Comments

The formulae given above are valid when the follow- ing assumptions are made for the sake of simplifica- tion:

1. The edges are hinged and warping (in other words, displacement along the x axis at edges where

x= const. and displacement along the y axis at

edges where y = const.) is not prevented. These conditions become effective during the buckling event. They do not as a rule apply to the fundamen- tal state.

2. The fundamental state is linear and homogeneous – in other words, the stresses in the fundamental state are constant over the plates and shells and increase proportionally with the applied load until buckling occurs.

3. The plates and shells are free of imperfections. The influence of imperfections is taken into account by the use of reduction factors.

4. The theory of shallow shells is applicable. This is the case when circumferentially the half-wave-

n_xycr 21,75 2π --- D225 8⁄ a₁₁3 8⁄ _R3 4⁄ _l1 2⁄ --- = λ nx n_xcr --- ny n_ycr --- nxy n_xycr --- + +       1 =

VDI 2014 Blatt 3 / Part 34 Blatt 3 / Part 3 – 123 – lenlängen der Beulformen kleiner als etwa 0,75 · R

sind, wobei R der Krümmungsradius der Schale ist. 5. Das Laminat ist orthotrop. Orthotropieachsen sind identisch mit den x- und y-Achsen des Flächenträ- gers.

6. Der Einfluss der Nachgiebigkeit gegen Querkräfte

(geringe Werte der Schubmoduln Gzx, Gzy) ist ver-

nachlässigbar.

Vergleiche mit Berechnungen, die die Vereinfachun- gen 1 bis 3 nicht voraussetzen, haben gezeigt, dass die angegebenen Formeln für Flächenträger, die frei von Imperfektionen sind, gute Näherungen ergeben und mit einem Bruchteil des Aufwandes der genaueren Rechnung erzielt werden.

Genauere Berechnungen erfordern die Anwendung einer nichtlinearen Schalentheorie. Der damit ver- bundene Aufwand lohnt sich vor allem dann, wenn der Grundzustand stark veränderlich ist, beispiels- weise in der Umgebung von Ausschnitten oder kon- zentrierten Krafteinleitungen.

Zur Abschätzung der Imperfektionsempfindlichkeit der Schale sollten Berechnungen für verschiedene angenommene Imperfektionen durchgeführt werden. Als Imperfektion stehen in den seltensten Fällen an realen Schalen gemessene geometrische Abweichun- gen zur Verfügung. Die FEM bietet die Möglichkeit Eigenmodes bzw. Linearkombinationen derselben als Imperfektionen zu verwenden. Dabei sollte jedoch durch mehrere Berechnungen mit unterschiedlichen Formen und Amplituden die für die Traglast ungüns- tigste Vorverformung festgestellt werden. Wenn möglich, sollten die in der nichtlinearen Berechnung verwendeten Imperfektionen mit entsprechender Li- teratur untermauert werden.

Anisotropie, das heißt Verletzung der Vereinfa- chung 5, mindert die Beullasten und bewirkt verän- derte Beulformen, deren Knotenlinien nicht parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Für Zylinder- schalen gibt es analytische Lösungswege, die jedoch ein Computerprogramm erfordern [Gei85]. Bei dün- nen Schalen und ausgeglichenen Laminaten bleibt der Effekt gering.

Die angegebenen Abminderungsfaktoren ρ zur Be- rücksichtigung des Imperfektionseinflusses basieren auf Versuchen mit isotropen Zylindern und führen auf untere Grenzen für die Beullasten. Die Anzahl der gut dokumentierten Versuche mit Schalen aus La- minaten reicht nicht aus, um statistisch gesicherte Aussagen über die Abminderungsfaktoren zu treffen. Es zeichnet sich jedoch ab, dass Schalen aus Lamina- ten weniger imperfektionsempfindlich sind als iso- trope Schalen. Mithin erhält man Ergebnisse, die auf der sicheren Seite liegen.

lengths of the buckling modes are less than 0,75 · R or so where R is the radius of curvature of the shell. 5. The laminate is orthotropic. Orthotropic axes are identical to the x and y axes of the plates or shell. 6. The influence of compliance to transverse forces

(low values of the shear moduli Gzx, Gzy) is negligi-

ble.

Comparisons with analyses which do not assume the first three of these simplifications have indicated that the formulae given for plates and shells which are free of imperfections produce good approximations and may be obtained with a fraction of the time and effort required for more precise analyses.

Such more precise analyses require the application of a non-linear shell theory. The greater time expendi- ture associated with this is primarily worthwhile in cases where the fundamental state is very changeable, such as in the vicinity of cut-outs or concentrated load introduction features.

In order to estimate the imperfection sensitivity of the shell, analyses should be carried out for different as- sumed imperfections. It is only in the rarest cases that geometric deviations measured on real shells are available as imperfections. FEM makes it possible for eigenmodes or linear combinations of these to be used as imperfections. Here, however, the imperfec- tions which are most unfavourable for the limit load should be determined by carrying out several analy- ses with different shapes and amplitudes. If possible, the imperfections used in the non-linear analysis should be backed up with the corresponding litera- ture.

Anisotropy – in other words, an infringement of the fifth simplification – reduces the buckling loads and creates modified buckling modes whose nodal lines do not run parallel with the coordinate axes. Analyti- cal solution methods do exist for cylindrical shells but they require a computer program [Gei85]. The ef- fect remains minor in the case of thin shells and bal- anced laminates.

The reduction factors ρ indicated for taking into ac- count the influence of imperfections are based on tests with isotropic cylinders and produce lower lim- its for the buckling loads. However the number of well-documented tests conducted with shells made of laminates is not sufficient to enable statistically sub- stantiated statements to be made regarding reduction factors. It does, however, appear that shells made of laminates are less sensitive to imperfections than iso- tropic shells. Consequently, results are obtained which lie on the safe side.

– 124 – VDI 2014 Blatt 3 / Part 3014 Blatt 3 / Part 3

Die angegebenen Formeln für Beullasten von ge- krümmten Flächenträgern sind unter vereinfachen- den Annahmen mit der Theorie flacher Schalen er- mittelt und berücksichtigen nicht – wie bereits er- wähnt – den Einfluss der im Vergleich zu homogen- isotropen Schalen geringen Steifigkeit gegenüber Schubkräften quer zur Schalenfläche. Es gibt analyti- sche Lösungen, die diese Vereinfachungen nicht be- nutzen. Sie führen jedoch nicht zu geschlossenen Formeln für die Beullasten, lassen sich aber mit ei- nem kleinen Rechenprogramm auswerten [Gei97].

6.2.5 Berechnungen mit FEM

Stabilitätsberechnungen von geometrisch komplexen FKV-Bauteilen werden zweckmäßig mit Hilfe von FEM-Programmen durchgeführt. Hierbei ist zwi- schen linearen und nichtlinearen Stabilitätsberech- nungen zu unterscheiden:

• Lineare Stabilitätsberechnungen mit FEM erfol- gen nach der Theorie der Gleichgewichtsverzwei- gung (auf dieser beruhen auch alle Formeln in Abschnitt 6.2.3) und führen zur so genannten Ver- zweigungslast. Imperfektionen können mit dieser Berechnungsmethode nicht implizit berücksich- tigt werden. Es gelten die in Abschnitt 6.2.4 ge- machten Einschränkungen. Die meisten FEM- Programme bieten diese Berechnungsmöglich- keit. Für die Modellierung der Bauteilwandung (Laminat) siehe Abschnitt 5.4.

• Wesentlich realitätsnähere Ergebnisse bei aller- dings deutlich größerem Rechenaufwand liefern geometrisch nichtlineare Stabilitätsberechnungen mittels FEM. Dabei wird die für die Bauteilstabi- lität maßgebende (Druck-)Belastung unter Be- rücksichtigung des geometrisch nichtlinearen Bauteilverhaltens nach Aufbringen von Bautei- limperfektionen solange iterativ gesteigert, bis die Gleichgewichtsbedingungen nicht mehr erfüllt werden können (Erreichen der Traglast). Bautei- limperfektionen werden z.B. bei einem Rohr da- durch berücksichtigt, dass einige Knoten des Kreisquerschnittes neben der Kreislinie angeord- net werden. Derartige Berechnungen erfordern stabile nichtlineare Lösungsalgorithmen, die nicht in allen FEM-Programmen verfügbar sind. Für die Modellierung der Bauteilwandung (Laminat) siehe Abschnitt 5.4.

6.3 Verbindungen und Krafteinleitungen

Man unterscheidet kraftschlüssige Krafteinleitungen (z.B. Kleben), wo die Kraftübertragung zwischen den Fügeteilen primär großflächig über Schubspan- nungen stattfindet und formschlüssige Krafteinleitun-

The formulae given for the buckling loads of curved plates and shells were obtained on the basis of as- sumed simplifications by application of the theory of shallow shells and – as has already been stated – do not take into consideration the influence of the lower resistance (in comparison with homogeneously iso- tropic shells) to transverse forces across the shell sur- face. There are analytical solutions which do not make use of these simplifications. They do not how- ever result in closed formulae for the buckling loads but can instead be evaluated by means of a small cal- culating program [Gei97].