A continuaci´on, estudiaremos el espacio vectorial H∞(D) de la fun- ciones anal´ıticas y acotadas en D. Es un tipo especial de espacio de Hardy, que tiene unas connotaciones algo distintas a los espacios de Hardy cl´asicos
Hp(D), a estudiar m´as adelante. Estudiaremos en primer lugar el importante ejemplo de los productos de Blaschke, que son productos de automorfismos de D. Seguidamente, factorizaremos una funci´on de H∞(D) como producto de un producto de Blaschke que engloba sus ceros y de otra funci´on que no se anula pero que mantiene la norma.
Observemos primero que para una funci´on f : D → C, si denotamos
M (f, r) := sup
θ
|f(reiθ)| (0 ≤ r < 1), entonces f ∈ H∞(D) ⇐⇒ [f ∈ H(D)
y sup
0≤r<1
M (f, r) = l´ım
r→1−
M (f, r) < +∞]. Observemos que el supremo coincide
con el l´ımite pues la funci´on r7→ M(f, r) es creciente debido al principio del modulo m´aximo.
Se tiene que H(C) = {funciones enteras} ( H∞(D) ( H(D). Por ejemplo, si f (z) = z−11 y g(z) = z−21 , entonces f ∈ H(D) \ H∞(D) y g ∈ H∞(D) \
H(C).
Es f´acil ver, usando el teorema de convergencia de Weierstrass, que H∞(D) es un espacio de Banach cuando se le dota de la norma del supremo, dada
por ∥f∥∞ = sup
z∈D|f(z)|. De hecho, es un subespacio cerrado del espacio de
Banach (Cb(D), ∥ · ∥∞) de las funciones f :D → C continuas y acotadas. Se
puede probar que H∞(D) no es separable.
2.4.1.
Productos de Blaschke
Recordemos que los automorfismos de D son las transformaciones bi- lineales de la forma eiθ z−a1−az, |a| < 1, θ ∈ R.
Definici´on 2.4.1. Un producto de Blaschke finito es o bien una constante
unimodular o bien un producto finito puntual de transformaciones bilineales del tipo anterior, es decir, una funci´on de la forma f (z) = eiθ ∏N
n=1 z−an
1−anz, con
θ ∈ R, N ∈ N0 y a1, . . . , aN ∈ D.
Es evidente que f ∈ H∞(D); de hecho, |f(z)| ≤ 1 para todo z ∈ D. Para pasar a productos de Blaschke infinitos, necesitamos condiciones sobre el crecimiento de los ceros an y ajustar los coeficientes eiθ en cada factor.
Pero antes de enunciar un resultado que sirve para definir los productos in- finitos de Blaschke, vamos a recordar en la siguiente proposici´on algunas propiedades sobre convergencia de productos infinitos que usaremos en la demostraci´on. Por definici´on, si fn : A→ C (n ∈ N) es una sucesi´on de fun-
ciones definidas sobre un mismo subconjunto A deC, se dice que el producto funcional infinito ∏∞
n=1
fn converge normalmente en A si el producto num´erico ∞
∏
n=1
(1 + supA|fn− 1|) converge (es decir, si los productos parciales de este
convergen). La segunda parte de la proposici´on es una especie de teorema de convergencia de Weierstrass para productos infinitos.
Proposici´on 2.4.1. (a) En las condiciones de la definici´on anterior, se tiene que el producto infinito ∏∞
n=1
fn converge normalmente en A si y solo si la serie ∞
∑
n=1
productos parciales Pn := n
∏
k=1
fk (n ∈ N) convergen uniformemente en A a
una funci´on f : A→ C. Esta funci´on ser´a denotada por f = ∏∞
n=1 fn. (b) Si G⊂ C es un abierto, {fn}∞n=1 ⊂ H(G) y ∞ ∏ n=1 fn converge normalmente
en cada compacto K ⊂ G, entonces f := ∏∞
n=1
fn∈ H(G). Adem´as, si z0 ∈ G,
entonces el orden del cero z0 para f coincide con la suma los ordenes de z0
para las fn, es decir, orden (z0, f ) =
∞
∑
n=1
orden (z0, fn).
Teorema 2.4.2. Sean k∈ N0, α ∈ C con |α| = 1 y {an}∞n=1 ⊂ D \ {0} una
sucesi´on tal que ∑∞
n=1
(1− |an|) < +∞. Entonces el producto funcional infinito
B(z) := αzk ∞ ∏ n=1 |an| an an− z 1− anz (z ∈ D)
define una funci´on B ∈ H(D) tal que |B(z)| < 1 para todo z ∈ D. En particular, B ∈ H∞(D). Adem´as, sus ceros son exactamente los puntos an
(con la multiplicidad dada por el n´umero de veces que cada uno de ellos aparece en la sucesi´on), m´as el origen si k > 0.
Por definici´on, un producto de Blaschke es un producto de Blaschke finito o bien una funci´on B como la descrita en el teorema anterior, asociada a una sucesi´on{an}∞n=1 ⊂ D\{0}. Por tanto, una constante unimodular es tambi´en
un producto de Blaschke. A la sucesi´on vac´ıa se le asocia, por convenio, el producto de Blaschke dado por la funci´on constante 1.
Demostraci´on del Teorema 2.4.2. Supongamos probado que, para cada r ∈
(0, 1), el producto converge normalmente en B(0, r). En tal caso, converger´ıa normalmente en cada compacto deD. Ya que cada factor est´a en H(D) y tiene como (´unico) cero a an, resulta de la proposici´on anterior que B ∈ H(D) y que
sus ceros son los especificados en el enunciado. Puesto que cada factor tiene m´odulo que menor que 1 enD, lo mismo ocurrir´ıa con B. As´ı que, fijado un
r ∈ (0, 1), basta probar la convergencia normal en B(0, r), lo cual, de nuevo
por la proposici´on anterior, equivale a probar que ∑∞
n=1 sup |z|<r 1 − |an| an an−z 1−anz < +∞. Para ello, fijemos z con |z| < r y observemos que
1 − |an| an an− z 1− anz = an+|an|z (1− anz)an (1 − |an|) ≤ 1 + r 1− r(1− |an|). Se deduce que la suma de la serie anterior es menor o igual que 1+r1−r ∑∞
n=1
(1−
|an|) < +∞, luego nuestra serie tambi´en converge. 2
2.4.2.
Teorema de factorizaci´on de Riesz
El siguiente resultado, conocido como F´ormula de Jensen, resultar´a muy ´
util para estudiar el comportamiento de los ceros y la factorizaci´on en los es- pacios de Hardy. Su prueba se basa en la aplicaci´on del teorema del valor medio a una funci´on arm´onica adecuada.
Proposici´on 2.4.3. Sea f ∈ H(B(0, r))\{0} con f(0) ̸= 0, y sean a1, . . . , aN
sus ceros en B(0, r), donde r ∈ (0, +∞). Entonces |f(0)| N ∏ n=1 r |an| = exp { 1 2π ∫ 2π 0 ln|f(reiθ)| dθ } .
Si fuese f (0) = 0 con multiplicidad m, la f´ormula ser´ıa la misma salvo que hay que sustituir en el primer miembro |f(0)| por |c|rm, donde c = l´ım
z→0 f (z)
zm ,
y los a1, . . . , aN ser´ıan los ceros no nulos de f .
En el pr´oximo teorema, unido al Teorema 2.4.2, se afirma que una sucesi´on
{an}∞n=1 ⊂ D es la sucesi´on de ceros de alguna funci´on anal´ıtica y acotada
en D si solo si se cumple la condici´on de convergencia para productos de Blaschke.
Teorema 2.4.4. Sea f ∈ H∞(D) \ {0} y sea {an}∞n=1 la sucesi´on de ceros de
f , enumerados seg´un su multiplicidad. Entonces ∑∞
n=1
Demostraci´on. Si hay un n´umero finito de ceros, no hay nada que probar. Si hay un n´umero infinito, debe ser |an| → 1 (por el Principio de Prolongaci´on
Anal´ıtica), as´ı que podemos suponer, con un cambio de orden y desplazamien- to de los ´ındices si es preciso, que el origen es m-m´ultiple con m∈ N0 y que
los ceros no nulos cumplen 0 < |a1| ≤ |a2| ≤ · · · . Llamemos c := l´ım
z→0 f (z)
zm ∈ C \ {0}. De acuerdo con la f´ormula de Jensen, tomando logaritmos, tenemos para todo r ∈ (0, 1) que
∑ |an|<r ln|ar n| =− ln(|c|r m) + 1 2π ∫2π 0 ln|f(re iθ)| dθ ≤ − ln(|c|rm) + C,
donde C es una constante finita, debido a que f es acotada. Fijemos un N ∈ N. Para cada r > |aN| tenemos que
N
∑
n=1
ln|ar
n| ≤ [primer miembro de la expresi´on anterior]≤ − ln(|c|rm) + C. Haciendo r→ 1, resulta
N
∑
n=1
ln|a1
n| ≤ M = constante ∈ (0, +∞) para todo N ∈ N, lo que implica que la serie ∑∞
n=1
ln|a1
n| converge. Ya que es una serie de t´erminos positivos, del hecho l´ım
t→0
ln(1+t)
t = 1 y del criterio de comparaci´on por paso al l´ımite se
deduce que ∑∞
n=1
(1− |an|) tambi´en converge. 2
Corolario 2.4.5. Si f ∈ H∞(D) y existe una sucesi´on {an}∞n=1⊂ {ceros de
f} tal que ∑∞
n=1
(1− |an|) = +∞ entonces f ≡ 0.
Podemos decir en conclusi´on que si una funci´on f ̸≡ 0 acotada tiene infinitos ceros en D, estos deben tender r´apidamente a ∂D.
Teorema 2.4.6. [Factorizaci´on de Riesz en H∞ por productos de Blaschke]
Sean f ∈ H∞(D) \ {0} y B el producto de Blaschke formado con los ceros
de f . Entonces existe g ∈ H∞(D) tal que g(z) ̸= 0 para todo z ∈ D,
∥g∥∞=∥f∥∞ y f = g· B.
Demostraci´on. Podemos suponer que f tiene infinitos ceros (si tuviese un
los disponemos en sucesi´on, teniendo en cuenta sus multiplicidades. Recorde- mos que el producto B es convergente porque f es acotada. Ya que B tiene exactamente los mismos ceros que f con las mismas multiplicidades, se tiene que g := Bf ∈ H(D), y no se anula en D. Evidentemente, f = g · B. Sea Bn el
producto de Blaschke finito formado con los n primeros ceros. Como|Bn| < 1
en D, es claro que ∥gn∥∞ ≥ ∥f∥∞ para todo n ∈ N, donde gn := Bfn. Aho-
ra bien, fijado n, se tiene que l´ım
|z|→1|Bn(z)| = 1. Fijemos moment´aneamente
r ∈ (0, 1) y ε ∈ (0, 1). Entonces existe R ∈ (r, 1) tal que |Bn(z)| > 1 − ε si
|z| = R. Por tanto, M(gn, r) ≤ M(gn, R) ≤ ∥f∥1−ε∞, de donde se deduce que
∥gn∥∞ = sup
0<r<1
M (gn, r) ≤ ∥f∥1−ε∞ para cada ε ∈ (0, 1). Luego ∥gn∥∞ ≤ ∥f∥∞
y, en consecuencia, ∥gn∥∞ =∥f∥∞.
Por otra parte, como |B| < 1 en D, resulta que ∥g∥∞ ≥ ∥f∥∞. Pero
gn → g puntualmente en D y |gn(z)| ≤ ∥f∥∞ para todo n∈ N y todo z ∈ D,
as´ı que |g(z)| ≤ ∥f∥∞ para todo z ∈ D, luego ∥g∥∞ ≤ ∥f∥∞, de donde
deducimos ∥g∥∞=∥f∥∞. 2