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Matemática Segundo Año de Bachillerato Página 37

RESUMO N°5

Pendiente de una Recta

Concepto Rectas paralelas

es es

Matemática Segundo Año de Bachillerato Página 38

CUESTIONARIO N°5

Matemática Segundo Año de Bachillerato Página 39

BLOQUE 2:

Álgebra y Geometría

FICHA N°6:

Ecuación

Bidimensional de la

Recta.

OBJETIVOS:

Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.

Destreza de Criterio de desempeño:

 Determinar la ecuación de la recta, dado dos parámetros (dos puntos, o un punto y la pendiente)

 Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.

 Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que representa dicha función.

Objetivo Educativo.

ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO PUNTO Y PENDIENTE

Cualquier que pasa por los puntos de coordenadas A𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝐵(𝑥1, 𝑦1), tiene como pendiente

la siguiente expresión: 𝑚 =𝑦−𝑦_𝑥−𝑥1

1

Esta misma expresión puede escribirse de la siguiente manera:

Matemática Segundo Año de Bachillerato Página 40 Esta última expresión se conoce como la ecuación punto – pendiente de la recta.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenada (−2,3) y cuya pendiente es 2. Remplazando las coordenadas del punto y la pendiente dada en la ecuación de la recta, tenemos: 𝑦 − 𝑦1= 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 3 = 2[𝑥 − (−2)] 𝑦 − 3 = 2[𝑥 + 2] 𝑦 − 3 = 2[𝑥 + 2] 𝑦 − 3 = 2𝑥 + 4 𝑦 = 3 + 2𝑥 + 4 𝑦 = 2𝑥 + 7

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,3) 𝑦 𝐵(2, −1)

Para resolver este problemas es necesario calcular la pendiente entre entre dos puntos dados, y luego calcular la ecuación, la misma que debe cumplirse para los dos puntos

𝑚 =𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 = −1 − 3 2 − (−2)= −4 4 = −1 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) Como A: 𝑦 − 3 = −1[𝑥 − (−2)] 𝑦 − 3 = −1[𝑥 + 2] 𝑦 − 3 = −𝑥 − 2 𝑦 = 3 − 2 − 𝑥 𝑦 = 1 − 𝑥 Con B 𝑦 − (−1) = −1[𝑥 − 2] 𝑦 + 1 = −𝑥 + 2 𝑦 = −1 + 2 − 𝑥 𝑦 = 1 − 𝑥

Matemática Segundo Año de Bachillerato Página 41

MONOTONÍA DE LAS LINEAS RECTAS EN FUNCIÓN DE SUS PENDIENTES

Habíamos determinado que al estudiar la monotonía de una función estamos analizando el crecimiento y el decrecimiento de la misma.

Es importante recordar que para realizar este análisis, tomamos como referencia a la variable independiente (x) la misma crece de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Dibujar la recta y hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y (1, 2)

𝑚 =𝑦2− 𝑦1 𝑥₂− 𝑥₁ = 3 − 2 −2 − 1 = −5 −3 = 5 3

De esta manera comprobamos que toda la recta de pendiente positiva, significa que “sube” , por lo tanto una recta con pendiente positiva es una función creciente en todo su dominio 𝑓(𝑥) → 𝑚 > 0

Función creciente

b. Dibujar la recta y hallar la pendiente de la recta pasa por los puntos A (-2, 3)

𝑚 =𝑦2− 𝑦1 𝑥₂− 𝑥₁ = −2 − 3 1 − (−2) = −5 1 + 2 = − 5 3

Análogamente una recta con pendiente negativa significativa, que la recta “baja” por lo tanto

una recta con pendiente negativa es una función decreciente en todo su dominio

𝑓(𝑥) → 𝑚 < 0

Función decreciente.

Un tramo de función en el que según avanzamos a lo largo del eje “x” la gráfica sube es un tramo donde la función es creciente y un tramo de función en el según avanzamos a lo largo del eje x la gráfica baja es un tramo donde la función es decreciente

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 42

LECCIÓN N°6

INVESTIGO N°6

Explicar el proceso para hallar la ecuación de una recta conociendo un punto y la pendiente.

7.

Explique el proceso para hallar la ecuación de una recta conociendo dos puntos de ella.

8.

Explicar cómo se relaciona la pendiente de una recta con su monotonía:

______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 43 Proceso

RESUMO N°6

Ecuación de la recta conociendo Monotonía de líneas

Punto y pendiente en función de su pendiente

Proceso

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 44

GLOSARIO N°6

Recta 1. Coordenada 1. Punto medio 1. Proceso 1. Punto de corte 1.

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 45

CUESTIONARIO N°6

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−4, −3) y cuya pendiente es -3.

1.

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−3, −1) y es perpendicular a otra recta cuya pendiente es -1₄.

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 46 3. Resolver el siguiente problema: El número de calorías que se queman en una hora de ejercitarse en

una caminadora, está en una función de la velocidad que se emplea. Una persona que camina a una velocidad d un 3𝑘𝑚 _ℎ , quema 233 calorías. A 10𝑘𝑚 _ℎ quemara 548 calorías.

a. Graficar la función y hallar la pendiente. b. Escribir la ecuación que se ajusta a los datos

2.

Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 47

BLOQUE 2:

Álgebra y Geometría

FICHA N°7:

Ecuación Reducida

de la Recta.

OBJETIVOS:

Analizar y determinar las variaciones de las

pendientes en las rectas ubicadas en el plano cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.

Destreza de Criterio de desempeño:

 Determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuación escritas en sus diferentes formas

 Graficar una recta, dada su ecuación en sus diferentes formas.

 Determinar la ecuación de la recta, dado dos parámetros (dos puntos, o un punto y la pendiente)

 Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.

 Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que representa dicha función.

Objetivo Educativo.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA

Sea la recta de la pendiente m que pasa por el punto de coordenadas (𝑥1, 𝑦1), que tiene como

ecuación la siguiente expresión

𝑦 − 𝑦1= 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1+ 𝑦1

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚(𝑦1− 𝑥1)

Siendo la pendiente y las coordenadas (𝑥1, 𝑦1) valores reales, entonces la expresión (𝑥1, −𝑚𝑦1)

tambien es un valor real que lo nombraremos con “b” , entonces la ecuación queda expresada de la siguiente manera:

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 48

En esta forma como ya vimos “m” es la pendiente y “b” es la ordenada de intersección de la recta con el eje vertical. Ejemplo:

Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.

4 3 2 (2,3) 1 -3 -2 -1 1 1 2 -2 (-1,-3) - 𝑚 =𝑦2−𝑦1 𝑥₂−𝑥₁ = 3−(−3) 2−(−1) = 3+3 2+1 = 6 3= 2

Escribimos la ecuación punto pendiente, transformemos la forma reducida y comprobemos los parámetros: 𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2) 𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4 𝑦 − 3 = 2𝑥 − 1 Y-3+2=2x y=2x+1 𝑚 = 2 → 𝑏 = 1

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 49 𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2)

𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4 0 = 2𝑥 − 𝑦 − 4 + 3 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎

Realicemos esta expresión con la fórmula de la ecuación general de la recta:

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 En donde: 𝐴 = 2 𝐵 = −1 𝐶 = −1 𝑚 = −𝐴 𝐵 𝐵 = − 𝐶 𝐵

Comprobemos las relaciones en la ecuación estudiada: 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎

𝑚 = − 2

(−1)= 2 𝑏 = −(−1)

(−1)= −1

GRAFICA DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA

Conociendo el significado de cada elemento de la ecuación de reducida de la recta , la elaboración de la gráfica se facilita de manera significativa. Ejemplo:

𝑦 = −2𝑥 − 6

En esta ecuación observamos lo siguiente:

1. La pendiente es negativa, por lo tanto la recta es decreciente en todo su dominio. 2. La ordenada que determina el punto de corte con el eje vertical es -6.

3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es -3 este valor se obtiene cuando y = 0

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 50 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 0 = −2𝑥 − 6 2𝑥 = −6 𝑥 = −6 2= −3

Estos parámetros son suficientes para graficar la recta con absoluta precisión:

Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.

𝑦 = −2𝑥 − 6 4 3 2 1 -6 -4 -2 -2 2 4 6 -4

Corte en el eje horizontal -6

Corte eje vertical

GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA.

De manera análoga a la anterior, se conoce el significado de cada elemento de la ecuación de general de la recta , la gráfica es igual de sencilla:

Ejemplo:

Graficar la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0

Igualmente de esta ecuación podemos deducir lo siguiente:

1. La pendiente es positiva, por lo por lo tanto la ecuación es creciente en tanto que su dominio: 𝐴 = 2 𝐵 = −3 𝐶 = −6 𝑚 = −𝐴 𝐵 𝐵 = − 2 −3= 2 3

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 51 La pendiente que determina el punto de corte con el eje vertical es 3

𝑏 = −𝐶 𝐵 = −

−6 −3= −2

3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es 3 y se calcula asi: 𝑎 = −𝐶 𝐴 = − −6 2 = 3 𝑦 = −2𝑥 − 6 - 4 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎 3 2 1 -3 -2 -1 -1 1 2 3 -2

Corte en el eje horizontal (3) -3

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 52

LECCIÓN N°7

INVESTIGO N°7

Escribir el significado geométrico de m y b de la ecuación reducida de la recta.

2.

Explica el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación reducido.

3.

Explicar el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación general:

--- --- --- NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 53

Formula

RESUMO N°7

Ecuación reducida de la recta Ecuación general de la recta

Proceso es Pasos

GLOSARIO N°7

Ecuación reducida: Decreciente 2.

Punto de intersección horizontal.

1.

Punto de intersección vertical

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 54

Abscisa

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

4.

CUESTIONARIO N°7

Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por el punto (3, −5) y es paralela a la recta 𝑦 = −2𝑥 + 3

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 55 Escriba la ecuación reducida y general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(4, −3)

5.

Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 56

BLOQUE 2:

Álgebra y Geometría

FICHA N°8:

Polinomios

OBJETIVOS:

Comprender las funciones polinomicas, análisis de graficas e intervalos, además comparación de rangos y aplicaciones.

Destreza de Criterio de desempeño.

 Analizar las operaciones que se pueden realizar con polinomios algebraicos.

 Resolución de ecuaciones polinomicas y los criterios que se emplean para analizar sus gráficos.

Objetivo Educativo.

POLINOMIOS

Sea “n” un 𝑎₀, 𝑎₁, 𝑎₃… … … . 𝑎_𝑛−1número real (𝐶𝑜𝑛 𝑎_𝑛 ≠ 0) la función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎_𝑛𝑥𝑛_{+ 𝑎}

𝑛−1𝑥𝑛−1+ ⋯ … … … . 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Se denomina función polinomicas de x, de grado n

A las funciones polinomiales, también se denomina simplemente polinomios y a cada uno de los sumandos se les llama términos del polinomio.

En particular, cuando el polinomio de un solo término se llama monomio, si consta de dos términos binomio y si consta de tres términos se llama trinomio. A los polinomios se les simboliza con letras mayúsculas y entre paréntesis se encuentran las variables de las que depende el polinomio.

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 57 Monomios 3₅𝑥¸ 6𝑧3 Binomios 1 3− √8; 2𝑥 2_{+ 5𝑎} Trinomio 1 3𝑎𝑥 − 4𝑥 2_{+ 1} Polinomio √7𝑦5_{− 4𝑦}3 _{+ 5𝑦 −}49

√2 costa de cuatro términos. Grado de un polinomio

El exponente de una expresión es la cantidad que indica cuántas veces debe tomarse dicha expresión como factor. En la expresión 4𝑥2𝑦 el exponente de x es 2 y el exponente de y es 1.

El grado de un monomio con respecto a una letra es el exponte de dicha letra. El monomio de 4𝑥2𝑦𝑧4 es: de segundo grado en x, de primer grado en y y de cuarto grado en z.

El grado de un polinomio con respecto a una letra es el exponte de dicha letra, es el monomio de mayor grado con relación a dicha letra.

Ejemplo:

𝑃(𝑡) = 𝑡2− 3𝑡 + 2 Indica que se trata de un polinomio P que depende de la variable t. Este polinomio es de segundo grado en t, pues el termino con mayor exponente es 𝑡2

𝑄(𝑥) = −𝑥5+ 1es de quinto grado y el termino principal es: −𝑥5.

El grado de un término en un polinomio, es igual al exponente que tiene la variable de este término

El coeficiente de un término, es la parte numérica de este término.

Ejemplo:

Para el polinomio 𝑄(𝑥) = 4𝑥5− 8𝑥4_{+ 2𝑥}3_{− 7𝑥+9, identificar los coeficientes y los grados de cada}

término

Término 4𝑥5 _−8𝑥4 _+2𝑥3 _{−7𝑥 +9}

Grado 5 4 3 1 0

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 58 A los polinomios se les suele escribir en orden ascendente o en orden descendente:

 Si un polinomio se escribe en orden descendente, en primer lugar se escribe el término mayor grado a continuación se escribe el término con el siguiente menor grado, y así sucesivamente.  Si un polinomio se escribe en orden ascendente, en primer lugar se escribe el término de menor

grado (que comúnmente es el término constante), a continuación se escribe el término con el siguiente mayor y así sucesivamente.

Ejemplo: 𝑷(𝑥)= 11𝑥6− 7𝑥8+ 9𝑥3− 3 + 16𝑥2

Forma descendente 𝑃(𝑥)= 117𝑥8+ 11𝑥6+ 9𝑥3− 3

Forma ascendente 𝑃(𝑥)= −3 + 16𝑥2+ 9𝑥3_+11𝑥6_{− 7𝑥}8

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 59

LECCIÓN N°8

INVESTIGO N°8

Que es un expresión algebraica: de una reseña histórica:

6. Que es un Polinomio: ______________________________________________________________________________ _____________________ NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 60

RESUMO N°8

Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado: LOS POLINOMIOS

GLOSARIO N°8

Polinomio es: Grado en algebra: 3. Coeficiente es: 2. Variable es 2. Termino

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 61

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

CUESTIONARIO N°8

Marque con una X cuál de las siguientes funciones son polinomios:

( )𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 6} ( )𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥−2 ( )ℎ(𝑥) = 3𝑥 2_{+ 𝑥 − 1} 𝑥 − 3 ( )𝐻(𝑥) = 0 ( )𝐺(𝑡) = 𝑡9 ( )𝐾(𝑢) = √𝑢2 4. COMPLETE:

Expresión dada 1. Coeficiente 2. Parte literal 3. Grado

42x2y −6x3y2z

2x2_{y − 3x}3_{+ x − 4}

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 62

Determine el grado del polinomio. Ponga el numeral que corresponde:

( )𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 6} ( )𝑄(𝑥) =𝑥 5− 2𝑥3 8 + 2 ( )𝑇(𝑥) = −3 ( )𝑑(𝑡) = 1 2𝑔𝑡 2 ( )𝑅(𝑥) =11𝑥 2_{− 𝑥 + 7} 4 ( )𝑁(𝑟) = 𝑟110_{− 1}

Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 63

BLOQUE 2:

Álgebra y Geometría

FICHA N°9:

OPERACIONES CON

POLINOMIOS

OBJETIVOS:

Resolver problemas que contengas ecuaciones polinomicas, además plantear soluciones a ecuaciones de rango y dominio polinómico en el plano cartesiano.

Destreza de Criterio de desempeño:

 Analizar las operaciones que se pueden realizar con polinomios algebraicos.

 Resolución de operaciones polinomicas y los criterios que se emplean para su aplicación.

Objetivo Educativo.

Las cuatro operaciones fundamentales que se pueden realizar con polinomios son la adición, la

sustracción, el producto y la división

Cuando se suma, se resta o multiplica polinomios, el resultado es siempre un polinomio. Cuando se divide polinomios, el resultado no siempre es un polinomio.

La suma o adición de polinomios:

Definición: Dos términos se llaman términos semejantes si tiene exactamente la misma

variable con los mismos exponentes.

Por ejemplo, los términos −2𝑥3 𝑦 8𝑥3 son términos semejantes entre si, pero −2𝑥3 𝑦 8𝑥4 no son términos semejantes los exponentes de cada término so n diferente.

La suma y la diferencia de dos polinomios se realizan de manera similar a la suma y a la resta de números reales.

La suma de varios polinomios es otro polinomio, cuyo valor numérico es igual a la suma de los valores numéricos de cada uno de los sumandos

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 64 Para sumar dos polinomios se procede de la siguiente manera:

1. Se forma un solo polinomio que contenga los términos de los sumandos con sus correspondientes signos.

2. Se reduce los términos semejantes, si los hubiera.

Ejemplo:

(𝟕𝒙𝟐_{− 𝟓𝒙 − 𝟖) 𝒚 (𝟒𝒙}𝟐_{− 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕)}

Solución:

(𝟕𝒙𝟐_{− 𝟓𝒙 − 𝟖) + (𝟒𝒙}𝟐_{− 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕) = 𝟕𝒙}𝟐_{− 𝟓𝒙 − 𝟖 + 𝟒𝒙}𝟐_{− 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕}

(𝟕𝒙𝟐_{− 𝟓𝒙 − 𝟖) + (𝟒𝒙}𝟐_{− 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕) = 𝟕𝒙}𝟐_{+ 𝟒𝒙}𝟐_{− 𝟏𝟒𝒙 − 𝟐𝟓}

Sustracción o resta de polinomios:

La definición. (𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠)El opuesto de un polinomio es otro polinomios que suma al original, el resultado es igual a cero.

Dado un polinomio cualquiera, para hallar el polinomio opuesto se deben hacer negativos a los términos positivos, y hacer positivos a los términos positivos.

Al polinomio opuesto de 𝑃(𝑥) se le denota −𝑃(𝑥)

Ejemplo:

Hallar el polinomio opuesto de a) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 − 5; 𝑏) 𝑄(𝑥) = 5𝑥3+ 3𝑥2− 12 Solución:

a) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 − 5 −𝑃(𝑥) = −6𝑥 + 5

𝑏) 𝑄(𝑥) = 5𝑥3+ 3𝑥2− 12 −𝑄(𝑥) = −5𝑥3− 3𝑥2+ 12

Para restar el polinomio 𝑄(𝑥) de otro polinomio 𝑃(𝑥) se produce de la siguiente manera:

1. Se escribe el polinomio 𝑃(𝑥)

2. A continuación se escribe el opuesto de 𝑄(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, −𝑄(𝑥)

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 65

Ejemplo:

Del polinomio 𝑃(𝑎) = 5𝑎2− 8𝑎 + 6 restar el polinomio 𝑄(𝑎) = 3𝑎2− 6𝑎 + 5. (5𝑎2_{− 8𝑎 + 6) − (3𝑎}2_{− 6𝑎 + 5) = 5𝑎}2_{− 8𝑎 + 6 − 3𝑎}2_{+ 6𝑎 − 5}

(5𝑎2_{− 8𝑎 + 6) − (3𝑎}2_{− 6𝑎 + 5) = 5𝑎}2_{− 3𝑎}2_{− 8𝑎 + 6𝑎 + 6 − 5}

(5𝑎2_{− 8𝑎 + 6) − (3𝑎}2_{− 6𝑎 + 5) = 2𝑎}2_{− 2𝑎 + 1}

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 2𝑎2− 2𝑎 + 1

La multiplicación de polinomios

El producto de dos polinomios es un polinomio cuyo valor numérico es igual al ´producto de los valores numéricos de aquellos.

Al primer polinomio de un producto se le denomina multiplicando y al segundo polinomio, multiplicador. Para la realización del producto de dos polinomios debemos tener en cuenta las siguientes reglas

Reglas de los signos: El producto de dos cantidades igual signo tienen signo positivo y el producto de dos cantidades de signos contrarios tiene signo negativo : Es decir:

+ × += + − × −= + − × += − + × −= −

Procedimiento Operativo.

Para multiplicar dos monomios se procede de la siguiente manera

1. Se determina el signo del producto, mediante la regla de los signos. 2. Se multiplica los coeficientes.

3. A continuación se escribe las letras diferentes de todos los factores, poniéndole a cada

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 66 Ejemplo:. Multiplique 3𝑥2𝑦 𝑝𝑜𝑟 − 4𝑥𝑦3𝑧 Tenemos (3𝑥2_{𝑦)(−4𝑥𝑦}3_{𝑧) = −(3.4)(𝑥}2+3_)(𝑦1+3_)𝑧 (3𝑥2_{𝑦)(−4𝑥𝑦}3_{𝑧) = −12(𝑥}5_)(𝑦4_)𝑧 Multiplicación de polinomios:

1. Se multiplica cada uno de los términos del multiplicando por cada uno de los términos

del multiplicador considerando estos como monomios.

2. Se reduce los términos semejantes si los hubiera.

3. La suma de los productos parciales será el producto deseado

Ejemplo: Multiplicar: 𝑷(𝑥) = 𝑥2+ 5𝑥+9 por 𝑄(𝑥) = 𝒙𝟑− 𝟐𝒙 − 𝟕 𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = (𝒙𝟐_{+ 𝟓𝒙 + 𝟗 )(𝒙}𝟑_{− 𝟐𝒙 − 𝟕)} 𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = 𝒙𝟓_{− 𝟐𝒙}𝟑_{− 𝟕𝒙}𝟐_{+ 𝟓𝒙}𝟒_{− 𝟏𝟎𝒙}𝟐_{− 𝟑𝟓𝒙 + 𝟗𝒙}𝟑_{− 𝟏𝟖𝒙 − 𝟔𝟑} 𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = 𝒙𝟓+ 𝟓𝒙𝟒+ 𝟕𝒙𝟑− 𝟏𝟕𝒙𝟐+ −𝟓𝟑𝒙 − 𝟔𝟑

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 67

LECCIÓN N°9

INVESTIGO N°9

Elabore una bibliografía so sobre un creador de las expresiones algebraicas:

7. NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 68

RESUMO N°9

Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado: POLINOMIOS

GLOSARIO N°9

Expresión: Algebra: 4. Combinaciones: 3. Binomio 3. Adición

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 69

Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.

8.

CUESTIONARIO N°9

Marque con una X según corresponda la respuesta de la sustracción :

Del polinomio

𝑃(𝑎) = 15𝑎2− 8𝑎 + 6 restar el polinomio 𝑄(𝑎) = 5𝑎2_{− 16𝑎 + 20.}

( )𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 10𝑎2_{− 8𝑎 − 14}

( ) 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 𝑎2_{− 8𝑎 + 14}

( ) 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 20𝑎2_{− 8𝑎}

Marque con una X según corresponda la respuesta de la adición:

Del polinomio 𝑃(𝑎) = 15𝑎2+ 8𝑎 adiciona con el polinomio 𝑄(𝑎) = 15𝑎2− 6𝑎 + 30:

( )𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 10𝑎2_{− 8𝑎 − 14}

( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 30𝑎2_{+ 2𝑎 + 30}

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 70

Marque con una X según corresponda la respuesta de la adición :

Del polinomio 𝑃(𝑎) = 10𝑎4+ 𝑎3_{+ 15𝑎}2_{+ 8𝑎 − 20} 𝑄(𝑎) = −10𝑎4+ 2𝑎3+ 𝑎2+ 8𝑎 − 20 𝑅(𝑎) = −𝑎4+ 𝑎3+ 15𝑎2+ 8𝑎 + 20 ( )𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) +𝑅(𝑎) =−2𝑎4+ 15𝑎3+ 31𝑎2+ 24𝑎 − 10 ( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎)+ 𝑅(𝑎) =10𝑎4+ 𝑎3+ 15𝑎2+ 8𝑎 − 20 ( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎)+ 𝑅(𝑎) ==−𝑎4+ 5𝑎3+ 31𝑎2+ 24𝑎 − 20

Marque con una X según corresponda la respuesta de la multiplicación de polinomios:

Del polinomio 𝑃(𝑥) = 6𝑥 + 5𝑥3− 8 − 3𝑥2 𝑄(𝑥) =−𝟗 +4𝑥2− 7𝑥 ( )𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = 20𝑥5− 47𝑥4− 47𝑥2+ 2𝑥+72 ( )𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = 30𝑥5− 7𝑥4− 57𝑥2+ 𝑥+72 ( ) 𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = +5𝑎3+ 31𝑎2+ 24𝑎 − 20

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Matemática Primer Año de Bachillerato Página 71

BLOQUE 2:

Álgebra y Geometría

FICHA N°10

:

DIVISIÓN DE

POLINOMIOS

OBJETIVOS.

Aprender los diferentes métodos para realizar la división de polinomios de grados menores hasta grados superiores, aprender el método de la división sintética y lo métodos de reducción de Ruffinni.

Destreza de Criterio de desempeño:

 Realizar la división de polinomios en función a los procesos preestablecidos.

 Resolver las divisiones con métodos sintéticos de análisis.

 Resumir funciones con el método de Ruffinni

Objetivo Educativo.

LA DIVISION DE POLINOMIOS

Definición: Dividir dos polinomios es hallar el tercer polinomio tal que su valor numérico sea

igual al cociente de los valores numéricos de los dos polinomios dados.

Los dos polinomios dados de denominan dividendo y divisor, y el polinomio hallado, cociente. La división es la operación inversa de la multiplicación.

En general tenemos

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 = 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 +

𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟

Donde el residuo es un polinomio entero de grado inferior al de divisor. Si el residuo es igual a cero se dice, que la división es exacta.

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 72

División de un monomio por otro monomio.

Para dividir un monomio por otro monomio, se produce de la siguiente manera

 Se determina el signo del resultado, mediante la regla de los signos.

 Se divide en los coeficientes entre sí . El coeficiente es el coeficiente pedido

 Se escribe las letras que se hallan en el dividendo y el divisor, con un exponente igual a la diferencia de los exponentes que llevan en cada termino, cundo dichos exponentes son distintos.

 No se escribe las letras que tienen exponente igual en el dividendo y divisor.

 Si ubica letras en el dividendo que no se halla en el divisor, se escribirán tal como están, pero si el divisor tiene letras que no figuran en el dividendo, pasarán al cociente con exponente negativo. Ejemplo: 𝟐𝟎𝒂𝟓𝒃𝟑𝒄𝟐 −𝟓𝒂𝟐_𝒃𝟐 = −𝟒𝒂𝟑𝒃 𝒄𝟐 𝟏𝟐𝒂𝟑_𝒃𝟐_{÷ 𝟒𝒂}𝟐_{𝒃 = 𝟑𝒂𝒃} (−𝟑𝟓𝒙𝟑𝒚𝟒) (−𝟓𝒙𝟐_𝒚𝟑_𝒛) = 𝟕𝒙𝒚𝒛−𝟏 Tengamos en cuenta:

En general no existe monomios enteros que, multiplicando por el divisor, reproduzca el dividendo, en tales casos se deja la división indicando en forma de fracción.

Ejemplo: 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓𝟏𝟓𝒂𝒃𝟐 𝒑𝒐𝒓 𝟖𝒂𝟑 𝟏𝟓𝒂𝒃𝟐 𝟖𝒂𝟑 = 𝟏𝟓𝒃𝟐 𝟖𝒂𝟐 = 𝟏𝟓 𝟖 𝟖𝒂 −𝟐_𝒃𝟐 División de polinomios:

Consideremos dos polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) y las siguientes definiciones: La definición.

(𝑫𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂)Dividir exactamente el polinomo𝑃(𝑥) 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑄(𝑥) distinto de cero, significa hallar un polinomio 𝐶(𝑥) tal que se verifique:

𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑄(𝑥) Entonces, se dice que 𝑃(𝑥) es divisible por 𝑄(𝑥)

Matemática Primer Año de Bachillerato Página 73 Es decir, en la división exacta, el residuo es igual cero 𝑅(𝑥) = 0

Definición (𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂) Dividir inexactamente (𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜) el polinomio

𝑃(𝑥)por el polinomio 𝑄(𝑥), distinto a cero, significa hallar dos polinomios 𝐶(𝑥)𝑦 𝑅(𝑥) tal que se verifique

𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)

El polinomio𝑃(𝑥) es el dividendo, 𝑄(𝑥) el divisor, 𝐶(𝑥) el cociente, y 𝑅(𝑥) es el residuo o resto, entonces se dice que el polinomio 𝑃(𝑥) se divide por el polinomio 𝑄(𝑥)cociente 𝐶(𝑥) y con residuo 𝑅(𝑥)

El grado 𝑅(𝑥) del polinomio 𝑅(𝑥) es estrictamente menor al grado de 𝑄(𝑥)

Reglas de la división:

Para dividir dos polinomios, previamente hay que ordenarlos de manera decreciente, luego se procede de la siguiente manera:

1. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, con la cual se obtiene el primer término del cociente. Se multiplica este término por el divisor y se resta el residuo-

2. El primer término del residuo, dividendo por el primer término del divisor, da el segundo término del cociente. Multiplicando este segundo término hallando por el divisor y restado el producto obtenido del primer residuo, hallamos un

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