Tal y como se concluía en el capítulo anterior, toda solución de inicio de colapso debe de: 1º Ser una solución estática admisible.
2º Ser una solución cinemática admisible.
3º Cumplir las condiciones de "contacto2 unilateral3"
Si se consideran por separado los modelos estático y cinemático, es difícil entender donde radica la dificultad del problema y resolverlo.
Las ecuaciones de equilibrio y las de compatibilidad constituyen sistemas de ecuaciones lineales. ;
λ
= +
t
B s = f g q Bu = e
Las restricciones de cedencia y fluencia, y la normalización del trabajo son sistemas de ecuaciones e inecuaciones, lineales en el caso de estructuras planas (con solicitaciones en su plano), y una mezcla de lineales y cónicas de segundo orden en el caso de estructuras tridimensionales.
; ; ; 1
≥ ≥ =
t t
-L s = y 0 Vz = e z 0 q u
Incluso aunque se consideren unas condiciones de cedencia no simplificadas, con una superficie límite parabólica, dicha superficie sigue definiendo un dominio convexo y además fácilmente linealizable.
2Las condiciones de Signorini (1933) se refieren al contacto (impenetrabilidad, necesidad de alcanzar el límite de las “tensiones” antes de iniciarse el movimiento...).
3
Igualmente, considerar una resistencia a tracción limitada, pero no nula, únicamente supone un desplazamiento de la superficie límite respecto al origen, lo cual no cambia la naturaleza del problema a resolver.
Por tanto, en aquellos casos en los que las condiciones del problema permiten un planteamiento exclusivamente estático o exclusivamente cinemático, la obtención de la “carga de inicio de colapso” se reduce a la resolución de un programa lineal (a elegir entre dos duales (3.1)) en el caso plano, y un programa cónico de segundo orden en el caso tridimensional.
s.a. Máx. s.a. Mín. 1 λ λ + = ≥ = ≥ t t t t B s = g q -L s y y 0 Bu -Vz = 0 g u q u z 0 (3.1)
Los dos tipos de programas son convexos y, por tanto, tienen un único valor óptimo que corresponde con una “única carga de inicio de colapso”. Además, un programa cónico se puede reformular fácilmente linealizándolo, con toda la precisión que se desee, como un programa lineal.
La obtención de una solución segura o insegura es aún más sencilla, bastando hallar cualquier solución que cumpla el correspondiente conjunto de condiciones, estáticas para la segura y cinemáticas para la insegura.
Absolutamente todas las condiciones introducidas en los modelos considerados separadamente, tanto en los estáticos como en los cinemáticos, son lineales o convexas y, por lo tanto, linealizables.4
Las condiciones que hacen difícil la resolución del problema son las de "contacto" que, como se ha visto anteriormente, son las que ligan las condiciones estáticas y cinemáticas en los puntos de contacto. Esto se debe a que están constituidas, incluso en la más sencilla de las formulaciones posibles, por ecuaciones que no son ni lineales, ni convexas, ni suaves5, (para un único par de variables, figura 3.3).
Figura 3.3
4 Es más, desde un punto de vista ingenuo considerando el modelo cinemático separadamente, parecería más sencillo el caso del deslizamiento de Coulomb que está contenido en un plano que el del deslizamiento asociativo que está contenido en un cono
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Dado que la naturaleza del problema no cambia sustancialmente, al menos a efectos de análisis de estructuras antiguas de fábrica, aunque se considere una resistencia a compresión limitada, o una resistencia a tracción no nula, o, incluso, una estructura con geometría o acciones tridimensionales, el desarrollo se centrará6 en el caso más sencillo, dejando que tome protagonismo la condición crucial del problema que es la de contacto.
Una condición de "contacto" puede expresarse en la siguiente forma:
Hasta que el “estado de tensiones” en un punto de contacto no alcanza su valor límite respecto a una de las condiciones de cedencia (hasta que su “holgura” yino se haga cero) no puede iniciarse la correspondiente “deformación” elemental (el correspondiente “multiplicador plástico” zi no puede hacerse mayor que cero) en dicho punto de contacto.
Para cada par de variables y zi, i, correspondientes a la holgura respecto a una restricción de cedencia concreta y su correspondiente multiplicador plástico, ambas variables están obligadas a ser mayores o iguales que cero, pero como máximo una de ellas puede ser mayor que cero, o lo que es lo mismo al menos una de ellas debe de ser cero (3.2).
0≤ yi ; yi = ∨0 zi=0 ; zi≥0 (3.2) Este carácter disyuntivo de la condición, o una variable es cero o la otra es cero o ambas son cero, es el que hace difícil la solución del problema. Por otro lado, ni siquiera la disyuntiva es simple (o lo uno o lo otro), sino que existe un tercer caso en que ambas variables son cero (vértice de la figura 3.3).
Figura 3.4
6 A partir de este punto, todo el desarrollo de fórmulas se referirá al caso de estructuras planas con cargas en su propio plano y restricciones de cedencia y reglas de fluencia lineales o linealizadas. Tampoco se considerarán resistencias a tracción o por cohesión por los motivos de claridad ya apuntados. Ocasionalmente, pero sin desarrollarlos, se introducirán párrafos y referencias relativas al problema general "extendido"
Las condiciones de contacto son aplicables tanto en caso de inicio de colapso como en caso de no haber llegado a alcanzarse éste. Observando en la figura 3.4 el caso de la izquierda (ESTABLE) se aprecia que las condiciones de contacto se cumplen, sin embargo, no es una solución de inicio de colapso, puesto que no es una solución de equilibrio límite ni un mecanismo válido.
Por otro lado, las condiciones de contacto son aplicables tanto al caso de plasticidad no asociativa como al de asociativa, esto es debido a que su origen está en el carácter unilateral del contacto y no en la relación entre los ángulos de rozamiento y deslizamiento.
Una de las formulaciones matemáticas posibles de estas condiciones es como restricciones de complementariedad.
≤ ⊥ ≥
0 y z 0 (3.3)
Debido a ello la obtención de una "solución de inicio de colapso" puede formularse como un Problema de Complementariedad (CP), como por ejemplo hizo Per Lotstedt (1982)
En el caso general un LCP (un CP lineal) puede: no tener solución, tener una solución o tener múltiples soluciones, como se mostrará más adelante. En lo que resta de capítulo se planteará cómo obtener una solución de inicio de colapso o, lo que es lo mismo, una solución del LCP.