Chapter 22: Regional policy and coordination of structural instruments

es exacta localmente. Seax ∈X, entonces la sucesión 0→ A•

x fx −→ B• x gx −→ C•

x → 0 es una sucesión exacta de complejos de grupos abelianos. Usando álgebra homológica se tiene una sucesión exacta larga de grupos de coho- mología. Como es para cada x ∈ X, obtenemos una sucesión exacta larga, donde los objetos son pregavillas, aplicando la gavilla asociada obtenemos el resultado.

2.2. Resolución inyectiva

Una resolución de una gavillaA ∈ AB(X)es un complejo de gavillas

K•_{junto con un morfismoi:A,→ K}0_{enAB(X)tal que}

(1) ies un monomorfismo con imagen igual aKer(d0_).

(2) Paran≥1, el núcleo dedn_{coincide con la imagen ded}n−1_.

Entonces H0_(K•_{) = A y H}j_(K•_{) = 0 para j > 0. La resolución será} denotada porA −→ Ki •_{. Dadas dos resolucionesA} i1

−→ K•

1 yA

i2

−→ K•

2 de

A, un morfismo de resoluciones es un morfismo de complejosφ : K•

1 → K•2

tal queφ0_◦i

1 =i2enHomX(A,K02).

Un complejo K• _{de gavillas se llama acíclico si toda gavilla de coho-} mología Hj_(K•_{) es cero. Nótese que dado un complejo de gavillas K}• _e

i : A → K0_{, K}• _{es una resolución de A si y sólo si el complejo A −→}i

K0 _{→ K}1_{· · · → K}n_{es acíclico.}

Proposición 2.2.1. (1)Para cualquier gavillaA de grupos abelianos, existe una resoluciónA −→ Ii • _{deAen la cual cada gavillaI}n _{es inyectiva. Esta}

se llama una resolución inyectiva deA.

(2)Seaφ:A → Bun morfismo enAB(X). Dada una resoluciónA −→f I• _{de A y una resolución inyectiva B −→ J}g • _{de B existe un morfismo de}

complejosψ :I• _{→ J}• _{tal queψ}0 _{◦f =g◦φ.Este morfismo de complejos}

es único salvo homotopía.

Demostración. Para probar(1), construimos por inducción enn ∈Nuna su- cesión exacta A −→ Ii 0 _{−→ I}d0 1 _{−→ · · ·}d1 _{−→ I}dn−1 n _{con I}0_{,· · ·,I}n _gavillas

inyectivas. El cason = 0se sigue fácilmente del Lema 1.3.3. Teniendo elec- ción enIn_{, entonces elegimos una gavilla inyectivaI}n+1_{y un monomorfismo}

In_/Im(dn−1_{)−→ I}dn n+1 _conIn+1_{una gavilla inyectiva.}

Para demostrar (2), construimos ψ : In _{→ J}n _{por inducción en n. La} existencia deψ0 _{se sigue del hecho queJ}0_{es inyectiva. Siψ}0_{, ψ}1_{, ..., ψ}n_han sido construidas (para algúnn≥1), la aplicacióndn_◦ψn_:In_{→ J}n+1_tiene

composición cero condn−1_{, ya qued}n_◦ψn_◦dn−1 _{= d}n_◦dn−1 _◦ψn−1 _{= 0.}

De aquí esto se factoriza a través de un morfismof :In_/Im(dn−1_{)→ J}n+1_.

Tenemos In_/Im(dn−1_{) = I}n_/Ker(dn_{) ya que I}• _{es una resolución de A.} Nótese quedn _{induce un morfismoI}n_/Im(dn−1_{) ,→ I}n+1_{. Usando el hecho}

de queJn+1 _{es una gavilla inyectiva se obtiene un morfismoψ}n+1 _:In+1 _→

Jn+1_{extendiendof, entonces tenemos queψ}n+1_◦dn_=dn_◦ψn_.

Ahora seaρ= (ρn_{)otro morfismo de complejos de gavillas con la misma} propiedad. Construimos por inducción paran ≥ 0 un morfismoHn _{: I}n _→

Jn−1_{tal que}

dn−1 _◦Hi_{+ H}i+1_◦di _=ψi_−ρi _(E i) (por comodidad, consideremos d−1 _{= 0). Supongamos que H}0_,H1_{, ...,H}n han sido construidos, y la ecuaciónEi se satisface para i ≤n−1. Entonces

ψn_−ρn_−dn−1_◦Hn_{se anula enKer(d}n_{), de acuerdo a la ecuaciónE}

n−1. Por

lo tanto existe un morfismo de gavillas h : Im(dn_{) → J}n _{tal que h◦d}n ₌

ψn_−ρn _−dn−1 _◦Hn_{. Entonces si tomamos H}n+1 _{: I}n+1 _{→ J}n _cualquier extensión deh( la cual existe ya queJn_{es inyectiva),E}

nse satisface. Corolario 2.2.2. Dadas dos resoluciones inyectivasI•

1 yI2•de una gavillaA

de grupos abelianos existe un morfismoφde resoluciones deI•

1 aI2•, el cual

es una equivalencia homotópica. Este morfismo es único salvo homotopía.

Ahora, vamos a definir los grupos de cohomología de gavillas.

Proposición y Definición 2.2.3. Para una gavillaAde grupos abelianos so- bre un espacioX, los grupos de cohomología de gavillasHj_{(X,A)se defi-}

nen como sigue. SeaI• _{una resolución inyectiva deA. DefinimosH}j_(X,A)

como elj-ésimo grupo de cohomología del complejo

· · · →Γ(X,Ij_)→Γ(X,Ij+1_{)→ · · ·}

Salvo isomorfismo canónico, estos grupos son independientes de la resolu- ción inyectiva. Si A es una gavilla inyectiva, Hj_{(X,A) = 0 para j > 0.}

2.2. Resolución inyectiva 21

Cualquier morfismo φ : A → B induce un homomorfismo de grupos bien definido Hj_{(X,A) → H}j_{(X,B). El grupo de cohomología H}0_{(X,A) es}

canónicamente isomorfo aΓ(X,A).

Demostración. Dadas dos resoluciones inyectivas I•

1 y I2• de A según la

Proposición 2.2.1 existe un morfismo de resoluciones, el cual da un mor- fismo de complejo Γ(X,I•

1) a Γ(X,I2•). Este morfismo es único salvo ho-

motopía, por lo tanto la aplicación inducida en grupos de cohomología es- tá bien definida y es un isomorfismo. Esto muestra que Hj_{(X,A) es inde-} pendiente de la resolución. Si A es inyectiva, podemos elegir la resolución inyectiva I −→ I →Id 0 → 0· · · , de aquí Hp_{(X,A) = 0 para p > 0.} Dado un morfismo φ : A → B en AB(X), una resolución inyectiva I• de A y una resolución inyectiva J• _{de B, se puede encontrar un morfismo}

ψ : I• _{→ J}• _{de complejos de gavillas como en la Proposición 2.2.1. Es-} to induce un morfismo del complejo de secciones globales, de aquí un ho- momorfismo Hj_{(X,A) → H}j_{(X,B). Como el morfismo ψ es único salvo} homotopía, el homomorfismo inducido en cohomología esta bien definido. Finalmente, se tiene la sucesión exacta

0→Γ(X,A)→Γ(X,I0_)→Γ(X,I1₎

por el Lema 1.2.9. Por lo tantoH0_(X,I•_{) = Γ(X,A).}

Esta definición de grupos de cohomología de gavillas nos permite probar un resultado básico, la sucesión exacta larga de grupos de cohomología de gavillas.

Proposición 2.2.4. Sea 0 → A −→ Bf −→ C →g 0 una sucesión exacta de gavillas de grupos abelianos. SeanA −→ Iu • _{y C −→ J}v • _resoluciones

conmutativo 0 ² ² 0 ² ² 0 ² ² 0 //A u // f ² ² I0 // a0 ² ² I1 // a1 ² ² · · · ² ² 0 //B w // g ² ² K0 // b0 ² ² K1 // b1 ² ² · · · ² ² 0 //C v // ² ² J0 // ² ² J1 // ² ² · · · 0 0 0

con cada sucesión0→ In_{→ K}n_{→ J}n_→0exacta.

Demostración. PóngaseKn _=In_{⊕ J}n_{. Definiremosd}−1

K = w: B → I0 ⊕

J0 _{comow =α⊕v◦g, dondeα : B → I}0 _{satisfaceα◦f = u.Entonces}

construimos dn

K : In ⊕ Jn → In+1 ⊕ Jn+1 por inducción sobre n (para

n≥0) así que la siguiente condición se verifica para todon ≥ −1

(a) dn

Kse representa por una matriz de bloques

µ dn I hn 0 dn J ¶ (tenemos que d−1 I =uyd−J1 =v). (b) dn_K+1◦dn K= 0.

Es necesario que definamos por inducción hn _{: J}n _{→ I}n+1_.Supóngase

quehn−1 _{ha sido construido (por lo tantod}n−1

K ). La única condición para que

hn_{se verifique es queh}n_◦dn−1

J =−dnI ◦hn−1. La existencia dehncon esta restricción se sigue de la hipótesis de que In+1 _{es inyectivo y el hecho que}

(−dn

I◦hn−1)◦dnJ−2 =dnI ◦dnI−1◦hn−2 = 0.

Nótese que la condición (a) y (b) implican que el complejo(In_{⊕ J}n_{, d}n K) es una resolución deB, usando Proposición 2.1.2. Por lo tanto hemos cumpli- do todas las condiciones requeridas.

Corolario 2.2.5. Si0 → A → B → C →0es una sucesión exacta de gavi- llas de grupos abelianos, tenemos una sucesión exacta larga de cohomología de grupos

· · · →Hn_(X,A)→Hn_(X,B)→Hn_(X,C)−→δ _Hn+1_{(X,A)→ · · ·}

2.2. Resolución inyectiva 23

Demostración. Sean A → I• _{y C → J}• _{resoluciones inyectivas. Vamos a} construir una resolución inyectivaB → K•_{, como en la Proposición 2.2.4. En-} tonces para cadan tenemos una sucesión exacta0→ In _{→ K}n _{→ J}n _→0. Debido a queIn _{es inyectivo se tiene una sucesión exacta0→ Γ(X,I}n_{) →}

Γ(X,Kn_{) → Γ(X,J}n_{) → 0. Ahora tenemos una sucesión exacta de com-} plejos de grupos abelianos0 → Γ(X,I•_{) → Γ(X,K}•_{) → Γ(X,J}•_{) → 0.} Por la Proposición 2.1.2, tenemos una sucesión exacta larga que involucra los grupos de cohomología de gavillas, a saber, la sucesión deseada(2,2).

Capítulo 3