Al considerar funciones escalares o de una variable real, se demuestra que si una función tiene derivada finita en un punto, entonces es continua en dicho punto. O sea que, en una variable, deriv^ilidad implica continuidad, aunque el recíproco es falso.
En dos o más variables, el concepto de derivada parcial es mucho más débil. La. existencia de derivadas parciales finitas en un punto no asegura la continuidad en dicho punto, comò tampoco la asegura la existencia de derivada en cualquier di rección y sentido.
Ejemplo 1
Consideremos la función definida por la regla siguiente:
F: (x;y)
si (xy) ifc (0;0)
x2+y2
F está definida en el origen pero no tiene limité doble en el mismo. Por lo tanto, presenta una discontinuidad esencial en el origen.
Sin embargo, F admite derivadas parciales en (0;0). En efecto,
f;,o;0) = i™ - I ! i W i 2 L = o . P (0;0) = lín, , 0.
jt-»o X ^ y—o y
Ejemplo 2
_3xy2 Elegimos ahora F: (x;y)
si- (x;y);7t (0;0),
x2+ /
O si (x;y) = (0;0)
J W W = a w Km. _ e 2Í É « . 0^.
* x- 0 X y ■ y -o y
Si buscamos derivadas direccionales en el origen, es:
p ,0 ;0 ) = „m P ( ° ^ h : O ^ F ( 0 ; 0 ) k = m h (m ^ O ).
· ' V í? + F
Queda,
*'-»0 (h^+ m'^h'*)Vh^+m^h^ (1+m‘*h^)lhlVl+nr|2
Este limité existe para cualquier direcuón y sentido, pues:
si h > O entonces F'(0;0) — — p = = - . á si h<0 entonces F' (0;0) =
(h>0 <=>. 0< a < ^ v A ,-(h<0 <=> -^ < a < 7r v 7r< ü !< -:^-) ·
Luego, F tiene derivada en cualquier dirección y sentido, y sin embargo, no es continua en (0;0) pues no tiene límite doble en el punto (pág. 83).
Obsérvese que en este ejemplo no es posible hallar F^ mediante la fórmula F'(0;0) cos a + Fy(0;0) sen a pues F' y F' no son continuas en- el origen.
Por otra parte, es lógico esperar, pensando en forma intuitiva, que el concepto de derivada parcial e incluso él de derivada en cualquier dirección, sea menos fuer te que el de derivada en una variable que es una derivada "total”. Sucede algo si m ilar cuando se compara límite doble eri un punto, con límite· simple, .
Por ello, se busca, para campos escalares, un concepto más fuerte que el de derivada direccional, que asegure la continuidad y sea equivalente a una derivación “total". Ese concepto es el de función diferenciable.
Definición
Sea F una función de dos variables y (a;b) un punto interior a su dominio. F es diferenciable en (a;b), respecto de los números reales h y k, si existen dos números reales A y B tales que:
F(a+h;b+k) - F(a;b) = Ah+Bk+G (h;k)Vh2+l? a lím G(h;k) = 0. (h;k)-(Ofl)
Obsérvese que h y k son dos números reales cualesquiera, con la única con dición de que el punto , (a-l-h;b-^-k) -pertene2ca;al entorno de:(a;b) en que la función está definida, por ser (a;b) interior al dominio. .
Es decir, que F es función de Jas dos variables x,e y, y además existen otras dos variables independientes h y k.
Para comprender mejor esta definición recordaremos diferencial para función de una variable.
Si f es función escalar, derivatale en a, por propiedad del límite finito, es
lím h — O J í i! ± H Í 2L _ ,-(a ) = 0. f( a + h )-f(a )-f'(a )h . Si hacemos g(h) - ----------- , n es lím g(h) = O o sea, g es infinitésimo en 0. h-»0
Por lo tanto, f(a+h) - f(aj = f'(a) h + g(h) h a lím g(h) = 0.
h— o
La definición dada para función diferenciable en dos variables generaíiza esta última expresión, pues probaremos que los números A y B son las derivadas par ciales en (a;b).
Teorema 1
Si F es diferenciable en (a;b), interior a su dominio, entonces F tiene derivadas parciales en (a;b).
Demostración
Por definición existen números A y B, tales que;
F(a+h;b+k) - F(a;b) = Ah+Bk+G (h;k)Vh2+(?'A lím G(h;k) = 0. (h.k)-(o,0)
Probaremos que A = F'(a;b) a B = F'(a;b).
Si consideramos k = 0 y dividimos por h o, resulta:
h Buscamos :lím ite^para;h^O :^:
h —O ri - h—O:
Ihl G (h;0)-i-l-
Por la définliíióh dé funcióiriídiférénciabíe,tGí^és::infinitésimo si h.y k tienden si- multáneamente a cero. A d e m á s -r- es una función acotada.
Luego, lím
h - O G(h;0) = O y queda F'(a;b) = A.
Análogamente se demuestra que Fy(a;b) = B. Entonces, para F diferenciable:
(1) F(a+h;b+k)-F(a;b) = F;(a,b)h+F'{a;b)k+G(h;k)Vh2+k2 a lím G(h;k) = O
^ (h;w-(Oí)v . ' ■
Aplicación
Utilizando la definición probar que F:(x;y) -»x2+2xy es diferenciable en cual quier punto (a;b)€R^.
(F;(xy> - 2x+ 2y ^ F^(á;bf = 2a+2b):;A (F^í^ly) = 2x ^ F;(a 2a). Reemplázando:valóres en :1a fórmula (1) anterior^ queda: ^
F(a+h;b+k):r-F(á;b) = (2a%2b)h+2ak4-.G(h;k)\/h27^ . Debemos probar que lím G(h;k) = 0.
(h;k)- (0:0)
Reemplazandó los valores del primer, miembro, queda:
Cancelando convenientemente: h^+2hk = G(h;k)Vh2+ i^
| G ( h : k ) | = J í á £ L para Vh^+k^ é 0.
V h 2+k2 Por la propiedad triangular:
v ^ + k 2 V h 2+ V
Como — p = = - < 1 , es lG (h;k)m hl+2|kl. V h^+k^
Luego, lím G(h;k) = O y queda probado que F es diferenciable en R^. (h:k)-<Ofl)
Diferencial total
Es común llamar AF o a la diferencia F(a+h;b+k)¿F(a;b).; Además, se de fine como "diferencial total” de F en (a;b), respecto de h y k, a la suma de los dos primeros términos del segundo miembro, o sea, la parte lineal del incremento.
dF((a;b),(h;k)) = F;(a;b)h+F;(a;b)kr
En notación vectorial, el diferencial total puede definirse como el producto es calar del vector gradiente por el vector de componentes h y k.
O sea. dF((a;b).(h;k)) = (F;(a;b)T+F;(a;b)j) · (hl+kj).
Igual que en una variable, es usual llamar Ax al número h y llamar Ay al núme ro k.
También puede demostrarse que Ax = dx y Ay = dy.
En efecto, para F(x;y) = x, F es diferenciable siendo dx = 1Ax+0Ay. O sea, Ax = dx,
Análogamente, jpara F(x;y) = y se'demuestra que Ay = dy. - Obtenemos, entonces, la siguiente expresión para el ditérencial total:
dF(a;b) = F'(a;b)dx-hF'(a;b)dy.
La notación usual para el cálculo del diferencial.total de una función en un punto cualquiera es:
dz = z; dx-1-4 dy o bien, dz = dx + - ^ dy.
Al admitir esta notación, debe tenerse claro que dx y dy son dos valores arbi trarios, independientes ambos de las respectivas variables x e y. Además, se en tiende que el diferencial de la función dada por la expresión z = F(x7 ) se calcula en un punto cualquiera (x;y), las derivadas parciales se calculan en el mismo punto (x;y) y la fórmula tiene sentido solamente si la función es diferenciable;
El diferencial de una función en un punto da una aproximación conveniente para el incremento de la función al pasar del punto (a;b) al punto (a+h;b+k).
Al definir plano tangente a una superficie, veremos la interpretación geométrica del diferencial total.
Aplicación
F;{x;y)-> 3xy-x^ Hallar Az y dz en el punto (1;2) respecto de los valores dx - 0,01 dy = q,02. -
Az: F(1^01 ;2;02);=^F(í;2)í = 5;1005^5-= 0^1005-^ dz: dF(1 ;2) = F;(1 ;2)dx+F;(1 ;2)dy:
dF(1 ; 2 ) = 4 . 0 i 0 1 +3 ; 0 , 0 2 = 0 ; 1 0 0 0 ^
Teorema 2
Si F es diferenciable en {a;b), interior a su dominio, entonces F es continua en (a:b).
Para demostrarlo, debemos probar: lím F(xy) = F(a;b).
(xy)— (a,b)
Haciendo h = x -a , k = y -b , en la expresión de una función diferenciable, ob tenemos:
F(x;y)-F(a;b) = F ;{a ;b )(x-a )+ F ;(a ;b )(y-b )+ G (x-a ;y-b )V (x-a )2 + (y-b )2 siendo lím G (x -a ;y -b ) = 0,
(x,7) -» (a*)
Además, como |x^a |^V (x-a )2 + (y-b )2 , resulta;
V€>036. = € :ta l. que 0< \/(x v-a )^+ (yrb )2<S |x-á |< e ;
Por lo tanto, lím (x-a ) = 0. (x;y)-(aW
Análogaménte,; es. líití (y=- b) = 0. (xw)^(ai>). ·
Luego, lím [F(x,7 )-F (a;b)] = O, y el teorema queda probado. (x7)-(att
Teorema 3
Si F es diferenciable en (a;b), interior a su dominio, entonces F tiene derivada en cualquier dirección y sentido, en dicho punto.
Demostración
Consideramos, en el plano, el vector (h;k), que forma un ángulo a con el semieje positivo de abscisas.
Por ser F diferenciable sabemos que:
F(a+h;b+k)-F(a;b) = F;(a;b)h+F;(a;b)k-i-G(h:k)Vh2TÍ^A A lím G {h ;k )^ 0. ^
(h;k)-.(0:0)
Dividiendo por V h^+k^ T^O, es
F (a .h :b .k )-F (a ;b ).. _ h
V h 2+k2 X V h = + Í^ \/h 2+ Í^ F(a+ h ;b + k)-F (a;b)
V h ^+ k^
O bien. ^ - = F;(a;b) eos « + F;(a;b) sen « + G(h;k).
Sí calculamos el límite para V h ^+ k^-^ O, resulta:
F'£x (a;b) = F'(a;b) eos a + F'(a;b) sen a.* y
Luego, Va:3F^(a;b) y se ha vuelto a obtener la fórmula ya conocida por apli cación del teorema del valor medio.
Sabemos ahora que una función diferenciable es continua y admite derivada en cualquier dirección y sentido. Las propiedades recíprocas son falsas. Es d ^ ir, una función puede tener derivada en cualquier dirección y sentido y no ser diferenciable, ni siquiera continua (ver pág. 118).-
Buscamos, entonces, una condición más fuerte que la existencia'de derivadas^ parciales o direccionales, qué asegure la diferenciabilidad en el punto. Esta cdñr dición consiste en exigir que la función tenga derivadas parciales continuas en un entomo del punto elegido. ,
Teorema 4
Si F tiene derivadas parciales continuas en un entorno del punto (a;b). interior al dominio, entonces F es diferenciable en (a;bj.
Demostración
Por el teorema del valor medio (pág. 97):
F(a+h;b+k)-F(a;b) = F;(a+t,h;b)h+F;(a+h;b+t2l<)k a 0< t^ < i a 0< t2< 1.
Como F' y F' son continuas en el entorno considerado, es
rh\ = F'ra-W+Míh!W a lím M(h:ki = 0 (1) F '(a+t,h;b) = F'(a:b)+M(h;k) a lím M(h;k) = O ^ * (h;k)-(Oí)) F'(a+ h;b+t,k) = F'(a;b)+N(h;k) a lím N(h;4<) = 0 y" ^ ’ y (h:k)-{0;0)
pues toda función continua es igual a su límite más un infinitésimo en el punto (pág.73).
Luego, F(a+h:b+k)-F(a;b)=F/(a;b)h+FJ(á;b)kri-M(h;k)h+N(h;k)k. Para V h^+k^ ¥= O, .es: ;
F (à + h ;b + k)^F (à ;b );= *F f(à Ji)h *F J{â ;b )k.# |.ii^^
Por lo tanto, G(h;k) = - — y --- y debemos probar que
lím (h;k)-*(Ofl) V h 2+k2 G(h;k) = 0. Ahora bien, |h |< \/h 2+k2 ¡kjrsVh^+k^ Ihl |kl \ / h ^ Vh^+k^ <1 Vh^+k^ :S1 A V h^+k2 =f (2) Sabemos que lím G(h;k) = lím v (hW-(Ofl) (h«-(Offl M(h;k) V h 2+ i?-+N(h;k) V h^+ k^
.
Pero, lím (h;k)-.(0;0) M(h;k). Jnitésimo por: una función aG0tadaf'según (1)¿y (2)i
- - O por tratarse del producto de un infi-
Análogamente, lím
(h:k)-(OÍ» N(h;k) =
0
. Luego, límV h 2+k2
El recíproco de este teorema es falso, pues existen funciones diferenciableS; cu yas derivadas parciales no son continuas.
Por ejemplo, ■
F:(x;y)
(x^-i-y^) sen (---) si (x;y) (0;0) \ x2-Hy2 /
O si (x;y) = (0;0)
Puede probarse que F es diferenciable en {0;0), pero sus derivadas parciales son discontinuas en (0,0).
Generalización
La definición de diferencial total y la de función diferenciable pueden extenderse a cualquier dimensión.
Si F:D - 9· R (DCR^) es diferenciable, entonces su diferencial total en (a;b;c), interior al dominio, es;
dF(a;b;c) = F'(a;b:c)dic+F'(a;b:c)dy+F'(a;b:c)d2 Análogamente, para una función de n variables: x^,x„....x , esI 2 n
dF(a,;a2:...;a„) = F;^(a,;a2;...:a„)dx,+F^(a,;a2;.,.:a„)dx2+...-l·F;^(a,:a2;...:a„)dx„
n
o sea, dF(a,;a2;...;aJ = S f ; ^ (a^;a2;...;a„)dx,.
Diferenciales sucesivos
Si la función F:D R con DCR^, tiene derivadas parciales continuas de or den superior, considerando h y k constantes, puede obtenerse el diferencial segun do de la siguiente manera:
di^F(xy) = d(dP(xM ) = -|--(F ;(x y )h + F ;(x s í)k )h -^(F ;(x » )h + F ;(x ,-y )k )k d=F(xy) = [F3x;y)h+F"(x;y)k]h+[F"(x;y)h+F^(x;y)k]k. i Como las derivadas parciales son continuas, queda: ;
d^F(x.7 ) = F;;(x;y)h2+ 2F;;(x;y)hk-^F” (x;y)k2. Este diferencial segundo puede anotarse simbólicarñente:
expresión que se interpreta así: se desarrolla el paréntesis según la fórmula del cua drado de un binomio y luego se considera que el exponente, aplicado a una deri- váda, indica ei orden de la derivación. Las derivadas sé calculan para la función F en el punto (x;y).
o s e a ( h 4 - + k - ^ f F(x3/) =
3x2 axay ay2
' -h2F-(x;y)+2hkF;;;(x;y)+k2F^(x:y).
Si consideramos el operador vectorial* nabla:; V = (· — ) - \ 8x dy r
el b¡nomiQ:;^h>-^+kr^^-puederiescribirse;:cpmoreUproductO:escalar ^
Luego, d^F = ((h;k)· V)^^’F(x7 ).
Haciendo h = dx, k = dy, suele indicarse:
d^F = F” (dx)2+2F” dx dy+F” (dy)2. be la misma forma se demuestra que:
d^F = F-(dx)=+3F;;;(dx)2dyd-3F;;;dx(dy)=+F-(dy)’ = (d x -|^ + d y -^ )'® F .
Análogamente, por inducción, resulta:
d"F = ( d x - ^ + d y - ^ Y " k \ ax a y /3y
La fórmula del diferencial primero .es igualmente válida cuando x e y no son va riables independientes;:No.ipasailOrmismo con los.diferenciales.de.orden superior.
* En general, un operador es solamente un símbolo para indicar que deben efectuarse cieitas opera
ciones. El operador vectorial V indica que debe derivarse. Por ejetfiplo, aplicado a la fundón F en el punto
(a;b) da como resultado el vector gradiente en dicho punto. -
EJERCICIOS
1) Probar que F es diferenciable en (2;1) si F:(x7 ) ^ Sxy-y^. 2) Probar que F es diferenciable éñ (a;b)€R^ sí F:(x;y) -> y^-xy, 3) ídem para F:(x;y)->· Sx^y+x-y.
4) Hallar diferencial total para cada una de las siguientes funciones:
. F:(x:y) - 7 + ^ ^
X y x2+y2
H:(x;y) -> y tg x - 3*2^ M:(x;y) x ^- are tg -^ 5) Hallar dz si z = sen (5x^-1) +
x 1
In y 6) Hallar dF (2;-1) si F:(x;y)-> x3y - 2x2y2+y3.
x+y 7) Hallar dz en (3;4) si z =
.
V x^+ y^8) Calcular Az y'dz siendo z = F(x;y) con F(x;y) = x2y+2xy2+3 en (-1;1)para dx = dy = 10~2
9) ídem para F(x;y) = x ^ y -5 -^ en (1 ;-2 ), Ax = 10-3, = 10- 2. 10) ídem para F(x;y) = x2y-3y^ en (2 ;-1 ), A x= 10~ ^ Ay = 10"®. 11) Hallar d^F en (1;2) si F:(x;y)-» x^yS-SxV-
12) Hallar d^z si z = ( 3x2- y 3)2. 13) Hallar d^z si z = /x 2 + 4 y V .
V. Plano tangente y recta normal a una superficie
Recordemos, en prim er lugar, que el gráfico de una función continua F de dos variables es el conjunto {(x;y;z)/z = F(x;y)f, que determ ina una superfi cie en
Si Pg = (Xg:yQ;Z(3) es un punto que pertenece a dicha superficie y F,tiene deri vadas parciales continuas en (Xq^q), queremos definir plano tangente a ta superficie en Pq. Para ello, nos apoyamos en la idea geométrica de que el plano tangente a una superficie en un punto de la misma, es eJ lugar geométrico de las rectas tangen tes a todas las curvas que pasan por el punto y están en la superficie.
Sabemos que F tiene derivadas parciales en (Xj,,7g). Por lo tanto, Fj^(Xg;yg) es la pendiente de la recta tangente en P^, a la curva intersección de la superficie con el plano de ecuación y = y^^, y lo mismo sucede para; F'^x^iy^^) en el plano x = x^
(pág. 94). \
Llamaremos plano tangente al determinado por esas dos rectas.
Para encontrar su ecuación, podemos considerar, en primer lugar, el vector Vj = (l:0;F'(x^:y^)). Dicho vector tiene la dirección de.la recta tangente mencionada, en el plano* y = y^.
Análogamente, v^ = (0:1;F'(x^;yjj)) tiene tá dirección de la recta tangente, en el plano de ecuación x = Xq.
Por lo tanto, la ecuación del plano tangente puede obtenerse como la de un pla no que pasa por P^ y es paralelo a los vectores v^ y v^, no paralelos.
Su ecuación es (pág. 42): x-xo 1 O y-Yo 0 1 z,-F(Xo.7o) F;(Xo;yo) F;(XoVo) = 0
o bien, z,-F(Xo;yo) = F;(XoVj(x-Xo)+F;(xQ;yo)(y-yo).
(En esta ecuación Zj = T(x;y) es la altura para Un punto ubicado en el plano tangente.)
Observación
‘ La ecuación del plano Íangente; puede obtenerseítambiéri sin L-recurrir a :!^ ex^ presiones vectoriales-que. hemos;usado. . . ^
Para ello, recordemos que .la ecuación^ dé, un ,plano .al quei pertenece el punto, Po = (^oíyol^o) es.«ieN¡po::
,
a(x-Xo)+b(y.-yo)+c(z-Zj,) = 0.; Si c 5^. 0' es: z -z , = - -|-(> í-x,) - -|(y -y „). - O sea í - 2„ = A <x-x„)+ B (y-y„).
Si se trata del plano tangente buseamos el valor de jas constantes A y B. La recta intersección del plano tátigénte con el plano .de ecuación y = y^, tiene ecuación
x - x .
Luego, para y = y^ es z -z ^ = P(Xo:yo)(x-Xo) V< PO'" 'o resulta; A = P(Xo;yo).
Análogamente, para x = Xq se obtiene B = Fy(Xg;yg).
Entonces, la ecuación del plano tangente á la sUpérficie dada por z = F(x;y) en el punto (Xoiyo^^) es
z,-Zo = F;(xo:yo)(x-^o)+'^;(xo:yo)(y-yo)·
♦ Ahora bien, así como se. dio una interpretación geométrica a cada derivada parcial, también puede darse una. interpretación similar para derivada direccional.
Pára ello, consideremos un plano perpendicular al plano-xy, cuya traza, orien tada positivamente, forme un ángulo a con el semieje positivo de abscisas y cuya intersección con la superficie es la burvá-Gl·" ' ·
Definimos como; recta tangente a la curva C en el punto a la recta,, incluida en dicho plano, cuya pendiente es F^íx^iy^). -- - ---
Demostraremos qué esta re c ta está incluida en el plano;tangente a. la superficie
en Pg = i\\yo\2o).
Para ello, observemos en primer lugar, que el vector; v^ = {eos a; sen o; F^tx^^o)),
con origen en Pg, está incluido en la recta tangente a la cun/a C en P^.
En efecto, v = (cos a; sen a) es un vector unitario. Si lo pensamos con origen en Pg y punto final Q, la pendiente de la recta tangente mencionada es 4a distancia vertical entre el punto Q y dicha recta, o sea, F'^íx^iy^).
Necesítamos?;pΓObar;·:eHtonceSií ,qu&^ejL;yector^v^^;és.:CqplanaΓ y que determinaron dicho plano.·.
Ello se verifica si el producto mixto v^ - (v^ a Vg) - n (pág..42). eos a sen a
v„ * ( Vi AV2) = 1 O F;(XoiyJ
O 1 F;(x,:y,)
= “ F;(Xo,yo)'cos a - F;(Xo.yo) sen «. Como las derivadas parciales son continuas, queda:
V , · (Vi A v^) = F '(Xq^o) - F;,(Xo;yo) = 0.
Por lo tanto, el plano tangente, de ecuación
T(x;y)-F(Xo;yo) = F;(Xj,7o){x-Xo) + F;{Xo:yo)(y-yo)
contiene a todas las rectas tangentes en P|, a las eurvas.de la superficie que pasan por dicho; punto.
Interpretación geométrica del diferencial total.
Recordémos la definición,de.diferencíartotal'para un campó escalar de dos var hables en;el;punto-;:(x¿vy¿).,respecto de-los;inGrementós,;Ax - ; x-Xg, Ay = y-y^:
dF(x„:yo)=p;(x„:vo>('‘ ” *o )+ ''íM o )(y -y ¿ )· -
Vemos que su , expresión coincide con el segundo miembro de la ecuación ha llada para el plano tangente a la superficie en ,(Xjj;yg;2Q).
Luego, en un entorno del punto (Xo^q). si se aproxima el incremento de ia fun ción mediante el diferencial, se considera la altura hasta el plano tangente,'en lugar de hacerlo hasta la superficie. '
La interpretación geométrica es análoga a la vista para funciones de una varia ble, donde el diferencial indica el incremento hasta la recta tangente en tugar de hacerlo hasta la cun/a.
Por definición de función diferenciable, la diferencia A r-d z es infinitésimo para < x ; y ) ( X o : y o ) ·
Aplicación
Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie dada por F :(x;y)^3 x2 -2 xy en (-2 ;3 ;F (-2 :3 )) y
F;(x;y) = 6x-2 y => F ;(-2;3) = -1 8 F;(x;y) = -2 x => F ;(-2:3) = 4 Además. F(^2;3) = 24.
Luego, la ecuación del plano tangente en (-2;3;24),. es
z - 2 4 = -18(x+2)-h4(y-3). O sea 18x-4y+z, = -2 4 .
Recta normal
Si la superficie correspondiente a la función F admite plano tangente en Pq, en tonces definimos como recta normal a la superficie en P^, a la recta perpendicular al plano tangente en dicho punto.
Podemos escribir de la siguiente manera la ecuadón del plano tangente; F;(Xo-yo)(x~Xo)+'^;(’‘o;yo)(y“ y o )+ (-‘')(T(x;y)-F(Xoíyo)) = °· expresión^que corresponde al producto escalar;
(f" ;(^ o íy o )í p;(Xo:yo)'· - 1 ) · y - y o : T ( x : y ) - F ( X o ; y o ) ) = o .
Pero si el producto escalar de dos vectores es nulo, ambos vectores tienen di recciones perpendiculares -entre sí. Ahora bien, el vector
V = (x-Xo:y-yo:T(x7)-F(Xo:yo))
es un vector cualquiera incluido en el plano tangente. Pór lo tanto, el vector (F;(Xo:yo)‘> f^y(’<o-yo):
es perpendicular,aLdichaplano,^;suid|reGCÍGn;essla.dedaTeetavnormal a la superficie- enPo-
Recordemos qué la.ecuación de una recta en el espacio, que pasa por el punto (Xq^o: f^(^o:yo)) es de la forma;
x-Xq y-yo '
a, ■ 32 33
donde a^, a^ y a^ son números, no nulos tales que la recta es:pai’álela.al vector (31,82,33).
Luego, la ecuación deda; recta normaL en P¿,; paralela al vector (F;(Xo:yo)í'^;(^o:yo):- 0 . es;
x-x« y-yo Zn-F(Xoíyo) ^x(Xo>yo) ^yí^o’yo^- - f
Aplicación
Hallar la ecuación de la recta normal a: la superficie determinada por F;(x7 ) —»· -> Y -3 x 2 y 3 en el punto (1; - 2;22).
Verificamos primero si el punto pertenece a la superficie, o sea F(1 ; - 2) = 22. P ;(1:-2) = 50 A F ;(1;-2) = -3 5 .
x-1 y+2 Zn~22 Luego, n:
50 -3 5 -1
EJERCICIOS
1) Ecuaciones del plano tangente y de la recta normal en (3 ;-1 ;-3 3 ) a la superficie detemriinada por F :(x ;y )x 3 y -2 y ^x .
2) ídem para F:{x;y) ^ x^-Sx^y+y^ en (1 ;-2;F(1 ;-2 )). 3) ídem para F:(x;y)-^ e3*“ sy en (0;7rh )·
4) ídem para F;(x;y)-^ x^-3x^y+y2x en (-1 ;2 ;-1 1 ).
RESPUESTAS A EJERCICIOS CAPÍTULO 4 Sección I 1) f;< 0;0) = o f;( 0:0) = o 2) f;(3 .--2 ) - - 2 3) F ;(-1 ;2 ) =— 4 P (-2 ;-3 ^ 4) F;{0;0) = O P(0;0) mo existe 5 )F ;(0 ;0 ) = 1 F;.(0;0) = 1 6) no existe 7)R ;(0;0) = 3 f;(0;Q) = 0 8) F ;( - 3 :1 ) = - ^
9) a) F;(x;y) = [sen (x5-3/*)](3/_3x2)·
F;(x;y) - 6xy sen (xl-Sy^x)
e) F^^(x;y) = 4 cos[tg(4x-2y)] sec^ (4x-2y) F'.(x;y) = - 2 cos [tg(4x-2y)] sec^ (4x-2y)
y
f) F'(x;v) = ---^ ^ ^ T F'(x:y) --- ^ ____ * (x2+y2)Víñ(x2+ ^ ) (x2+y2)Vln(x2+y2)
g) F;(x:y) = 3x2y+y2e>^2-y3®®"^=^>ln3 cos (xy)
F'(x;y) = -x^+e*y^2xy'-x3“ " <*^Mn3 cos (xy) γ 2- χ 2+ 2^ h); F^(xiy)^^ y sec^/x - f":{x;y) = tg x + - (x^+y2)2+ (x-y)^ x2- y 2+ 2xy y (x2+y2)+ (x -y )2
10)- a): F;(x;y;z)i~zy(xy)?-^Î ; - F^(x:y;z) ?^^(xy)lÿ'v^; F^(x;yiz). - (xy)'ln(xy): b) F^(x;y;z) = yz x^^“ ^ Fy(x;y;z) = z x^^ln x F;(x;y,z) = y χ^"=1η x 11) a) F^(x;y;z) - y x^“ ’ +zMn z F'(x;y;z) = x^In x - r z y *' ’
F^(x;y;z) = y^ln y + x z*"^ b) F'(x;y;z) = --- (xy+yz+zx)ln2(xy4-yz+zx) F'(x;y;z) --- ζ ί ϊ ± Ξ } --- '' ’ ' (xy+yz+zx)lh^(xy+yz+zx) (xy+yz+zx)ln^(xy+yz+zx)
FJ(x;y¿) ;==-2x^Ih^x*+-X'Z'?>'ln-z^;^ f^(x:y;z): ~ + xyz^"^
12) F' (x.;x„;x3;x .)- : ----—---- ^ 1 ,,(X3-X ,)2+(X^.+ X,)2 Χ , + Χ , F' (x ·χ- ;χ3;χ^ --- (X3-X,)24-(X,+X/ 13) (3,005:1) ÿ (3,01;1,015) ^ cualquier y 0< t2<1
Sección II
1) F " (-1 2 ) = 0 F " ( - 1 2 ) i^ ( - 1 ; 2 ) = 0 F ;;(-1;2) = 2 , 2) F” (x:y) = y(y-1)xy ^ P;;(x:y) = F” (x;y) = x^ ’ - γΓχ^ Μ η x
F” (x;y) = χ ν Ιπ2 χ
yy' ^
G;;(x:y,z) = y^ln^a 3*^ G;'(x:y;z) = G;^(x;y:z) = 3*νΐη 3+yx G;;(x:y:z), = G” (x;y;z) = O G” (x;y;z) = G;;(x;y;z) = O G;;(x;y:z) = x^ln^s 3>^ G” (x;y:z) = 6z 3) 1) = - - f “t) - I=^(0;í) = o S) F-(0:0> = -2 F^(0;0) =■ 3 ^ ¿ | | | - m ■■ Sección Ili 1) Ί ν 2( Ν = k< 0) 2) ^ hV 3>0). 3) J -V 2(h = -k λ h<0) , -2 5 -2 2 V T 106V Ï3 21619 4) a) ---T--- b ) ---—--- 5) - 13 Q y / ^ 6) F¿(2;-1) = 7, F^ (2; - 1) = 3,06, F ; (2; - 1) - -1.69, T 3 F ; (2 ;-1 ) = - 6. F'3^ (2 ;-1 ) - -9.19. F ;(2 ;-1 ) = -7 . 2 4 ■ F ', (2 ;-1 ) = -0,71, F '^ {2 ;-1 ) = 8,69. 4 3 ____
F; {2; - 1) = 9,06 der. máx. = V 85 = 9,22, der. min. = -λ/8 5 = -9,22 7) (2;1) = F; (2;1) = ;- 6, F '^ (2;1) = - 5 ^ 2 , F;(2;1) = -4 . ;ΐ· - 4 2 4 P f, (2 ;1 )= 3 -2 n /3 : F ', (2;1) = 6 / j - ' í 6 2 ; ,'.v 8) V 2 y - V ^ 9) -3 V 2 · 10) a) b) 1 y -1 11) 6V2 -^tÉ ^ ¿b : ;t ’ 2 ) y 13) 14) 15) V 2 y - V 2 16) 4 4 2o £Λ3 . ‘ ÿ · ^ 747 3 ^ 3
Sección IV.
4, a F = ( - ^ . i ) d x . ( l - ^ ) d y χ 2 y / \ Χ y2
y2- x 2+ 2xy ^ y2- x 2- 2xy dG = ----------- dx + -------dy (x2+y2)2+ {x -y )2 (x2+y2)2+ (x -y )2 dH = (y 8 βο2 χ-3 *2 > Ίη 3) dx + (tg x - 3*2^1π 2) dy dM = (y xy-^ + ------— ) dx +. (x^ln x - ■ ^ ■ - ) dy x2+y2 x^+y2 5) dz = 1 Gx cos (5 χ2 -1 ) dx --- — dy^- y ln2y 6) dz = - 20dxH -^di^ y 7 ) C d z - - j|^ d x .- — | — dy. 8) Δ ζ = -0.029897 dz = -0,030000 9) Δ ζ = -0,0539 dz = -0,054 10) Δ ζ = -0.030063 dz = -0,030000 11) -56(dx)2-216 dx dy - 56(dy)2
12) (108x2-l2y3)(dx)2 - 72xy^dx dy -f (~36yx2 + 30y^)(dy)2
13) 96y2x(dx)3+(24y3+288yx2)(dx)''dy+{72y2x+96x3)dx(dy)2+24yx2(dy)3 Sección V 1 ) 29x-39y+Z, = 93 = z„+33 2) 1 5 x -7 y -z , = 18 x - r y+2 z -11 15 ^ - 7 -1 3) 3 x + z ,-1 = 0 = z^ -1 Λ y = ir 4) t9 x -7 y -z ,l·2 2 ;= 0 3 x+1 y- 2 Zn+11 19 - 7 -1
5. FUNCIONES COMPUESTAS
La idea de función en una o más variables puede generalizarse considerando funciones cuyo recorrido es un conjunto de vectores n-dimensionales.