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El análisis de esfuerzos de flexión sobre el alabe en términos de resistencia de materiales se considera, como un caso de flexión compuesta de una viga en voladizo no prismática, asimétrica y de sección variable. Si solo se consideraran los efectos de las fuerzas axial y tangencial, el caso de flexión seria oblicua. Debido a las tensiones normales de tracción que produce la fuerza centrífuga, las cuales deben sumarse a las de flexión el problema debe ser tratado como flexión compuesta.

En la figura 3.6 (a) se muestra el esquema de solicitaciones sobre una viga de sección irregular que representa el alabe dela turbina, debido a las fuerzas actuantes se producen los momentos , la presencia de los cuales genera la desviación del plano que divide en esfuerzos de tensión y compresión. La siguiente expresión representa las tensiones por flexión en un miembro solicitado a flexión compuesta:

Dónde:

sección transversal del perfil alar, Momento sobre el eje Z, : Momento de inercia del perfil respecto al eje Z, Momento sobre el eje Y, : Momento de inercia del perfil respecto al eje Y, y: Coordenada “y” de la fibra superficial más alejada de la viga medida perpendicularmente al eje neutro, z: Coordenada “z” de la fibra superficial más alejada de la viga medida perpendicularmente al eje neutro.

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Figura 3.6 - Esquema de un sistema sometido a flexión compuesta.

En cualquier viga sometida a flexión simple si se analiza la distribución de tensiones resultantes, se puede notar que existe un eje imaginario que coincide con eje de flexión, respecto del cual las fibras a un lado de este estarán sometidas a tracción mientras que en la parte opuesta estarán sometidas a compresión. Este eje en el cual las tensiones son nulas y a partir de cual cambian de signo se conoce como eje neutro.

En las situaciones en donde actúan momentos flectores en planos diferentes, el eje neutro ya no es coincidente con algunos de los ejes baricentricos sino que se encuentra inclinado un ángulo respecto del eje horizontal como se indica en la figura 3.7 (b). Debe recordarse que la distribución de tensiones normales en flexión es perpendicular al eje neutro (Fig. 3.7(a)), entonces una inclinación del mismo produce una “rotación” del perfil de tensiones.

Si además de lo anterior, la viga esta solicitada por una fuerza axial el eje neutro ya no pasara por el origen de coordenadas de los ejes de simetría sino que se desplazara una distancia respecto a uno de ellos.

Figura 3.7 – (a) Distribución de tensiones típica en una viga sometida a flexión simple. (b) Distribución de tensiones en una viga sometida a flexión oblicua.

Para determinar la posición del eje neutro, se puede utilizar la expresión (3.5.1) con la premisa que sobre este eje, las tensiones son nulas. Así se obtiene la siguiente ecuación lineal en el plano Z-Y, cuyos puntos

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representan los valores nulos de tensión normal:

Entonces el eje neutro queda representado por la siguiente ecuación lineal:

( ) Dónde: es equivalente a la ordenada al origen.

Debe notarse que la pendiente del eje neutro en la expresión (3.5.2) está dentro del paréntesis, además obsérvese que el desplazamiento sobre el eje “Y” representa la ordenada al origen y está dado por el término de la derecha. Por lo tanto el ángulo de inclinación del eje neutro se determina como:

( )

Figura 3.8 – Diagrama de esfuerzos de corte y momento en una viga en voladizo.

Si se analiza la sección del empotramiento en un plano Z-Y perpendicular a la envergadura del alabe, el esquema de solicitaciones externas sobre el mismo será una fuerza axial y una fuerza tangencial, aplicadas geométricamente en el centro de presiones del perfil. A su vez, estas fuerzas producen los momentos en Z e Y que serán máximos en la raíz del alabe como generalmente sucede en vigas empotradas. (Ver figura 3.9)

El análisis de flexión se puede facilitar mediante un sistema coordenado ubicado en el centro de gravedad del perfil, con uno de sus ejes paralelo a la cuerda del mismo. Las fuerzas tangencial y axial se trasladan al centro de gravedad, teniendo en cuenta el momento en “X” que se genera al desplazarlas. Luego estas fuerzas se proyectan sobre los nuevos ejes “Z” e “Y”, obteniendo las fuerzas resultantes sobre cada uno de los ejes y sus correspondientes momentos flectores como se indica en la figura 3.10 (der).

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Figura 3.9 - Descomposición de las fuerzas aerodinámicas en la sección de empotramiento. Al proyectar las fuerzas axial y tangencial sobre un sistema de ejes perpendiculares con uno de sus ejes colineal a la cuerda del perfil, se elimina la necesidad de calcular un momento de inercia respecto a un eje que no es principal. De esta manera los momentos de inercia del perfil a utilizar en la expresión (3.5.1) deben ser calculados respecto a los ejes Z e Y respectivamente.

Entonces las fuerzas perpendiculares y se calculan, tanto en el punto nominal como en embalamiento de la siguiente manera:

En condiciones nominales: En condiciones de embalamiento:

Los momentos flectores producidos por las fuerzas se calculan considerando como brazo de palanca la distancia determinada en la sección [3.3.1] igual a 31,2mm.

En condiciones nominales:

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En condiciones de embalamiento:

El software CAD con el cual se dibujó el rotor posee comandos específicos para determinar propiedades geométricas de la pieza dibujada. Las correspondientes al perfil alar en la sección donde se une el cubo con el alabe se detallan en la tabla 3.6.

Tabla 3.7 – Propiedades geométricas del perfil NACA 4406 en la sección de empotramiento.

El ángulo del eje neutro con respecto a la horizontal se determina como: ( )

En vista al resultado del ángulo del eje neutro ( ) se concluye que es prácticamente colineal al eje Y de la figura 3.9. Para no complicar innecesariamente el cálculo, se asume que el mismo es coincidente con el eje “Y”. Entonces como era de esperarse, debido a la enorme diferencia entre los momentos de inercia, la distribución de tensiones se tendrá respecto al eje “Y”.

Para realizar el cálculo de las tensiones máximas de flexión en la sección del empotramiento, se deben determinar las coordenadas de los puntos (z,y) pertenecientes a las fibras más alejadas del alabe respecto al eje neutro. Para ello se trazan rectas paralelas al eje ”Y” de tal forma que pasen tangentes por los puntos más alejados al perfil como se indica con los puntos (1) y (2) de la figura 3.10 (b).

Por lo tanto estas coordenadas son: y

Valor Unidad Area A 115 mm2 Y 22,31 mm Z 1,64 mm IY 92,82 mm4 IZ 17780 mm4 Centro de Gravedad (CG)

Momentos de Inercia de Area resp. CG Propiedad

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Figura 3.10 – (a) Ubicación del centro de gravedad en perfil usado. (b) Sistema de ejes coordenados con origen en el centro de gravedad.

Conocidas las coordenadas y los momentos de inercia se tienen todos los términos para calcular la distribución de tensiones normales sobre el alabe.

En condiciones nominales: En condiciones embalamiento:

Por simple inspección de los resultados obtenidos se puede notar, que si bien en el caso de embalamiento se tiene un incremento mayor al 400% de la fuerza centrífuga este efecto no es mandatorio respecto a los esfuerzos tangenciales. Por lo tanto para posteriores cálculos de resistencia mecánica las condiciones críticas corresponden a las nominales.

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Figura 3.11 – Distribución de tensiones resultante, respecto al eje neutro.

Reemplazando los momentos de inercia en la ecuación (3.5.1) se obtiene una expresión que determina la distribución de tensiones normales respecto al eje “Z” y respecto al eje “Y”. Al igual que cualquier viga sometida a flexión se tiene la premisa que las fibras superficiales de la misma son las más solicitadas.