espacio de las fases original y el reconstruido. Pero por otro lado, queremos obtener un nuevo sistema cuyas propiedades dinámicas

se parezcan tanto como se pueda al sistema original. Si la dimensión de em- beddingd es muy pequeña, entonces habrá ambigüedades en la reconstrucción del flujo y un mismo punto del espacio reconstruido será imagen de más de un punto del espacio original, haciendo que el flujo reconstruido se corte a sí mismo. Estrictamente, es posible lograr un desdoblamiento sin ambigüedades al utilizar una dimensión de embedding d > 2dA. Sin embargo, hay situacio-

nes en las que no es necesario duplicar la dimensión del atractor para eliminar las ambigüedades. Existen técnicas para decidir cuál es la menor dimensiónd necesaria para lograr una reconstrucción satisfactoria (Arbarbanel, 1993), pero en este trabajo o bien elegimos la dimensión de embedding mediante algún razonamiento físico o bien utilizaremos algún procedimiento artesanal e itera- tivo hasta que logremos eliminar todas las ambigüedades, que se traducen en flujos reconstruidos que se intersecan a sí mismos.

Con respecto a la elección del delay∆t, si bien por un lado algunos autores aseguran que cualquier valor es aceptable, los resultados con respecto a la se- gunda de las ideas del embedding discutida en el párrafo anterior dependen sensiblemente de delay utilizado, aunque no está muy claro en qué forma. El razonamiento es el siguiente. Si el delay es muy pequeño, entonces las coor- denadas del vector reconstruido y serán muy parecidas y la reconstrucción no aportará mucha información. Por otro lado, si el delay es muy grande las coordenadas estarán totalmente descorrelacionadas —debido a la separación exponencial de condiciones iniciales cercanas— y el flujo se parecerá más a un random walk que a la órbita de un sistema dinámico determinístico.

Un criterio basado en resultados de la teoría de la información propone utilizar el delay ∆t que haga que la función de información mutua promedio entre las observacionesxiyxi+T

I(T ) = M X i=1 P (xi, xi+T) log2  P (x i, xi+T) P (xi) · P (xi+T)  (2.18) tenga un mínimo local, donde P (a) es la probabilidad de obtener a en una medición del conjuntoA, y P (A, B) es la probabilidad condicional de obtener A dado que se obtuvo B.

Otro criterio busca elegir el delay ∆t de forma tal que, en promedio, las coordenadas del vector y sean linealmente independientes. De esta manera nos aseguramos —al menos en forma lineal— que el delay no sea tan pequeño como para que las coordenadas estén totalmente correlacionadas ni tan grande como para que no guarden relación alguna entre ellas. La función de autoco- rrelación lineal como función del delayT

C(T ) = M X i=1 (xi+T − ¯x) (xi− ¯x) M X i=1 (xi− ¯x)2 (2.19)

da una idea sobre qué tan correlacionadas resultan —sólo en promedio y line- almente— las coordenadas elegidas. Una buena elección para T es el menor valor que hace que o bienC(T ) se anule o bien C(T ) = α, para alguna elección deα razonable. El cálculo de la función (2.19) es bastante directo y la búsqueda de su primer cero arroja resultados similares a la minimización de la informa- ción mutua (2.18), por lo que utilizamos la función de autocorrelación lineal C(T ) como primera aproximación a la elección del delay ∆t.