La figura muestra un sistema de levitación magnética:
L
- w v —íóffo(r— «"j
MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS. LINEALIZACIÓN
137
i
bobina y de la distancia de la bola al electroimán según: F = — , con F en N, i en
y
A e y en m. Sabiendo que el aire produce un rozamiento viscoso sobre la bola de coe ficiente c=10Ns/m:
a) Obtener las ecuaciones diferenciales que definen el sistema y expresarlas en
forma de ecuaciones de estado válidas (para ello elegir las variables de estado de forma correcta).
b) Obtener las ecuaciones de estado lineales aproximadas y la función de trans
ferencia aproximada entre u e y en función del punto de funcionamiento u0.
c) Si se mide la altura y con un sensor y se define la tensión de entrada como u=u0+ k(y-y0), ¿Cuál es el rango de valores de u0 en los que existe algún valor de k para el
que el sistema es estable?. ¿Y si se mide también la corriente i, definiendo la entra da como u=u0+k,(y-y0)+k2(i-io)?
d) Si se mide la altura y con un sensor, y se define la tensión de entrada como u=ky,
¿Existe algún valor de k para el que el sistema sea estable? Datos: m=lkg, L=0.01H, R=1Q.
Solución
a) La ecuación el movimiento es:
my = mg - F - cy = m g --- cy y Mientras que la ecuación del circuito eléctrico es:
T d Í D -
u = L — + Ri dt
Definiendo los estados como y > JM , y despejando de las ecuaciones anteriores se expresan las ecuaciones en representación interna:
f - y
dt dy i2 c . dt my m di R . 1 — --- 1 + —u dt L L138
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE SISTEMAS T - idt ^ = 9 . 8 - - - 10j dt y - = -1 0 0 /+ 100« dtbj Para linealizar las ecuaciones anteriores se calcula en primer lugar el punto
de funcionamiento:
0 = - 1 00/0 + 100m„ => i0 = Uq
0 = 9.8 - => y0 = —
y0 9.8
Las ecuaciones aproximadas lineales son: dAy dt Ay dAy i02 L . . 1f. . . 9.82 19.6 . — - = T Ay - 2 — Ai - 10Ay = - ¡ - A y - 10A>’--- Ai dt y0 y0 u0 u0 — = -100A / + 100Aw dt
Para obtener la función de transferencia se toman transformadas de Laplace: sAi(s) = -100A /(í) + 100Aw(s) => A i(s) = — A u(s)
s +100
o o2 \Q
s 2Ay(s) = —j~ A y(s) - lOíAyO)---—Ai(s) =
Uq Uq = ^ - A y ( s ) - WsAy(s) - — ~ ^ r &u(s) Uq Uq S + 100 de donde se obtiene: -1960 Ay(í) u0 G(s) = A u(s) s2 + 10í - 96.042 l(s + 100) \ U0
MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS. LINEAUZACIÓN
139
c) Si se define la entrada como una realimentación de la salida Au=-k(Ar-Ay)
(donde en este caso Ar=0) la función de transferencia aproximada en bucle cerra do es: M (s) = - kG(s) 1 - kG(s) 1960A: + 10í- %.04'\
0
+100
) +1960¿ 1960* 3 11A 2 96.04 1960k 9604 S + 110í + (1000--- r— )s + --- r— M0 u0 u0Otra forma de obtener el polinomio característico en bucle cerrado en este caso es sustituir en la ecuación de estado aproximada Au=kAy, obteniendo la matriz del sistema y sus valores propios. El resultado es el denominador de M(s). Para com probar la estabilidad se estudia en primer lugar el caso en que el sistema es críti camente estable. Habrá un polo en s=0 si:
1960 k 9604
= 0 k = 4.9
Para ese valor de k, los otros dos polos serán:
96.04,
s + 110s + (1000- ■) = o
-
110
:S =
1102 - 4 ( 1 0 0 0 - ^ ^ )
Estos dos polos serán estables siempre que:
1 0 0 0 - ^ ± > o => U Q> 0.31
En ese caso existirá un valor de k para el que el sistema es estable, pues para k ligeramente menor o ligeramente mayor que 4.9!u0 los tres polos serán estables. Para comprobar si k debe ser mayor o menor se toma por ejemplo u0= l y k=5, obtenién dose unos polos: -101.0758, -8.7013, -0.2229.
Si el punto de funcionamiento es u0<0.31 cuando se tiene un polo críticamente estable hay otro que es inestable, luego el sistema es inestable. En este caso habría que comprobar la segunda posibilidad en la que se pueden tener polos críticamente estables, es decir; polos imaginarios con parte real cero. La ecuación sería:
140
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE SISTEMAS3 2 96.04. 1960k 9604
S + 1 lOs + (1000--- — )*£ H---r—
= (s2 + co2)(s + a) = 5 + as2 + co s + acó
que no tiene ninguna solución posible si u0<0.31,pues af es siempre positivo. El rango de puntos de funcionamiento en que el sistema se puede estabilizar con la realimentación de la salida es u0>0.31.
Si se mide también la corriente y se define la entrada como: Au=k}Ay+k2Ai el polinomio característico en bucle cerrado se puede obtener a partir de la matriz del sistema en bucle cerrado:
dAy ~dt~ Ay 9.82 1AA. 19.6 A. —r - a y - 1 0A j--- Ai dAy dt = -1 0 0 Ai + 100(^,Ay + k2 Ai) dt
Con lo que el polinomio característico es:
\sJ -A \ = s -1 0 1 96.04 5 + 1 0 19.6 2 u0 «0 -100*, 0 5+ 100(1 - k 2)
= 53 + (110 - 100¿2)s2 + (1000 - 1000&2 - ^^-)s +
u0 1960A, 9604(1 - k 2) + 2 u0 u0Si u0>0.31 es evidente que el sistema se puede estabilizar (basta con hacer k2=0 y se tiene el caso anterior). A sí pues se considerará el caso u0<0.31. El sistema será críticamente estable (con polo en s=0) si:
4.9(1 - k2) 1960¿, 9604(1 - k 2)
K = En ese caso los otros dos polos son las raíces de:
s2 + ( 1 1 0 - 100*2)$ + (1000 - 1000/t2 - 96.04
Uñ
) = o
MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS. LINEALIZACIÓN
141
- 1 1 0 + 1 0 0 ¿ 2 ± S = ' 96 04 (110 - 100it2)2 - 4(1000 - 1000¿2 - ) un*0 2Para que estas raíces sean estables (parte real negativa) se debe cumplir que:
y además
-110 + 100¿2<0 => ¿2<
1.1
(1000 - 1000¿2 - ^ ^ ) > 0 => k2 < l - °-Q92604 M0 que se resume en 0.09604 L < 1 -'2 2 UQComo conclusión, para cualquier valor de u0 distinto de cero existen los valores de k2 y k¡ tales que el sistema en bucle cerrado es estable, ya que basta tomar k2 de forma que se cumpla la condición anterior; y tomar después k¡ ligeramente mayor
4.9(1 - k )
qUe _:-2_ £ omo ej empi0y s¡ se toma u0=0.1, k2=-10, k¡=600, los polos en bucle
u0
cerrado son: (-1109.7, -0.14355+ 32.823Í,-0.14355- 32.823Í).
dj Si se define u=ky las ecuaciones exactas en bucle cerrado son:
T - ydt
^ = 9 . 8 - - - 1 0 y
dt y
- = - l0 0 i + l00ky dt
El punto de funcionamiento es ahora:
2
0 = 9.8 - => ^
y0 9.8
0 = -100/0 + lOOky0 => i0 = ky0 = k ^ => i0 = ^ => jy0 =
Para comprobar la estabilidad se calcula el sistema lineal aproximado:
142
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE SISTEMAS= JíL. Ay - 2 — Ai - 10Ay = k2Ay - lOAy - 2kAi
dt y0 y0
— = -1 0 0 Ai +
100
kAy dtLos valores propios de la matriz de estado en bucle cerrado son las raíces del polinomio:
s - 1
0
1
\sl - A\ = - k 2 5
+ 10
2 *-1 0 0 *
0
5 +100
= 5 3 + 1 10s2 + (1000 - k2)s +100 k2
Para comprobar la estabilidad se estudia la posibilidad de que el sistema sea crí ticamente estable. No puede haber un polo real en s=0, porque en ese caso k=0, lo cual no es una solución válida (u sería cero). La otra posibilidad es que haya un par de polos complejos con parte real nula:
s3 + 110s2 + (1000 - k 2)s + 100*2 = (s2 + (
0
2)(s + a) = = s3 + as2 + (o2s + acó2de donde se obtiene: o)2 = 1000 - k 2 = a = 110 100*2 100*2
* = 22.887
a 110Para este valor de k, el polo real es estable por lo que el sistema sí se podrá esta bilizar. Si se toma un valor de k menor que 22.887 se comprueba que los polos son todos estables.