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En esta secci´on, se introduce la noci´on de espacio γ-regular y se muestra que existen formas de caracterizar la γ-regularidad. Luego, se muestra que a par- tir de ciertas aplicaciones γ : P (X) → P (X) que satisfacen las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3), estudiadas en la secci´on anterior, se pueden recuperar, no s´olo mu- chas de las formas generalizadas de regularidad, existentes en la literatura, sino tambi´en algunas de las formas existentes de caracterizar estas nociones, en parti- cular, las estudiadas en el Cap´ıtulo 2. Seguidamente, se muestra que en general la γ-regularidad y la regularidad cl´asica son conceptos independientes. Por ´ultimo, se introducen cierta clase generalizada de funciones continuas, funciones abiertas y fun- ciones cerradas, con el prop´osito de mostrar que a trav´es de estas nociones se puede relacionar la γ-regularidad con la regularidad.
Se comienza esta secci´on proporcionando la noci´on de espacio γ-regular.
Definici´on 3.8. Un espacio topol´ogico (X, τ ) con γ : P (X)→ P (X) una aplicaci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3), se dice γ-regular, si para cada conjunto γ-cerrado F tal que x /∈ F , existen conjuntos γ-abiertos disjuntos U y V tales que x∈ U y F ⊆ V .
Cabe destacar que en este contexto cuando aparezcan expresiones como: X es γ-regular o X es γ-completamente regular o X es normal, la letra X representar´a a un espacio topol´ogico (X, τ ) con γ una aplicaci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3).
Observaci´on 3.13. Al considerar aplicaciones γ : P (X) → P (X) espec´ıficas que satisfacen las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3), se recuperan muchas de las formas generalizadas de regularidad estudiadas en el Cap´ıtulo 2, como se muestra a conti- nuaci´on:
(1) Si γ = int, entonces la noci´on de γ-regularidad coincide con la noci´on de regularidad.
(2) Si γ = clint, entonces la noci´on de γ-regularidad coincide con la noci´on de semi-regularidad.
(3) Siγ = intcl, entonces la noci´on de γ-regularidad coincide con la noci´on strongly- regularidad.
(4) Si γ = clintcl, entonces la noci´on de γ-regularidad coincide con la noci´on β-regularidad.
(5) Si γ = clint∪ intcl, entonces la noci´on de γ-regularidad coincide con la noci´on strongly-b-regularidad.
(6) Si γ = Bint, entonces la noci´on de γ-regularidad coincide con la noci´on Bg-regularidad.
V´ease, ahora, que existen formas de caracterizar la γ-regularidad, similares a las formas que existen de caracterizar la γ-β-regularidad.
Teorema 3.11. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico con γ : P (X) → P (X) una apli- caci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3). Los siguientes enunciados son equivalentes:
(1) X es γ-regular.
(2) Para cada x ∈ X y cada subconjunto γ-abierto U de X tal que x ∈ U, existe un subconjunto γ-abierto V de X tal que x∈ V ⊆ clγ(V )⊆ U.
(3) Para cada subconjuntoγ-cerrado F de X, F =T{clγ(V ):F ⊆ V, V es γ-abierto}.
(4) Si A∩ U 6= ∅, A ⊆ X y U es un subconjunto γ-abierto de X, entonces existe un subconjunto γ-abierto V de X tal que A∩ V 6= ∅ y clγ(V )⊆ U.
(5) Si A∩ F 6= ∅ con A ⊆ X no vaci´o y F es un subconjunto γ-cerrado de X, entonces existen subconjuntos γ-abiertos V y W de X tales que A∩ V 6= ∅, F ⊆ W y W ∩ V = ∅.
(6) Para cada subconjunto γ-cerrado F de X y x /∈ F , existen subconjuntos U y V de X tales que U es γ-abierto, V es γ-g abierto, x∈ U, F ⊆ V y U ∩ V = ∅. (7) Si A∩ F = ∅, A ⊆ X y F es un subconjunto γ-cerrado de X, entonces existen
subconjuntos U y V de X tales que U es γ-abierto, V es γ-g abierto, A∩U 6= ∅, F ⊆ V y U ∩ V = ∅.
(8) Para cada subconjuntoγ-cerrado F de X, F =T{clγ(V ):F ⊆ V, V es γ-g abierto}.
Prueba:
(1)⇒ (2) Suponga que U es un conjunto γ-abierto de X y x ∈ U. Entonces, X − U es un conjunto γ-cerrado tal que x /∈ X − U. De manera que, por hip´otesis, existen conjuntos γ-abiertos G y V tales que x ∈ V , X − U ⊆ G y G ∩ V = ∅; de donde, X − G ⊆ U y V ⊆ X − G; por lo que, V ⊆ clγ(V ) ⊆ clγ(X − G); pero, como
X− G es un conjunto γ-cerrado, se tiene que clγ(X− G) = X − G. Por consiguiente,
x∈ V ⊆ clγ(V )⊆ U.
(2)⇒ (3) Suponga que X − F es un conjunto γ-abierto tal que x ∈ X − F , entonces, por (2), existe un conjunto γ-abierto U de X tal que x ∈ U ⊆ clγ(U ) ⊆ X − F ,
lo cual implica que F ⊆ X − clγ(U ); por tanto, al tomar V = X − clγ(U ), se
tiene que F ⊆ V y; adem´as como clγ(U ) es un conjunto γ-cerrado, tambi´en se
tiene que V es un conjunto γ-abierto. Ahora bien, como U ⊆ clγ(U ), resulta que,
V = X− clγ(U )⊆ X − U; de donde, U ∩ V = ∅. As´ı, se ha encontrado un conjunto
γ-abierto U con x ∈ U tal que U ∩ V = ∅, lo cual significa que x /∈ clγ(V ). Por
tanto, hasta ahora se ha probado que si x /∈ F , entonces x /∈ clγ(V ), cuando F ⊆ V
y V ∈ γ-O(X). De forma equivalente, que si x ∈ clγ(V ), entonces x ∈ F , cuando
F ⊆ V y V ∈ γ-O(X). Pero, como \
se sigue que
\
{clγ(V ): F ⊆ V, V ∈ γ-O(X)} ⊆ F,
Por otro lado, como F ⊆ V para todo V ∈ γ-O(X) y V ⊆ clγ(V ), esto es,
F ⊆ clγ(V ) para todo V ∈ γ-O(X), entonces, es inmediato que
F ⊆\{clγ(V ): F ⊆ V, V ∈ γ-O(X)}.
(3)⇒ (4) Suponga que A ⊆ X y U ∈ γ-O(X) tal que x ∈ A∩U. Entonces, como x /∈ X−U y X −U es un conjunto γ-cerrado, se tiene, por (3), que existe un W ∈ γ-O(X) tal que X− U ⊆ W y x /∈ clγ(W ). Por tanto, al elegir V = X− clγ(W ), se tiene que
x∈ V y V es un conjunto γ-abierto. Luego, como x ∈ A y x ∈ V , entonces A∩V 6= ∅. Ahora bien, como W ⊆ clγ(W ), se tiene que V = X − clγ(W ) ⊆ X − W , lo cual
implica que clγ(V )⊆ clγ(X − W ). Pero, como V ⊆ clγ(V ) y clγ(X − W ) = X − W ,
puesto que X−W es un conjunto γ-cerrado, entonces V ⊆ clγ(V )⊆ X −W y; luego,
como X− W ⊆ U, resulta que V ⊆ clγ(V )⊆ U. Por lo tanto, se concluye que existe
un V ∈ γ-O(X) tal que A ∩ V 6= ∅ y clγ(V )⊆ U.
(4) ⇒ (5) Suponga que A ∩ F = ∅, A es un subconjunto no vac´ıo de X y F es un subconjunto γ-cerrado de X. Entonces, X− F es un subconjunto γ-abierto con A∩(X −F ) 6= ∅, lo cual implica, por (4), que existe un V ∈ γ-O(X) tal que A∩V 6= ∅ y clγ(V )⊆ X−F . De aqu´ı, como F ⊆ X−clγ(V ) y adem´as X−clγ(V ) es un conjunto
γ-abierto, se tiene, al tomar W = X − clγ(V ), que F ⊆ W y W ∈ γ-O(X); luego,
como V ⊆ clγ(V ), se sigue que W = X − clγ(V ) ⊆ X − V , lo cual significa que
W ∩ V = ∅. En consecuencia, existen V, W ∈ γ-O(X) tales que A ∩ V 6= ∅, F ⊆ W y W ∩ V = ∅.
(5) ⇒ (1) Sea F un conjunto γ-cerrado de X tal que x /∈ F y considere A = {x} como el subconjunto no vac´ıo de X, tal que A∩ F = ∅. Entonces, por (5), existen V, W ∈ γ-O(X) tales que A ∩ V 6= ∅, F ⊆ W y W ∩ V = ∅. Pero, como A ∩ V 6= ∅ y A = {x}, se tiene que x ∈ V . De manera que, existen V, W ∈ γ-O(X) tales que x∈ V , F ⊆ W y W ∩ V = ∅. Por consiguiente, se concluye que X es γ-regular.
(1) ⇒ (6) Sean F un conjunto γ-cerrado de X y x /∈ F , entonces, por (1), existen U, V ∈ γ-O(X), tal que x ∈ U, F ⊆ V y V ∩ U = ∅. Luego, como V ∈ γ-O(X), se tiene que V = intγ(V ) y como F ⊆ V , se sigue que F ⊆ intγ(V ). De modo que, V
es un conjunto γ-g abierto. As´ı, se ha conseguido un U ∈ γ-O(X) y un conjunto γ-g abierto V de X tales que x∈ U, F ⊆ V y U ∩ V = ∅.
(6) ⇒ (7) Suponga que A ∩ F = ∅, A ⊆ X, F es un conjunto γ-cerrado de X y x∈ A. Entonces, x /∈ F y, adem´as, por (6), se sigue que existe un U ∈ γ-O(X) y un conjunto γ-g abierto V de X tal que x∈ U, F ⊆ V y U ∩ V = ∅. Luego, como x ∈ A y x∈ U, es inmediato que A ∩ U 6= ∅. Por lo tanto, se ha encontrado un U ∈ γ-O(X) y un conjunto γ-g abierto V de X tales que A∩ U 6= ∅, F ⊆ V y U ∩ V = ∅.
(7)⇒ (1) Sean x ∈ X, F un conjunto γ-cerrado de X y x /∈ F y considere A = {x} un subconjunto de X tal que A∩ F = ∅. Entonces, por (7), existe un U ∈ γ-O(X) y un conjunto γ-g abierto V de X tal que A∩ U 6= ∅, F ⊆ V y U ∩ V = ∅. De donde, x∈ U, ya que A = {x} y A∩U 6= ∅. Luego, como F es un conjunto γ-cerrado de X y adem´as se tiene que V es un conjunto γ-g abierto tal que F ⊆ V , entonces F ⊆ intγ(V ). Por tanto, al tomar W = intγ(V ), se obtiene que F ⊆ W y W es un
conjunto γ-abierto y, adem´as tambi´en se obtiene que W ∩ U ⊆ V ∩ U; pero, como V ∩ U = ∅, resulta que W ∩ U = ∅. Por consiguiente, para cada par formado por un punto x ∈ X y un conjunto γ-cerrado F de X tal que x /∈ F , existen conjuntos γ-abiertos W y U tales que x∈ U y F ⊆ W y, W ∩ U = ∅, lo cual significa que X es γ-regular.
(3)⇒ (8) En efecto, como, por (3), F =T{clγ(V ):F ⊆ V, V es γ-abierto}, para cada
conjunto γ-cerrado F de X y todo conjunto γ-abierto es γ-g abierto, se ve de inme- diato que F =T{clγ(V ):F ⊆ V, V es γ-g abierto}, para cada conjunto γ-cerrado F
de X.
(8)⇒ (1) Sean x ∈ X y F un conjunto γ-cerrado de X tal que x /∈ F . Entonces, por (8), existe un conjunto γ-g abierto W tal que F ⊆ W y x ∈ X − clγ(W ). Ahora bien,
como F es un conjunto γ-cerrado de X, F ⊆ W y W es un conjunto γ-g abierto, se tiene que F ⊆ intγ(W ). Por tanto, al elegir V = intγ(W ), se tiene que F ⊆ V y V
es un conjunto γ-abierto. A su vez, al elegir U = X− clγ(W ), se obtiene que x∈ U
y U es un conjunto γ-abierto. Luego, v´ease que:
V ∩ U = intγ(W )∩ X − clγ(W )
= intγ(W )∩ intγ(X − W )
⊆ W ∩ X − W = ∅
En consecuencia, como para cada par formado por un punto x ∈ X y un conjunto γ-cerrado F de X tal x /∈ F , existen conjuntos γ-abiertos U y V tales que x ∈ U y F ⊆ V y, U ∩ V = ∅, se concluye que X es γ-regular.
Teorema 3.12. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico con γ : P (X) → P (X) una apli- caci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) X es γ-regular.
(2) Para cada x ∈ X y cada subconjunto γ-abierto U de X tal que x ∈ U, existe un subconjunto γ-abierto V de X tal que x∈ V ⊆ clγ(V )⊆ U.
(3) Para cada x ∈ X y cada subconjunto γ-cerrado F de X tal que x /∈ F , existe un subconjunto γ-abierto V de X tal que x∈ V y clγ(V )∩ F = ∅.
Prueba:
(1)⇒ (2) Es consecuencia inmediata del Teorema 3.11.
(2) ⇒ (1) Sean x ∈ X y F un conjunto γ-cerrado de X tal que x /∈ F . Entonces, X − F es un conjunto γ-abierto tal que x ∈ X − F . De manera que, por (2), existe un conjunto γ-abierto V de X tal que x∈ V ⊆ clγ(V ) ⊆ X − F . De donde,
V ∩ X − clγ(V ) = ∅ y F ⊆ X − clγ(V ). Por lo que, al tomar U = X − clγ(V ),
resulta que V ∩ U = ∅, F ⊆ U y U es un conjunto γ-abierto. En consecuencia, se han encontrado dos conjuntos U, V ∈ γ-O(X) tales que x ∈ V , F ⊆ U y V ∩ U = ∅, lo cual significa que X es γ-regular.
(2) ⇒ (3) Sean x ∈ X y F un conjunto γ-cerrado de X tal que x /∈ F . Entonces, X− F es un conjunto γ-abierto tal que x ∈ X − F . De modo que, por (2), existe un conjunto γ-abierto V de X tal que x∈ V ⊆ clγ(V )⊆ X −F . De donde, es inmediato
que x∈ V y clγ(V )∩ F = ∅.
(3) ⇒ (2) Sean x ∈ X y U un conjunto γ-abierto de X tal que x ∈ U. Entonces, X− U es un conjunto γ-cerrado tal que x /∈ X − U. De modo que, por (3), existe un conjunto γ-abierto V de X tal que x ∈ V y clγ(V )∩ X − U = ∅, de donde,
clγ(V )⊆ U. Pero, V ⊆ clγ(V ), resulta que V ⊆ clγ(V )⊆ U.
Observaci´on 3.14. Si en el Teorema 3.12, se consideran aplicaciones γ : P (X) → P (X) espec´ıficas que satisfacen las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3), se recuperan algunas de las formas que existen de caracterizar las nociones generalizadas de regu- laridad estudiadas en el Cap´ıtulo 2, como se muestra a continuaci´on:
(1) Para γ = clint, se obtiene el Teorema 2.1 [16]. (2) Para γ = intcl, se obtiene el Teorema 2.2 [26]. (3) Para γ = clintcl, se obtiene el Teorema 2.4 [32]. (4) Para γ = clint∪ intcl, se obtiene el Teorema 2.3 [34]. (5) Para γ = Bint, se obtiene el Teorema 2.5 [33].
A continuaci´on, se muestra mediante los siguientes ejemplos que la γ-regularidad y la regularidad cl´asica, en general, son conceptos independientes.
Ejemplo 3.11. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico con X ={a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}} y consid´erese una aplicaci´on γ : P (X) → P (X) que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3), definida por γ(A) = cl(A), para todo A ⊆ X. Entonces, X es γ-regular, pero (X, τ ) no es regular.
Primeramente, observe que como para todo A subconjunto de X, A ⊆ cl(A), es decir, A ⊆ γ(A), entonces, es inmediato que γ-O(X) = P (X). De modo que, al tomar F, como la colecci´on formada por todos los conjuntos γ-cerrados de X, se obtiene que F = γ-O(X) = P (X). Luego, note que para todo conjunto unitario U ={x}, con x ∈ X, se tiene que U es un conjunto γ-abierto y, a su vez que, para todo conjuntoγ-cerrado A de X tal que x /∈ A, resulta que A tambi´en es un conjunto γ-abierto. Por lo que, para todo par formado por un conjunto γ-cerrado A de X y un punto x∈ X, tal que x /∈ A, existen conjuntos γ-abiertos U = {x}, con x /∈ A y V = A tales que x∈ U, A ⊆ V y U ∩ V = ∅. As´ı, en efecto, X es γ-regular.
Sin embargo, (X, τ ) no es regular, puesto que existe un par formado por el conjunto cerrado A = {b, c} de X y el punto x = a /∈ A tal que que para todo conjunto abierto que contiene a A (que en este caso V = X es el ´unico conjunto abierto que contiene a A) y para todo conjunto abierto U que contiene al punto x = a (que en este caso es U ={a, b} o U = {a, c} o U = X) U ∩ V 6= ∅.
Ejemplo 3.12. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico, con X={a, b, c}, τ={∅, X, {a, b}, {c}} y consid´erese una aplicaci´on γ : P (X) → P (X) que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3), para todo A⊆ X, definida por:
γ(A) = cl(A), si b∈ A, clint(A), si b /∈ A. Entonces, (X, τ ) es regular pero X no es γ-regular.
Primeramente, note que al tomar C como la colecci´on formada por todos los conjuntos cerrados de X, se tiene que C = τ. Luego, observe que para todo par formado por un conjunto cerrado B de X y un punto x ∈ X tal que x /∈ B, existen
conjuntos abiertos U y V de X tales que x∈ U, A ⊆ V y U ∩ V = ∅. Por lo que, en efecto, se deduce que (X, τ ) es regular.
Ahora, v´ease que γ-O(X) = {∅, X, {a, b}, {c}, {b, c}, {b}} y adem´as que al elegir F, como la colecci´on formada por todos los conjuntos γ-cerrados de X, se obtiene que F = {∅, X, {c}, {a, b}, {a}, {a, c}}. De modo que, al considerar el par formado por el conjunto γ-cerrado A = {a, c} y el punto x = b /∈ A, se obtiene que para todo conjunto γ-abierto que contiene a A (que en este caso V = X es el ´unico conjunto γ-abierto que contiene a A) y para todo conjunto γ-abierto que contiene al punto x = b (que en este caso es U = {a, b} o U = {b, c} o U = {b} o U = X) U∩ V 6= ∅. Por lo tanto, en efecto, X no es γ-regular.
En el cap´ıtulo anterior, se mostr´o que haciendo uso de las nociones de fun- ci´on γ-β-continua, funci´on γ-β-contra-abierta, funci´on funci´on γ-β-contra-cerrada, funci´on γ0-β-abierta, funci´on γ0-βg cerrada, se puede mostrar que las nociones de γ-β-regularidad y regularidad cl´asica est´an relacionadas. A continuaci´on, siguiendo este mismo estilo, se introducen las nociones funci´on γ-continua, funci´on γ-contra- abierta, funci´on γ-contra-cerrada, funci´on γ0-abierta, funci´on γ0-g cerrada, con el
prop´osito de mostrar que tambi´en existen formas de relacionar la γ-regularidad con regularidad cl´asica.
Definici´on 3.9. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ogicos y γ : P (X) → P (X) una aplicaci´on que satisface (3.1), (3.2) y (3.3). Una funci´on f : X → Y , se dice que esγ-continua, si para todo V ∈ σ, se tiene que f−1(V ) es un conjunto γ-abierto
en X.
Observaci´on 3.15. N´otese que toda funci´on continua es γ-continua, puesto que τ ⊆ γ-O(X). Pero, el rec´ıproco no siempre es cierto, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.13. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ogicos con X = Y = R y τ =σ la topolog´ıa usual en R. Consid´erese la aplicaci´on γ : P (X) → P (X), que satisface
las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3), definida por γ(A) = cl(A), para todo A ⊆ X y la funci´on f : X → Y definida por:
f (x) = 1, six∈ [0, ∞), −1, si x ∈ (−∞, 0).
Entonces, f es una funci´on γ-continua pero no es una funci´on continua. Sea V ∈ σ, entonces
(1) Si 1∈ V y −1 /∈ V , se tiene que f−1(V ) = [0,∞) ⊆ γ([0, ∞)).
(2) Si −1 ∈ V y 1 /∈ V , se obtiene que f−1(V ) = (−∞, 0) ⊆ γ(−∞, 0). (3) Si −1, 1 ∈ V , resulta que f−1(V ) = R = γ(R).
(4) Si −1, 1 /∈ V , resulta que f−1(V ) = ∅ = γ(∅).
As´ı, para todoV ∈ σ, se tiene que f−1(V ) es γ-abierto. Por lo tanto, en efecto, f es
una funci´on γ-continua.
No obstante, f no es una funci´on continua, ya que si V ∈ τ y 1 ∈ V , se tiene quef−1(V ) = [0,∞) /∈ τ.
Definici´on 3.10. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ogicos con γ : P (X) → P (X) y γ0 : P (Y ) → P (Y ) aplicaciones que satisfacen (3.1), (3.2) y (3.3). Una
funci´on f : (X, τ )→ (Y, σ), se dice:
(1) γ-contra-abierta, si para cada conjunto γ-abierto A de X, se tiene que f (A) es un abierto en Y .
(2) γ-contra-cerrada, si para cada conjunto γ-cerrado A de X, se tiene que f (A) es un conjunto cerrado en Y .
(3) γ0-abierta, si para cada conjunto abierto A de X, se tiene que f (A) es un conjunto γ0-abierto en Y , .
(4) γ0-g cerrada, si para cada conjunto cerrado A de X, se tiene que f (A) es un conjunto γ0-g cerrado en Y .
Observaci´on 3.16. Dado dos espacios topol´ogicos (X, τ ) y (Y, σ) con γ0 : P (Y )→
P (Y ) una aplicaci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3) y f : X → Y una funci´on. N´otese que, si f es abierta, entonces f es γ0-abierta y, adem´as, que si
f es cerrada, entonces f es γ0-g cerrada.
El siguiente resultado es una caracterizaci´on de las funciones γ-contra-cerradas.
Teorema 3.13. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ogicos con γ : P (X)→ P (X) una aplicaci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3) y f : X → Y una funci´on biyectiva. Entonces,f es γ-contra-cerrada s´ı y, s´olo si para cada subconjunto A de Y y cada γ-abierto V de X tal que f−1(A)⊆ V , existe un abierto W en Y tal
queA⊆ W y f−1(W )⊆ V .
Prueba:
(Suficiencia) Suponga que f es γ-contra-cerrada, A⊆ Y y V es un conjunto γ-abierto de X tal que f−1(A) ⊆ V . Entonces, X − V ⊆ f−1(Y )− f−1(A) = f−1(Y − A).
De donde, al tomar H = X − V , el cual es un conjunto γ-cerrado en X, se tiene que f (H)⊆ Y − A y, adem´as, al hacer uso del hecho de que f es γ-contra-cerrada, se tiene que f (H) es un conjunto cerrado en Y . Por lo que, A ⊆ Y − f(H) y Y − f(H) es un conjunto abierto en Y . As´ı, al tomar W = Y − f(H), observe que f−1(W ) = f−1(Y )− f−1(f (H))⊆ X − H, partiendo del hecho que H ⊆ f−1(f (H)).
Por lo tanto, se ha encontrado un conjunto W abierto en Y tal que A ⊆ W y f−1(W )⊆ V .
(Necesidad) Sea Z conjunto γ-cerrado en X, entonces X−Z es un conjunto γ-abierto. Ahora, suponga que A⊆ Y y obs´ervese que f−1(A) ⊆ X − Z, puesto que al tomar
A = Y − f(Z), se tiene que f−1(A) = f−1(Y )− f−1(f (Z)) ⊆ X − Z, partiendo
Y tal que A ⊆ W y f−1(W ) ⊆ X − Z. Pero, como f es biyectiva, resulta que
W ⊆ f(X − Z) ⊆ f(X) − f(Z) = Y − f(Z) = A y esto significa que A es abierto en Y . Luego, como A = Y − f(Z), se sigue que f(Z) es cerrado en Y . Por lo tanto, f
es γ-contra-cerrada, como se deseaba probar.
Se muestra, ahora, una caracterizaci´on de las funciones γ-continuas.
Teorema 3.14. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ogicos con γ : P (X)→ P (X) una aplicaci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3) y f : X → Y una funci´on. Entonces,f es γ-continua s´ı y, s´olo si para cada conjunto cerrado W en Y , se tiene quef−1(W ) es un conjunto γ-cerrado en X.
Prueba:
(Suficiencia) Sea W un conjunto cerrado en Y , entonces V = Y − W es abierto en Y . De modo que, por hip´otesis, como f es γ-continua, se tiene que f−1(V ) =
f−1(Y − W ) = f−1(Y )− f−1(W ) = X − f−1(W ) es γ-abierto en X. Por lo tanto,
f−1(W ) es γ-cerrado.
(Necesidad) Sea V un conjunto abierto en Y , entonces W = Y − V es cerrado en Y . Por lo que, por hip´otesis, f−1(W ) = f−1(Y − V ) = f−1(Y )− f−1(V ) = X− f−1(V )
es un conjunto γ-cerrado en X, lo cual implica que f−1(V ) es γ-abierto en X. en
consecuencia, f es γ-continua.
El siguiente resultado, muestra como se puede relacionar la γ-regularidad con la regularidad usual, a trav´es de las nociones de funci´on γ-contra-cerrada, funci´on γ-continua y funci´on γ-contra-cerrada.
Teorema 3.15. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ogicos con γ : P (X)→ P (X) una aplicaci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3) y f : X → Y es una funci´on sobreyectiva, γ-continua, γ-contra-cerrada y γ-contra-abierta. Si X es γ-regular, entonces Y es regular.
Prueba: Sea y ∈ Y , K un subconjunto cerrado de Y y y /∈ K. Entonces, como f es γ-continua, se tiene, por el Teorema 3.14, que f−1(K) es un conjunto γ-cerrado
de X. Luego, como f es sobreyectiva y y /∈ K, se tiene que existe un punto x ∈ X tal que f (x) = y /∈ K, esto es, x /∈ f−1(K). De modo que, como X es γ-regular, se
sigue que existen γ-abiertos U y V en X tales que x∈ V , f−1(K)⊆ U y U ∩ V 6= ∅.
Ahora bien, como f es γ-contra-cerrada, K ⊆ Y y U es un conjunto γ-abierto de X tal que f−1(K) ⊆ U, se tiene, en virtud del Teorema 3.13, que existe un abierto W de Y tal que K ⊆ W y f−1(W ) ⊆ U. M´as a´un, como f es γ-contra-abierta
y V es un conjunto γ-abierto de X, resulta, haciendo uso de la Definici´on 3.10, que f (V ) es abierto en Y . En consecuencia, se han encontrado dos abiertos W y f (V ) en Y tal que K ⊆ W y f(x) = y ∈ f(V ). Por tanto, s´olo falta probar que W ∩ f(V ) = ∅. Como f−1(W )∩ V ⊆ U ∩ V = ∅, se tiene que f−1(W )∩ V = ∅, se
sigue ∅ = f(f−1(W )∩ V ) = W ∩ f(V ). En consecuencia, Y es regular.
Ahora, se introduce la definici´on de funci´on γ0-contra-continua que permite
relacionar la regularidad con la γ-regularidad.
Definici´on 3.11. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ogicos con γ0 : P (Y ) →
P (Y ) una aplicaci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3). Una funci´on f : X → Y , se dice γ0-contra-continua, si para cada γ0-abierto V en Y , se tiene que
f−1(V )∈ τ.
Observaci´on 3.17. N´otese que, toda funci´on γ0-contra-continua es continua, puesto que τ ⊆ γ-O(X). Sin embargo, el rec´ıproco no es cierto, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.14. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ogicos con X ={a, b}, Y = {1, 2, 3}, τ = {∅, {a}, X} y σ = {∅, Y, {1}, {2}, {1, 2}}. Consid´erese γ0 : P (Y ) →
A⊆ X definida por: γ0(A) = cl(A), si2∈ A, int(A), si 2 /∈ A. y para todo x∈ X, f esta definida por
f (x) = 1, si x = a, 3, si x = b. Entonces, f es continua, pero no es γ0-contra-continua.
Primeramente, observe que f es continua, puesto que para todo V abierto en Y , se tiene que f−1(V )∈ τ. Luego, v´ease que al tomar C como la colecci´on formada por todos los conjuntos cerrados de Y , se tiene que C = {∅, Y, {2, 3}, {1, 3}, {3}} y, adem´as que colecci´on formada por todos los conjuntosγ0-abiertos enY es: γ0-O(Y ) = {∅, Y, {1}, {2}, {1, 2}, {2, 3}}. Entonces, como {2, 3} ∈ γ0-O(Y ) y f−1({2, 3}) /∈ τ, se
deduce que, en efecto, f no es γ0-contra-continua.
Se culmina esta secci´on mostrando como se puede relacionar la regularidad cl´asica con la γ-regularidad, a trav´es de las nociones de funci´on γ0-contra-continua,
funci´on γ0-g cerrada y funci´on γ0-abierta.
Teorema 3.16. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ogicos con γ0 : P (Y )→ P (Y )
una aplicaci´on que satisface las condiciones (3.1), (3.2) y (3.3) y f : X → Y una funci´onγ0-contra-continua,γ0-g cerrada yγ0-abierta y sobreyectiva. SiX es regular,
entonces Y es γ0-regular.
Prueba: Suponga que X es regular, y∈ Y y W es un conjunto γ0-abierto en Y tal
que y∈ W . Entonces, como f es γ0-contra-continua y W es un un conjunto γ0-abierto
en Y , se tiene, en virtud de la Definici´on 3.11, que f−1(W ) ∈ τ. Pero, como f es
sobreyectiva, existe un x∈ X tal que f(x) = y ∈ W ; por lo que, x ∈ f−1(W ). As´ı,
se ha encontrado un x ∈ X y un abierto f−1(W ) de X tal que x ∈ f−1(W ). De
manera que, por la regularidad de X, se obtiene que existe un abierto V ∈ τ(x) tal que x ∈ cl(V ) ⊆ f−1(W ) (Ver [17], Cap´ıtulo VII, secci´on 2, pp.(141-142)). Lo cual
implica que, y = f (x)∈ f(cl(V )) ⊆ f(f−1(W )); por lo que, haciendo uso del hecho
de que V ∈ τ(x) y V ⊆ cl(V ), se sigue que y ∈ f(V ) ⊆ f(cl(V )) ⊆ W .
Ahora bien, como V es abierto en X y f es γ0-abierta, se tiene que f (V ) es γ0-abierto en Y . Luego, como f es γ0-g cerrada y cl(V ) es un conjunto cerrado en X,
resulta que f (cl(V )) es un conjunto γ0-g cerrado. De donde, como f (cl(V ))⊆ W y W es un conjunto γ0-abierto en Y , se sigue, por la Definici´on 3.6, que clγ0
(f (cl(V )))⊆ W . A su vez, como f (V ) ⊆ f(cl(V )), entonces clγ0
(f (V )) ⊆ clγ0
(f (cl(V ))). Adem´as, como y ∈ f(V ), f(V ) ⊆ clγ0(f (V )), resulta que y ∈ f(V ) ⊆ clγ0(f (V )) ⊆
clγ0
(f (cl(V )))⊆ W . As´ı, tomando V0 = f (V ), se obtiene que y∈ V0 ⊆ clγ0
(V0)⊆ W .
En consecuencia, Y es γ0-regular.