Por este teorema y el Lema 4.1.24 se tiene el siguiente corolario.
Corolario 4.2.10. Sea(X, δ)un espacio de proximidad tal que(X, τ(δ))es Tychonoff. En- toncesεX : X → End(P(X))es una aplicaci´on continua con respecto a las topolog´ıas
τ(δ)yτ(δE).
Teorema 4.2.11. Sea(X, δ)un espacio de proximidad tal que(X, τ(δ))es Tychonoff. En- toncesεX :X→End(P(X))restringido aεX[X], es un homeomorfismo.
Demostraci´on.
Por el Corolario anterior tenemos queεX es continua. Veamos queεXes inyectiva, sean
x, y∈Xpuesto que el espacio es Tychonoff, tambi´en esT1con lo queX− {x}es abierto. De este modo puesto quex /∈X− {x}yy∈X− {x},εX(x)6=εX(y).
Puesto que(εX[X], δE)es un espacio de proximidad, por el Lema 4.1.24 y el Teorema
4.2.9,ε−X1 :εX[X]→Xes continua.
Lema 4.2.12. Sea(X, δ)un espacio de proximidad. EntoncesεX[X]es denso en
(End(P(X)), τ(δE)).
Demostraci´on.
SeaA∈ P(X)tal queω(A)6=∅, veamos queεX ∩ω(A) 6=∅. Puesto queω(A)6=∅,
existem ∈ ω(A). Dado quem es un end existeB ∈ mtal queB 6=∅ yB ≺ A. Por la Propiedad 4.1.17 existeU ∈ P(X)abierto tal queB ≺U ≺A. As´ı existe
a∈B ⊆U ⊆int(A), obteniendo de este modo queA∈εX(a)y por tantoεX(a)∈ω(A).
Hemos probado as´ı queεX[X]es denso en(End(P(X)), τ(δE)).
4.3.
Teoremas de Smirnov
En 1952 Y. M. Smirnov estableci´o como obtener una compactificaci´on para cualquier espacio Tychonoff que hoy se conoce comoCompactificaci´on de Smirnov, fue el tambi´en quien estableci´o el resultado que se conoce comoTeorema de Smirnovque plantea la rela- ci´on entre las posibles proximidades compatibles con un espacio Tychonoff y sus posibles compactificaciones.Estos resultados representan algunos de las consecuencias mas impor- tantes de esta teor´ıa.
En esta secci´on desarrollaremos la construcci´on necesaria para enunciar y demostrar estos resultados debidos a Smirnov.
4.3 Teoremas de Smirnov Proximidades
Teorema 4.3.1. Sea (X, τ) un espacio topol´ogico Tychonoff. Definiremos entonces una relaci´onδtal que para cadaA, B⊆X,A6δ Bsi y s´olo siAyBson separables. Entonces δes una proximidad separable y adem´as es compatible conτ(X).
Demostraci´on.
Primero veamos queδ es una proximidad enX, es decir veamos que satisface las con- diciones 1-5 de la definici´on 4.1.1 SeanA, B, C ⊆X:
1. Si A 6δ B, existe una funci´on continua f : X −→ [0,1] tal que f[A] ⊆ {0} y f[B] ⊆ {1}. Consideremos ahora la funci´on continua g : X −→ [0,1]dada por g(x) = 1−f(x). As´ıByAson separables, es decirB6δ A.
2. Supongamos que(A∪B)6δ C, entonces existe una funci´on continuaf : X−→[0,1] tal que f[A∪ B] ⊆ {0} y f[C] = {1}. Se ve claramente que f[A] ⊆ {0} y f[B] = {0}; de dondeA yC son separables al igual que B y C. Entonces por la definici´on deδ,A6δ CyB6δ C.
Supongamos ahora que A 6δ C y B 6δ C. Es decir existen f : X −→ [0,1] y g: X −→[0,1]funciones continuas tales quef[A] ={0},f[C] ={1},
g[B] ={0}yg[C] ={1}. Consideremos entoncesh: X−→[0,1]dada por h(x) =min{g(x), f(x)}; tal queh[A∪B]⊆ {0}yh[C]⊆ {1}. Entonces(A∪B)6δ C.
3. Supongamos que A = ∅. Consideremos la funci´on continuaf : X −→ [0,1]dada porf(x) = 1para todox ∈ X. Entoncesf[A] ⊆ {0} y f[B] ⊆ {1}. De donde A6δ B.
4. Supongamos que A 6δ B. Sea f : X −→ [0,1] continua, tal quef[A] ⊆ {0} y f[B]⊆ {1}. SeaE=f−1
[12; 1]
y consideremos la funci´ong: X−→[0,1]dada por: g(x) = 2f(x) 0≤f(x)≤ 12 1 12 ≤f(x)≤1
que es claramente continua y satisface queg[A] ⊆ {0}yg[C] ⊆ {1}. As´ı se tiene queC 6= ∅ y A6δ C. Veamos ahora que(X−E)6δ B.Consideremos la funci´on continuah: X−→[0,1]dada por:
h(x) = 0 0≤f(x)≤ 1 2 2(f(x)−1 2) 1 2 ≤f(x)≤ 3 4 1 34 ≤f(x)≤1
4.3 Teoremas de Smirnov Proximidades
5. Supongamos queA6δ B. Entonces existe una funci´on continuaf : X −→[0,1]tal quef[A]⊆ {0}yf[B]⊆ {1}y comof[A∩B]⊆f[A]∩f[B]⊆ {0} ∩ {1}=∅, de dondeA∩B =∅.
As´ı tenemos que(X, δ)es un espacio de proximidad.
Veamos ahora queδes compatible con la topolog´ıaτ, es decir queτ =τ(δ):
SeaA∈τ. Consideremosx∈X−A, debemos probar(X−A)6δ x. Supongamos entonces, que existef funci´on continua en la topolog´ıaτ,f : X −→ [0,1]tal que f(X−A) ⊆ {0}. Entonces, puesto quef(x)∈f[X−A],f(x) {1}con lo que X−Ay{x}no son separables. As´ıX−A δ x.
Sea ahorax ∈X tal quex /∈X−A. Como el espacio es completamente separable, existe una funci´on continuaf : X −→[0,1]tal quef[X−A] ={0}yf(x) = 1i. e.(X−A)δ x.
SeaA∈τ(δ). Es decir(X−A)δ xsi y s´olo six∈X−A. Seax∈A. Puesto que x /∈X−AyX−Aes cerrado,(X−A)6δ x. Entonces existe una funci´on continua f : X−→[0,1]tal quef[X−A]⊆ {0}yf(x) = 1. Puesto quefes continua para la topolog´ıaτ existeC abierto tal que x ∈ C yf(C) ⊆ 12; 1. Es claro entonces que(X−A)∩C =∅yx∈C, i. e.x∈C⊆A,de este modoAes abierto enτ. Restar´ıa entonces probar el espacio de proximidad(X, δ) es separable, pero puesto que hemos visto que es compatible con la topolog´ıaτ, basta aplicar el Lema 4.1.19.
Teorema 4.3.2. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico completamente regular y seaδuna pro- ximidad paraXcompatible con la topolog´ıa. Entonces, siAes compacto,B es cerrado y A∩B =∅entoncesA6δ B.
Demostraci´on.
Para cadaa ∈ A,a6δ BpuesB es cerrado ya ∈ A ⊆ X−B. Por el punto 4 de la Definici´on 4.1.1 existeEa⊆Xtal quea6δ Eay(X−Ea)6δ B,y por la propiedad 4.1.17
existeUa⊆Xabierto tal queA≺Ua≺(X−Ea), as´ıa∈A⊆UayB ≺Ea⊆X−Ua.
Ahora{Ua: a∈A}es un cubrimiento por abiertos deAque es compacto, entonces existe
un subcubrimiento finito {Ua1, ..., Uan}. Consideremos de este modo U =
S
i∈{1,..,n} Uai;
B ≺(X−Uai)para todoi ∈ {1, .., n}, de dondeB ≺ " T i∈{1,..,n} (X−Uai) # =X−U. As´ı comoA⊆U yB≺(X−U),B ≺(X−A)i. e.B6δ A.
4.3 Teoremas de Smirnov Proximidades
Teorema 4.3.3. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico compacto y Hausdorff. Entonces existe una ´unica proximidadδ en X , compatible con la topolog´ıa. Esta proximidad esta dada por:
A6δ Bsi y s´olo siA∩B =∅
Demostraci´on.
Dado que (X, τ) es compacto y Hausdorff, por el Teorema 1.2.2 es tambi´en normal. Ahora observemos que por el Teorema 1.2.12:
A6δ B ⇔ A∩B =∅ ⇔ AyBson separables.
Es claro entonces, por el Teorema 4.3.1 que esta proximidad es compatible con la topo- log´ıa.
Basta entonces probar que la proximidad es ´unica. Seanδ1yδ2dos proximidades sobre X compatibles con τ . Por el Teorema 4.3.2 siA ∩B = ∅, se tiene ademas que A es compacto yBes cerrado con lo que se tiene tantoA δ1BcomoA δ2B. Entonces por esta afirmaci´on y la Proposici´on 4.1.18 se tiene que:
A6δ1B ⇔ A∩B =∅
⇔ A6δ 2B. Concluyendo as´ı la demostraci´on.
Teorema 4.3.4. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico Tychonoff eY una compactificaci´on de X. Entonces la relaci´onδenXdada por:
A6δ Bsi y s´olo siAY ∩BY =∅
es una proximidad, separable y compatible con la topolog´ıaτ(X). Demostraci´on.
Verifiquemos primero queδes una relaci´on de proximidad, es decir veamos que satis- face para todosA, B, C, D⊆Xlos puntos 1-5 de la Definici´on 4.1.1:
1. Es trivial ya que la condici´onAY ∩BY =∅es sim´etrica.
2. Supongamos queA6δ(B∪C)entoncesAY ∩B∪CY =∅. Puesto que
BY ⊆ B∪CY yC ⊆B∪CY, tenemos queAY ∩BY =∅yAY ∩CY =∅. As´ı
A6δ ByA6δ C.
Supongamos queA6δ ByA6δ C. EntoncesAY ∩BY =∅yAY ∩CY =∅. Tenemos
entonces queAY ∩B∪CY =AY ∩(BY ∪CY) = (AY ∩BY)∪(AY ∩CY) =∅,
4.3 Teoremas de Smirnov Proximidades
3. Supongamos queA=∅. EntoncesA=∅, de dondeAY ∩BY =∅. As´ıA6δ B.
4. Supongamos queA6δ B. Por definici´on debe serAY∩BY =∅. Puesto que(Y , τ(Y))
es Hausdorff y compacto, es normal, es decir que existe unU ∈τ(Y)tal queBY ⊆U
yCY ⊆U. EntoncesBY∩X−UY =∅yAY∩UY =∅, de donde existeU tal que
A6δ Uy(X−U)6δ B.
5. Supongamos queA6δ B, entoncesAY ∩BY = ∅. Dado queA ⊆AY yB ⊆ BY,
A∩B =∅.
Vimos entonces queτ es una proximidad. Debemos probar que el espacio de proximidad que hemos construido es separable, pero puesto queXes Hausdorff por el Lema 4.1.19, el espacio de proximidad es separable.
Estamos ahora en condiciones de probar el Teorema de Compactificaci´on de Smirnov. Teorema 4.3.5(Teorema de Compactificaci´on de Smirnov). Un espacio topol´ogicoXad- mite una proximidad separable compatible si y s´olo si existe(Y, τ)Hausdorff y compacto tal que,Xes subespacio deY.
Demostraci´on.
SeaXun espacio topol´ogico:
⇒) Supongamos que (X, τ(X))admite una proximidad δ una separaci´on compatible conτ(X). Por el Corolario 4.1.22(X, τ(δ)) = (X, τ(X)) es Tychonoff y por el Teorema 1.2.5 existe un espacio topol´ogico, compacto y Hausdorff tal queX⊆Y.
⇐) Sea X un subespacio de un espacio Hausdorff y compacto (Y, τ). Consideremos XY = Z, entonces X es denso en (Z, τ(Z)) (donde τ(Z) es la topolog´ıa de Z
como subespacio del espacio topol´ogico(Y, τ)). Adem´as el espacioZ es compacto y Hausdorff, luego existe una compactificaci´on de(X, τ(X)). Aplicando el Teorema 4.3.3 se tiene entonces que existeδseparable compatible conX.
Teorema 4.3.6. Sea(X, τ)un espacio topol´ogico Tychonoff yZ, Y dos compactificaciones deXcon sus respectivas proximidadesδY yδZ. Entonces:
Z ≤Y ⇔δY ≤δZ
4.3 Teoremas de Smirnov Proximidades
⇒) Supongamos que Z ≤ Y y sean A, B ⊆ X tales queA 6δ ZB. Entonces existe
una funci´on continuaf deY aZ tal quef|X =IdX y por el Teorema 4.3.3 existe
una funci´on continuag : Z −→ [0,1]tal que g[A] ⊆ {0} y g[B] ⊆ {1}. As´ı si consideramosf◦g: X−→[0,1],f◦ges continua,(f◦g)[A]⊆ {0},(f◦g)[B]⊆ {1}. Nuevamente por el Teorema 4.3.3 se tiene queA6δ YB. Con lo queδY ≤δZ. ⇐) Supongamos que δY ≤ δZ. Deseamos proba que Z ≤ Y, entonces aplicando el
Teorema 1.2.9 basta probar que: para todo parAyB cerrados enZtal que
A∩B = ∅,A∩XY ∩B∩XY = ∅. Entonces seanA, Bcerrados enZ tales que
A∩B = AZ ∩BZ = ∅, entonces por el Teorema 4.3.3 A 6δ
ZB. Por hip´otesis
tendr´ıamos queA6δYB que implica que(A∩X)6δ Y(B∩X)y nuevamente por el
Teorema 4.3.3A∩XY ∩B∩XY =∅. Finalmente tenemos entonces queZ ≤Y.
Teorema 4.3.7(Teorema de Smirnov). Sea(X, τ)un espacio topol´ogico Tychonoff, sea
D la colecci´on de todas las proximidades de X compatibles conτ y K la colecci´on de todos las compactificaciones de X no isomorfas entre s´ı. Entonces existe una biyecci´on ν: D −→ K.
Demostraci´on.
Consideremosν: D −→ Kdada porν(δ) = (End(X), τ(δ)), aqu´ı estamos abusando de la notaci´on lo correcto ser´ıa considerar no el espacioEnd(X), sino(End(X)−ω[A])∪A donde reemplazamos a cada elementoω(a) cona ∈ A por su pre-imagen. Puesto que no hay confusi´on haremos este abuso de notaci´on.
Primero veamos que es inyectiva, consideremosY, Z∈ Ky sus respectivas proximida- desδY yδZdadas por el Teorema4,3,3, de modo queν(δY) =Y ∼=Z =ν(δZ). Entonces
por el Teorema 1.2.8Z ≤Y yZ ≤Y . Ahora por el Teorema 4.3.6δY ≤δZyδZ ≤δY.
EntoncesδY =δX, obteniendo as´ı queν es inyectiva.
Veamos queν es suryectiva. SeaY ∈ K. Puesto queY es compacto, existe una ´unica proximidadδY compatible conY. Consideremos entoncesν(δY). Bastar´ıa ahora probar que
ν(δY)∼=Y . Para esto aplicando el Teorema 1.2.9 basta probar:
1. Que para todo parAyBcerrados enν(δY)tal queA ∩ B=∅,
ω−1[A]∩XY ∩ω−1[B]∩XY =∅.
2. Que para todo parAyBcerrados enY tal queA∩B =∅, ω(A∩X)ν(δY)∩ω(B∩X)ν(δY)=∅.
4.3 Teoremas de Smirnov Proximidades
Para ver 1 consideremos AyB cerrados en ν(δY), disjuntos. La topolog´ıa de ν(δY) es
τ(δE), entonces por el Teorema 4.3.3A 6δ EB. As´ı, por el Teorema 4.2.9ω−1[A]δ6Y ω−1[B]
y nuevamente por el Teorema 4.3.3ω−1[A]∩XY ∩ω−1[B]∩XY =∅.
Para ver 2 consideremosAyBcerrados enZ, disjuntos. Entonces por el Teorema 4.3.3, Aδ6Y B. As´ı(A∩X)6δ Y(B∩X). Entonces por el Teorema 4.3.3
ω(A∩X)ν(δY)∩ω(B∩X)ν(δY)=∅.
De este modo hemos probado queν(δY)∼=Y.
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