2.3 THE BACKGROUND TO STUDENT MIGRATION
2.3.2 Changes in student migration
1.3
LA TECNOLOGÍA Y LAS LA TECNOLOGÍA Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES DIFERENCIALES
Los usuarios de este libro están viviendo una época maravillosa para la enseñanza y el Los usuarios de este libro están viviendo una época maravillosa para la enseñanza y el aprendizaje. La disponibilidad y el coste
aprendizaje. La disponibilidad y el coste relativamente bajo de las calculadoras, ordenado-relativamente bajo de las calculadoras, ordenado- res y el software facilitan,
res y el software facilitan, más que nunca y en más que nunca y en cualquier lugar, la introducción de la tecno-cualquier lugar, la introducción de la tecno- logía en la clase y en
logía en la clase y en las mochilas y los hogares de los estudiantes.las mochilas y los hogares de los estudiantes.
Se supone que en este curso tendrá la posibilidad de acceso a potentes calculadoras grá- Se supone que en este curso tendrá la posibilidad de acceso a potentes calculadoras grá- ficas o a sistemas de álgebra computacional (SAC). Incluso los programas con hojas de ficas o a sistemas de álgebra computacional (SAC). Incluso los programas con hojas de cálculo pueden realizar ciertos cálculos que resultarían tediosos si se hicieran a mano. (Con- cálculo pueden realizar ciertos cálculos que resultarían tediosos si se hicieran a mano. (Con- sulte las secciones 3.1, 3.3 y 3.4.) Debería intentar duplicar las figuras y las tablas del texto sulte las secciones 3.1, 3.3 y 3.4.) Debería intentar duplicar las figuras y las tablas del texto utilizando su propia tecnología. Para ello está a su disposición
utilizando su propia tecnología. Para ello está a su disposición software softwarematemático de pro-matemático de pro- pósito general como
pósito general como DeriveDerive®® , Macsyma , Macsyma®® , Maple , Maple®® , Mathematic , Mathematicaa®® yy MATLABMATLAB®® , , así comoasí como programas especializados de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo
programas especializados de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo Differential Sys-Differential Sys- tems, ODE Solver, Phaser, ODE Toolkit
tems, ODE Solver, Phaser, ODE Toolkit yy MDEP MDEP . Su profesor o profesora puede incluso. Su profesor o profesora puede incluso disponer de sus propios programas para utilizar en clase. Incluso sin ordenador, puede tra- disponer de sus propios programas para utilizar en clase. Incluso sin ordenador, puede tra- tar de resolver algunas ecuaciones diferenciales y sistemas de EDO con calculadoras gráfi- tar de resolver algunas ecuaciones diferenciales y sistemas de EDO con calculadoras gráfi- cas tan potentes a nivel algebraico (y programables) como la HP-48G/X y la TI-92.
cas tan potentes a nivel algebraico (y programables) como la HP-48G/X y la TI-92.
Al principio de este curso, deberá aprender a aplicar la tecnología para realizar cálcu- Al principio de este curso, deberá aprender a aplicar la tecnología para realizar cálcu- los básicos y para
los básicos y para representar gráficamente las soluciones de varios tipos de representar gráficamente las soluciones de varios tipos de ecuaciones.ecuaciones. A medida que avance con el material, tendrá que aprender instrucciones y procedimien- A medida que avance con el material, tendrá que aprender instrucciones y procedimien- tos específicamente relativos a las ecuaciones diferenciales. El
tos específicamente relativos a las ecuaciones diferenciales. El uso de la tecnología le luso de la tecnología le libe-ibe- rará de la carga de realizar tediosos cálculos
rará de la carga de realizar tediosos cálculos y le permitirá centrarse en la conveniencia dey le permitirá centrarse en la conveniencia de las entradas o datos y lo razonable de las
las entradas o datos y lo razonable de las salidas o resultados. Una calculadora gráfica osalidas o resultados. Una calculadora gráfica o SAC le permitirá pensar los problemas de un modo diferente, debido a sus funcionalida- SAC le permitirá pensar los problemas de un modo diferente, debido a sus funcionalida- des analíticas, gráficas y numéricas. Con
des analíticas, gráficas y numéricas. Con ayuda de la tecnología, podrá analizar problemasayuda de la tecnología, podrá analizar problemas de mayor complejidad que la abordable hace tan sólo una o dos generaciones universita- de mayor complejidad que la abordable hace tan sólo una o dos generaciones universita- rias. Sin embargo, es importante que los usuarios de calculadoras gráficas y ordenadores rias. Sin embargo, es importante que los usuarios de calculadoras gráficas y ordenadores se den cuenta de que estas potentes herramientas tecnológicas pueden llevarles por un se den cuenta de que estas potentes herramientas tecnológicas pueden llevarles por un mal camino.
mal camino.
Los sofisticados aparatos tecnológicos pueden
Los sofisticados aparatos tecnológicos pueden errar errar al facilitar la respuesta a un pro-al facilitar la respuesta a un pro- blema. Por otro lado, las calculadoras y los ordenadores pueden proporcionar
blema. Por otro lado, las calculadoras y los ordenadores pueden proporcionar resultadosresultados incorrectos, incompletos o engañosos
incorrectos, incompletos o engañosos, incluso cuando se haya introducido correctamente, incluso cuando se haya introducido correctamente toda la información preliminar sobre un problema y cuando las teclas se hayan pulsado en toda la información preliminar sobre un problema y cuando las teclas se hayan pulsado en el orden correcto. Por ejemplo, un SAC c
el orden correcto. Por ejemplo, un SAC corriente no facilita ningún resultado si se le orriente no facilita ningún resultado si se le soli-soli- cita que resuelva la ecuación de primer orden
cita que resuelva la ecuación de primer orden y y9955lnln (( x x2211 y y22)).. Y, sin embargo, el mismoY, sin embargo, el mismo SAC puede proporcionar soluciones
SAC puede proporcionar soluciones numéricasnuméricasexactas (consulte el capítulo 3). El mismoexactas (consulte el capítulo 3). El mismo procedimiento de resolución de EDO del programa, aplicado a l
procedimiento de resolución de EDO del programa, aplicado a la ecuación no lineal dea ecuación no lineal de primer orden 2
primer orden 2 xy xy99 11 y y22551, 1, da da como como resultado resultado la la familia familia uniparamétrica uniparamétrica yy 5 5 ee ,,
2
2CCxx 1 1 11
2
211 1 1 ee22CCxx
24
que no es exactamente igual que la solución proporcionada en la sección 1.2, pero las que no es exactamente igual que la solución proporcionada en la sección 1.2, pero las gráfi
gráficascas de estas familias serán idénticas. Además, el SAC no ofrece la solución singu-de estas familias serán idénticas. Además, el SAC no ofrece la solución singu- lar
lar . . Sobre Sobre todo, todo, dado dado que que la la integración integración indefinida indefinida es es importante importante para para resolverresolver muchas ecuaciones diferenciales, resultaría molesto que el
muchas ecuaciones diferenciales, resultaría molesto que el softwa softwarere computacional pro-computacional pro- porcionase
porcionase el el valor valor de de como como lnln x xen vez de la en vez de la respuesta que podríamos esperar,respuesta que podríamos esperar, . En este caso, el ordenador es correcto porque interpreta el logaritmo en tér- . En este caso, el ordenador es correcto porque interpreta el logaritmo en tér- minos de un
minos de un número complejo xnúmero complejo x. Sin embargo, ya que en este curso estamos interesados. Sin embargo, ya que en este curso estamos interesados en soluciones reales, debemos integrar 1/
en soluciones reales, debemos integrar 1/ x x como lo hacemos habitualmente en cálculo.como lo hacemos habitualmente en cálculo. (Compruebe el resultado de los ejemplos mostrados en este párrafo usando su propio (Compruebe el resultado de los ejemplos mostrados en este párrafo usando su propio SAC.)
SAC.)
A una escala más general, cualquiera puede utilizar los recursos de internet (la A una escala más general, cualquiera puede utilizar los recursos de internet (la World Wide Web, WWW
World Wide Web, WWW ) para encontrar información. En el caso de ecuaciones diferen-) para encontrar información. En el caso de ecuaciones diferen- ciales, esta exploración puede adoptar la forma de búsqueda de herramientas online ciales, esta exploración puede adoptar la forma de búsqueda de herramientas online (como las
(como las applet Javaapplet Java) para dibujar gráficas o para realizar cálculos numéricos, de reco-) para dibujar gráficas o para realizar cálculos numéricos, de reco- gida de datos reales para un proyecto de modelado o, simplemente, de utilización de tu- gida de datos reales para un proyecto de modelado o, simplemente, de utilización de tu- toriales u hojas de cálculo SAC facilitadas por profesionales fuera de su propia institu- toriales u hojas de cálculo SAC facilitadas por profesionales fuera de su propia institu- ción. En esta actividad, deberá tener cuidado al utilizar una calculadora o un SAC. La ción. En esta actividad, deberá tener cuidado al utilizar una calculadora o un SAC. La Web es famosa por proporcionar información que puede resultar imprecisa. Explore (o Web es famosa por proporcionar información que puede resultar imprecisa. Explore (o “navegue por”) la red de un modo inteligente, y refuerce su intuición acerca de la fiabi- “navegue por”) la red de un modo inteligente, y refuerce su intuición acerca de la fiabi- lidad de los datos con los que se encuentra. Finalmente, ni el profesor ni los alumnos de- lidad de los datos con los que se encuentra. Finalmente, ni el profesor ni los alumnos de- berían obsesionarse con la tecnología de tal modo que se acabe por eliminar toda inte- berían obsesionarse con la tecnología de tal modo que se acabe por eliminar toda inte- racción humana. Los profesores y los alumnos deberían conversar y escucharse con racción humana. Los profesores y los alumnos deberían conversar y escucharse con atención.
atención.
La conclusión de esta breve sección es
La conclusión de esta breve sección es que las calculadoras gráficas y los que las calculadoras gráficas y los ordenadoresordenadores son estupendos
son estupendos, pero también es necesario el conocimiento de la teoría matemática y , pero también es necesario el conocimiento de la teoría matemática y dede las técnicas de análisis. Intente siempre centrarse en la ciencia y en las matemáticas subya- las técnicas de análisis. Intente siempre centrarse en la ciencia y en las matemáticas subya- centes que hay bajo los números y las gráficas. Internet puede ayudarnos a aprender mu- centes que hay bajo los números y las gráficas. Internet puede ayudarnos a aprender mu- cho sin abandonar nuestra clase, biblioteca o casa,
cho sin abandonar nuestra clase, biblioteca o casa, pero hemos de ser cautelosos y pero hemos de ser cautelosos y no creerno creer todo lo que vemos. Utilicemos
todo lo que vemos. Utilicemos la tecnología sabiamente, recordando que sólo los seres hu-la tecnología sabiamente, recordando que sólo los seres hu- manos pueden pensar y emitir juicios... hasta ahora.
manos pueden pensar y emitir juicios... hasta ahora.
EJERCICIOS 1.3
EJERCICIOS 1.3
1.
1. Busque reseñas de algúnBusque reseñas de algún softwa softwarere computacional de matemáticas generales, cientí-computacional de matemáticas generales, cientí- fico o específicamente para EDO, especialmente alguno al que tenga acceso desde fico o específicamente para EDO, especialmente alguno al que tenga acceso desde su casa o escuela. Intente conseguir en Internet o en revistas de informática artícu- su casa o escuela. Intente conseguir en Internet o en revistas de informática artícu- los sobre ese
los sobre ese soft softwarwaree. Incluso si no entiende todos los . Incluso si no entiende todos los conceptos matemáticos deconceptos matemáticos de las reseñas, podrá obtener una idea general de los puntos fuertes y flacos de estos las reseñas, podrá obtener una idea general de los puntos fuertes y flacos de estos programas.
programas. 2.
2. Lea las instrucciones necesarias para resolver sencillas EDO con elLea las instrucciones necesarias para resolver sencillas EDO con el softwar softwaree al queal que tenga acceso. Intente aplicar estos conocimientos a la EDO
tenga acceso. Intente aplicar estos conocimientos a la EDO no lineal de primer ordenno lineal de primer orden , cuya familia de
, cuya familia de soluciones essoluciones es y y(( x x))55
cc
CeCe2x2x 11 22 ,, 55sscoscosxx 1 1 22sensenxxdd
dd
2 211>>
22y
yrr 1 1 yy 5 5 yy33sensenxx ln ln
00
xx00
11CC#
#
11>>
xxdxdx y y ; ; 111.3 La tecnología y las ecuaciones diferenciales
donde
donde CCes es una una constante, constante, y y tiene tiene como como una una solución solución singular.singular. (Compruebe esto(Compruebe esto a mano.)
a mano.) ¿Se parece a éste el ¿Se parece a éste el resultado proporresultado proporcionado por su ordenador? Si no es así,cionado por su ordenador? Si no es así, utilice algo de álgebra. ¿Le es posible obtener la solución singular con su ordenador? utilice algo de álgebra. ¿Le es posible obtener la solución singular con su ordenador? Observe
Observe también también lo lo que que hace hace su su ordenador ordenador con con la la ecuación ecuación ..
1.4.
1.4.
RESUMENRESUMEN
El estudio de las ecuaciones diferenciales es tan antiguo como el
El estudio de las ecuaciones diferenciales es tan antiguo como el desarrollo del cálculo pordesarrollo del cálculo por Newton y Leibniz a finales del siglo
Newton y Leibniz a finales del siglo XVIIXVII. Suscitaron una gran motivación . Suscitaron una gran motivación importantes pre-importantes pre-
guntas como el cambio y el movimiento en la tierra y el guntas como el cambio y el movimiento en la tierra y el cielo.cielo.
Una
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO)ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que implica una funciónes una ecuación que implica una función desconocida o incógnita, su variable independiente y una o más
desconocida o incógnita, su variable independiente y una o más de sus derivadas:de sus derivadas:
Una ecuación como ésta puede ser descrita
Una ecuación como ésta puede ser descrita en términos de suen términos de su ordenorden, el orden más alto de, el orden más alto de derivación de la función incógnita en la
derivación de la función incógnita en la ecuación.ecuación.
Las ecuaciones diferenciales también se pueden clasificar en
Las ecuaciones diferenciales también se pueden clasificar en linealeslineales oono linealesno lineales. Las. Las ecuaciones lineales
ecuaciones lineales se pueden escribir de esta forma:se pueden escribir de esta forma:
donde cada función coeficiente
donde cada función coeficiente aaii(( x x) sólo depende de) sólo depende de x xy no implica ay no implica a y yni a ninguna de susni a ninguna de sus derivadas. Las
derivadas. Las ecuaciones no linealesecuaciones no lineales habitualmente contienen productos, cocientes ohabitualmente contienen productos, cocientes o combinaciones más elaboradas de la
combinaciones más elaboradas de la función desconocida y sus función desconocida y sus derivadas.derivadas. Una
Una soluciónsolución de una EDO es una función real de una variable real de una EDO es una función real de una variable real que, al ser susti-que, al ser susti- tuida en la ecuación, la satisface idénticamente en algún intervalo. Puede ocurrir que una tuida en la ecuación, la satisface idénticamente en algún intervalo. Puede ocurrir que una EDO dada de orden
EDO dada de orden nnno tengano tenganingunaninguna solución, que tenga unasolución, que tenga una únicaúnicasolución o unasolución o una infi-infi- nitud de soluciones
nitud de soluciones. Una. Una familia infinita de soluciones familia infinita de soluciones puede caracterizarse porpuede caracterizarse por nnconstan-constan- tes (parámetros). Estas constantes arbitrarias, si es que hay alguna, pueden ser evaluadas tes (parámetros). Estas constantes arbitrarias, si es que hay alguna, pueden ser evaluadas mediante la imposición de
mediante la imposición de condiciones inicialescondiciones iniciales apropiadas (normalmente un númeroapropiadas (normalmente un número nndede ellas, incluyendo el comportamiento de la solución en un único
ellas, incluyendo el comportamiento de la solución en un único punto de su dominio) o depunto de su dominio) o de condiciones de frontera
condiciones de frontera (en dos o más puntos). Nos referimos a la resolución de una ecua-(en dos o más puntos). Nos referimos a la resolución de una ecua- ción diferencial con condiciones iniciales como, por jemplo, la resolución de un
ción diferencial con condiciones iniciales como, por jemplo, la resolución de un problemaproblema de valor inicial (PVI)
de valor inicial (PVI). La resolución de una . La resolución de una ecuación diferencial con condiciones de fron-ecuación diferencial con condiciones de fron- tera se denomina resolución de un
tera se denomina resolución de un problema de valores en la frontera (PVF)problema de valores en la frontera (PVF) ooproblemaproblema de contorno.
de contorno. En general, los PVF son más difíciles de resolver que los PVI. El resultadoEn general, los PVF son más difíciles de resolver que los PVI. El resultado de resolver tanto un PVI como un PVF
de resolver tanto un PVI como un PVF recibe el nombre derecibe el nombre de solución particularsolución particular de la ecua-de la ecua- ción o
ción o integralintegral de la ecuación. A la gráfica de una solución particular se la llamade la ecuación. A la gráfica de una solución particular se la llama curva in-curva in- tegral
tegral oocurva solucióncurva solución. En los capítulos 2 y 3 hablaremos de la cuestión de la. En los capítulos 2 y 3 hablaremos de la cuestión de la exiexiststenenciaciayy unicidad
unicidadde soluciónde soluciónde los PVI. ¿Tiene la ecuación o el sistema una solución qude los PVI. ¿Tiene la ecuación o el sistema una solución que satisfagae satisfaga las condiciones iniciales? En caso afirmativo, ¿existe sólo
las condiciones iniciales? En caso afirmativo, ¿existe sólo una solución?una solución? Si
Si cada una decada una de las soluciones de una EDO de ordenlas soluciones de una EDO de orden nn en un intervalo se puede ob-en un intervalo se puede ob- tener a partir de una familia de
tener a partir de una familia de nnparámetros, si se eligen valores apropiados para lasparámetros, si se eligen valores apropiados para las nn
constantes
constantes, entonces decimos que la , entonces decimos que la familia es lafamilia es la solución generalsolución general de la ecuación dife-de la ecuación dife- a annssxxddyyssnndd 11 aa n n2211ssxxddyyssnn2211dd11cc11aa 2 2ssxxddyyss 1 1 aa11ssxxddyyrr 1 1 aa00ssxxddyy 5 5 f fssxxdd F Fssx, y, yx, y, yrr, y, yss, y, ytt,, cc, y, y s snn2211dd, y, yssnndddd 5 5 00
0
0
yyrr00
1100
yy00
55 00 y y ; ; 0026
rencial. En este caso, necesitamos
rencial. En este caso, necesitamos nn condiciones iniciales ocondiciones iniciales o nn condiciones de fronteracondiciones de frontera para determinar las constantes. Sin embargo, algunas veces existen
para determinar las constantes. Sin embargo, algunas veces existen soluciones singula-soluciones singula- res
res que no se pueden hallar simplemente eligiendo los valores particulares de las cons-que no se pueden hallar simplemente eligiendo los valores particulares de las cons- tantes.
tantes.
Al igual que en las escuelas o las universidades el álgebra introduce los sistemas de Al igual que en las escuelas o las universidades el álgebra introduce los sistemas de ecuaciones algebraicas, el estudio de
ecuaciones algebraicas, el estudio de ciertos problemas nos conduce a menudo al ma-ciertos problemas nos conduce a menudo al ma- nejo de
nejo de sistemas de ecuaciones diferencialessistemas de ecuaciones diferenciales. Cada uno de éstos puede clasificarse a su. Cada uno de éstos puede clasificarse a su vez en
vez en sistemas linealessistemas lineales oosistemas no linealessistemas no lineales. Podemos especificar las condiciones ini-. Podemos especificar las condiciones ini- ciales o de contorno para los
ciales o de contorno para los sistemas. Independientemente de que consideremos ecua-sistemas. Independientemente de que consideremos ecua- ciones únicas o sistemas de ecuaciones, estamos tratando con situaciones
ciones únicas o sistemas de ecuaciones, estamos tratando con situaciones dinámicasdinámicas: si-: si-